微積分学ノート
目次
1
関数の微分1
2
合成関数・逆関数の微分法2
3
テイラーの定理4
4
平均値の定理6
5
テイラーの定理の応用例9
6
微分積分学の基本定理13
7
テイラーの定理再考14
8 log(1+x), tan
−1x
の多項式による近似16
9
広義積分19
10
正項級数の収束判定法21
11
指数関数26
12
整級数について31
13
曲線の長さ34
14
数ベクトル空間と行列37
15
写像の微分39
16
偏微分44
17
多変数関数のテイラーの定理46
18
多変数関数の極大・極小49
19
逆写像定理と陰関数定理52
20
条件付き極値57
20.1 Lagrange
乗数. . . . 57
20.2 2
階微分. . . . 60
21 2
変数の3
次多項式から定まる陰関数の極値を求める問題の作り方66 21.1
問題設定と仮定. . . . 66
21.2 x, y
の3
次多項式がx
に関して2
次式の場合. . . . 67
21.3 x, y
の3
次多項式がx
に関して3
次式の場合. . . . 68
21.4
まとめ. . . . 72
22 2
変数の3
次関数の極値について74
22.1 2
次曲線. . . . 74
22.2 3
次関数の極値の判定法. . . . 78
22.3 2
変数の3
次関数. . . . 79
22.4
一直線上にない3
点を停留点にもつ2
変数の3
次関数. . . . 83
22.5 2
次分数式でパラメータ表示される曲線について. . . . 92
22.6
一方の偏導関数が可約な2
変数の3
次関数. . . . 93
22.7 x
2y
とxy
2の項の係数が0
である2
変数の3
次関数の極値. . . . 99
22.8
パラメータを含む2
変数の3
次関数の例. . . 102
23
回転体の体積・回転面の面積107 24
縮閉線と伸開線110 24.1
曲率中心. . . 110
24.2
伸開線. . . 113
24.3
伸開線の例. . . 115
24.4
輪転曲線の縮閉線. . . 118
24.5
縮閉線の例. . . 120
1
関数の微分開区間
(a, b)
で定義された関数f
がp
において微分可能であるとは,
極限値x
lim
→pf (x) − f(p) x − p = lim
h→0
f (p + h) − f (p) h
が存在することであり
,
この極限値をf
のp
における微分(
係数)
と呼んで, f
′(p)
で表すことは高校でも学んだ.
以下で,
「1
次関数による近似」という観点から,
この微分という概念を見直してみる.
xy
平面上の点(p, f (p))
におけるf
のグラフの「接線」を与える1
次関数f (p) + f
′(p)(x − p)
を考えて, f (x)
をx
の1
次関数f (p) + f
′(p)(x − p)
で近似したときの誤差f(x) − (f (p) + f
′(p)(x − p))
をφ(x)
とおく.
これをx
の関数とみなせば,
x
lim
→pφ(x) x − p = lim
x→p
f (x) − (f(p) + f
′(p)(x − p))
x − p = lim
x→p
f (x) − f (p)
x − p − f
′(p)
= lim
x→p
f (x) − f (p) x − p − lim
x→p
f
′(p) = f
′(p) − f
′(p) = 0
が成り立ち
, x
をp
に近づければ, φ(x)
とx − p
との比が0
に近づくことがわかる.
すなわちx → p
のときφ(x)
はx − p
より「高位の無限小」である.
このことを感覚的に表現すれば,
次のようになる.
x
をp
に近づけたとき,
誤差φ(x)
はx − p
とは比べものにならないくらい速く0
に近 づくため, 1
次関数f (p) + f
′(p)(x − p)
は関数f
のp
の近くでの「よい近似」である.
逆に
,
開区間(a, b)
で定義された関数f
に対し, f (p) + A(x − p) (A
は定数)
という形の, x = p
における値がf (p)
である1
次関数で,
上で「よい近似」と表現した条件x
lim
→pf (x) − (f (p) + A(x − p))
x − p = 0 · · · ( ∗ )
を満たすものが存在すると仮定すれば,
x
lim
→pf (x) − f (p) x − p = lim
x→p
f (x) − (f (p) + A(x − p)) + A(x − p)
x − p = lim
x→p
f (x) − (f (p) + A(x − p))
x − p + A
= lim
x→p
f (x) − (f (p) + A(x − p))
x − p + lim
x→p
A = 0 + A = A
となるため
, f
はp
で微分可能で, f
のp
における微分はA
である.
