共通回帰ベクトルの推定方程式について

(1)

共通回帰ベクトルの推定方程式について

井上淳

1.

はじめに

均質でない

k

組

( k ≥ 2 )

の情報源からそれぞれサイズ

n

i

( n

i

≥ 2 )

のデータ

y

i

= (y

i1

, y

i2

, . . . , y

ini

)

^t

(i = 1, 2, . . . , k)

を入手し，それらが従う確率分布族が共通に含んでいる未知母数ベクトル

β (p × 1)

の推定を行いたいことがある．

例えば，ある一次元の物理量

β

を幾つかの異なる測定方法で観測し，得られたデータの情報を統合して

β

に関する推測を行うことが考えられる．この場合，観測対象となる物理量は測定方法にかかわらず一定（共通）である．しかし，データが従う確率分布も測定方法にかかわらず一定と想定することは一般にはできない．

データが従う確率分布が

k

組の情報源ごとに異なるという状況下で

β

_を推定する問題としてよく取り扱われるのは，次のようなモデルである．

y

i

∼ N `

β1

i

, σ

_i²

I

i

´

(i = 1, 2, . . . , k) (1.1)

( β : (1 × 1)

，

I

i

: n

i次単位行列，

1

i

= (1, 1, . . . , 1)

^t

(n

i

× 1) (i = 1, 2, . . . , k) )

モデル

(1.1)

_は

k

_個の分散

σ

²_i

(i = 1, 2, . . . , k)

_{を局外母数に持ち，}

β

_を共通の位置母数とする正規分布型のモデルである．このモデルの枠内で

β

_に関する点推定や区間推定を行う問題については，従来から多くの議論がなされている．

Shinozaki (1978)

_は，

k

_{組の標本平均}

y

_i

= P

ni

j=1

y

ij

/n

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_の結合推定量

( β

_{の点推定量}

)

_の分散が

y

_i

(i = 1, 2, . . . , k)

_{のそれよりも小さく} なるための必要十分条件を与えている．井上

(2005)

はモデル

(1.1)

を

(

正規分布を特殊例として含む

)

一般のモデルに拡張し，

Shinozaki (1978)

が与えた必要十分条件が単に正規分布の枠内に留まるものではないことを示している．具体

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井上.indd 79 2007/01/19 16:45:23

(2)

的には，

k

組のデータが従う分布が楕円型分布（分布型は

k

_{組を通じて一定で} ないことを許す）の場合を考え，

Shinozaki (1978)

と同様の必要十分条件を導出している．但し，

Shinozaki (1978)

，井上

(2005)

ともに

β

の結合推定量の分散自体を定量的に与えている訳ではなく，あくまでも個別の標本平均と結合推定量の分散の比較に基づいた結果のみを導出していることに注意しておく．これは，

k < + ∞

かつ

max

_1≤i≤k

n

i

< + ∞

の場合（即ち，有限標本の場合）に

β

の結

合推定量の分散を陽に評価することができないという事実に起因する．

モデル

(1.1)

_{において，}

n

i

→ + ∞

を満たす

i ∈ { 1, 2, . . . , k }

が存在する場合，

V (y

_i

) → 0

が成り立つので標本平均

y

_i _は

β

を精確に推定する．従って，

このような場合は考察の対象から外してよい．一方で，

(max

1≤i≤k

n

i

< + ∞

かつ

) k → + ∞

^の場合は

(

局外母数

σ

²_i

(i = 1, 2, . . . , k)

が無限に増えていき，なおかつ

y

_i

(i = 1, 2, . . . , k)

が

β

の一致推定量でないという意味で

)

上記の状況とは異なっており，考察の対象とすることができる．

Inoue (1999)

は

y

_i

(i = 1, 2, . . . , k)

を結合して得られる不偏推定量のクラスを考え，そのクラスに属する推定量の漸近分散

(k → + ∞ )

を明示的に与えた．そして，漸近最適（漸近分散が最小）なものをそのクラスの中から選んだうえで，それよりも漸近分散が小さい推定量をそのクラス外から見つけ出している．

Neyman and Scott (1948)

_はモデル

(1.1)

