鋼構造柱材に対する対称限界理論 : その2:有限要素法を用いた対称限界解析法

1

論 　 文 】

UDC ；624

．

014

．

2：539

．

4；624

．

04 日本 建築 学 会 構 造 系論 文報 告 集 第 4e8 号

・

1990 年

2

月

鋼

構

造

柱材

に

_対

す

る

対

_称

限

界

理

論

（

そ の

2

　有 限要素 法

を

用

い た

対称 限界 解析

法

）

正 会 員 正 会 員 正 会 員

中

上

以

村

谷

頭

恒

宏

秀

善

＊

二

＊ ＊

司

＊ ＊ ＊

　

1．

序

　本報 （

その

1

_）

で は

，

一

般 的 な非 線 形 応 力

・

ひ

ず

み

関

係

に

従

い

_任

意の

2

軸

対 称 断

面 を

有

する

柱

モ デ ル に

対

する

対

称

限 界

理

論

の

_支

配

式 を

一

般 的

な

形

で

誘 導

し た1）

_。

_{こ の}

結

果

に

基

づ

い て

，

ここでは

，

横 尾

，

中村

らの

提 案

に

よ

る

鋼

の

非 定 常 履

歴 応 力

・

ひ

ず

み

関 係 式

Z）_を

_{構 成 式}

_{と して}

_用

いた

場 合

につ い て

，

具 体 的

な

解

析

法

を

展

開 す る

。

　本報 （

その

1 ）

で

導

か れ た

微 分 方 程 式 境 界 値 問 題

は

一

般に

複

雑

で あ り

，

解 析 的

な 解 を

得

る ことは で き な い

。

し た がっ て

，

実 際

に は，

何 等

かの

有 限 自 由 度 化 法 を用

い て

数 値 的

に

近 似 解 を求

め

ざ

る

を得

な い。

有 限 自由 度 化 法

に は

，

大

き く

分

け て モ

ー

ドの

重

ね

合

わ せ に よ る

Ritz

法

や

Galerkin

法

の

系 統 と

，

空 間 を細 分 割

して

未 知 関 数 場

を

単 純 化 す

る

差 分 法

や

有 限 要 素 法

の

系

統

と が あ る。

通

常

の

弾 塑 性 体

の

_変

形 解析

で は

，

異

な る

数 式

で

支 配

さ れ る

複 数

の

領 域

，

例

え ば

弾 性 域

や

塑 性

域

，

が

構

造

体

内 部

に

形 成

さ れ

，

そ れ

ら

の

_拡

大

縮 小

を

考慮

に 入 れ て

履 歴

挙

動 を追 跡

し な

け

れ ばな ら ない

場 合

が

多

い。

弾

塑

性 体

の

解 析

に おいて

後 者

の

空 間 離 散 化 法

が

多

く

用

い ら れ るの はこのよ

う

な

事

情

に

よ

る

。

対 称 限 界

を

求

め るこ こ で の

解 析

は

，

つ り

合

い

経 路

を

追 跡

する

通 常

の

弾 塑 性 解 析

とは

本 質

的

に

異

な る け れ

ど も

， こ の

点

の

事 情

につ い ては

共 通

し ている。

本 報

の

解 析 法

で は

，

有 限 自

由

度 化

法 と し て せ ん

断 変 形

を

無 視

し た

一

次 元 梁

理

論

に

基

づ く

有 限 要 素 法 を採 用 す

る

。

　 6 節

では

，

こ こで

提案

さ れ た

解 析 法

に よっ て

求

め た

対

称

限

界

の理

論 予 測 解 曲 線 を示

し

，

同

モ

デ

ル の

履 歴 応 答 解

析 結 果 と比 較 す

る ことによっ て

，

本 解 析

法 の

妥

当 性

を

検

討

する

。

さ ら に_，

7

節

では

，

鋼 柱 材

の

完

全

両

振 り

曲

げ

実

験 結 果 と

の

比 較

に

よ

る

_{検 証 も行 う}

。

　

2．

解 析

モ

デ

ル

と基 礎 式

　 木 論 文は

，

文 献 8 ）の内 容 を 再整 理してま とめたもの であ る

。

本 論文の 概 要は

，

文 献

9

）で発 表し た

。

　 　

8 _{京 都 大 学}



_{教 授}



スタン フ

t

一

ド大

Ph

．

　

D

．・

エ博

　

＊＊

京都大学 　助教授

・

工

博

　＊ ＊ ＊ 竹 中工務 店 設 計 部

・

工修 　 　 〔ユ_{9S9 年 6 月 7R 原 稿 受}理

，

1989 年 12 月 19 日 採 用 決定 ）

　

任 意 形 状

の

2

軸 対 称

一

様 断 面

と

真 直

な

初期 材軸線

を も つ

柱 材 を 考

え る。

柱

の

変 形

は

，

平 面

保持

が

成

り

立

つ と し た

通

常

の

梁

理

論

に

従

う と

仮 定

す る

。Fig．

1

に

示

す よ うに_，

柱 を材 軸 方 向

に

N

，

個

の

1

次 元 有 限 要 素

に

分

割

し

，

各要

素 を

さ

ら

にせい

_{方 向}

に

Ns

個

の

層

要素

に

（

ξ

，

η

）平面

に

関

す る

対 称 性

が

保

た れ る よ うに分

割

す る

。

応 力

分

布

お よ び ひ

ず

み

分

布

を

断面

の

各

層

内

で

一

定

に 近

似

し， そ れ ら の

値

を 層の

_中央

点

で

評

価

す る

。

　

本 報

の数

式

に現 れ る すべ て の量は_，

前 報 （

その

_{1 ）}

で

明 示

し た

方 法

に よっ て

無 次

元

化

さ れ た

量

で

あ

る

。

す な わ ち

，

‘

長 ざ

の

次 元 を も

つ

量

は

部 材

せ い の

半 分

H

に よ り，

応 力

’

