微分積分学 II
浪川 幸彦 January 22, 2008
3 重積分
3.4 変数変換
累次積分に帰着させるために，うまい変数変換を行う必要がある場合がある。その場合の 計算法は置換積分公式の多変数の場合である。ただ向きを考慮しないため，少し違いを生じ る。ここでも教科書では理論的に厳密な扱いを行っているが，本講義では結果のみ用いて，
計算練習を主として行う。
公式の根拠となるのは，次の線形代数での結果である。
Lemma 3.4.1 (Text p.92). (x, y)−平面上にある，頂点(0,0),(a1, a2),(b1, b2),(a1+b1, a2+b2) の平行四辺形P の面積A(P)は
A(P) =
det a1 a2
b1 b2
! .
Theorem 3.4.2 (Text p.94 (3.7)). 変換(u, v) = Φ(x, y) :u=ϕ(x, y), v=ψ(x, y)があってϕ, ψ は偏微分可能で，その偏導関数は連続，かつ（すべての点で）J(Φ) = det ϕx ϕy
ψx ψy
!
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= 0 とする。(x, y)−平面上の領域 Rが面積を持ち，Φによって(u, v)−平面上の領域S に１：
１に写されたとすると，Sも面積を持ち，その面積A(S)は A(S) =
Z Z
R|J(Φ)|dxdy
と書ける。
Remark. 面積0のところでJ(Φ) = 0となっていてもよい。
1
CA07w-11 2 Theorem 3.4.3 (Text p.101 (3.24)). 変換(u, v) = Φ(x, y) :u =ϕ(x, y), v =ψ(x, y),領域R, S は前定理と同じ条件をみたすものとする。領域S上定義された有界連続関数f(u, v)に対し て，次の公式が成り立つ：
Z Z
S
f(u, v)dudv= Z Z
R
f(ϕ(x, y), ψ(x, y))|J(Φ)|dxdy.
Example 1（一次変換）. Φ :u=ax+by, v =cx+dy, ad−bc6= 0. 変数変換は dudv=|ad−bc|dxdy.
例えばS ={(u, v) :u, v ≥0, u+v ≤π/2}でΦ :u= 1
2(x+y), v = 1
2(x−y)を用いること により，
Z Z
S
sin(u+v)dudv = 1 2
Z π/2
0
sinxdx Z x
−x
dy= 1.
Example 2（極座標変換）. Φ : x=rcosθ, y =rsinθ, (r≥0,0≤θ ≤2π). 変数変換は J(Φ) = det cosθ −rsinθ
sinθ rcosθ
!
=r.
円板D:x2+y2 ≤a2 を考えると，その上の有界連続関数f(x, y)に対し Z Z
D
f(x, y)dxdy= Z a
0
Z 2π
0
f(rcosθ, rsinθ)dθ
rdr.
例えば
Z Z
D
pa2 −x2 −y2dxdy= 2π Z a
0
√a2−r2rdr= 2π 3 a3.
Exercise 2. 次の重積分の値を求めよ：
１）
Z Z
R
(x−y) exp (x−y)2
x+y+ 1dxdy (R ={(x, y); 0≤x, y, x+y≤1}) (exp( ) =e( ));
２）
Z Z
R|x−y|dxdy (R={(x, y);|x|,|y| ≤1, |x−y| ≤1});
３）
Z Z
R
(x2+y2)dxdy (R={(x, y); 0≤x, y,1≤xy ≤3,1≤x2−y2 ≤3});
４）
Z Z
D
(ax2+by2)dxdy (D ={(x, y);x2+y2 ≤1});
５）
Z Z
D
(x2+y2)dxdy (D={(x, y);x2 a2 +y2
b2 ≤1})
Exercise 3. f(t)を連続関数，F(t)をその原始関数とするとき，次の等式を示せ：
１）
Z Z
D
f(x2+y2)dxdy=π(F(1)−F(0)) (D={(x, y);x2+y2 ≤1});
２）
Z Z
R
f(y)
p(1−x)(x−y)dxdy =π(F(1)−F(0)) (R={(x, y); 0< y < x <1})
Exercise 4. f(t)を連続な偶関数とするとき，次の等式を示せ：
Z Z
R
f(x−y)dxdy= 2 Z 1
0
(1−t)f(t)dt (R={(x, y); 0≤x≤1,0≤y ≤1})
CA07w-11 3
3.5 広義重積分
Definition 3.5.1. 平面上の集合Dに対して，その近似列{Kn}∞n=1とは，次の条件をみたすも ののことである：
i) K1 ⊂K2 ⊂ · · · ⊂D:
ii)各Knは有界閉集合である；
iii)D内の任意の有界閉集合に対して，ある番号nが存在してK ⊂Kn. Remark. 条件i), iii)から，D=∪∞n=1Kn.
Definition 3.5.2. 平面上の集合Dに対して，その近似列{Kn}∞n=1が存在するとする。fをD 上の関数で，D内の任意の有界閉集合上で積分可能であるとする（これを局所可積であると いう）。もし有限な極限値J = lim
n→∞
Z Z
Kn
f dxdy が存在するならば，f はD上で広義積分可
能であるといい，その値J を Z Z
D
f dxdy と書く。
Remark. この値は近似列の取り方に依らないことが示せる。
Example 1.
Z Z
D
dxdy
(x−y)α = 1
(1−α)(2−α), (D: 0≤y < x≤1) (0< α <1) 近似列Kn ={0≤y≤x− 1
n, 1
n ≤x≤1}を取ればよい。
Example 2.
Z ∞
0
e−x2dx=
√π 2 J =
Z Z
x,y≥0
e−x2−y2dxdyを考える。これを２種類の近似列Dn ={(x, y);x2+y2 ≤n2, x, y ≥ 0}, Kn={(x, y); 0≤x≤n, 0≤y≤n}で計算する。
Exercise 5. 次の広義積分を求めよ
１）
Z Z
D
dxdy
(1 +x+y)α (D={(x, y);x, y ≥0}) (α >2);
２）
Z Z
D
e−xydxdy (D={(x, y);x≥0,0< a≤y≤b});
３）
Z Z
D
log(x2 +y2)dxdy (D={(x, y);x2+y2 ≤1}).
