ケーブルの面外非線形自由振動

(1)

長崎大学工学部研究報告第

1 9

号昭和

5 7

年

8

月

ケーブルの面外非線形自由振動

高橋和雄事・田川賢叫

N o n l i n e a r O u t ‑ o f ‑ P l a n e F r e e V i b r a t i o n s o f C a b l e s

by

K a z u o T AKAHASHI

(De p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g ) and

M a s a r u T AGA W A

( G r a d u a t e S t u d e n t o f Nagasaki U n i v e r s i t y )

A b s t r a c t

N o n l i n e a r f r e e v i b r a t i o n s o f c a b l e s i n t h r e e d i m e n s i o n s a r e r e p o r t e d . T h i s problem i s a n a l y z e d by a G a l e r k i n method and harmonic b a l a n c e method

Numerical r e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r o u t . o f ‑ p l a n e f r e e v i b r a t i o n s o f c a b l e s w i t h v a r i o u s s a g ‑ t o ‑ s p a n r a t i o s and i n

c1

i n e d a n g l e s . C o r r e s p o n d i n g i n p l a n e v i b r a t i o n s which a r e e x c i t e d t h r o u g h n o n l i n e a r c o u p l i n g t e r m s a r e s i g n i f i c a n t f o r t h e p a r t i c u l a r s a g ‑ t o ‑ s p a n r a t i o .

8 3

1.まえがきる場合の三次元応答特性を明らかにしたものであるた

ケープルの運動方程式には，幾何学的非線形項を介めに，ケープルの三次元非線形固有振動特性を十分にしてすべての変位成分(面内水平変位，商内鉛直変位，把握するには至っていない.そこで，本研究は調和パ面外変位)が連成項として含まれるために，ケーブルランス法を用いてケーブルの面外非線形自由振動と付の運動は一般に面内・面外振動が連成する三次元振動随する面内振動を各種のサグ比をパラメーターに解析となることが知られている.面外加振によって特定のするものである.これにより，ケープルの面外非線形サグ比のケーブルでは，有意な面内応答が生ずる面白由振動特性を明らかにしたものである.

内・函外連成応答は山口ら1)によって解析されている.

また，著者らは面内加振によって面外応答が特定の振

2 .

ケーブルの運動方程式3)

動数領域で分岐する面外非線形分岐応答と面外線形係

F i g . 1

に示す座標系を導入すれば，完全可擦性，伸数励振振動解析の

2

つの立場から取り扱うことができ長性を仮定したケープルの三次元非線形運動方程式は，

ることを示した2) 次式で与えられる.

しかし，これらの研究はいずれも動的外力が作用す

昭和

5 7

年

5

月

6

日受理事土木工学科

e

・長崎大学大学院学生

(2)

8 4 _高橋 _{和雄・田川} _賢

Fi g . l Geometry o f a c a b l e .

， u O f ( ， ̲ 1 ， ̲ ' . ' ， ¥ OU Ll(U

，山

)=377‑E571lciz+Me)

瓦

十

C2z'u'au)C28Iiau C l

.:.t

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百二f一

ιi a s . ^l ^¥ ^X ^e

五二

+Ye

走法+封

( i

と)'+(ま)'

+(;~n(ふ+長)]ム守主

L，

(u

，リ)=会‑￡

^{ ⁽ ^c ⁱ

土+品)と

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^‑d

ò~J(x長

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去)ま+刊誌)'

(1)

+(まと)'

+ ( 1

と)')(れ+ま)]

..fJJLC::.盟主主

=0

( 2 )

O'w O ( ，.

1 み 0¥

L

3

( u

，

v

，

w)=

一ー一一一一

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←

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X ' e OSe J

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，

O r ( ， ou " OV ¥ ow

十一一一一司^F 一一一一

し

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OSe ' yeoseJOSe

+よ

f

U . 笠 ¥ ' . J . . ( . E . ι ) '

+(

? w i ' t

2l¥OSe/ '¥OSe/ '¥OSe/J

2

笠

1 ̲ p . c o s 立しの

OSe J po

ー

υ ( 3 ) ここで， U ， v : ケープルの面内水平および鉛直変位，

w:

ケープルの函外変位， t : 時間， Se:ケープルの初期形状に沿う曲線座標， Co=

.fH

高干:ケーブルの横波伝播速度， He: ケーブルの初期水平張力，

ρ

。:ケープルの単位長さ当りの質量， Cl=

/E.

