光と電子の相互作用

光学遷移の基礎

光と電子の相互作用

光と電子の相互作用

•

輻射と電子の相互作用（電磁場中での電子）

•

電磁波の古典論（電磁場のベクトルポテンシャル）

•

光子

•

輻射と電子の相互作用（生成、消滅演算子）

•

非定常状態の摂動論

•

許容遷移と禁止遷移

•

選択則

•

振動子強度

光学遷移

| i＞

| ｆ＞

hν hν

相互作用

H

er

| f＞

| i＞

hν

相互作用

H

er

誘導放出 光吸収

H

_er：電子と輻射の相互作用を記述するハミルトニアン

H

er

= [

電磁場中での電子のハミルトニアン

]

ー

[

電磁場が無いときの電子のハミルトニアン

]

発光強度、吸収強度

• 電気双極子遷移

• 電気四重極子遷移

• 磁気双極子遷移

遷移確率に比例

遷移確率

選択則 振動子強度

（時間を含む摂動論）

ベクトルポテンシャル A で波動を記述

• B=rot A

• E=-∂ A/∂t

^{消滅演算子}

（光の吸収）

生成演算子

（光の放出）

k

電磁界

電磁場中での電子のハミルトニアン

H

er

=

[電磁場中での電子のハミルトニアン]

ー

[

電磁場が無いときの電子のハミルトニアン

]

輻射と電子の相互作用ハミルトニアンの最終形 電磁場中での電子のハミルトニアン

に量子化した輻射場のベクトルポテンシャル

を代入

er

非定常状態の摂動論

時間を含む

Schrodinger

の波動方程式

摂動系のハミルトニアン

H

₀

:

無摂動系のハミルトニアン

H

_er

:輻射と電子の相互作用ハミルトニアン

er

無摂動系の解を用いての解法

無摂動系の時間を含むSchrodinger方程式

定常状態

摂動系の波動関数

C

_n ⇒

C

_n

(t)

置き換える

遷移確率

光の放出と吸収

一般に光と電子の相互作用を表現する為に 電子系の波動関数

| a＞

光子系の波動関数

| ｎ＞

の積で波動関数を表す。

| a

＞は電子状態φ_aを

| ｎ＞は光子の数がｎ個の輻射場の状態を表す。

始状態の波動関数とエネルギー 終状態の波動関数とエネルギー

a _kγ （消滅演算子）を含む項による遷移

ｎ_kγが１だけ遷移により減る： 光の吸収

電子系の状態変化

| a

＞⇒

|

ｂ＞ _{| b ＞}

| a＞

光吸収

H

er

終状態の波動関数とエネルギー

a* _kγ （消滅演算子）を含む項による遷移

ｎ_kγが１だけ遷移により増加： 光の放出

電子系の状態変化

| a＞⇒ | ｂ＞

| a ＞

| b ＞

hν hν

H

_er

放出

吸収、誘導放出と自然放出

•

吸収の確率は最初に存在した光子数ｎ_kγに比例 吸収がｎ_kγに比例することは当然

•

放出の確率はｎ_kγ

+1に比例

ｎ_kγに比例する部分を誘導放出(stimulated emission)

＋１からの寄与を自然放出(spontaneous emission)

自然放出は、最初の光子が存在しない真暗闇で おこる放出、電子系の寿命に深く関係

誘導放出光の特徴

• 光吸収の逆過程の遷移。

• 自然界には存在しない。

• 遷移には種火が必要である。

• 電子状態の寿命にほとんど無関係（高速）

• コヒーレント光：位相がそろっている。

• レーザ（LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)により発 生される。

吸収と放出

自然放出と誘導放出 許容遷移と禁止遷移

光学遷移確率は に比例する。

（光の波長λ）＞＞（電子波動関数の広がり）≒（原子や分子の大きさ）

電子の位置〜

10

Å 光の波長λ（〜

5000

Å）

級数展開可能

第１項：１より光学遷移行列要素は

であらわされる。この式は次のように変形できる

ここで、電気双極子モーメントは であるから、この遷移は 電気双極子遷移と呼ばれる。

電気双極子遷移

許容遷移 禁止遷移

電気双極子モーメント

P

に光の電界ベクトル方向の行列要素 が存在する場合これによって、遷移がおこる。

電気双極子禁止遷移

禁止遷移の場合、展開の第二項が重要

第２項による光学遷移行列要素は次式で表される。

電気四重子遷移 磁気双極子遷移

LZ

による磁気モーメントと電磁波 の磁気ベクトルBの相互作用

選択則

電子系の二つの状態

| a＞と | ｂ＞の間に遷移が可能か?

行列要素 がゼロになるか

どうかで決まる。

• 電気双極子遷移 P

• 電気四重極子遷移 ∑ｘ _ｊ ｙ _ｊ

• 磁気双極子遷移 L _z

遷移モーメントの行列要素がゼロであるかどうか

電気双極子遷移の選択則

電子系の波動関数は一般的にSlater行列式 であらわすことができる。

1.

多電子系の波動関数

2.

スピンを含む 始状態

| a＞＝ | φ

_a

, φ

_b

, φ

_c

,…

φ

_μ ,.. |

終状態

電界ベクトルEの方向がe

λ

の光を放出、吸収して

| a

＞⇒

|

ｂ＞の電気双極子遷移が許される為には、

次の条件が必要である。

はスピンを含まないから、 φ

_μ

とφ

_ν

のスピン 部分は同じでなければならない。

スピン選択則

軌道部分

[

例

]

電子が球対称なポテンシャル中で運動している原子 などの場合

波動関数は動径関数

R

と球面調和関数

Y

の積で表される。

原子内電子の電気双極子選択則

e λ //z

のとき

l’=l±1 m’=m

e λ //x or e λ // y

のとき

l’=l±1

m’=m±1

電気双極子遷移が許される条件

（ｌ、ｍ）⇒ （ｌ 、ｍ’）

振動子強度

遷移確率の電子系の構造に関する部分

遷移強度（スペクトル線の強さ）の基準 電子と同じ質量、電荷を持つ一次元調和振動子の 基底状態と第1励起状態の遷移確率

振動子強度