第４章線形システムの安定性

(1)

第４章線形システムの安定性

■本章では，線形システムの安定性，すなわちシステム内部の信号の有界性や収束性について議論し，そのためのさまざまな条件を紹介する．

■状態

x(t)

，入力

u(t)

，出力

y (t)

の状態方程式

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (96) y(t) = Cx(t) + Du(t) (97)

もしくは等価的に伝達行列

G(s) = (A, B, C, D) (98)

で与えられる線形システムについて考える．

109

(2)

第４章の内容

1.

安定性：応答の収束性を保証

•

入出力安定性

•

状態の安定性

•

内部安定性

2.

安定性の条件

•

極による条件

•

ラウス・フルビッツの安定判別法

110

(3)

1 入出力安定性

■入出力安定性：システムに任意の有界入力を印加したとき，出力が発散しないこと

⇒

制御システムに対するもっとも基本的な仕様

■数学的定式化１入出力系：

|u(t)| ≤ c < ∞, ∀ t

ならば

|y (t)| ≤ M < ∞, ∀ t (99)

多入出力系：

(

どのベクトルノルムを使ってもよい

)

ku(t)k ≤ c < ∞, ∀ t

ならば

ky (t)k ≤ M < ∞, ∀ t (100)

u G y

x(0)

111

(4)

2 入出力安定の条件

定理

4

１入出力系

G(s)

が入出力安定となるための必要十分条件は

Z _∞

0 |g (t)|dt < ∞ (101)

で与えられる．また，多入出力系の場合単位インパルス応答行列を

g(t) = L ⁻¹ [G(s)]

とすると，入出力安定条件は

Z _∞

0 kg (t)kdt < ∞ (102)

となる．ただし，

g(t) = L ⁻¹ [G(s)]

は単位インパルス応答行列を表す．

■絶対積分の計算が必要、使用しづらい

112

(5)

(

証明

)

出力

y(t)

は畳み込み積分で与えられる．

ˆ

y(s) = G(s)ˆ u(s) ⇒ y (t) =

Z _t

0 g(τ )u(t − τ )dτ (103)

|u(t)| ≤ c ∀t

ならば，

|y (t)| =

¯ ¯

¯ ¯ Z _t

0 g(τ )u(t − τ )dτ

¯ ¯

¯ ¯ ≤

Z _t

0 |g(τ )| · |u(t − τ )|dτ

≤ c

Z _t

0 |g(τ )|dτ ≤ c

Z _∞

0 |g(τ )|dτ (104)

従って，

R _∞

0 |g(t)|dt

が有界ならば，

y(t)

も有界．

逆に，入力を次の特別なものに選んだとき

u(τ ) = g(t − τ )

|g(t − τ )| ⇒ |u(τ )| = |g(t − τ )|

|g(t − τ )| = 1 (105)

113

(6)

その出力は

y (t) =

Z _t

0 g(τ )u(t − τ )dτ =

Z _t

0 g(τ ) g(τ )

|g(τ )| dτ =

Z _t

0 |g(τ )|dτ

⇒ |y (t)| =

Z _t

0 |g(τ )|dτ (106)

となる．システムが安定であるとき，

|y (∞)| < ∞ ⇒

Z _∞

0 |g(t)|dt < ∞

114

(7)

3 伝達関数の安定性

定義

4

伝達行列

(

関数

)G(s)

のすべての極が負の実部を持つとき，

G(s)

は安定であるという．逆に，

G(s)

のすべての極が零以上の実部を持つとき，

G(s)

は完全不安定であるという．また，

G(s)

に一つでも非負の実部を持つ極があるとき，不安定であるという．

■完全不安定な伝達関数は不安定であるが，不安定な伝達関数はすべて完全不安定になるわけではない．

115

(8)

例

伝達関数

G ₁ (s) = 1

(s + 2)(s + 5)

の極が

p = −2, −5

であり，安定である．これに対して，伝達関数

G ₂ (s) = 1

(s − 2)(s − 5)