_{において，}

β

_{の尤度方程式}

X

k

i=1

n

i

1

^t_i

(y

i

− β1

i

)

|| y

i

− β1

i

||

²

= 0

の分子に定数

w

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_{を付加して得られる}

β

_{の推定方程式}

X

k

i=1

n

i

w

i

1

^ti

(y

i

− β1

i

)

|| y

i

− β1

i

||

²

= 0

を考えた．そして，

w

i

∝ (n

i

− 2)/n

i

(i = 1, 2, . . . , k)

と選択したときの推定方程式の解が，尤度方程式の解（最尤推定量）よりも（漸近分散

(k → + ∞ )

が小さいという意味で）優れていることを示した（但し，

n

1

= n

2

= · · · = n

kの場合，両者は同等である）．なお，

w

i

∝ (n

i

− 2)/n

i

(i = 1, 2, . . . , k)

に対応する

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(3)

共通回帰ベクトルの推定方程式について

推定方程式の解には，明示的に表現されえないという短所があるものの，その漸近分散は

Shinozaki (1978)

が提案した不偏推定量及び

Inoue (1999)

_が提案した推定量の漸近分散よりも小さいという長所が認められる．

本論文ではモデル

(1.1)

を次のように拡張し，未知の回帰ベクトル

β (p × 1)

の推定方程式の解の漸近的な性質を調べる．

y

i

= X

i

β + ϵ

i

∼ EC

ni

` X

i

β, σ

²i

Ω

i

´

(i = 1, 2, . . . , k), (1.2)

但し，

y

i

(n

i

× 1) (i = 1, 2, . . . , k)

は互いに独立，

X

i

(n

i

× p) (i = 1, 2, . . . , k)

は第１列が

1

i

,

階数が

p

の既知計画行列

, σ

i²

(i = 1, 2, . . . , k)

は未知正定数，

Ω

i

= (1 − ρ

i

)I

i

+ ρ

i

1

i

1

^t_i

( ρ

i

:

_既知定数

)(i = 1, 2, . . . , k)

_{とする．また，記号}

EC

m

(µ, Σ)

_は平均が

µ,

_{分散共分散行列が}

Σ

の楕円型分布を表すものとする．

モデル

(1.2)

で，誤差項に無相関性を仮定した場合（すなわち，

Ω

i

= I

i

(i = 1, 2, . . . , k)

と仮定した場合）における

β

の推定方程式の解については，

Inoue (2003)

が幾つかの漸近的な結果を導いている．無相関性の仮定

Ω

i

= I

i

(i = 1, 2, . . . , k)

に加えて，

p = 1, X

i

= 1

i，

ϵ

i

∼ N(0, σ

²_i

I

i

) (i = 1, 2, . . . , k)

を仮定すれば，モデル

(1.2)

は

Neyman and Scott (1948)

が用いたモデル

(1.1)

になる．すなわち，モデル

(1.2)

は

Neyman and Scott (1948)

や

Inoue (2003)

が考察の対象としたモデルを一般化したものである．

2.

推定方程式

β

_の推定量

β b

c

( c ≥ 0 )

_を用いて

σ

²_i _の推定量

s

ic

= 1

n

i

|| y

i

− X

i

β b

c

||

²

(i = 1, 2, . . . , k)

を作り，これらを用いて

β

_の推定量

β b

c+1を新たに作ることを考える：

β b

c+1

= X

k i=1

X

_i^t

s

⁻_ic¹

W

i

Ω

⁻_i¹

X

i

!

−1

X

k i=1

X

_i^t

s

⁻_ic¹

W

i

Ω

⁻_i¹

y

i

(2.1)

但し，

W

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_は

n

i次定数行列とする．

(2.1)

_{式から分かるように，}

推定量列

{ β b

c

}

^c≥0は重み付き最小二乗推定量の列として定義される．

新inoue060929v2.pdf 3 2006/12/27 17:08:19

103

井上.indd 81 2007/01/19 16:45:24

(4)

(2.1)