はヤング

係 数

E

に よ り

，

‘

ガ

は

E

と

断 面 積

A

と の

積

に

よ

っ て

そ

れ ぞ れ

除

して

無 次 元 化 さ

れ る。 た

だ

し

，

無 次元 化 量

に

対

して

も

，

元

の

有 次 元 量

の

名称

を その ま ま

用

いる

。

断 面

は

_{載 荷}

平 面

で ある

_（

ξ

，

ζ

｝

平 面

に

垂

直

な

軸

ワ に

関

して

も対 称

であ る か ら

，

断 面

幅

ρにつ い て

次 式

が

成立

つ 。

　　　

ρ

（

ζ

）

＝

ρ

（

一

ζ）

．

　

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（1 ）

↑

ξ

　 　

ξ

・

Ne

ξ

＝

1

．．

／

’

下

i

τ

i

ele

一

＼

L

eや

1N

臼

i

■

1

　

i

　

3

　

2

　

1

1

；

｝

…

…

；

　　　　　

i

η

　　

ir

誇

hli

1

．

_桐

　

一

ρ

21

　　

　

⊆

→

7

Ns



Ns

　

l

　

1

element

一

　　　ζ

一

_Pj

→

　 　　　 　　　 　　 　　　 　

7

Fig

．

1

　

F

．

　

E

．

　

M

，

　rnodeLing 　ol　a 　cantilever 　

beam

−

column

．

　 Fig

．

2

に

示

され た

第

‘

要 素

の

材 軸 線

上の

点

の

_ξ

_，

_ζ軸

方 向

の

変 位 成 分

u

，

v を

，

第

i

節 点 を 原 点 と す

る

要

素

局

所 座 標

戞に

関

する

次

の よ

う

な

多項 式

に よっ て

近 似

す る

。

　　　

u

＝

・

91

十

92

_ξ

‘

　　　

v

＝

93

十

₉

，

ξ

t十

9

，

ξ

葦

十

96

ξ葦

，

　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

2a

，

　

b

）

　　　

θ

＝

η_轟

＝

9

，＋

295

ξ‘＋

39

，

ξ

1

．

（

届

は

d

（ 〉

ノ

d

ξ

‘を

表

す。

以 下

で は，

代 表 的 要 素

を 取 り あ げて

論

じ る

場 合

，

これ

を第

i

要 素 と 記 述 す

る

。

あ

る

文字

が

第

i

要

素

に属 す る 量であ ること が

明 白

な

場 合

，

こ れ

を表

す 添

字

i

は

省 略

す る。

一

般 化 変 位

Lg

」

＝

Lgt

…

g

、

」

と 節 点

変 位成

分

Lv

」

＝

LUc

　Vi　

ei

　

_Ut

．

₁　

_Vi

_{＋ ，}　

e

_，＋1

_」

の

関

係

は

次 式

で

表

さ れ る

。

　 　 　

19

｝

＝

［

J

］

lvl

，

［

J

］

一

．

1

−

　 　

ls

13

　 　 　

0

−

_i

’

　

O

　　　

iiO000

0

−

_3t2

こ こで

1

は

要

素

長 を表

す

。

00

　

013

−

₂₇₂

7

0

一

♂

O

　 　

OO

　 　

O

0

　

0

　 　

0

0O0

訂

O

　

−

2

0

｝

〜

「

♂

・

_（

₃

_）

　軸 方 向 圧 縮

ひ

ず

み εは

次

の よ うに

書

け る

。

　　　

・

（

9

，

・

9

_）

−

1 _・

一

去

　

・

，

・’＋

ζ

・

，

・

i

−

・＋

ζ

・

…・

・

…

（

・

）

e

は

材 軸 線

ひ

ず

み

，

x は

材 軸 線 曲率 を表

す

。

　

こ の

要 素

が

節 点 力

Lq

」

≡

Lni

　

_q

、

肌 、　n、． ，　

qi

．

，　mi

．

1

」

の

_作

用 下

でつ _り

_合

い

を保

つ _{た め}の

条 件

は，

任 意

の

仮 想 変

位 場 （

Ou

，

　

crv

_）

に

対

して

次

の

仮 想 仕 事 式

が

成 立 す

る こと と

等 価

で

あ

る

。

　　

　

L

・・

」

1

_・

｝

一

∫宏

_…

pd ζ

d

？

，…・

・

…・

………

（

・

）

　 　　

δε＝

一

_δ

u

酒

一

”潯δ筏8十ζδ  潯で

＝

δε十ζδx

……・

（6 ）

　 構

成 式

は

，

横 尾

，

中村

ら が

提 案

し た2》

_{非 定 常 履 歴 応 力}

・

ひ

ず

み 関

係 式

を，

材 料

の

定 常

状

態 挙

動 が

表

せ る よ うに

（

そ の

1

）

3

，

4

節

で

示

し た

形 式

に

修 正

して

用

いる

。Fig．

3

の

応 力

・

ひずみ

平 面

上の

線

0

−

P

、

−

P

，

−

Pa

は

圧縮 載 荷 処 女 曲

｝

［

　

’

　 ldinate atent 　

l

tate

　 　 　 　

　　　　

　　　　　　　

、

_、

Fig

．

2

　

Loca

【 coordlnate 　system

，

　

dlsp

亅acement 　vectors 　and

　 　 　nodai 　

ferces

　of　an　element

．

一

₄₄

一

吶

（c。叩 ・es・

i

。・ p・s丗 ・e）

P

：

’

V

’

oPI

　

VF

　

P2

’ ’ 8 ， 1 ’ 8

VE

　 　 　

RF

’

’

_RH

’ ■

O

’

’

卿

εY ε

Y

’

_「

_’

【c 

press

，

’ 5train

　

p

’ ’

　

J

’ ’

一

_σ

_v

_RH

本 ’ ε →

Fig

．

3



Ast

τess

−

st【ain　

diagram

　according 　

to

　

the

　nQn

−

stationary

　 　 　

hysteretic

　

uniaxial 　stress

−

sしrain



relations

　

prQpDsed

　

by

　 　 　

Yok

。o　a皿

d

　

