〈論文〉リーグ全体の利潤と競争バランスのトレード・オフ--プロスポーツ・リーグの収益分配における相対評価の導入
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(2) 第10巻. 第1号. 1.序. 古 くか ら プ ロ ス ポ ー ツ ・ リー グ で は 戦 力 の 均 衡 が リー グ 全 体 の 利 益 に つ な が る と 考 え ら れ て き た 。 そ う 考 え られ て き た 理 由 は,戦 の 分 か らな い 白 熱 し た 展 開 と な り,リ. 力 が 均 衡 して い れ ば ど の ゲ ー ム も 最 後 ま で 勝 敗. ー グ戦 の 方 も消 化 試 合 の な い最 後 まで 優 勝 チー ムが. 分 か らな い 競 っ た 展 開 と な る こ と で,フ. ァ ン の 興 味 を 長 く引 き 続 け ら れ る か ら で あ る 。 逆. に 特 定 チ ー ム に 戦 力 が 偏 っ て し ま え ば,一. 方 的 な 展 開 の 試 合 が 増 え,優. 勝 チー ムが 決 ま っ. て か ら の 消 化 試 合 が 多 くな っ て し ま う こ とか ら フ ァ ンの 興 味 は す ぐ に 無 くな っ て し ま う(1)。 ま た,そ. の よ う な 均 衡 し た 競 争 バ ラ ン ス の 実 現 に は,チ. が 重 要 だ と 考 え られ て き た 。 な ぜ な ら ば,優 に 報 わ れ る こ と を 望 ん で お り,金. ー ム間 の 経 済 格 差 を 解 消 す る こ と. れ た プ レイ ヤー 達 は 自分 の 実 力 と成 果 が 十 分. 銭 的 な 報 酬 に お い て も 例 外 で は な い か ら だ 。 そ の た め,. フ ィ ー ル ドの 外 で の 経 済 格 差 は フ ィ ー ル ドの 中 で の 戦 力 格 差 へ と つ な が っ て い くの で あ る 。 そ の よ う な 経 済 格 差 の 解 消 策 と して,ア メ リ カ ン ・フ ッ トボ ー ル)やMLB(野. メ リ カ の プ ロ ス ポ ー ツ ・ リー グ で はNFL(ア. 球)な. ど で も収 益 分 配 制 度 が 採 用 さ れ て き た 。 こ. こ で 戦 力 均 衡 と 経 済 格 差 の 解 消 が 重 要 視 さ れ て き た こ と の 表 れ と して,収. 益分配制度 によ. る 経 済 的 競 争 の 制 限 は 反 トラ ス ト法 の 例 外 と さ れ て き て い る(2)。そ の 理 由 は,一 グ は 一 体 と して 他 の ス ポ ー ツ リー グ と 競 争 して い る の で あ り,そ た め に は リ ー グ 全 体 の 利 益 を 高 め て い か ね ば な らず,そ. つ の リー. の 競 争 に勝 ち抜 いて い く. の た め に は リー グ 内 の 経 済 的 競 争. を 制 限 す る こ と も 正 当 化 さ れ る と い う の で あ る 。 こ の 場 合 に も,チ. ー ム間 の 経 済 格 差 の 解. 消 は リ ー グ 全 体 の 利 益 に つ な が る と い う 考 え 方 が と られ て い る 。 こ の 競 争 バ ラ ン ス と 収 益 分 配 の 関 係 は,希. 少 資 源 の 配 分 と経 済 的 イ ンセ ン テ ィ ヴを 分 析. の 対 象 と す る ミ ク ロ 経 済 学 の 応 用 問 題 と して 比 較 的 古 くか ら分 析 さ れ て い る 。 こ の と き の 分 析 の 枠 組 み は,El-HodiriandQuirk(1971)に. よ っ て 始 め ら れ た プ ロ ス ポ ー ツ ・ リー. グの 一 般 均 衡 分 析 で あ る。 その 枠 組 み の 中で 示 され た競 争 バ ラ ン ス と収 益 分 配 の 関 係 につ い て の 主 要 な 結 果 が,El-HodiriandQuirk(1971),FortandQuirk(1995),vrooman (1995)やSzymanski(2003)な. ど に よ っ て 示 さ れ た い わ ゆ る 不 変 原 理(theinvariance. (1)K6senne(2000a,p.58;2000b,p.424)に. よ る と,結. 果 の 不 確 実 性 が フ ァ ンの ゲ ー ム に 対 す る. 関 心 へ 及 ぼ す こ の よ う な 影 響 が 収 入 関 数 の 勝 率 に つ い て の 凹 性 の 仮 定(R-1)と(R-2)を 当 化 す る もの とな る。 (2)ア メ リ カ に お け る 収 益 分 配 制 度 の 歴 史 に つ い て は サ ー ヴ ェ イ 論 文FortandQuirk(1995)な どを 参 照 の こ と。 -16(16)一. 正.