亙

JP;:

ケーブルの縦波伝播速度，

E:

ヤング率，

A:

断面積

'P""Py

，

P.:

荷重強度， . Q :荷重の円振動数，ん， ye :初期形状の Se による常微分を示すものとする.また， Fig.l において， 0:支点間傾斜角， f: ケープルサグ (=(ye‑Xe t a n O)max) ，

f:

支点間水平距離とする.

3 . 解法

( 1 ) G a l e r k i n 法による時間に関する非線形連立常微分方程式の誘導

式 ( 1 ) ，

(2)

および

(3)

の解を直接求めることは不可能であるから， G a l e r k i n 法を用いて基準座標に関する多自由度系の運動方程式に変換する解法を採用する.

u=rZR(t)Uz(se) v=f ， . E " P ， ( t ) V ， ( S e )

w=f

君。

( t ) W ， ( S e ) ここに， p "

Q

， :未知の時間関数

山 ) = 室内

514

^旦

_{面内線形振動の}

( 4 )

∞

m ̲ : ̲ ̲ m

7r

S e

V

，

(Se)= E ， " . P

^的

sm

ーす了一第i

次固有振動形

m=l

e

W ， (Se)= き p ， : ， s i n

笠子

.t:

f*:初期ケープル長

面外線形振動の

第i

次固有振動形式

(4)

を式 ( 1 ) ，

(2)

および

(3)

に代入して， G r a l e r k i n 法を適用すると基準座標 P i ， Qiに関する連立非線形常微分方程式群が得られる.

閥抗+払Pn+h2221hfP針 tK22121haQゆ +!h222‑_J_"_'_l_t₌_l_m会₌_l

:

k

l?

m P ; P

，

Pm++k' :

_J

f

₌_l_q

: i

₌_l_r₌i: k;~r問ゆ_l

=8y. f~ c o s ωr

m~Qn +k~Qn +k'~ かg;QρPt+1h2222mmlQpPtPm_ρ=11=1 _p=ll=lm=

+÷明

Z121kmdpQqQr=m

… ^r

ここに， n=l ， 2 ，…… ， k=

Cl

/ c

O

:ケープルの縦波ー横波伝播速度比， y ・ =pogf/8He: ケープルの初期形状を放物線で近似した場合のサグ比， g: 重力の加速度，

m~， k~， k 九"'， m~ . . . f : : J G a l e r k i n 法による積分項で，

初期形状と面内・面外の固有振動形からなる定数，

s u f f i x 1 は面内を， s u f f i x 0 は面外を表わす.上式において，時間関数 P n ， Q n についてはケープルのサグ比 y=f/f と同様に，ケーブルの支点間水平距離

f

で無次元化されている.また，時間については対応する弦(サグ比 y=O の場合)の

l

次の固有円振動数仙の逆数 f / (

7r

Co! 面画 t f ) で無次元化されている.無次元悶有円振動数 ω は加振円振動数 9 を仙で無次元化したものである.

なお，ケープルの非線形振動を支配するパラメータ

は，形状パラメータとしてのサグ比

y

と傾斜角 0 ，お

よび材料パラメータとしての縦波横波伝播速度比

k

(3)

主共振 (M) と 3 倍の高調波共振 ( b i ) が生じる.一方，面内方向の運動方程式中には面外変位wに関して 2 次の非線形項が単独に含まれている.そのため，面外振動によって面内方向には，静的付加荷重と面外振動の 2 倍の振動数をもっ動的付加荷重による応答 ( a

ム

。l)が引き起される.いわゆる面内・面外非線形連成応答が生じる.