Nakamura2

〕

．

線

で

_同時

に

_骨

_格

曲

線

を

表

す と

仮定

す る。 この

仮定

の

妥 当

性

を

実

証

す る

材料

試

験結

果

は

，

前 報

1

）

の

Fig．5

で

示

さ れて いる

。

Pl

−

P

，

は

降 伏

棚

域

，

　

Pz

−

P3

は ひずみ

硬 化 域

で あ る。

図 中

の

各 分

枝

は

以 下

の

式

で

表

さ れる

。

　

a

．

_{弾性 域}

　　

処 女 曲

線 （

VE

）

：σ＝ ε

…・

＿．

．

．

．

．

＿．

＿．

，

＿＿．

．

（

7

）

　　

除 荷 曲 線 （

RE

＞

：σ

一

σ

愚

＝

ε

一

ε

；

。t　

”……・

・

…

（

8

）

　

こ こ に

，

σ

撫

，

ε

鼠

は

圧 縮 側 反 転 点

の

応 力 及 び

ひ

ず

み を

表

す

。

　

b．

降 伏 棚

域

　　

処

女曲

線

ま た は

骨 格

曲

線

（

VF

）

：

　　　

σ

＝

α ε十

（

1

一

α

）

σジ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

…

　（9

）

　　

除 荷 曲線 （

RF

＞

’

：

　

　

　

・

一

・

蝕 ＋

・

9et

）

−

ar

（

　c σretT σ 　

aF

σy

）

「

’

t

− ・

…

（

1

・

）

　　　

aF

＝

_β

_m

（

ερ

／

ar

）

fim，

　

rF

＝

fin

（

ε ρ

／

σv

）

β’

・

・

…

_（

11a，



b

_）

　

こ こ に

，

σv は

無 次

元

化 降

伏 応 力

，

ερ は

圧 縮 方 向

の

累

積 塑

性

ひ

ず

み であ る

。

α は

降 伏

棚

硬 化 勾 配

の

弾 性 域 勾 配

に

対

す る 比であ り

，

0

に

近

い

適 当

な 正 値 を 与え る

。

こ の

よ う

に_，

骨 格 曲線

の

降 伏 棚

に

正

勾

配 を 与

え るこ

と

は，

鋼

材

を

降伏 棚 域

で

繰

り

返

し

変 形

さ せ た

と

きに

通 常 生

じ る

繰

り

返

し

軟 化 効 果

（

cyclic 　softening 　

effect

_）

を

_取

り入 れ

る た めで

あ

る。

β

，、

，

flF

？

，

β

n

，

β

F．は

定 数

で

あ

り

，

　

SS

　

4

ユ

鋼材

の

一

例

につ いて の

実

験

か ら

求

め ら れた

値

が

Table

ユ に

示

さ れて い るz｝

_。

　

c

_，

ひ

ず

み

硬 化

域

　　

処

女 曲線

ま た は

骨

格曲線 （

VH

）

；

Table

　

1

β F1L943 巳F2

一

〇

．

0749

βF315

．

40 βF4

”

0

．

2

！4 β 　田

0

．

55D

β　H20

，

446

β　H34

．

98 β　H40

，

0

　

需

3

　H10

．

663

　

肉

β_H20

．

293

　

5H33

禽

．

55

　

8E41

需

．

B

一

　

　

　

・

一

・＋ av

（

　 σ aDσ_r

）

 

一 …一 一 …・

…

_（

₁₂

_）

除 荷 曲 線 （

RH

−RH

つ

：ひ

ず

み

硬 化

域

の

処 女 曲

線

上

の

反

転 点

か ら の

除 荷

曲

線

は

，

2

本

の 曲 線

RH ，

　

RH 率

を

接続

し て

構 成

さ れ る。

　 　 除 荷 第

1

曲 線 （

RH

）

：

　

　

　

・

一

・

9

・・

一

（

a

−

・

F

・t

）

−

av

（

　e σ_ret

｝

σ 　α H σ r

）

r

”

・

・

………

_（

_13）

　

aH

＝

β

〃，

S

皿

／

σv＋

β

u2

　

r

，＝

fl

、、　

Sm

／

ar ＋

β

．、 除 荷 第

2

曲 線 （

RH

っ

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”・

_（

_14a，



_b

_）

・

一

・

fUt

−

・

・

一

・

・

。 ・

1

−

av

（

C σ ret

一

σ α

育

σγ

）

 

・

一 ・

…・

_（

_{15 ）}

鷲

ll

臘

｝

……・

・

…・

…・

一

_臨

_・

_・

こ こに

，Sm

は

最

大 応 力 振 幅

で あ り

，

材 料

が

経 験

し た

圧

縮 側 最 大

応 力 σ

晶

．

と

引

張 側 最

大 応 力

σ

kax

と か ら

次

の よ うに

_決定

され る

。

　 　　

Sm ＝

max 　

l

σ

孟

nx 十σ_γ，σ

盆

ax

一

σ

鉦

ln

卜

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

17

）

定

数

β

．

，

，

fiil2

，…，

β育

3

，

β査

4 は

Table

　

1

に

示

され てい る

。

　