の場合，極が

p = 2, 5

であるので，完全不安定である．そして，伝達関数

G ₃ (s) = 1

(s + 2)(s − 5)

は極が

p = −2, 5

であり，不安定である．しかし，完全不安定ではない．

116

(9)

4 極による安定条件

定理

5

線形系の入出力安定性はその伝達行列の安定性と等価である

(

略証

)

まず，

G(s)

の極が重複しない場合

G(s) = X c _i

s − p _i + d ⇒ g(t) = X

c _i e ^p

ⁱ

^t + dδ (t), t ≥ 0 (107)

極は

p _i = a _i + jb _i

とおける．

e ^p

ⁱ

^t = e ^a

ⁱ

^t e ^jb

ⁱ

^t

及び

|e ^jb

ⁱ

^t | ≡ 1

を使うと

Z _∞

0 |g(t)|dt ≤

Z _∞

0 hX |c _i |e ^a

ⁱ

^t + |d|δ(t) i

dt (108)

(|a + b| ≤ |a| + |b|

を用いた

)a _i

がすべて負のとき，上式の右辺は

|d| + X |c _i |

−a _i < ∞

逆に，例えば

a ₁ ≥ 0

のとき，

e ^a

¹

^t

は発散するか定数になるので，その積分

R _∞

0 e ^a

¹

^t dt

が発散してしまう．

117

(10)

極による安定条件

また，重複する極がある場合，例えば

p = a + jb

が

2

重極であるとき

G(s) = c ₁

(s − p) ² + c ₂

s − p +

ほか

⇒ g(t) = c ₁ te ^pt + c ₂ e ^pt +

ほか

(109)

第

1

項の積分だけを調べればよい．

a < 0

とすると，

Z _∞

0 ¯ ¯ te ^pt ¯

¯ dt =

Z _∞

0 ¯ ¯ te ^at ¯

¯ dt =

Z _∞

0 te ^at dt = 1

a ² < ∞

よって，重複する極がある場合でもインパルス応答の絶対積分が有界となり，入出力安定である．

118

(11)

例

■安定システム

G(s) = 1/(s + 1) ²

の単位インパルス応答

g(t) = te ^−t , t ≥ 0

よって，

Z _∞

0 |g(t)|dt =

Z _∞

0 te ^−t dt = 1

となり，有界である．

■一方，不安定伝達関数

G(s) = 2/(s − 1)(s + 1)

の単位インパルス応答

g(t) = e ^t − e ^−t , t ≥ 0

この場合，明らかに積分

Z _T

0 |g(t)|dt = e ^T + e ^−T − 2

が

T → ∞

のときに発散する．

119

(12)

例題

G(s) = s/(s ² + ω ² )

に以下の入力

u

を印加したときの出力

y

を求めよ．

(a) u(t) = 1(t) (b) u(t) = sin ωt

120

(13)

例題

G(s) = s/(s ² + ω ² )

に以下の入力

u

を印加したときの出力

y

を求めよ．

(a) u(t) = 1(t) (b) u(t) = sin ωt

【解答】

(a) ˆ u = 1/s

より

ˆ

y(s) = s

s ² + ω ² u(s) = ˆ 1

s ² + ω ² ⇒ y (t) = 1

ω sin(ωt), t ≥ 0 (b) ˆ u(s) = ω/(s ² + ω ² )

及び

L[tf (t)] = − ^dF _ds ^(s)

より

ˆ

y (s) = s s ² + ω ²

ω

s ² + ω ² = ωs

(s ² + ω ² ) ² = − 1 2

d ds

· ω

s ² + ω ²

¸

⇒ y (t) = 1

2 t sin(ωt), t ≥ 0

入力が有界であるにも拘らず，出力は発散する．理由は

G(s)

が虚軸上に極を持つから．

⇒

「臨界安定性」は無意味！

(hm41.mdl)

121

(14)