従って,
条件( ∗ )
を満たす定数A
が存在すれば, f
のp
における微分として1
とおりに定まる.
ここで
, ( ∗ )
はlim
x→p
f (x) − (f (p) + A(x − p)) x − p
= 0
と同値で,
さらにこの等式はlim
x→p
f (x) − (f (p) + A(x − p))
| x − p | = 0
と同値であることに注意すれば,
以上の考察から次のことがわかる.
命題
1.1
開区間(a, b)
で定義された関数f
がp
において微分可能であるためには,
x
lim
→pf (x) − (f (p) + A(x − p))
| x − p | = 0
を満たす定数
A
が存在することが必要十分である.
上式を満たす定数A
が存在するとき, A
はf
のp
における微分f
′(p)
にほかならない.
このように
,
一般の関数を最も基本的(
定数値関数の次に簡単)
な関数である1
次関数で近似するという考え方が,
微 分という概念の本質である.
2
合成関数・逆関数の微分法前節の命題
1.1
は次のように言い換えることができる.
命題
2.1
開区間(a, b)
で定義された関数f,
実数A, p ∈ (a, b)
に対して,
関数ε = ε
f,A,p: (a, b) → R
をε
f,A,p(x) =
f(x) − (f (p) + A(x − p))
| x − p | x 6 = p
0 x = p
で定義する
.
このとき,
任意のx ∈ (a, b)
に対して,
等式f (x) = f (p) + A(x − p) + | x − p | ε
f,A,p(x)
が成り立ち, f
がp
で微分可能であるためには, ε
f,A,pがp
において連続(
すなわちlim
x→p
ε
f,A,p(x) = 0)
となるような,
実数A
が存在することが必要十分である.
さらに, lim
x→p
ε
f,A,p(x) = 0
を満たす定数A
が存在するとき, A
はf
のp
に おける微分f
′(p)
にほかならない.
上の結果から
, f
がp
で微分可能ならば, lim
x→p
f (x) = lim
x→p
(f (p) + A(x − p) + | x − p | ε
f,A,p(x)) = f (p)
となるため, f
はp
で連続である.
命題
2.2 I, J ⊂ R, p ∈ R, q ∈ J
とする.
関数f : I → J, g : J → R
がlim
x→p
f (x) = q, lim
y→q
g(y) = g(q)
を満たせばx
lim
→pg(f (x)) = g(q)
である.
故にp ∈ I
で, f
がp
で連続, g
がq
で連続ならば,
合成関数g ◦ f
はp
で連続である.
証明lim
y→q
g(y) = g(q)
だから,
任意のε > 0
に対してδ
1> 0
で,
条件「| y − q | < δ
1かつy ∈ J
ならば| g(y) − g(q) | < ε
」 を満たすものが存在する. lim
x→p
f (x) = q
だから,
このδ
1> 0
に対してδ > 0
で,
条件「0 < | x − p | < δ
かつx ∈ I
な らば| f (x) − q | < δ
1」を満たすものが存在する.
従って, 0 < | x − p | < δ
かつx ∈ I
ならば| g(f (x)) − g(q) | < ε
が成 り立つため, lim
x→p
g(f(x)) = g(q)
である. □
定理
2.3 f , g
をそれぞれ開区間(a, b), (c, d)
で定義された関数とし, x ∈ (a, b)
ならばf (x) ∈ (c, d)
であるとする. f
がp ∈ (a, b)
で微分可能, g
がf (p)
で微分可能ならば,
合成関数g ◦ f
はp
で微分可能で, (g ◦ f )
′(p) = g
′(f (p))f
′(p)
が 成り立つ.