3．

反 転時

応

力

変 化

率

と反 転 時

ひ

ず

み

変 化

率

と

の

関 係 式

　 対称

限 界

解

析

に

用

い ら れ る

定 常 状 態 変 化 率

の

方 程 式 を

4

_節

で導 くの に

先

だっ て_，

本 節

で は その

誘 導

に必

要

な

構

成 式

を

導

い てお く

。

　 対称

限

界

理

論

は

定

常

状 態

の

両 反転 時 状 態 量 を用

いて

定

式 化 さ れ る か ら

，

構

成

式 と して反

転 時 応 力

σ1

，

σ ］1 と 反

転

時

ひ

ず

み ε 匸 ， ♂の

関 係 を 導

く

必 要

が

あ

る

。

そ の

準 備

と し て

以 下

の

考 察 を行 う

。

Cl ．

本 解析

で

問 題

と な る の は

，

基 本 対 称 定 常 状 態

と

対

称 限 界 近 傍

の

非 対 称 定 常 状

態に

限

られる

。

前 報 （

その

1

_）

の

基 本 仮 定 （

H3

）

，

（

H4

）

，

（

H5

）

が

成 立

つ と す れ ば

，

こ れ ら の

対 称 定 常 状

態にお け る

梁

一

柱 内部

の

_各

点

での

応

力

・

ひずみ

状

態 点の 動 き は

Fig

．

4

の よ うに な る

。

断 面 の

対 称 軸

ζ

＝0

上の

各

点

は

，

両 振

り

曲

げ に

際

し て

応

力

・

ひ

ず

み

状 態 点

が

不 動

の

点

とな る

。

右半

分の

領

域

内

（

ζ＞

0 ）

で は_，

状 態 点

は

頂 点

た わ みの

右 側

反

転 時

ri

におい て

圧 縮 方 向

か

ら引張 方 向

に

圧 縮 側 処 女 曲 線 上

で

反 転

し

，

左 側

反

転 時

Fll

に お い て

引 張 方 向

か ら圧

縮 方

向

に

反 転

す る よ うな

定 常

ル

ー

プ

を

周 期

運

行

す る。左

半 分

の

領 域 内 （ζ

く

0

）

で は

，

状 態 点

が

1「

n おい て圧

縮

側 処

女 曲線

上

で圧

縮

か ら

引 張

り に

，

尸

におい て

引 張

り か ら

圧 縮

に

反 転

す る よ う な 定 常ル

ー

_プ

を

描

く

。

す なわ ち

，

（

ζ

≧

0

に おいて

｝

　 　 　 　　 　 　 　 c　 　 　 　 　

　　

c 　 　σret

＝

σ

，

　　Eret

＝

ε 　 　 t　 　 　 　 ll　 　 　 　t 　 　 　 II 　 　σ ret ； σ

，

　 　εret

＝

e

（ζ

く

0

に お い て

）

　 　 ご　 　 　 　 　Tl　 　 　 　c 　 　 　 I匸 　 　σret

＝

σ　

，

　　εret

＝

ε 　 　 t　 　 　 　 I　 　 　 　t　 　 　 　I 　 　σreL

＝

σ _， εret

＝

ε

……一 ……・

…



・

…

_（

_{18 ）}

CROSS

−

SEC τION 　 　 t

AlB

　

「

I

σ

．

（

OA

∬，ε

評

） 〔

OA  

εA匸）

Fig

．

4

　

State

・

point

　Irajectories



Qf ε巳

paiT

　o ‘

points

　

locatlng

　 　 　

symmetrica ］

ly

　with 　respect 　

to

．

the

　

initial

　central　surface

　 　 　

du

匸

ing

　a　cyclic 　

behavior

　of　a　symmetr ｝c　steady 　state

．

σ

_Y

O

一

_〇

_y

o

_c 〔σ 　 ret 　

，

ε

　

c ） ごe

匸

ε

．

　

マ，

_「



．

_覧

_・

_驢

　　

　　　，

隔

　　

　齟

一 ． 一 一．

_噛

_・

＿一幽

_，

_’、

_驢

₋

．

亠

一

．

一 一

F一

（σ rett

，

α 　　 　　　

’

一幽

一

’

　

 

7

b

　 　 c 　　 　

d

丶

 

_で

　　 　　冨

　　

　◎

　　　　 …

10cus

　

of1 。wer　

tip

3

・

一

・_．e， C ・ ・ ， 　　　 　　　　　 　　　c 　　　　　5皿

＝

σ_re【 　 　 　 　c 　　　 　　　t 3m

；

σ

．

et

一

σ．e亡 　 　 　 　 仁

，

　σ min

　　　

　　　　

　

c 　　5m

置

σ

匸

et

一

　　

　 σr ε rett ＞ 　 　 　 し 　 　 　 ret

Fig

_．

₅



Steadygrowth

　ofcompressive 　strain 　

in

　a 　

typica

［element

　 　 　

of　a　

beam

．

co ［umn 　sublected 　

to

　cyclic　

bending

．

C2 ．

本 解 析

は

，

軸 力 比 が あ る 程 度 以 上の場 合 だ け を 対

象

と す る か ら

，

定常

ル

ー

プ

の 圧

縮側

反

転

点

（

σ

蝕

，

ε

f

。t

）

は

Fig

．

5

の ように

対 称

定常状

態 経

路の

進

行

に

伴

っ て圧

縮

ひ

ず

み

方 向

に

単 調

に

進 行

す る。 こ の と き 式

（11a

，b

）

の ερは

次

の

よ う

に

書 け

る。

　 　　

εP

＝

（

1

一

α

）（

ε

含

et

一

σ r

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

19 ）

C3

．

　

Fig

．

5

か らわ か る よ うに

，

．

圧

縮 側 最

大 応 力 σ

紜

x は

定 常

ル

ー

プ

の圧

縮 側 反 転

時

応

力

σ

9

。tと な る。

　　　

σ

徳

；

σ

茎

。、

……・

……・

・

…・

…・

・

……・

…・

・

…・

…

（

20、

）

一

_方

_，

_{定 常}ル

ー

_プ

の

引 張 側 反 転 点

の

軌

跡

は

_，Fig．

5

に

破

線

で

示

さ れ る よ う に，

必 ず

し

も単 調

に

変

化

す る とは

限

ら ない

。Sm

は

条 件

の

違

い に

応

じて

以 下

の よ うに

書

ける

。

　 （

a

_）

　 　　

S况＝

σ

艶

t十σ rfor

　

σ

塩

in≧

一

σr

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

21

　

a

）

　

（

b

）

　 　　

S。＝

σ

窪

。，

一

σ

』

，

f

・r σ

f

。t

＝

偏

、。〈

一

σ，

…・

・

（

21b

）

一

₄₅

一

0

〔

o

_耐

c

_、

ε

，。

tC）

「■

，一

翻

一

「r’卩，尸

，

r’−F

．

OY

厂

・

．

一

一

．

一

…

，

　

一

　

一

一

　

　　F

　，

’

’

　　

r

r’

E

F

・

ε ’

，

」 ， 」

　，

H

α

Hb

　 　 　