5 状態の安定性

■自由システム：外部入力が

u(t) ≡ 0

のときの線形システム

˙

x(t) = Ax(t), x(0) 6= 0 (110)

■任意の初期状態に関する状態の応答が原点に収束するとき，すなわち

x(∞) = lim

t→∞ x(t) = 0 (111)

のとき，状態

x(t)

_{が安定であるという．}

122

(15)

6 状態の安定条件

定理

6

自由システムの状態が安定となるための必要十分条件は，行列

A

のすべての固有値が負の実部を持つことである．

x(t) = T ⁻¹ e ^Jt T x(0), t ≥ 0 (112)

e ^Jt =





e

^J¹^t

. . .

e

^Jmt



 , e ^J

ⁱ

^t = e ^λ

ⁱ

^t



 



1 t · · ·

₍ ¹

ri−1)!

t

^ri⁻¹

1 . . . . .

. . . . t 1



 



■一つでも実部が非負の固有値があると，状態を原点へ収束させないような初期状態は必ず存在するので，状態が安定でない．

■そして，

Re(λ _i ) < 0

ならば

lim

t→∞ e ^λ

ⁱ

^t = 0

及び次式より結論が分る

t→∞ lim t ^j e ^λ

ⁱ

^t = lim

t→∞

t ^j

e ^−λ

ⁱ

^t = lim

t→∞

jt ^j ⁻¹

−λ _i e ^−λ

ⁱ

^t = · · · = lim

t→∞

j !

(−λ _i ) ^j e ^λ

ⁱ

^t = 0

123

(16)

1 自由度振動系の例

■外力がないとき

˙

x(t) = Ax(t) =

· 0 1

− _M ^K 0

¸

x(t)

■

A

行列の固有値：

det(sI − A) =

¯ ¯

¯ ¯ s −1

K

M s

¯ ¯

¯ ¯ = s ² + K

M ⇒ λ = ±j

r K M

■固有値の実部が零なので，このシステムは不安定である．

■これはダンパ

(

摩擦

)

がないと，振動が止まらないという物理現象と一致する．

124

(17)

1 自由度振動系の例

■減衰係数

D > 0

のダンパをつけるときの状態方程式

˙

x(t) = Ax(t) =

· 0 1

− _M ^K − _M ^D

¸

x(t)

■

A

行列の特性多項式

|sI − A| = s ² + D

M s + K M

■その根は

− _2M ^D ± ¹ ₂ q

( _M ^D ) ² − 4 _M ^K

である．

■

( _M ^D ) ² − 4 _M ^K < 0

のときは複素数になり，そうでないときは実数となる．いずれの場合においても実部がすべて負である．よって，安定である．

125

(18)

7 Routh-Hurwitz の安定判別法

■極による条件では，特性多項式を解いて極を求める必要があった．しかし，システムの次数が高い場合，手計算はできなくなる．

■また，数値計算に頼って求めることができるものの，特性多項式に未定のパラメータがある場合には対応できない．

■

Routh-Hurwitz

の方法：特性多項式の係数だけで根の安定性を判別

定理

7

多項式

p(s) = s ⁿ + a ₁ s ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 s + a _n (113)

の根がすべて負の実部を持つための条件は以下のようになる．

必要条件

a ₁ > 0, a ₂ > 0, . . . , a _n > 0

必要十分条件

Routh

表の１列目の要素がすべて正である．

126

(19)

8 Routh 表

s ⁿ 1 a ₂ a ₄ · · · s ⁿ⁻¹ a ₁ a ₃ a ₅ · · · s ⁿ⁻² b ₁ b ₂ b ₃ · · · s ⁿ⁻³ c ₁ c ₂ c ₃ · · ·

.. . .. .