証明
ε
f,f′(p),p, ε
g,g′(f(p)),f(p) をそれぞれε
f, ε
g で表すと, f , g
はそれぞれp, f(p)
で微分可能だから,
命題2.1
からf (x) = f (p) + f
′(p)(x − p) + | x − p | ε
f(x) · · · (i) g(y) = g(f (p)) + g
′(f(p))(y − f (p)) + | y − f (p) | ε
g(y) · · · (ii)
が成り立つ.
等式(ii)
のy
にf (x)
を代入すれば次の等式が得られる.
g(f (x)) = g(f (p)) + g
′(f (p))(f (x) − f (p)) + | f (x) − f (p) | ε
g(f (x))
(i)
よりf (x) − f (p) = f
′(p)(x − p) + | x − p | ε
f(x)
だから,
上の等式に代入すれば次の等式が得られる. g(f (x)) = g(f (p)) + g
′(f (p))(f
′(p)(x − p) + | x − p | ε
f(x)) + | f
′(p)(x − p) + | x − p | ε
f(x) | ε
g(f(x))
上の等式を適当に移項すれば(g ◦ f )(x) − ((g ◦ f )(p) + g
′(f (p))f
′(p)(x − p)) = | x − p | g
′(f (p))ε
f(x) + | f
′(p)(x − p) + | x − p | ε
f(x) | ε
g(f (x))
が得られるが
,
この両辺を| x − p |
で割って,
さらに両辺の絶対値をとれば,
三角不等式から(g ◦ f )(x) − ((g ◦ f )(p) + g
′(f (p))f
′(p)(x − p))
| x − p |
=
g
′(f (p))ε
f(x) +
f
′(p) x − p
| x − p | + ε
f(x)
ε
g(f(x))
≦ | g
′(f (p))ε
f(x) | +
f
′(p) x − p
| x − p | + ε
f(x)
| ε
g(f (x)) |
≦ | g
′(f (p))ε
f(x) | + | f
′(p) || ε
g(f (x)) | + | ε
f(x)ε
g(f(x)) |
が成り立つ.
ここで, lim
x→p
f (x) = f (p)
であり, ε
はf (p)
で連続だから,
命題2.2
よりlim
x→p
ε(f (x)) = ε(f (p)) = 0
であ る.
さらにlim
x→p
ε
f(x) = 0
だから,
上の不等式とはさみうちの原理からx
lim
→p(g ◦ f )(x) − ((g ◦ f )(p) + g
′(f (p))f
′(p)(x − p))
| x − p | = 0
が成り立つため
,
命題1.1
により, g ◦ f
はp
で微分可能で, (g ◦ f )
′(p) = g
′(f (p))f
′(p)
が成り立つ. □
逆関数の微分についての定理を証明するために,
以下で少し準備をする.
次の「中間値の定理」は連続関数について最 も基本的な定理の一つである.
定理
2.4 (
中間値の定理) f : X → R
を実数値連続関数とする. [a, b] ⊂ X
であり, f (a) 6 = f (b)
ならば, f (a)
とf (b)
の間にある任意の値d
に対し, f (c) = d
となるc ∈ (a, b)
が存在する.
この中間値の定理を用いれば
,
次の結果が示される.
定理
2.5
閉区間[a, b]
で定義された連続関数f : [a, b] → R
が単射ならばf
は狭義単調増加関数であるか,
または狭 義減少増加関数である.
さらに,
前者の場合はf
は[f (a), f (b)]
への全射であり,
後者の場合は[f (b), f (a)]
への全射で ある.
証明
a 6 = b
でf
は単射だからf (a) 6 = f (b)
である. f (a) < f(b)
の場合はf
が狭義単調増加関数であることを示す.
まず,
任意のx ∈ (a, b)
に対してf (a) < f (x) < f(b)
である.