(3) リー グ全 体 の 利 潤 と競 争 バ ラ ンス の トレー ド ・オ フ(藤 本). principle)で た め に,あ. あ る 。 そ れ に よ れ ば,四. つ の 条 件:「(1)一 リー グ 内 に あ る 総 戦 力 は 一 定 で あ る. る チー ムで の 一 単 位 の 戦 力 の 増 加 は必 ず 他 の チー ムの 一 単 位 の 戦 力 の 減 少 につ. な が る 。(2)一 チ ー ム の 収 入 は,そ. の チ ー ム の リー グ 戦 で の 勝 率 と チ ー ム 固 有 の 要 因(ホ. ム タ ウ ンの 市 場 規 模 や チ ー ム の 収 益 力)に る(例. ー. よ っ て 決 ま る 。(3)一 チ ー ム の 収 入 源 は 一 つ で あ. え ば 観 客 か らの 入 場 料 収 入 な ど)。(4)各 チ ー ム は 利 潤 の 最 大 化 を 目 的 と し て い る 。」. の 下 で は,収. 益 分 配 制 度 の 導 入 は リー グ 内 で の 戦 力 の 分 布 に 影 響 を 与 え な い と い う も の で. あ る 。 こ の 結 果 は,所. 得 分 配 の 資 源 配 分 に対 す る 中立 性 を 主 張 す る コー スの 定 理 の 一 つ の. 帰 結 と して 理 解 さ れ て い る 。 も う 一 方 で,そ. の 不 変 原 理 と 対 立 す る 結 果 がSzymanski(2003;2004),Szymanski. andK6senne(2004)やK6senne(2005)な. ど に よ っ て 示 さ れ て い る 。 そ れ ら に よ る と,. も し先 ほ ど の 最 初 の 条 件(1)が. 「(1)'リー グ の プ レイ ヤ ー 市 場 は 外 部 に 対 して 開 か れ て い て,. 新 規 の 戦 力 の 獲 得 は 他 の チ ー ム か らの 引 き 抜 き に よ る だ け で は な く外 部 の 他 の リー グ の 選 手 の 獲 得 に よ っ て も 行 え る た め に,あ. る チー ムの 戦 力 の 増 加 は必 ず しも他 の チー ムの 戦 力. の 減 少 と は な らな い 」 に 置 き 換 え られ る な ら ば,収 影 響 を 及 ぼ し,競. 益 分 配 の 導 入 は リー グ 内 の 戦 力 分 布 に. 争 バ ラ ン ス を 悪 化 さ せ る と い う も の で あ る 。 こ れ ら の 条 件(1)と(1)'の 違. い は,Szymanski(2004;2006)に い う こ と で は な く,戦. よ っ て は,リ. ー グ 内の 総 戦 力 が 一 定 で あ るか ど うか と. 力 決 定 の 際 に 各 チ ー ム ・オ ー ナ ー が ど の よ う な 期 待 を 持 つ か の 違 い. と して 解 釈 さ れ 分 析 に 取 り入 れ られ て い る 。 つ ま り,自 定 者 の 選 択 に与 え る影 響 に つ い て の 期 待(推 そ の よ う な 解 釈 の 下 で,条 conjecture)と,条. 測 的 変 分)の. 分の選択の変更がその他の意思決 違 い と 解 釈 さ れ て い る の で あ る。. 件(1)を ワ ル ラ ス 的 固 定 供 給 推 測(theWalrasianfixed-supply. 件(1)'を ど の オ ー ナ ー も 他 の 選 択 を 所 与 と し て い る ナ ッ シ ュ 的 推 測. (theNashconjecture)と. 呼 び,各. オ ー ナ ー が 一 回 限 りの 選 択 を 行 う 場 合 の 戦 力 市 場 均 衡. の 分 析 に 対 して 理 論 的 に適 切 な の は ナ ッ シ ュ 的 推 測 の 方 で あ る と主 張 し て い る(Szymanski (2006),p.241)(3)○ 本 稿 の 目 的 は,各. チ ー ム ・オ ー ナ ー が ナ ッ シ ュ 的 推 測 を 持 つ ケ ー ス に お い て の 収 益 分 配. と 競 争 バ ラ ン ス の 関 係 を,そ. も そ も 競 争 バ ラ ン ス の 改 善 が リー グ 全 体 の 利 益 に つ な が る の. (3)こ れ に 対 し て,FortandWinfree(2009)は こ れ ら の 条 件 を 推 測 的 変 分 と し て で は な く リー グ 内 で の 総 戦 力 供 給 量 の 制 約 と し て 解 釈 す る べ き で あ る と 反 論 し て い る 。 