s ² p ₁ p ₂ s ¹ q ₁

s ⁰ r ₁

b ₁ = − 1 a ₁

¯ ¯

¯ ¯ 1 a ₂ a ₁ a ₃

¯ ¯

¯ ¯ , b ₂ = − 1 a ₁

¯ ¯

¯ ¯ 1 a ₄ a ₁ a ₅

¯ ¯

· · · c ₁ = − 1

b ₁

¯ ¯

¯ ¯ a ₁ a ₃ b ₁ b ₂

¯ ¯

¯ ¯ , c ₂ = − 1 b ₁

¯ ¯

¯ ¯ a ₁ a ₅ b ₁ b ₃

¯ ¯

· · · .. . r ₁ = − 1

q ₁

¯ ¯

¯ ¯ p ₁ p ₂ q ₁ 0

¯ ¯

■第

1, 2

行：

p(s)

の係数を次数の高い順に一つずつ交互に第

1

行，第

2

行に入れ込むことで作られる．

■第

3

行以下：

i

行目の

j

番目の要素を計算するのに，その直前の二つの行から取り出した

1

列目と

j + 1

列目で作った行列式を用いる．

127

(20)

Routh 表

■計算に際し要素が不足するとき，

0

で補う．

■さらに，次のことも知られている：

Routh

表第

1

列の要素の符号変化回数

=

開右半面根の数

■ただし，

+, −, +

のような符号の変化は２回として数える．つまり，

正から負は１回，負から正も１回の符号変化として数える．

■

Routh-Hurwitz

法による安定性判別の手順：

1.

必要条件をチェックし，満たさなければ止める．

2. Routh

表を作り，必要十分条件をチェックする．

128

(21)

例

次の多項式の根の安定性を調べる

p(s) = s ⁴ + 9s ³ + 28s ² + 38s + 24(= (s + 3)(s + 4)((s + 1) ² + 1)))

必要条件は明らかに満足されている．

Routh

表は次のように求められる．

s ⁴ 1 28 24

s ³ 9 38 0 s ² 23.78 24

s ¹ 28.91 0 s ⁰ 24

b ₁ = − 1 9

¯ ¯

¯ ¯ 1 28 9 38

¯ ¯

¯ ¯ = 23.78 b ₂ = − 1

9 ¯ ¯

¯ ¯ 1 24 9 0

¯ ¯

¯ ¯ = 24 c ₁ = − 1

23.78 ¯ ¯

¯ ¯ 9 38 23.78 24

¯ ¯

¯ ¯ = 28.91 d ₁ = − 1

28.91 ¯ ¯

¯ ¯ 23.78 24 28.91 0

¯ ¯

¯ ¯ = 24

１列目はすべて正なので，すべての根は左半面にある．

129

(22)

PI 補償器の設計例

■

PI(

比例積分

)

制御系を考える．プラント

P (s)

と補償器

K (s)

：

P (s) = 1

(s + 1)(s + 2) , K (s) = K _P + K _I

s = K _P s + K _I

s (114)

■閉ループ系の特性多項式：

p(s) = M _P (s)M _K (s) + N _P (s)N _K (s) = (s + 1)(s + 2)s + K _P s + K _I

= s ³ + 3s ² + (K _P + 2)s + K _I (115)

■

Routh

表：

s ³ 1 K _P + 2

s ² 3 K _I

s ¹ K _P + 2 − K _I /3 0

s ⁰ K _I

130

(23)

PI 補償器の設計例

よって，閉ループ系が安定となるための必要十分条件は

K _I > 0, K _P + 2 − K _I

3 > 0

となる．これを解くと，パラメータの安定範囲は

K _I > 0, K _P > K _I

3 − 2 (116)

であることが分る．

K _I K _P

−2 o 6

131

(24)

例題：第４章 (5)(a)

ラウス・フルビッツの安定判別法を用いて

,

次の多項式の根がすべて負の実部を持つために許される

K

の値の範囲を求めよ．

p(s) = s ³ + 3s ² + Ks + 1

132

(25)

