微分積分学 II
浪川 幸彦 January 15, 2008
3 重積分
3.1 2重積分［再記］
多変数での積分の考え方は，基本的には１変数の場合と同じである（リーマン積分）。た だ多変数になると，（基本的に）区間上での積分だけ考えればよかった１変数の場合と異なり，
多様な形の領域上での積分を考えなければならない。ここに「面積確定」の図形上での積分 という考え方が表れる。
Definition 3.1.1 (Text p.70-72). （矩形上の）２重積分（可能）
Definition 3.1.2 (Text p.72-73). 面積（確定）
Example[Text p.76]. 区間[a, b]で連続な２関数ϕ(x), ψ(x)があり，c≤ ψ(x)≤ ϕ(x) ≤ dを 満たしているとする。このとき部分集合
R ={(x, y) ; a≤x≤b, ψ(x)≤y≤ϕ(x)} は面積確定で，その面積は
A(R) = Z b
a {ϕ(x)−ψ(x)}dx
Definition 3.1.3. ある有界な平面の部分集合R上の関数 f(x, y)があるとする。R の外では
値0として拡張した関数f¯(x, y)がRを含むある矩形上積分可能であるとき，f はR上積分 可能であるといい
Z
R
f(x, y)dxdy = Z
I
f¯(x, y)dxdy と書く。
1
CA07w-10 2
Theorem 3.1.4 (Text p.77定理3). 面積確定な有界閉集合R上で関数f(x, y)が定義され，連 続ならば，f はR上積分可能である。
Theorem 3.1.5 (Text p.75定理1). 積分の有限加法性
3.2 累次積分
積分を実際に計算するためには，必要ならば適当な変数変換を行った上で，１変数の積分 を繰り返す形に帰着させるのが普通である。後者の技法を累次積分と呼ぶ。教科書では理論 的に厳密な扱いを行っているが，ここではより限定的ではあるものの，最もよく使われる形 の定理として述べよう。
Theorem 3.2.1 (Text p.89 (2.12)). ϕ(x), ψ(x)をI = [a, b]上の連続関数で，I 上ϕ(x)≤ψ(x) であるものとする。
R={(x, y);a≤x≤b, ϕ(x)≤y≤ψ(x)}
の内部で有界かつ連続な関数f(x, y)はR上積分可能で，次の公式が成り立つ：
Z Z
R
f(x, y)dxdy= Z b
a
Z ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y)dy
! dx.
Example 1.RR
R(x+y)αdxdy (α >0)の値を，Rが次の場合に求めよ：
１）正方形：0≤x, y ≤1 ２）三角形：0≤y≤x≤1.
Example 2.Rを３直線y= 0, x= 1, y= π
2xが囲む三角形とするとき，次を求めよ：
Z Z
R
cos y xdxdy.
Exercise 1. 次の重積分の値を求めよ：
１）
Z Z
R
x2ydxdy (R ={(x, y); 0≤y ≤√
1−x2});
２）
Z Z
R
sin(x+y)dxdy (R={(x, y); 0≤x, y, x+y≤ π 2});
３）
Z Z
R
ey/xdxdy (R ={(x, y); 0< x ≤1,0≤y≤x});
４）
Z Z
R
x2y2dxdy (R ={(x, y);|x|+|y| ≤1})