3

−一

鬯

一

一

」 一

σ

_Y

_．

（

σ

_rett

，εr 量

り

（

c

_）

Fig

．

6

　

Steady

−

state　

Line

　and 　

Loops

．

　 　 　

Sm＝

σ

臨

一

σ

Ai

。　

for

σ

長

m く

一

σ r　and σ

撫

くσ

絃

　　 　 　 　　 　 　 　

…・

一 …………・

一 ・

……・

（

21c ）

し

か

し

，

本 報

で

扱 う問 題

におい ては

，

Fig

，

5

中

の

_{区 間}

_◎

〜

 

_に

_{対 応 す}

_る

_（

c

_）

の

_状

況

は ほ と ん ど

起

こ り

得

ず

，

も し

生

じ たとし て

も

σ

鼠

と

磁

。との

差

は

極

く わ

ず

か であ るこ

とが 論 理 的

に

示

せ

る

の で

，

_（

c

_）

の

場 合

に

対

して

も式

（

21b

） を適 用 し

た。

　

定 常 状 態

の ル

ー

プ

は

，

Fig

．

6

に

示

す

4

種 類

に

分 類

さ れ

，

各

ル

ー

プ

の

反 転 時 応 力

・

反 転 時

ひ

ず

み

関 係

は

以 下

の よ

う

に

書 け

る。

　（i ）

ζ

≧

0

の

領

域

　

E

ル

ー

フ ：

　 　 　

一 1



lL ［

・

　 　 　 　

…

　 （

22

）

　 　σ

　

ε，　 σ 

一

ε

’

．

．

°

”四’

「

’

°

”．

甲



甲

゜

F

ル

ー

プ

：

　 　

ai＝ αei ＋

（

1

一

α

）

σ v，

〜

一

ε」

（

♂

一

の

一

ar

（

匸 　 コ σ

一

σ αFσr

）

「

’

t

　　

a

。

＝

β

。 、

1

〔

1

一

α

）

（

ε 1

／

σ_厂

1

）

Pn

，

　　

rF

＝

_β

月

1

（

1

−

a

）

〔

〜

ノ

σ r

−

1

）

ド

F

・

……

_（

₂₃

_｝

Ha

ル

ー

プ （

σll≧

一

σ r

）

と

Hb

ル

ー

プ 〔

σ゜〈

一

σy

）

： 　 　 　 1 ε・＝＝at ＋_{σ T}

（

　σ α0σr

）

「

°

・・

一

帥

ax

　

l

（

σ1一 σ1

）

一

・・

（

鴒

四

）

rHt

（

・II

一

σ1

一

_av

（

σ

i

，

X

｝

！

．

1

”

）

 

｝

aH

＝

β朋

s

皿

／

σγ＋β翩

，

　

rH

＝

βneS ．

／

σド＋β，r、

a

奮

＝19MSm

／

σ r＋β

P

，

，

　

r

荐

＝

β

MSrn

／

ar ＋

β育

‘

　 　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（

24

）

Ha

ル

ー

プ （

σu≧

一

σ γ

）

に

対

して

　 　Sm

＝

σ1＋σ_，

，

Hb

ル

ー

プ

（

σ匚1く

一

σv

）

に

対

して

　 　

Sm

＝ σL σ ’】

’

…’

鹽

’

”噛

…

　

（

25a

，

　

b

_）

一

₄₆

一

Fig

_．

₇



1ncrementa

亶Ψariations 　of　a 　 steady

．

state 　

_poin

ヒ

from

　a

　 　 　

k

皿own 　symmetric 　steady 　state

，

　

（

iD 　

ζ

く

0

の

領 域

　

こ の

領

域

の

構

成 式

は

，

式

（

22 ）

〜

（

25 ）

において σ1と σtt

，

ε1 と en を

互

い に入 れ

換

えて

得

られ る

式

によっ て

表

され る。

　

い ま，

Fig．

7

の

制 御 点

た わ み

振 幅

ψ と

逆 対 称 変 位 成

分

vb

の

平 面 上

に

点

A

で

示

さ れ た

対 称 定 常 状 態

が

既

に

求

ま

っ て いる

と

す る

。

こ こで

考 え

ら れ る

定常状

態

の

変

化

と して は

，

対 称 定 常 状 態 経 路

に

沿

っ て

A

よ り わ

ず

かに

高

い

頂

点

た わ み

_{振 幅}

レベ ル の

_{対称定常 状態}

B

に

至

る

変 化 以 外

に，

点

C

や

点

C ’

に よっ て

表

さ れ る

非対称 定常 状

態

へ

向

か う

経 路

に 沿 っ て

生

じ る

変化

も

含

ま れて い る。 こ

．

れ らの

定

常

状

態

変

化

に

_際

し て

柱

の

_{大 部 分}

の

_{領 域 内}

で は

E

→

E

_，

．

F

→

F

，

Ha

→

Ha

，　

Hb

→

Hb

の

4

種 類

の う ちい ず れ か の

定 常

ル

ー

プ変 化 が 生

じ る

。

これ ら

以 外

の パタ

ー

ン

，

例

え ば

E

→

F

_，

F

一

レ

Ha

_，　

Ha

→

Hb

_な

ど

_も

生

_{じる が}

，

こ れ は

頂 点

た わ み

振 幅 増 分

△

_{ψ を}

0

に

近

づ け る

極

限におい て

0

に

縮 退

して いく

限

_う

れ た

領 域 内

におい てだ けで

あ

る

。

’

この よ う な

縮

退

領 域 内

で

発

生 する

定 常

ル

ー

プ

変 化

は_，

一

次 変 化率 関 係 式

に

_{影 響}

を

及

ぼ

す

こ と は な

く

，

定 式 化

に お いて

考

慮

に 入 れ る 必

要

は ない。

　

total

量に

関

す る

構 成 式 （

22

）

一

（

25

） を 定 常 状 態 経 路

の

_進行

を

表

す

パ ラメ タ

ー

r で

微 分 す

るこ

と

に

よ

り，

反

転 時 応 力

お よ びひ

ず

みの

一

次 変 化 率 問

の

関 係

が

以 下

の よ うに

導

かれる。

　