例題：第４章 (5)(a)

p(s) = s ³ + 3s ² + Ks + 1

【解答】必要条件より

K > 0

．また，ラウス表は

s ³ 1 K

s ² 3 1

s ¹ K − ¹ ₃ 0 s ⁰ 1

となる．ただし

− 1 3

¯ ¯

¯ ¯ 1 K 3 1

¯ ¯

¯ ¯ = 3K − 1 3

よって，安定条件は

K > 0, K − 1

3 > 0 ⇒ K > 1 3

となる．

133

(26)

9 内部安定性

■これまでは，与えられた一つのシステムについて安定性を説明してきた

■ところが，フィードバック系では，制御対象と制御器が直列及びフィードバックで結合されている．

■このような閉ループ系の安定性を考えるには，古典制御のように一つの閉ループ伝達関数の安定性だけでは不十分である．

K P

−

e u y

d r

134

(27)

反例

K (s) = s − 1

s

^，

P (s) = 1 s − 1

■

P (s)

と

K (s)

の間に不安定な極

p = 1

と不安定な零点

z = 1

の相殺が起きている

■

r

から出力

y

までの伝達関数：

H _yr (s) = P K

1 + P K = 1

s + 1 (117)

安定である．

■しかし，外乱

d

から出力

y

までの伝達関数：

H _yd (s) = P

1 + P K =

1 s−1

1 + ¹ _s = s

(s − 1)(s + 1) (118)

明らかに不安定である．従って，外乱応答は発散する．

135

(28)

内部安定性

■実システムは常に外乱と雑音の影響を受けるので，不安定な極零点相殺が起きると，システムは暴走してしまう．

■不安定な極零点相殺がないことを保証できるのは，内部安定性である．

定義

5

外部信号

(r, d)

から内部信号

(y, u)

までの四つの伝達行列

· P K (I + P K ) ⁻¹ P (I + KP ) ⁻¹ K (I + P K ) ⁻¹ −KP (I + KP ) ⁻¹

¸

(119)

がすべて安定のとき，閉ループ系を内部安定という．

K P

−

e u y

d r

136

(29)

10 有理関数の既約分解

■一般に，有理関数はその分母多項式と分子多項式の比で表わされるが，

分母，分子多項式のとり方は一意ではない．

■既約分解：共通因子を持たない分母，分子多項式による分解

G(s) = s + 2

s(s + 1)(s + 5) = N (s) M (s)

に分解したとき，

N (s) = s + 2, M (s) = s(s + 1)(s + 5)

ならば分解は既約である．しかし，

N (s) = (s + 2)(s + 10), M (s) = s(s + 1)(s + 5)(s + 10)

の場合は既約でない．

137

(30)

11 １入出力系の内部安定条件

定理

8

制御対象と制御器を

P (s) = N _P (s)

M _P (s) , K (s) = N _K (s)

M _K (s) (120)

のように既約分解しておく．そして，特性多項式

p(s) = N _P (s)N _K (s) + M _P (s)M _K (s) (121)

を作る．内部安定性はこの特性多項式の根がすべて負の実部を持つことと一致する．

K P

−

e u y

d r

138

(31)

(

証明

) _{1+P K} + _{1+P K} = 1

が成立．よって

_{1+P K}

の安定性は

_{1+P K}

の安定性と等価．ゆえに，内部安定性は

H (s) =

· _{P K}

1+P K P

1+P K K

1+P K

1 1+P K

¸

(122)

の安定性と等価．

P (s)

と

K (s)

の既約分解の式を代入すると

H (s) = 1 p

· N _P N _K N _P M _K M _P N _K M _P M _K

¸

= 1 p

· N _P M _P

¸

[N _K M _K ] (123)

(1)p(s)

の根がすべて安定であれば，閉ループ系は内部安定．

(2)

閉ループ系が内部安定のとき，

p(s)

に不安定な根があるとすると，この根は

H (s)

の分子行列の零点によって消去されなければならない．ところが，既約性から

[N _P M _P ] ^T

も

[N _K M _K ]

も零点を持たない．矛盾．

139

(32)

12 多入出力系の内部安定条件

定理

9

プラント

P (s)

と制御器

K (s)