実際,
もしf (x) < f (a)
ならばf (x) < p < f(a)
と なるp
に対し,
区間[a, x]
において中間値の定理からf (c) = p
となるc ∈ (a, x)
があり, f (x) < p < f (a) < f (b)
でもあるから,
区間[x, b]
において中間値の定理によりf (d) = p
となるd ∈ (x, b)
がある. f (c) = f (d) = p
である が, c < x < d
であるため,
これはf
が単射であることに矛盾する. f (x) > f(b)
としても,
同様に矛盾が生じるため, x ∈ (a, b)
ならばf (a) < f(x) < f(b)
である.
a ≦ x < y ≦ b
のとき,
上の結果からf (a) < f (y)
だから,
区間[a, y]
に対して上の結果を用いるとf (x) < f (y)
が 得られf
は狭義単調増加関数である.
f (a) < f (b)
の場合はf
の代りに− f
を考えれば上の場合に帰着して, − f
は狭義単調増加関数になるため, f
は狭 義減少増加関数である.
後半の主張は中間値の定理から明らかである. □
系2.6 I
を区間(
すなわちI
は(a, b), [a, b], (a, b], [a, b), ( −∞ , b), ( −∞ , b], (a, ∞ ), [a, ∞ ), R
のいずれか)
とするとき,
連続関数f : I → R
が単射ならばf
は狭義単調増加関数であるか,
または狭義減少増加関数である.
証明
c, d ∈ I, c < d
とすると定理2.5
により, f
は閉区間[c, d]
において狭義単調増加関数か狭義減少増加関数のいず れかである.
後者の場合は, − f
を考えることにより,
前者の場合に帰着できる.
前者の場合, x, y ∈ I, x < y
に対し, c
とx
の小さい方をp, d
とy
の大きい方をq
とすれば, f
の閉区間[p, q]
への制限は狭義単調増加関数か狭義減少増加関 数のいずれかであり, [c, d] ⊂ [p, q]
だからf
は閉区間[p, q]
において,
狭義単調増加関数となる.
このときx, y ∈ [p, q]
だから
f (x) < f (y)
となり, f
は狭義単調増加関数である. □
定理
2.7
区間I
で定義された連続関数f : I → J
が全単射ならば逆関数f
−1: J → I
も連続関数である.
証明 系
2.6
によりf
は狭義単調増加関数か狭義減少増加関数のいずれかである.
後者の場合は, − f
を考えることによ り,
前者の場合に帰着できるので,
前者の場合について考える.
任意のp ∈ J
をとり, q = f
−1(p)
とおく. [q − r, q] ⊂ I
となるr > 0
があるとき, f
は単調増加関数だから,
区間[q − r, q]
を[f (q − r), p]
の上に1
対1
に写す.
従って,
任意の0 < ε < r
に対し, f
−1 は(f (q − ε), p]
を(q − ε, q]
の上に1
対1
に写すため, δ = p − f (q − ε)
とおけば「p − δ < x ≦ p
ならばq − ε < f
−1(x) ≦ q
」が成り立つ.
同様にして[q, q + r] ⊂ I
となるr > 0
があるとき, δ = f (q + ε) − p
とおけ ば「p ≦ x < p + δ
ならばq ≦ f
−1(x) < q + ε
」が成り立つ.
故に, f
−1はp
において連続である. □
定理2.8 f : (a, b) → (c, d)
は連続な全単射で, p
において微分可能であるとする. f
′(p) 6 = 0
ならばf
の逆関数f
−1: (c, d) → (a, b)
はf (p)
で微分可能であり, (f
−1)
′(f (p)) = 1
f
′(p)
が成り立つ.
証明(a, b)
で定義された関数F
をF (t) =
f(t)−f(p) t−p
t 6 = p f
′(p) t = p
によって定める
. f
−1 は単射だから, x 6 = f (p)
ならばf
−1(x) 6 = f
−1(f (p)) = p
であるためF (f
−1(x)) = f (f
−1(x)) − f (p)
f
−1(x) − p = x − f (p)
f
−1(x) − f
−1(f (p))
が成り立つ.
従ってx 6 = f (p)
ならば次の等式が得られる.
f
−1(x) − f
−1(f (p))
x − f (p) = 1
F (f
−1(x)) · · · (i)
定理2.7
よりf
−1 はf (p)
で連続だからlim
x→f(p)
f
−1(x) = f
−1(f (p)) = p
が成り立つ.