以上より，面外方向の主共振と面内方向に生ずる面外振動の 2 倍の振動数をもっ応答の生ずる振動数が接近するサグ比をもっケープ'ルでは，面内振動と面外振動が共振を起こすと考えられる

1)

(1)水平ケーブル

水平ケープルにおいては，その振動形は対称振動と逆対称振動に区別される.しかし，面外対称振動によって面内方向の振動は，面内対称振動形のみが加振され面内逆対称振動は加振されない.本研究では，最低次の面外・面内の対称振動形に着目し，伝播速度比 k=

3 0 ，傾斜角 θ=0 。の水平ケーブルについて，ぞの非線形自由振動特性を明らかにしている.

F i g . 2 ( a ) は，サグ比 y に対する面外国有振動数 ω 。と面内固有振動数の半分 0 / / 2 の関係を，サグ比

y

を横軸に，面内・面外の無次元固有振動数比 ω を縦軸に

とり，示したものである.図中の実線は面外固有振動数 ω 。を，破線は面内固有振動数のy:iの振動数 ω 1 / 2 を表わしている.図よりわかるように水平ケープルにおいては， ω 。と ω 1 / 2 の関係は， y=0.026 で一致し，これを境にその大小関係は逆転している.つまり， y=0.026 近傍のサグ比を有するケーブルでは面内振動と面外振動聞に共振が生ずると考えられる.

8 5 ケーフ.ルの面外非線形自由振動

の 3 個である日.

( 2 ) 調和バランス法による連立非線形常微分方程式の解法

連立非線形常微分方程式を解くにあたり，非線形項が大きくなっても有効性を失わず，かっ収束性の良い調和バランス法を適用する.式

(5)

の非線形項に

2

次および 3 次の非線形項が同時に含まれるために， ?n ， Qn の解を次式で仮定する.

?n= ~ a~ c o s e ωr

e=O，l

Qn ニ~ b~cos e ωr

e=O，l

( 6 ) ここに， a~ ，

b;

:未定定数.

式

(6)

を式

(5)

に代入して調和バランス法を適用すれば，

a~， b ; を求めるための連立非線形代数方程式が得られる.

KL‑mMd)aZ+K222hl?/31

+お2

i :

i:時f~Þ+ ~k2 i:i:i: k~7m/;~m

L

，

q = l t = !

，L j=ll=lm=l

( 7 ) +th2

芦

1221MMJf/48e

hZ‑m362d)bZ+h222hZf/Zt

7 M川r

m

向ιk

m Z N

∞2日

∞2向

ιu m

‑ 一

2+ m

e ρ

J'J m

nt

o ρ

ムM

∞

2刑

囚2Mi

悶Z

一一 m

2 r ' J

'R‑F

2

‑ 一

M

十二

( I (e=l )

^ー

に，e=O， 1 ， 2 ，…… ， ðed~;~

^‑L

~~， f j l l f~p ， fjlm ， l O ( e

キ

1 ) '

f j q r ， f~l ， fZlm ， f~qr : at a~ などの関数 (Appendix

A )

‑ ‑

1+

‑ ‑

F

︐

/ ︐

F n

︐P 一白

i ' t

t E a

日一

/ h

白↑

/ M

l一

/ M

M

一戸

H

A中一戸川

d一

‑

こ

‑ 2

0

一一

h

︐

‑ ω J

一

‑ 一一

一

i ₀ _. ₁ s a g ‑ t o ‑ s p a n

よー

(a) e

・

ⁿ

T T

o 0 . 0 0 1

ω O

Eロ ωE VE hL

凶O

ES SE

恥l

本研究の解の決定方程式(7)は，連立非線形偏微分方程式 ( 1 ) ，

(2)

および

(3)

の定常解を空間には基準関数(式

(4))

，時間には F o u r i e r 級数(式 ( 6 ) ) を用いて F o u r i e r の展開係数に関する連立非線形代数方程式として得られたものである . これを適当な初期値のもとで Newton.Raphson 法の繰り返し計算を用いて数値解析を行えば，必要な解が得られる.