の実現を

P (s) =

· A _P B _P C _P 0

¸

, K (s) =

· A _K B _K C _K D _K

¸

とし，プラントの状態を

x _P

，制御器の状態を

x _K

とする．このとき，以下の命題が等価である．

(1)

閉ループ系の状態

[x ^T _P x ^T _K ] ^T

が安定

(2)

閉ループ系

(P, K )

が内部安定，かつ，上記実現が可安定可検出

K P

−

e u y

d r

140

(33)

13 可安定性・可検出性

■部分システムの実現が可制御・可観測であっても，結合すると極零点相殺が起き，制御できない状態あるいは観測できない状態が生じることがある．この場合，フィードバック制御によって閉ループ系の状態を任意に制御できないが，少なくとも安定性は確保したい．

定義

6 A + BF

を安定にする行列

F

が存在すれば，システム

˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

もしくは

(A, B )

_が可安定

(stabilizable)

であるという．

また，

A + LC

を安定化する行列

L

が存在すれば，

(C

，

A)

が可検出

(detectable)

であるという．

141

(34)

定理９の証明

■もし実現が可安定／可検出でなければ，状態

x _P

／

x _K

に制御できない不安定なものを持つ．よって，実現は可安定かつ可検出．

■信号関係より

˙

x _P = A _P x _P + B _P (u + d), y = C _P x _P

˙

x _K = A _K x _K + B _K (r − y ), u = C _K x _K + D _K (r − y)

これらの式を整理すると，閉ループ系の状態方程式：

· x ˙ _P

˙ x _K

¸

= A

· x _P x _K

¸ +

· B _P D _K B _P

B _K 0

¸ · r d

¸

(124)

· y u

¸

=

· C _P 0

−D _K C _P C _K

¸ · x _P x _K

¸ +

· 0 0

D _K 0

¸ · r d

¸

(125) A =

· A _P − B _P D _K C _P B _P C _K

−B _K C _P A _K

¸

(126)

142

(35)

(r, d)

から

(y, u)

までの伝達行列の分母多項式は

|sI − A|

であるので，

A

が安定であれば，内部安定となる．

■「閉ループ系が内部安定

⇒ A

安定」の証明

もし

A

が不安定固有値

λ

を持つと，内部安定性より

λ

は不可制御／不可観測．不可観測の場合，

∃[v ^T w ^T ] ^T 6= 0

· A _P − B _P D _K C _P B _P C _K

−B _K C _P A _K

¸ · v w

¸

= λ

· v w

¸

· C _P 0

−D _K C _P C _K

¸ · v w

¸

= 0

を満たす．２番目の式から

C _P v = 0, C _K w = 0 (127)

これを１番目の式に代入すると

A _P v = λv, A _K w = λw (128)

143

(36)

A _P − λI

C _P v = 0, A _K − λI

C _K w = 0

可安定かつ可検出の仮定より，

v = 0, w = 0

となり，

λ

は不可観測にならない．同様に，

λ

が不可制御にならない．つまり，

A

は安定でなければならない．

144

(37)

14 内部安定判定法のまとめ

•

特性多項式を用いる方法

(

１入出力系

)

定理

8

に従い，既約分解のもとで特性多項式を作り，次に特性多項式の根を直接求めるか

Routh-Hurwitz

の安定判別法を用いて特性多項式の根の安定性を調べる．

•

状態空間法

(

多入出力系

)

定理

9

に従い，各部分システムの状態方程式から閉ループ伝達行列の状態空間表現を求め，その

A

行列の固有値を調べることによって内部安定性を判別する．

A =

· A _P − B _P D _K C _P B _P C _K

−B _K C _P A _K

¸

(129)

145

(38)

例

前記の反例

K (s) = s − 1

s

^，

P (s) = 1 s − 1

について，上述の方法で内部安定性を再度確認しよう．

■まず，特性多項式を使う方法では，制御対象と制御器はそれぞれ

第４章 線形システムの安定性