一方f
はp
で微分可能だからt
lim
→pF(t) = lim
t→p
f (t) − f (p)
t − p = f
′(p) = F (p)
となるため,
命題2.2
によってlim
x→f(p)
F (f
−1(x)) = F(p) = f
′(p) · · · (ii)
が成り立つ. (i), (ii)
と仮定からF (p) = f
′(p) 6 = 0
だから,
lim
x→f(p)
f
−1(x) − f
−1(f (p))
x − f (p) = lim
x→f(p)
1
F (f
−1(x)) = 1 lim
x→f(p)
F (f
−1(x)) = 1 f
′(p)
であるため
,
主張が示された. □
系
2.9
関数f : (a, b) → (c, d), g : (a, b) → R
はともにp
において微分可能であるとする.
さらにf
は連続な全単射 で, f
′(p) 6 = 0
が成り立つとき, f
の逆関数f
−1: (c, d) → (a, b)
とg : (a, b) → R
の合成関数はg ◦ f
−1 はf(p)
で微分 可能であり, f (p)
における微分係数はg
′(p)
f
′(p)
である.
証明 定理
2.3, 2.8
から(g ◦ f
−1)
′(f (p)) = g
′(f
−1(f (p)))(f
−1)
′(f (p)) = g
′(p) 1
f
′(p) = g
′(p)
f
′(p)
である. □
3
テイラーの定理与えられた関数の
1
次関数を用いた近似より精密なn
次関数による近似を考えることが,
次に述べるテイラーの定理 である.
以後, f
は開区間(a, b)
で定義されたn
回微分可能な関数で, p
を開区間(a, b)
の点とする.
このとき,
テイ ラーの定理は次のように述べられる.
定理
3.1
開区間(a, b)
の任意の点x
に対し, x
とp
の間の点c
で次の等式を満たすものがある. f (x) = f (p) + f
′(p)(x − p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n−1)(p)
(n − 1)! (x − p)
n−1+ f
(n)(c)
n! (x − p)
n定理の式の右辺の最後の項
f
(n)(c)
n! (x − p)
n を剰余項という.
この定理の証明は後ほど行うとして,
まずテイラーの 定理を用いて次の結果を示す.
定理
3.2 f
のn
次導関数f
(n)がp
において連続ならば,
次の等式が成り立つ.
x
lim
→pf (x) −
f (p) + f
′(p)(x − p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n)(p)
n! (x − p)
n(x − p)
n= 0
証明 テイラーの定理から
,
各x
に対してx
とp
の間の点c
xで次の等式を満たすものがある. f (x) = f (p) + f
′(p)(x − p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n−1)(p)
(n − 1)! (x − p)
n−1+ f
(n)(c
x)
n! (x − p)
n この右辺を示すべき等式の左辺のf (x)
に代入すればx
lim
→pf (x) −
f (p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n)(p)
n! (x − p)
n(x − p)
n= lim
x→p
f
(n)(c
x) − f
(n)(p)
n! .
ここで
, c
x はつねにx
とp
の間にあるためx
がp
に近づけば, c
xもp
に近づく.
従って, f
(n)のp
における連続性か ら, lim
x→p
f
(n)(c
x) = f
(n)(p)
となるため,
上式の右辺は0
になることがわかる. □ m < n
ならばlim
x→p
(x − p)
n(x − p)
m= 0
だから, x
をp
に近づけたとき(x − p)
n は(x − p)
mよりも「速く」0
に近づく関 数である.
その意味では, n
が大きければ大きいほど,
多項式f (p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n)(p)
n! (x − p)
n はx
がp
の近くでのf (x)
のより精密な近似であるといえる.
補題
3.3
実数列a
0, a
1, . . . , a
n でlim
x→p
a
0+ a
1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n(x − p)
n= 0
を満たすものはa
0= a
1= · · · = a
n= 0
に限る.
証明 帰納的に
a
0= a
1= · · · = a
k−1= 0 (0 ≦ k ≦ n)
が示せたと仮定すれば,
仮定よりlim
x→p
a
k+ a
k+1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n−k(x − p)
n−k= 0 · · · ( ∗ )
が成り立つ. k < n
ならば( ∗ )
よりa
k= lim
x→p
(a
k+ a
k+1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n−k) = lim
x→p
a
k+ a
k+1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n−k(x − p)
n−k(x − p)
n−k= 0
である.