そ の 理 由 と し て,推 測 的 変 分 と い う 解 釈 の 下 で は プ レ イ ヤ ー 市 場 が 外 部 に 開 か れ た リー グ(anopenleague)の 場合に し か ナ ッ シ ュ 均 衡 が 存 在 し な い こ と に な る と い う こ と が 挙 げ ら れ て い る。 さ ら にFortandWinfree(2009,p.72)は. プ レ イ ヤ ー 市 場 が 外 部 に 対 し て 閉 じ て い る リ ー グ(aclosedleague)の. 合 にナ ッ シ ュ均 衡 が 存 在 しな い こ と は改 め て 証 明 され るべ きだ と主 張 して い る。 -17(17)一. 場.
(4) 第10巻. 第1号. か と い う根 本 的 な 問 題 と合 わ せ て 分 析 す る こ とで あ る。 そ こで 得 られ る主 要 結 果 は,第 一 に,収 益 分 配 制 度 の導 入 は リー グ 内 で の 競 争 バ ラ ン ス を 改 善 す る が,そ. の た め の分 配 は. チ ー ム間 の 収 入 格 差 を 解 消 して い くもの で はな く,逆 に チー ム間 の 収 益 格 差 を 実 際 に稼 ぎ 出 した収 入 間 の差 よ り も広 げ る よ うな もの で な け れ ば な らな い ④。 第 二 に,完 全 な 戦 力 均 衡 を実 現 す る た あ に は,収 入 が 多 い チ ー ム に収 益 を増 や して や る分 よ り も収 入 の少 な い チ ー ムの 収 益 を減 らす 分 の 方 を 大 き く しな けれ ばな らな い。 本 稿 で は,こ の よ うな 収 益 分 配 制 度 を あ る種 の 相 対 評 価 の 考 え 方 に基 づ いて 構 築 す る。 第 三 に,リ ー グ全 体 の 利 潤 が 最 大 とな るの は リー グ 内の 競 争 バ ラ ン スが 大 き く偏 って い る と きで,そ の と き に は収 益 力 の 大 き い チ ー ム に その 大 き さ に応 じて 戦 力 を 集 中 させ て い くこ と にな る。 さ ら に,こ の と き の 収 益 分 配 の 仕 方 は元 々 それ ぞ れ の チー ムが 稼 ぎ 出 した収 入 額 に関 わ らず 全 て の チー ム に 平 等 に収 益 を分 配 す る均 等 分 配 制 で あ る。 本 稿 の 構成 は以 下 の とお りで あ る。まず 第2節 で は 本稿 で分 析 す る モ デル を 定式 化 す る。 そ の際 に2.1節 で は先 に取 り上 げ た モ デ ル の 標 準 的 な部 分 を描 写 し,そ. して2.2節 で は 第 一. と第 二 の 結 果 に関 わ る相 対 評 価 に基 づ く収 益 分 配 制 度 を 導 入 す る。そ して,第3節. で は3.1. 節 の 部 分 で リー グ利 潤 の最 大 化 に つ い て の第 三 の結 果 を,さ らに3.2節 で は収 益 分 配 と競 争 バ ラ ンスの 関 係 につ いて の 第 一 の 結 果 を 示 す 。 第3節 で 示 され る二 つ の 結 果 の 関 係 が,本 稿 の主 要 結 果 とな る リー グ全 体 の利 潤 と競 争 バ ラ ンスの トレー ド ・オ フ とな って い るの だ。 第4節 で は,本 稿 の 主 要 結 果 を2チ ー ムの 例 に よ って 確 認 す る。. デ. 2.モ. 2.1η. ル. チームモデル. モ デ ル の 定 式 化 か ら始 あ る(5)。 こ こ で は,そ. れ ぞ れ が単 一 の オ ー ナ ー に よ って 所 有 され. る η チ ー ム か ら構 成 さ れ る プ ロ ス ポ ー ツ ・ リー グ を 考 え る 。 