_式は

X

k

i=1

s

⁻¹_ic

X

_i^t

W

i

Ω

⁻¹_i

“

y

i

− X

i

β b

c+1

” = X

k

i=1

n

i

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

“

y

i

− X

i

β b

c+1

”

|| y

i

− X

i

β b

c

||

²

= 0

と変形される．これにより，推定量列

{ β b

c

}

c≥0がベクトル

γ

kに収束するならば

γ

kは次の推定方程式を満たすことが分かる．

X

k i=1

n

i

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

(y

i

− X

i

γ

k

)

|| y

i

− X

i

γ

k

||

²

= 0 (2.2)

ここで，

Ψ

i

(γ

k

) = n

i

|| y

i

− X

i

γ

k

||

⁻²

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

(y

i

− X

i

γ

k

) (i = 1, 2, . . . , k)

とおき，

(2.2)

_式の左辺

P

k

i=1

Ψ

i

(γ

k

)

_を

γ

k

= β

_{の周りで展開すると}

0 =

X

k i=1

Ψ

i

(γ

k

) ≃ X

k

i=1

Ψ

i

(β) + (

_k

X

i=1

DΨ

i

(β) )

(γ

k

− β) (2.3)

となる．但し，

DΨ

i

(β) (i = 1, 2, . . . , k)

_は

γ

k

= β

_における

Ψ

i

(γ

k

)

_のヤコビアンを表すものとする．

(2.3)

_{式より次が成り立つ：}

γ

k

− β ≃ − (

_k

X

i=1

DΨ

i

(β)

)

−1

X

k i=1

Ψ

i

(β)

=

"

− X

k i=1

E { DΨ

i

(β) }

#

−1

X

k i=1

Ψ

i

(β) + o

p

(k

⁻^1/2

) (2.4)

(2.4)

式を用いれば，推定方程式

(2.2)

_の解

γ

k の漸近的性質を調べることができる．そのために先ず幾つかの記号・仮定を準備し，その後に

(2.4)

_{の右辺の性} 質について述べることにする．

定義

2.1 1

i

/ √ n

i を第１列に持つ

n

i 次直交行列を

T

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_とし，

a, b

を実数とする．この時，

n

i 次正方行列

M

i

(a, b)

_{を次式で定める．}

M

i

(a, b) = T

i

× diag(a, b, . . . , b) × T

_i^t

= bI

i

+

„ a − b n

i

«

1

i

1

^ti

(i = 1, 2, . . . , k)

この定義を用いて

Ω

i を表すと

Ω

i

= M

i

(1 + (n

i

− 1)ρ

i

, 1 − ρ

i

)

_となる．

(5)

83 共通回帰ベクトルの推定方程式について

定義

2.2

_変換

f

i

= T

_i^t

Ω

^−1/2_i

ϵ

i によってベクトル

f

i

= (f

i1

, f

i2

, . . . , f

ini

)

^t

( ∼ EC

ni

` 0, σ

_i²

I

i

´

) (i = 1, 2, . . . , k)

_{を定め，定数}

a

i

, b

i を次式によって定める．

a

i

= E `

f

_i1²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

, b

i

= E `

f

_i2²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

(i = 1, 2, . . . , k)

また，定数

q

i

, r

i を次式によって定める．

q

i

= E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

/a

i

= E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´ /E `

f

i1²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´ r

i

= E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

/b

i

= E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´ /E `

f

_i2²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

f

iの分布の対称性から

b

i

= E `

f

_ij²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

(j = 2, 3, . . . , n

i

)

が成り立つ．また，

|| ϵ

i

||

²

= { 1 + (n

i

− 1)ρ

i

} f

_i1²

+ (1 − ρ

i

) P

ni

j=2

f

_ij² であることから次が成り立つ．

E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

= { 1 + (n

i

− 1)ρ

i

} a

i

+ (1 − ρ

i

)(n

i

− 1)b

i

= ξ

i

a

i

+ ν

i

(n

i

− 1)b

i

(2.5)

但し，

ξ

i

= 1 + (n

i

− 1)ρ

i

, ν

i

= 1 − ρ

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_．

定義

2.3 A

i を

n

i 次正方行列とする

(i = 1, 2, . . . , k)

．この時，

P

k i=1

n

i 次正方行列

[ A

i

]

を次式で定める．

[ A

i

] = block diag (A

1

, A

2

, . . . , A

k

)

条件

2.4 X

i

, σ

_i²

, n

i

(i = 1, 2, . . . , k)