（

i

）

　

ζ

≧

0

の

領 域

　 　　

∂i

＝E

，

Ei，

　

∂ ii

＝E

，ξ 1「 ＋

E

，

i

］

……・

…・

…・

・

…

（

26 ）

　

E

→

E

：

　 　 　

E1・

！E2・

＝

1

，

　

E

，

＝

・

0

…・

…………・

…………・

（

27

）

　

F

→

F

：

E

，

＝

a

，

E

・

一

・＋

E

・

［

一

・

一

（

1−

・

）

（

E

・

− 1

／

｛

・＋

審（

【 　11 σ

　

σ

aF

σ v

）

「

，

　　　

　　　　

σ

諞引

）

「F

・

1

畜

鰍

1

／

ar

−

1ifn

−

一 _・

（

σ

贔

。

9

・

_β

_脚

ε1

／

r

・

宀

一

・

｝

］

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₂₈

_）

一

　

Ha

→

Ha

：

　 　 　

E

，

＝

ユ

／

ω

， E

，

＝

1

ん

，

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　

一…

　

一・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　（

29 ）

　 　 　E3

＝ ±

〔

_v

一

ω

一

_μ

）

／（

ンω

）

．

　

Hb

→

Hb

：

　 　 　

E

，

＝1

／

ω，

　

E2＝1

／（

v

一

μ

）

，

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

…………一

（

30 ＞

　 　 　

E3

＝

E 、

_TE2

．

．

　

式

（

29 ）

，

（

30 ）

において

_，

　　　

・

− 1

＋

盆

（

論

厂

　　　

一 ・＋

缶

（

1 　11 σ

　

σ α Jlσ v

）

rF

’

1

　

　

・ ・

（

σ

綜

。

釧

畿

β

一

1

・

（

σ

螽

。

lii

）

・

_β

・

｝

　 　 　　 　 　　 　 　

…・

…・

…一 ・

一 ・

………

（

31 ）

　（

ii

）

ζ

く

0

の

頒 域

　

式

（

26

）

〜

（

3

］

_）

で

，

上 添 字

1

と

ll

を互

いに 入 れ

換

え れ ば よい

。

　

4．

要 素 状 態 量

につ い て の

変

化

率 方 程 式

　

基 礎 式

（3 ）

〜

（

6

）

を

，Fi

反 転 時 状 態

につ いて

書

き， それ ら

を

τ で

微

分 す ること に よ り

，r

’

状 態 量

の

変 化 率

に

関 す

る

基 礎 式

が

次

の よ うに

求

ま る

。

　 　 　

lbi

｝

＝

［

」

］｛

P

【

1

_，・

・

…・

…・

…・

……・

・

…・

…………

（

32

）

　 　 　

ii＝

を「 ＋

ζ

是1

三

LCe

（

91

）

＋

ζ

c

疋

」

101

｝

，

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　

’

・

・

（

33a，

　

b

_）

　　　

う

_｝

＝

LC

θ

」

1

ウ

1

｝

．

　　　

L

・vl

_」｝

_酬

一

∬

_［

i

’

_{… （}

_gl

｝

一

…

_き

_嚇

・

ζ

・

τ

　 　 　　 　 　　

＝ ＝　

all

【

…・

…………・

・

…・

・

．

…………・

（

34

）

　 　 　

δε肛

（

gt）

；

LCe

（

91

_）

十

_ζ

c

_．

］

1ag

‘

1

，

　 　 　 　

t

−・

_（

35a

，

　

b

_）

　 　 　

δ

z2

_≒

＝

LC

θ

」｛

δ

gl｝

，

　

．

io91i

＝

［

」

］

1

δレ 1

｝

F

こ に

_，

｛

Ce

（

9）

1

＝

　

0

−

₁

　

0

−

_〔

₉₄

．

十

295

_ξ

十

395

ξ2

）

一

_（

₂₉₄

ξ

＋

495

ξ

2＋

6g

，

ξ

s

）

一

_（

₃₉

，

ξ

！ ＋

695

_ξ

3＋

9

．

₉₆

_ξ

‘

）

LCx

」

＝

Lo

　

o



o



o



2

₆

_ξ

_」

_，

LC

θ

」

＝

Lo

　o　

O　l　

．

2

ξ

　3

ξ

2

」

．

，

　 　 　 　

・

（

36a

−

c

）

rll

状

態 量の

変 化 率

に

関

する

基 礎 式

は_，

_（

32 ）

〜

_（

35

_）

で すべ _ての

_{上 添 字}

1

_を

n

_で

_置

_き

_換

え て

得

ら れ る

。

　

こ こ で

，

節 点 変 位

，

節 点 力

お よ

び

一

般 化

変位

につい て

，

対

称 成

分

と逆

対 称 成 分

を

次

の よ うに

定 義

する

。

　 　 　 対 称 成 分

亅

・

り

一

者

1

・・

1

一

去

［

T。

］

1vi

・

l

lq

・

｝

−

s

｛

q

・

1

−

e

［

T

．

］

・

lq

・

｝

｛

9

場

19

・

i

一

壱

［

％

M

　 　 　 逆 対 称 成

分

1

・・

1

−

91

_・

v

_＋

者

［

恥

M

｝

q

・

1

一

吉

lq

・

1

＋

壱

_［

T

_．

_］

・

lq

・

i

lgb

｝

一

｝

igl

＋

壱

_臨

₉

・

1

こ こ に

，

［

Tv

］

＝

［

T

。

］

；

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（

₃₇

_）

一

_】

　

OG

　

o

　

q

・

O

G

　

1

　

0

　

0

　

0

　

0

0

　

0

　

1

　

0

　

0

　

0

0

　

0

　

0

　

一

ユ　

0

　

0

0

　

0

　

0

　

0

．

1

　

0

0

　

0

　

0

　

0

　

0

　

1

−

₁



₀



₀



₀



₀



₀

0

　

−

1

　

0

　

0

　

0

　

0

0

　 　

0

　

1

　

0

　

0

　

0

0

　 　

0

　

0

　