また, k = n
ならば( ∗ )
より明らかにa
n= 0
である. □
命題3.4
実数値関数f : (a, b) → R
とp ∈ (a, b)
に対し,
x
lim
→pf (x) − (a
0+ a
1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n)
(x − p)
n= lim
x→p
f (x) − (b
0+ b
1(x − p) + · · · + b
n(x − p)
n) (x − p)
nを満たす実数列
a
0, a
1, . . . , a
n とb
0, b
1, . . . , b
n が存在すればa
k= b
k(k = 0, 1, . . . , n)
が成り立つ.
証明 仮定からlim
x→p
(b
0− a
0) + (b
1− a
1)(x − p) + · · · + (b
n− a
n)(x − p)
n(x − p)
n= 0
が得られるため補題3.3
によりa
k= b
k(k = 0, 1, . . . , n)
である. □
定理
3.2
と命題3.4
から次の結果が得られる.
系
3.5 f : (a, b) → R
はn
回微分可能であり, f
のn
次導関数f
(n) がp
において連続であるとする.
実数列a
0, a
1, . . . , a
n がx
lim
→pf (x) − (a
0+ a
1(x − p) + · · · + a
n(x − p)
n)
(x − p)
n= 0
を満たすならば
k = 0, 1, . . . , n
に対してa
k= f
(k)(p)
k!
である.
定理
3.2,
系3.5
により, f
(n)がp
において連続であるという仮定のもとでは,
実数a
1, a
2, . . . , a
n がx
lim
→pf (x) − a
0+ a
1(x − p) + · · · + a
k(x − p)
k+ · · · + a
n(x − p)
n(x − p)
n= 0
を満たすことと
, k = 0, 1, 2, . . . , n
に対してa
k= f
(k)(p)
k!
が成り立つことは同値である.
系
3.6
定理3.2
の仮定のもとで, f
がx → p
のときにn
位の無限小であるためには, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
に対してf
(k)(p) = 0
かつf
(n)(p) 6 = 0
が成り立つことが必要十分である.
証明
f
がx → p
のときにn
位の無限小であるとき, lim
x→p
f (x)
(x − p)
n= L
とおくと, L 6 = 0
であり,
x
lim
→pf (x) − 0 + 0(x − p) + · · · + 0(x − p)
n−1+ L(x − p)
n(x − p)
n= lim
x→p
f (x) (x − p)
n− L
= 0
だから
,
系3.5
によって, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
に対してf
(k)(p)
k! = 0
であり, f
(n)(p)
n! = L
が成り立つ.
故にk = 0, 1, 2, . . . , n − 1
に対してf
(k)(p) = 0
かつf
(n)(p) = Ln! 6 = 0
である.
逆に
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
に対してf
(k)(p) = 0
かつf
(n)(p) 6 = 0
が成り立つならば,
定理3.2
からx
lim
→pf (x)
(x − p)
n− f
(n)(p) n!
= lim
x→p
f (x) −
f(n)n!(p)(x − p)
n(x − p)
n= 0
だからlim
x→p
f(x)
(x − p)
n= f
(n)(p)
n! 6 = 0
となって, f
がx → p
のときにn
位の無限小であることがわかる. □
4
平均値の定理テイラーの定理を証明するために「コーシーの平均値の定理」と呼ばれる定理を用いるが
,
この定理を示すために以 下で準備を行う.
定義
4.1 X, Y ⊂ R, f : X → Y
を関数, p ∈ X
とする.
正の実数r
で,
「x ∈ (p − r, p + r) ∩ X
ならばf (x) ≦ f (p)
」 を満たすものがあるとき, f
はp
において極大であるといい, f (p)
をf
の極大値という.
また,
正の実数r
で,
「
x ∈ (p − r, p + r) ∩ X
ならばf (x) ≧ f (p)
」を満たすものがあるとき, f
はp
において極小であるといい, f (p)
をf
の極小値という.
f
の最大値はf
の極大値であり, f
の最小値はf
の極小値である.
次の結果は高校でも学んだ.