_{に次の条件を課す．}

(i) c

0

I

p

≤ k

⁻¹

X

k

i=1

X

i^t

X

i

≤ c

1

I

p

( c

0

, c

1

:

正定数

) (i = 1, 2, . . . , k) (ii) s

0

≤ σ

²_i

≤ s

1

( s

0

, s

1

:

正定数

) (i = 1, 2, . . . , k)

(iii) s + 2 < n

i

≤ n

0

( n

0，

s (0 < s ≤ 4):

_正定数

) (i = 1, 2, . . . , k)

(6)

条件

2.5

_重み行列

W

i

(i = 1, 2, . . . , k)

(i) w

0

I

i

≤ W

i

≤ w

1

I

i

(w

0

, w

1

:

正定数

) (i = 1, 2, . . . , k) (ii) W

i

= T

i

H

i

T

_i^t

(H

i

:

対角行列

) (i = 1, 2, . . . , k)

条件

2.6

_相関係数

ρ

i

(i = 1, 2, . . . , k)

− 1 n

i

− 1

ȷ

1 − n

i

(n

i

− 1 − s) (n

i

− 1)

²

+ (n

i

− 1 − s)

ﬀ

≤ ρ

i

≤ 1 − m

i

(t)n

i

m

i

(t)(n

i

− 1) + 1 (i = 1, 2, . . . , k)

但し，

0 < s, t ≤ 4, m

i

(t) =

„ 1 − t

n

i

− 1

«

1/3

(i = 1, 2, . . . , k)

_とする．

条件

2.7

誤差ベクトル

ϵ

i

(i = 1, 2, . . . , k)

に次の条件を課す．

sup

i≥1

E( || ϵ

i

||

^−δ

) < + ∞ ( δ > 2 )

補助定理

2.8 q

i

/ξ

i

(i = 1, 2, . . . , k)

に関して次の

(i), (ii)

が成り立つ．

(i) ρ

i

< 0

の時，

n

i

− s ≤ q

i

ξ

i

≤ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 n

i

− 1 − s

«

3

(i = 1, 2, . . . , k) (ii) ρ

i

≥ 0

の時，

n

i

− t ≤ q

i

ξ

i

≤ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 n

i

− 1 − t

«

1/3

(i = 1, 2, . . . , k)

(i)

_の証明

g(ρ

i

) = ξ

i

/ν

i

(i = 1, 2, . . . , k)

とおくと，

g

^′

(ρ

i

) = n

i

/(1 − ρ

i

)

²

> 0 (i = 1, 2, . . . , k)

より

g(ρ

i

) ≥ g

„ − 1 n

i

− 1

ȷ

1 − n

i

(n

i

− 1 − s) (n

i

− 1)

²

+ (n

i

− 1 − s)

ﬀ«

= 1 − s n

i

− 1 ,

すなわち，次が成り立つ．

ξ

i

ν

i

≥ n

i

− 1 − s

n

i

− 1 (i = 1, 2, . . . , k) (2.6)

新inoue060929v2.pdf 6 2006/12/27 17:08:20

07

井上.indd 84 2007/01/19 16:45:26

(7)

また，

1 n

i

ν

i

≤ ν

i

b

i

/E `

|| f

i

||

⁻²

´

≤ ν

i

n

i

ξ

_i²

, ξ

i

n

i

ν

_i²

≤ ξ

i

a

i

/E `

|| f

i

||

⁻²

´

≤ 1 n

i

ξ

i

(i = 1, 2, . . . , k)

より次が成り立つ．

ξ

i

ν

i

≤ ν

i

b

i

ξ

i

a

i

≤

„ ν

i

ξ

i

«

3

(i = 1, 2, . . . , k) (2.7) (2.5), (2.6), (2.7)

により次を得る．

q

i

ξ

i

= 1 + (n

i

− 1) ν

i

b

i

ξ

i

a

i

≥ 1 + (n

i

− 1) ξ

i

ν

i

≥ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 − s n

i

− 1

«

= n

i

− s , q

i

ξ

i

≤ 1 + (n

i

− 1)

„ ν

i

ξ

i

«

3

≤ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 n

i

− 1 − s

«

3

(i = 1, 2, . . . , k).