1

　

0

　

0

0

　 　

0

　

0

　

0

　

1

　

0

0

　 　

0

　

0

　

0

　

0

　

1

・

・

・

・

・

…

_（

₃₈

_）

対 称 定 常 状 態

_で

は

，

す

べ て の

逆 対 称 成 分

が

0

になる。

　 定 常 状 態 経 路

パ _ラメ タ

．

一

τ に

関 す

る

変 化 率

が と

ら

れ る

基 準 状

態 は

既 知

の

対 称 定 常 状

態であ ることに

着 目

す れ ば

，

反 転 時 状

態

rl

と

ru

との

_{対 称 性}

より

以 下

の

関 係

が

成

り

立

つ

。

　　　

lgu

｝

＝一

［

Tg］

lgil

，

　

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

∵

・

（

39 ）

　 　 　

σ ll

（

ξ

，

ζ）

＝

σ 1

（

ξ

，

一

ζ）

，

　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

40 ）

　 　 　E1

（

一

ζ

）

＝

El

（

ζ｝

，

　 　 　

E2

（

一

ζ

）

言

Et

（

ζ

｝

，

　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

tt

（

41

）

　 　 　E

，

（

一

ζ

）

＝

E

，

（

ζ

）

，

　 　 　

ICe

（

9

「1

）

1

＝一

［

Tg

］

1Ce

（

gi

）

ト

・

・

…・

・

・

・

……・

…・

…・

・

（

42

）

（

33a

，

　

b

）

お よび

（

42 ＞

を

用

い れ ば

，

壱

，

2

，

_毎

の

対 称

お よ び

逆 対 称 成 分

が

19

∫

1

，

｝

9bi

に よっ て

次

の よ うに

表

せ る こ

と が示 さ

れる

。

　　　

e

・

一

去

（

e

・ ＋

b

・・

）

一

・

tc

。

1

・

19

・

｝

　　　

eb

_→

（

e

・

− e

［：

）

−

LC

。

］

」

捌

　　　

i

・

一

者

（

i

’

−

i

”

）

−

LC坦

ρ

り

　　　

ib一

_吉

（

ii

＋

21

］

）

−

LC

．

“

gbE

　　　

b

←

去

（

熊

一

む

，

琴

）

＝

LC

，

」

19

・

1

　　　

む

_侍

一

去

（

あ

≒

＋

_耀

）

−

LC

・

」

幽

（

43a

，

　

b

）

におい て

_，

・

・

・

・

…



_（

_43a

_〜f

_）

　 　　 　 　 　　 　 　

LCe

」

；

LCe

（

gi

）

」

．

で あ る

。

（

37

）

式

に示 し た

節 点 変 位

と

一

般

_化

変 位

の対

称

およ び 逆 対 称 成 分 の

定 義 式

か ら

次

の

_{関 係}

が

導

ける

。

　　　

19

・

F

・

・

［

」

］

1

疏

19

・

1

・

・

［

」

］

lil

・

1

…

…・

………・

・

t・

_（

₄₄

_）

　

厂II

状 態

の

変

化

率

量

_に

つ い て の 仮

想

仕

事

式は

_，

（

34

）

に おいて

1

を 皿

で置 き

換

えて

次

O

_．

よ うに

書

け る

。

　　　

L

…

」

la

・

il −

f

。

　

‘

f

：

［

∂n δε1【

（

9ll

）

一

σ11｛コ

_琴

δη

_落

］

pd

ζ

d

ξ

　 　　 　 　 　　

＝

6a

］1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

：

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt−・

（

45 ）

仮 想 仕 事 式 （

34

）

，

（

45

）

は すべ て の

仮 想 変 位 場

に

対

して 成 立 す

．

るの で あ る か ら

，

励

駈

【

と

励

Illの

間

に

次

の

関 係 を

　 　 　

一 47 一

与

え て も よい

。

　 　　

1

δ1！ ”

i

＝＝

一

［

T”

］

1

δul

ト

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

く

46

）

（

46

）

に

伴

っ て

以 下

の

関 係

が

成 立

っ

。

　　　

｝

δ

9

ロ

1

＝一

［

Tg

］

1

δ

9

【

｝

…・

…・

………・

・

……・

・

（

47

）

　 　　

δe睚

（

gu

）

＝

δθ1

（

gl

）

，

　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　

………

（

48a −

c

_）

　　　

δrell

＝一

δxi

，



δむ

_嬰＝

一

δη

き

1

（

34

）

＋

（

45 ）

｝

／

2

お よ び

亅

（

34

）

一

（

45 ）

V2

を

作

り

，

（1

）

，

（

26

）

，

（

41

）

，

（

33a

）

，

（

40

）

，

（

48

）

，

（

43

）

，

（

46

）

，

（

37

）

を 用

いて これ ら を

変 形

す る と 以 下の

₂

式 を

得

る

。

　　

　

L

・

ゾ

」

i4

・

i

・・

X

’

t

［

X

”

（

・・＋

E

・＋

E

・

）

・

d

ζ…

δ・ 1

　　　　　　　　

・

f

。 ’

（

・・

− E

・＋

E

・

）

・

ζ

d

ζ

・

i

・ δ

eI

　　

　

　　

　

　　

・

x

’

（

E

・

− E

・

一

蹴

・

ζ

・

e

・ δ・・

　　

　

　　

　

　　

・

ズ

（

・・＋

E

厂

蹴

・_・

ζ

… δ・・

　　　　　　　　

−

f

：

σ・_・

d

_ζ

・

・

岡

・

葦・

t・

tt・

・

…

（

・・

）

　　　

L

…

_」

1

_ウ

・

｝

ズ［

X

’

（

E

，＋

E

・

−

E

・

）

・cl

ζ

tbb

δ

ei

　　　　　　　　

・

∬

（

E1

＋

E

・

）

・

ζ

・

ζ

・

・

bδei

　　

　

　　

　

　　

・

∬

（・r 脱 ・

）

・

ζ

・

ζ

・

e

… 1

　　

　

　　

　

　　