命題
4.2 f : (a, b) → R
がp ∈ (a, b)
において微分可能で,
しかも極大または極小であるとき, f
′(p) = 0
である.
証明f
がp
において極大ならば正の実数r
で, r < p − a, b − p
かつ「x ∈ (p − r, p + r)
ならばf (x) ≦ f (p)
」を満た すものがある.
また, f
はp
で微分可能だからf
′(p) = lim
x→p
f (x) − f (p)
x − p = lim
x→p−0
f(x) − f (p)
x − p = lim
x→p+0
f (x) − f (p)
x − p · · · (1)
が成り立つ
.
一方, x ∈ (p − r, p)
ならばf (x) − f(p)
x − p ≧ 0
だからlim
x→p−0
f (x) − f (p)
x − p ≧ 0 · · · (2)
であり, x ∈ (p, p+r)
ならばf (x) − f (p)
x − p ≦ 0
だからlim
x→p+0
f (x) − f (p)
x − p ≦ 0 · · · (3)
である.
従って(1)
と(2)
からf
′(p) ≧ 0
であり, (1)
と(3)
からf
′(p) ≦ 0
だからf
′(p) = 0
である. f
がp
において極小の場合も同様にしてf
′(p) = 0
が示される. □
「中間値の定理」と並んで次の定理は連続関数についての基本的な定理であり
,
この定理は「上に有界な単調増加数列 は収束する.
」という「実数の連続性」を用いて示される.
定理
4.3 (
最大値・最小値の定理)
閉区間[a, b]
で定義された連続関数f : [a, b] → R
は最大値と最小値を持つ.
まず,
平均値の定理の特別な場合である「ロルの定理」と呼ばれる次の定理を示す.
定理
4.4
閉区間[a, b]
で定義された連続関数f
が(a, b)
の各点で微分可能なとき, f (a) = f (b)
ならばf
′(c) = 0
とな るc ∈ (a, b)
がある.
証明 最大値・最小値の定理により
f
は最大値と最小値をとる. f
の最大値,
最小値をそれぞれf (p), f (q) (p, q ∈ [a, b])
とすれば, f (q) ≦ f (a) = f (b) ≦ f (p)
だから,
以下の場合が考えられる.
(1) f (p) > f (a) = f (b)
の場合, p 6 = a, b
だからf
はp
において微分可能である.
従って命題4.2
によりf
′(p) = 0
となるため, c = p
とすればよい.
(2) f (q) < f(a) = f(b)
の場合, q 6 = a, b
だからf
はq
において微分可能である.
従って命題4.2
によりf
′(q) = 0
となるため, c = q
とすればよい.
(3) f (q) = f (a) = f (b) = f (p)
の場合, f
は定数値関数にだから,
任意のc ∈ (a, b)
に対してf
′(c) = 0
である. □
この定理は「コーシーの平均値の定理」と呼ばれる次の定理に一般化される.
定理
4.5 f , g
を閉区間[a, b]
で定義された連続関数で,
開区間(a, b)
の各点で微分可能であるとする.
さらにg(b) 6 = g(a)
であり, (a, b)
のすべての点x
に対してf
′(x)
とg
′(x)
が同時に0
になることがないならば,
次の等式を満 たすc ∈ (a, b)
がある.
f (b) − f (a)
g(b) − g(a) = f
′(c) g
′(c)
証明 関数
F : [a, b] → R
をF (x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x)
で定めれば, F
は定理4.4
の条件を満たす ため, F
′(c) = 0
となるc ∈ (a, b)
がある．一方F
′(x) = (f (b) − f (a))g
′(x) − (g(b) − (a))f
′(x)
だから, F
′(c) = 0
よ り次の等式を得る.
(f (b) − f (a))g
′(c) = (g(b) − g(a))f
′(c) · · · ( ∗ )
もし
, g
′(c) = 0
ならば, g(b) − g(a) 6 = 0
だから( ∗ )
よりf
′(c) = 0
となって仮定に反する.
従って, g
′(c) 6 = 0
となり,
( ∗ )
の両辺を(g(b) − g(a))g
′(c)
で割れば,
示すべき等式が得られる. □
上の定理において
,
とくにg
がg(x) = x
で与えられる関数の場合を考えると,
次の「平均値の定理」が得られる.