(ii)

_の証明

h(ρ

i

) = (ν

i

/ξ

i

)

³

(i = 1, 2, . . . , k)

とおくと，

h

^′

(ρ

i

) = − 3n

i

ξ

_i⁻²

(ν

i

/ξ

i

)

²

< 0 (i = 1, 2, . . . , k)

_より

h(ρ

i

) ≥ h

„

1 − m

i

(t)n

i

m

i

(t)(n

i

− 1) + 1

«

= 1 − t n

i

− 1 ,

すなわち，次が成り立つ．

„ ν

i

ξ

i

«

3

≥ n

i

− 1 − t

n

i

− 1 (i = 1, 2, . . . , k) (2.8)

また，

ν

i

n

i

ξ

_i²

≤ ν

i

b

i

/E `

|| f

i

||

⁻²

´

≤ 1 n

i

ν

i

, 1

n

i

ξ

i

≤ ξ

i

a

i

/E `

|| f

i

||

⁻²

´

≤ ξ

i

n

i

ν

_i²

(i = 1, 2, . . . , k)

より次が成り立つ．

„ ν

i

ξ

i

«

3

≤ ν

i

b

i

ξ

i

a

i

≤ ξ

i

ν

i

(i = 1, 2, . . . , k) (2.9) (2.5), (2.8), (2.9)

により次を得る．

q

i

ξ

i

= 1 + (n

i

− 1) ν

i

b

i

ξ

i

a

i

≥ 1 + (n

i

− 1)

„ ν

i

ξ

i

«

3

≥ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 − t n

i

− 1

«

= n

i

− t ,

(8)

q

i

ξ

i

≤ 1 + (n

i

− 1) ξ

i

ν

i

≤ 1 + (n

i

− 1)

„ n

i

− 1 n

i

− 1 − t

«

1/3

(i = 1, 2, . . . , k).

補助定理

2.9

条件

2.6

において

1 ≤ s = t ≤ 4

とする．この時，次の

(i), (ii)

が成り立つ．

(i) min { a

i

(q

i

− 2ξ

i

), b

i

(r

i

− 2ν

i

) } ≥ n

i

− s − 2

n

i

− s E( || ϵ

i

||

⁻²

) (i = 1, 2, . . . , k) (ii) min

ȷ a

i

(q

i

− 2ξ

i

)

²

ξ

i

, b

i

(r

i

− 2ν

i

)

²

ν

i

ﬀ

≥ (n

i

− s − 2)

²

n

i

− s E( || ϵ

i

||

⁻²

) (i = 1, 2, . . . , k)

(i)

_の証明補助定理

2.8

により次が成り立つ．

a

i

(q

i

− 2ξ

i

) = q

⁻_i¹

(q

i

− 2ξ

i

)E( || ϵ

i

||

⁻²

) = { 1 − 2(ξ

i

/q

i

) } E( || ϵ

i

||

⁻²

)

≥

„ 1 − 2

n

i

− s

«

E( || ϵ

i

||

⁻²

) (i = 1, 2, . . . , k)

次に，

b

i

(r

i

− 2ν

i

)

について考える．

P

ni j=2

f

_ij²

|| ϵ

i

||

⁴

= ν

i

P

ni j=2

f

_ij²

|| ϵ

i

||

²

× ν

_i⁻¹

|| ϵ

i

||

²

≤ ν

_i⁻¹

|| ϵ

i

||

⁻² より

(n

i

− 1)b

i

= P

ni

j=2

E `

f

_ij²

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

≤ ν

⁻_i¹

E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

_{，すなわち}

ν

i

b

i

≤ 1

n

i

− 1 E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

(i = 1, 2, . . . , k) (2.10)

が成り立つ．これより次を得る．

b

i

(r

i

− 2ν

i

) = E( || ϵ

i

||

⁻²

) − 2ν

i

b

i

≥

„ 1 − 2

n

i

− 1

«

E( || ϵ

i

||

⁻²

)

≥

„ 1 − 2

n

i

− s

«

E( || ϵ

i

||

⁻²

) (i = 1, 2, . . . , k) (2.11) (ii)

_の証明

(2.10)

_より

r

i

ν

i

= E( || ϵ

i

||

⁻²

)