なお，面外非線形自由振動曲線は，まず面外方向にのみ加振(ゎ=ん =0 ， t.

キ0)

して面外応答を求め，

徐々に荷重強度をおとすことによって求められた.

ー^『 ^『

0 . 0 1 s a g ‑ t o ‑ s p a n r a t i o 0 . 1

(h)

e ・ 3 0 ・

R e l a t i o n s between i n p l a n e v i b r a t i o n and o u t ‑ o f ‑ p l a n e v i b r a t i o n .

m ‑4 F

H

一〆

軍一 / '

山一

/ M

v一

/ M

M

一戸

M

u

‑ F U N

‑

‑ M

ニ

‑ u

山一一同 2一f・1・ω

一一

ω 。

0

0 . 0 0 1 Fig.2 3 . 面外非線形自由振動特性

ケープルの菌外方向の運動方程式には，面外変位却

に関して

3

次の非線形項が含まれるが，

2

次の非線形

項は含まれない.そのため，ケープルの面外振動は初

期形状の面をはさんで対称に生じている.すなわち，

(4)

次に， F i g . 3 は r=0.026 と r = 0 . 0 2 6 5 のサグ比を有する水平ケープルの中央点のリサージュ図を示したものである.図よりわかるように，ケーブルの振動は常に平衡点より上で生じている.これは面外振動によって生じる静的付加荷重による応答が鉛直上方つまり初期形状を打ち消す方向に働くためである.水平ケーブルでは，リサージュの形状は r=0.026 を境に大きく変化し， r

く

0 . 0 2 6 のケープやルでは常に上に凸の形状を示し， r>0.026 のケーフ'ルでは常に下に凸の形状を示している.これは，面外振動によって r<0.026 ，すなわち ω

。

>ω 刊の場合には同位相の面内振動が， r>

0 . 0 2 6 ，すなわち ω

。

<ω1 / 2 の場合には逆位相の面内振動が引き起こされるからである.

F i g . 4 ， 5 は水平ケープルの面外非線形自由振動曲線を示したものである. Fig.4 は面内振動の影響を受け

賢

ない領域のサグ比を有するケーブルについて， Fig.5 は r=0.026 付近つまり面内振動の影響領域のサグ比

(r= 0.02~0.04) を有するケーブルについて，横軸に

対称 1 次振動の面外非線形自由振動の振動数比 ω を，縦軸に面外振動の振幅比 Aw をとり，サグ比

y

をパラメーターにプロッ卜したものである. F i g . 6 は面外振動に付随する面内応答曲線を示し，横軸に振動数比 ω

を，縦軸に面内振動の振幅比 Av をとり，サグ比

y

をパラメーターにプロットしたものである. F i g . 4 ， 6 か和雄・田川

8 6 高橋

0.02 0.026

2 " ~ H 匡~

.

0.01

1.1ギr!:'Qlll'ncy0)

O u t . o f . p l a n e n o n l i n e a r f r e e v i b r a t i o n s o f c a b l e s wi t h k = ³ ⁰ ^and / 1 = ⁰

⁰

ⁿ ^e ^a ^r

y = 0 . 0 2 6 .

1.2

。

().Q

Fig.5

"‑0.0265

1 0 1

0.015 V

L i s s a j o u s f i g u r e o f v i b r a t i o n o f c a b l e .

‑ ' v

Fig.6

1 frequencyω

Corresponding i n p l a n e v i b r a t i o n s under o u t . o f . p l a n e f r e e v i b r a t i o n s o f c a b l e s w i t h k = 3 0 and /1ニぴ.

1.0

ω勺ロパ伊同日仏

E ‑筒

n o n l i n e a r f r e e

。¹

1.1 fγequency 1"

O u t ‑ o f ‑ p l a n e n o n l i n e a r f r e e v i b r a t i o n s o f c a b l e s w i t h k = 3 0 and / 1 = 0 '

1.1)

F i g .

3'

Fig.4

︒勺ヨい伊同門♀巨附

0.01

(5)