系4.6 (
平均値の定理) f : [a, b] → R
が連続関数で, (a, b)
の各点で微分可能なとき, f (b) − f (a) = f
′(c)(b − a)
とな るc ∈ (a, b)
がある.
系
4.7 f : [a, b] → R
が連続関数で, (a, b)
のすべての点における微分係数が0
ならばf
は定数値関数である.
証明
a < x ≦ b
とし,
区間[a, x]
に対して平均値の定理を定理を用いれば, f(x) − f(a) = f
′(c)(b − a)
となるc ∈ (a, x)
があるが
,
仮定からf
′(c) = 0
だから(x) = f (a)
である.
故にf
は定数値関数である. □
以上の準備のもとで
,
テイラーの定理の証明を行う.
f
を開区間(a, b)
で定義されたn
回微分可能な関数, p
を開区間(a, b)
の点とする.
関数F
をF (x) = f (x) −
f (p) + f
′(p)(x − p) + · · · + f
(k)(p)
k! (x − p)
k+ · · · + f
(n−1)(p)
(n − 1)! (x − p)
n−1· · · ( ∗ )
により定義する.
このとき, F
のm
次導関数(m = 0, 1, . . . , n − 1)
はF
(m)(x) = f
(m)(x) −
f
(m)(p) + · · · + f
(k)(p)
(k − m)! (x − p)
k−m+ · · · + f
(n−1)(p)
(n − m − 1)! (x − p)
n−m−1となり
, F
のn
次導関数はF
(n)(x) = f
(n)(x)
である.
とくにF (p) = F
′(p) = · · · = F
(m)(p) = · · · = F
(n−1)(p) = 0
が成り立つことに注意する.
F
と(x − p)
n に対してコーシーの平均値の定理を用いるとx
とp
の間の実数c
1 で次の等式(1)
を満たすものが ある.
F (x)
(x − p)
n= F(x) − F(p)
(x − p)
n− (p − p)
n= F
′(c
1)
n(c
1− p)
n−1· · · (1)
同様に
, F
′ と(x − p)
n−1 に対してコーシーの平均値の定理を用いるとc
1 とp
の間の実数c
2(
よってc
2 はx
とp
の間にある)
で次の等式(2)
を満たすものがある.
F
′(c
1)
(c
1− p)
n−1= F
′(c
1) − F
′(p)
(c
1− p)
n−1− (p − p)
n−1= F
′′(c
2)
(n − 1)(c
2− p)
n−2· · · (2)
これを繰り返して
,
帰納的にx
とp
の間にある実数c
1, c
2, . . . , c
m(m = 1, 2, . . . , n − 1)
で, k = 1, 2, . . . , m
に対し て次の等式(k)
を満たすものが得られたとする. (
ただしc
0= x
とする)
F
(k−1)(c
k−1)
(c
k−1− p)
n−k+1= F
(k)(c
k)
(n − k + 1)(c
k− p)
n−k· · · (k)
F
(m) と(x − p)
n−m に対してコーシーの平均値の定理を用いるとc
mとp
の間の実数c
m+1(
よってc
m+1 はx
とp
の間にある)
で次の等式(m + 1)
を満たすものがある.
F
(m)(c
m)
(c
m− p)
n−m= F
(m)(c
m) − F
(m)(p)
(c
m− p)
n−m− (p − p)
n−m= F
(m+1)(c
m+1)
(n − m)(c
m+1− p)
n−m−1· · · (m + 1)
従って
, m
による帰納法で, x
とp
の間にある実数c
1, c
2, . . . , c
n で, k = 1, 2, . . . , n
に対して上の等式(k)
を満たす ものがある.
これらの等式からF(x)
(x − p)
n= F
′(c
1)
n(c
1− p)
n−1= · · · = F
(k)(c
k)
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(c
k− p)
n−k= · · · = F
(n)(c
n) n!
となるため
, c = c
n とおくと,
F (x) = F
(n)(c)
n! (x − p)
n= f
(n)(c)
n! (x − p)
nを満たす