・

∬

（

E

，＋

E

・＋

E

・

｝

・

ζ

・

d

ζ

・

・bδ・・’

　　

　

　　

　

　　

−

f

：

σ1・

・

ζ

・

輯

］

d

τ…・

……

（

・・

）

仮 想 仕 事 式 （

49

）

は

変 化 率

量の

対 称 成 分

だ け を

含

み

，

（

50

）

は

逆 対 称 成 分

だ

け を含

む。

柱 頂 点

に は

一

定 軸 力

n

が

作

用

し て い る か ら

次 式

が

成

り

立

つ _。

　　

　

f

：

・ipd

ζ

一

n

−

…・

…………・

………・

・

……

（

51

）

　　　　　　　

3

element

　

i

“

1

　

e

　　　　　　　

lNs

　 　　　 　　　：

element

｛

↑

蠶

i

_砦

o0 Φ 0    

0

●

」

o1o

T

　　

lir2

　　　　　　 ｛

　 　 　 ヨ

element

　

l

司

1

　　　　　　

1

　 　 　 3

鞫

1

」

°

1

°

ti

／

2

一

，、

9

．

，

L

。，。、、。n，

　

Q、，，

p

，e，e。、。

！

・．，

　

p

．・、、 ・。 ，

　

eval 。 。、・。 。 。・

　　　

st，e、s 、nd ・L・ai・

i

・

th

・

ll

・

_y

・ ・s

．

　

−

48

−



I

　　　　　　

l

（

49

）

，

（

5

 

式 中

の

E

，

，E

，

，

　

Es

は，

要

素 内 部

に お い て

ξ

軸 方 向

に も

ζ

軸

方

向

に も

連

続

的

に

変 化

す る

量

で

あ

る

。

し か し

，

こ こで は

，E 、

，

　

E

，

，

　

E

， を

各 層 要 素

の

内 部

で

一

一

定

に

_近

_似

し， そ の

値

を

Fig．

8

に

示 す

よ

う

に

図

心

点

で

評

価

す る

。

ま た

ζ

につ い て

も各 要 素 内

で

一

定

と

近 似

し

，

ζ

＝

_ζ

丿

（島

：

要 素

図 心

点

の ζ

座 標

）

とす る

。

（

49 ）

に

，

（

43 ）

，

（

44

）

，

（

35 ）

，

（

51

）

を

代

入 し

，

仮 想 節 点 変 位

1

δ

vi

｝

の

任

意 性 を用

い るこ

と

に

よ り

，

対称 成 分

に

関

す る

節点

力

変

化 率 と節 点 変 位 変 化 率

との

関 係 式

が

次

の よ うに

_導

け る

。

　　　

｛

ウ

！

｝

＝

［

κ

_つ

1D

∫

1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

P7・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

52 ）

こ こに，

　　 　［

K

つ

＝

［

」

］

T

［

∬

毳

pee

十

lf

．

Dex

十

lt

．

Dze

十 ∬

lxDMx

　　 　　　 　

−

nl

）θ

『

］［

」

_］



・

・

∴

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一・

・

…



_（

5

・

3

_）

1

‘

。

一

魁

 

（

E

。＋

E

，丿＋

E

，丿

）

。，

｝

， 　 　 ’

＝

1

1

ム

＝

”

s21

（

El

」

−

E2

∫＋

E3

ノ

）

9Ja

，

｝

，

　 　 ’

＝

L

　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　

”・

く

54a

− d

）

Ke

＝

”

S

’ 　

_i

_（

_Ei

厂

E

ガ

E

．

）

　

g

，。、

｝

，

　 　 j

＝

】

Ii

．＝

 

丘

21

（

Ew

＋

E2

丿

一E3J

｝

ζ

3

α，

｝

　　

」

＝

1

　

一

囲

一

ズ

lc

』

L

・

。

」

d

ξ

，

［

・

門

一

ズ

1

・el・

L

・．

］

・

d

ξ

，

［

D

・・

］

・

・

X

‘

1

・

_」囮

・

ξ

，

・

…・

一

（

55

・

一

・

）

［

・

_門

イ

lc

_．

_｝

L

・

・

_」

d

_ξ

，

［

・・

fl

一

ズ

IC

訝

L

・・

」

d

ξ

同 様

に

，

_（

50 ）

か ら 逆

対

称 成

分の

変 化 率

量

関 係 式

が

導

か れ る。

　　 　

1

な

δ

1

〒

［

Kb ］

1

歩bl

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tttt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

．

・

・

（

56

＞

こ こ に

，

　　　

［

Kb

］

＝

［

J

］［

1

自

ε

Dee

十

1

：

．

Dex

十∬

窒

。

Dxe

十

1

皇

．

Dxt

　　 　　　 　

−

nDe

『

］

［

J ］

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t…

　

（

57

）

　　　

f3

，

幕

讐

KEu

＋

E

、厂

E

、、

｝

a

、

｝

，

　 　 　 ∫

＝

1

5．

5

．

1

1 ：

．

一

”

S21

（

EI

」

−

E

，丿

一

E

，

Dg

，。、

｝

， 　 　 　 1

＝

1

1

ひ

琶

21

（

EI

厂

E

，丿＋

E

，∫

）

9

，。、

｝

，

　 　 　 1

＝

1 ∬

窪

．

−

NS ’ 　

₁

_（

_{E ，}

」＋

E

，丿＋

E

，」

）

ζ

i

。、

｝

　 　 　 丿

＝

1

対 称 限 界 解 析

・

・

…

_（

_58a

−

_d

_〕

　　　

部 材 全 体

につ い て の

_変

化

率方

程

式

　 要 素 方 程

式

（

52

）

，

（

56

）

を 重ね 合わ せ るこ とによ り

，

部 材 全 体

に つ いて の

_方程

式

が

_得

られ る_。

　　　

la

ざ

E

＝

［

Kf

］

lilf

｝

，

　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

59 ）

　　　

1

々割

＝

［

1

_（

_自

コ

lb21

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

60

）

こ こ に

，

i

酬

，

賜

1

は

系

全

体

につ い て の

対 称 節 点 力 変 化 率

一