ν

i

b

i

≥ n

i

− 1 (i = 1, 2, . . . , k)

(9)

共通回帰ベクトルの推定方程式についてが成り立つ．このことと

(2.11)

_{により次が成り立つ．}

b

i

(r

i

− 2ν

i

)

²

ν

i

= b

i

(r

i

− 2ν

i

) × { (r

i

/ν

i

) − 2 }

≥

„ 1 − 2

n

i

− 1

«

E( || ϵ

i

||

⁻²

) × (n

i

− 3)

= (n

i

− 3)

²

n

i

− 1 E( || ϵ

i

||

⁻²

) ≥ (n

i

− s − 2)

²

n

i

− s E( || ϵ

i

||

⁻²

)

また，

(i)

と補助定理

2.8 a

i

(q

i

− 2ξ

i

)

²

ξ

i

= a

i

(q

i

− 2ξ

i

) × { (q

i

/ξ

i

) − 2 }

≥ n

i

− s − 2

n

i

− s E( || ϵ

i

||

⁻²

) × (n

i

− s − 2)

= (n

i

− s − 2)

²

n

i

− s E( || ϵ

i

||

⁻²

)

補助定理

2.10

_{次が成り立つ．}

"

− X

k

i=1

E { DΨ

i

(β) }

#

−1

= O(k

⁻¹

)

証明先ず

DΨ

i

(β)

を計算すると次のようになる．

DΨ

i

(β) = n

i

X

_i^t

W

i

Ω

⁻¹_i

`

|| ϵ

i

||

²

I

ni

− 2ϵ

i

ϵ

^t_i

´

|| ϵ

i

||

⁴

× ( − X

i

)

= n

i

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

„

− 1

|| ϵ

i

||

²

I

ni

+ 2ϵ

i

ϵ

^t_i

|| ϵ

i

||

⁴

«

X

i

(2.12)

次に，

(2.12)

の期待値を計算するために，

ϵ

i

ϵ

^ti

|| ϵ

i

||

⁻⁴の期待値を変形しておく．

E `

f

ij

f

im

|| ϵ

i

||

⁻⁴

´

= 0 (j ̸ = m)

であることにより，次が成り立つ．

E

„ ϵ

i

ϵ

^t_i

|| ϵ

i

||

⁴

«

= Ω

^1/2_i

T

i

× E f

i

f

_i^t

ξ

i

f

_i1²

+ ν

i

P

ni

j=2

f

_ij²

!

× T

_i^t

Ω

^1/2_i

= Ω

^1/2_i

T

i

× diag(a

i

, b

i

, . . . , b

i

) × T

_i^t

Ω

^1/2_i

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109

井上.indd 87 2007/01/19 16:45:28

(10)

= Ω

^1/2_i

M

i

(a

i

, b

i

) Ω

^1/2_i

= M

i

“p ξ

i

, √ ν

i

”

M

i

(a

i

, b

i

) M

i

“p ξ

i

, √ ν

i

”

= M

i

(a

i

ξ

i

, b

i

ν

i

) . (2.13)

(2.13)

により，次が成り立つ．

− E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

I

ni

+ 2E

„ ϵ

i

ϵ

^t_i

|| ϵ

i

||

⁴

«

= − M

i

` E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´ , E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´ ´

+ M

i

(2a

i

ξ

i

, 2b

i

ν

i

)

= M

i

`

2a

i

ξ

i

− E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´

, 2b

i

ν

i

− E `

|| ϵ

i

||

⁻²

´ ´

= M

i

( a

i

(2ξ

i

− q

i

), b

i

(2ν

i

− r

i

) ) (2.14) (2.12), (2.14)

_{により次を得る．}

− X

k i=1

E { DΨ

i

(β) } = X

k i=1

n

i

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

M

i

( a

i

(q

i

− 2ξ

i

), b

i

(r

i

− 2ν

i

) ) X

i

(2.15)

ここで，

E( || ϵ

i

||

⁻²

) ≥ ˘

E( || ϵ

i

||

²

) ¯

−1

= `

n

i

σ

²_i

´

−1

であること，及び補助定理

2.9 (i)

W

i

Ω

⁻¹_i

M

i

( a

i

(q

i

− 2ξ

i

), b

i

(r

i

− 2ν

i

) )

= T

i

H

i

T

_i^t

× M

i

( a

i

(q

i

− 2ξ

i

)/ξ

i

, b

i

(r

i

− 2ν

i

)/ν

i

)

= T

i

diag ȷ

h

i1

a

i

(q

i

− 2ξ

i

) ξ

i

, h

i2

b

i

(r

i

− 2ν

i

) ν

i

, . . . , h

ini

b

i

(r

i

− 2ν

i

) ν

i

ﬀ T

i^t

≥

„ n

i

− s − 2 n

i

− s

«

E( || ϵ

i

||

⁻²

) × W

i

Ω

⁻_i¹

≥

„ n

i

− s − 2 n

i

− s

«

× w

0

n

i

σ

_i²

× Ω

⁻_i¹

≥ d

1

I

i

(2.16)

但し，

H

i

= diag (h

i1

, h

i2

, . . . , h

ini

)

とおき，

d

1 は適当な正数とする．

(2.15), (2.16)

_により

− X

k i=1

E { DΨ

i

(β) } ≥ d

2

X

k i=1

X

_i^t

X

i

≥ c

0

d

2

kI

p

,

(11)

共通回帰ベクトルの推定方程式についてすなわち

"

− X

k i=1

E { DΨ

i

(β) }

#

−1

≤ (c

0

d

2

)

⁻¹

× k

⁻¹

I

p

が成り立つ．但し，

d

2 は適当な正数とする．以上により補助定理

2.10

の主張が示された．

補助定理

2.11 P

k

i=1

Ψ

i

(β)

の漸近分布について，次が成り立つ．

V

_w⁻^1/2

U

_1w⁻¹

X

k i=1

Ψ

i

(β) −→

^d

N (0, I

p

) (k → + ∞ )

但し，

V

w

= U

_1w⁻¹

U

2w

U

_1w⁻¹

, U

1w

= − P

k

i=1

E { DΨ

i

(β) } , U

2w

= V nP

k

i=1

Ψ

i

(β) o

とおく．

証明

ι

を任意の

p

次単位ベクトルとし，

ι

^t_k

= ι

^t

V

w⁻^1/2

U

_1w⁻¹，

ι

^t_k

X

k i=1

Ψ

i

(β) = X

k i=1

n

i

ι

^t_k

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

|| ϵ

i

||

⁻²

ϵ

i

とおく．そして，確率ベクトル列

˘

n

i

ι

^t_k

X

_i^t

W

i

Ω

⁻_i¹

|| ϵ

i

||

⁻²

ϵ

i

¯

k

i=1に中心極限定理を適用することを以下で考える．

以下，

d

j

(j ≥ 1)

は適当に定められる正数とする．先ず次が成り立つことを示す．

U

_2w⁻¹

= `

X

^t

W CW X ´

−1

≤ d

1

k

⁻¹

I

p

(2.17)

但し，

W = [ W

i

]

，

C = [ C

i

] = ˆ

n

²_i

M

i

(a

i

ξ

⁻_i¹

, b

i

ν

⁻_i¹

) ˜

_，

X = `

X

₁^t

, X

₂^t

, . . . , X

_k^t

´

t

とする．

W

i

C

i

W

i

= n

²_i

T

i

diag `

h

²_i1

a

i

ξ

_i⁻¹

, h

²_i2

b

i

ν

_i⁻¹

, . . . , h

²_in_i

b

i

ν

_i⁻¹

´ T

_i^t

≥ n

²_i

w

₀²

× M

i

( a

i

ξ

⁻_i¹

, b

i

ν

_i⁻¹

)

≥ n

²_i

w

₀²

× n

⁻_i²

σ

⁻_i²

min `

ξ

_i⁻²

, ν

_i⁻²

´

× M

i

(ξ

_i⁻¹

, ν

_i⁻¹

)

≥ w

²₀

σ

_i⁻²

× min `

ξ

_i⁻³

, ν

_i⁻³

´

I

i

≥ d

2

I

i

(i = 1, 2, . . . , k)

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111

井上.indd 89 2007/01/19 16:45:30

共通回帰ベクトルの推定方程式について

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