そ こ に 所 属 す る 各 チ ー ム ∫. (4)こ の 収 益 分 配 が 競 争 バ ラ ン ス を 改 善 す る と い う 結 果 はSzymanski(2003;2004),Szymanski andK6senne(2004)やK6senne(2005)の 結 果 と対 立 して い る の で は な い こ とに 注 意 さ れ た い 。 こ こ で 分 析 し て い る 収 益 分 配 は,チ. ー ム 間 の 収 益 格 差 を 縮 小 す る通 常 の 方 向 とは 逆 向 き に格. 差 を 拡 大 す る 方 向 へ と 行 わ れ る の で あ る 。 こ の 点 に つ い て は,3,2節 K6senne(2005,p.103)の 式 ⑬ と⑯ に よ っ て 確 認 さ れ た い 。. の 命 題2の. 結 果(2)の 証 明 と. (5)本 稿 で 用 い ら れ る チ ー ム ・オ ー ナ ー 達 の 利 潤 動 機 に 基 づ い た プ ロ ス ポ ー ツ ・ リー グ の 一・般 均 衡 モ デ ル は,El-HodiriandQuirk(1971)に よ る 分 析 に 始 ま る 。 そ の 後,Atkinsonetal.(1988), FortandQuirk(1995),Marburger(1997),K6senne(2000a;2000b;2005),Szymanski (2003;2004),SzymanskiandK6senne(2004)な ン ス を 分 析 す る 標 準 的 道 具 と な っ て い る 。 ま た,こ (1992,p.272)やFort(2006)のChap.7な. ど に よ っ て も用 い ら れ,リ ー グ 内 の 競 争 バ ラ の よ う な 分 析 の 解 説 と して はQuirkandFort. ど を 参 照 の こ と。 -18(18)一.
(5) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. (∫=1,_,η)は,毎. 期 そ の 年 に 行 わ れ る リ ー グ 戦 の た め に 水 準'、. と き に 戦 力 水 準 を 増 加 さ せ る 必 要 の あ る 場 合 に は,新. 本). の戦 力 を獲 得 す る。そ の. 戦 力 を そ の リー グ に 属 す る 他 チ ー ム. か ら だ け で な く国 内 外 の 他 の リー グ か ら も 獲 得 で き る と 仮 定 す る 。 こ の 場 合,各. チー ム ・. オ ー ナ ー は 自分 の チー ムの 戦 力 が 増 加 す る こ とが 他 チー ムの 戦 力 に は直 接 影 響 を 与 え な い と 考 え る こ と に な る4ら/漉. 、=0(ノ. ≠ ∫)(ナ. ケ ー ス)。 こ こ で 戦 力 水 準 の 決 定 は,各. ッ シ ュ 的 推 測(theNashConjectures)の. チ ー ム ・オ ー ナ ー が 一 シ ー ズ ンの 試 合 か ら得 ら れ. る 利 潤 を 最 大 化 す る よ う に そ れ ぞ れ 独 立 に 決 定 し,リ を 持 た な い も の と す る 。 よ っ て,リ 持 つ よ う な 場 合 に は,各. ー グ が チ ー ム に 対 して 何 ら の 強 制 力. ー グ が チ ー ム 間 の 競 争 バ ラ ン ス に 対 して 一 定 の 目 標 を. チ ー ム ・オ ー ナ ー が そ の 実 現 に 向 け て 自 発 的 に 努 力 す る よ う に 何. らか の 形 で イ ン セ ン テ ィ ヴ を 与 え て や る 必 要 が あ る 。 本 稿 で は そ の 手 段 と して,戦. 力獲得. の 経 済 的 メ リ ッ ト ・デ メ リ ッ トの コ ン トロ ー ル を 通 じて 経 済 的 イ ン セ ン テ ィ ヴ を 与 え る 収 益 分 配 制 度 を考 え る。 本 節 の こ こ か ら は 各 チ ー ム の 戦 力 水 準 と利 潤 の 関 係 を 定 式 化 し て い く。 そ の た め に ま ず, チ ー ム の 戦 力 水 準 と 勝 率 の 関 係 を 特 定 す る 。各 チ ー ム の 戦 力 水 準 を ち('=1,…,η),そ て リ ー グ に 所 属 す る 全 チ ー ム 間 の 戦 力 分 布 を'=(∫1,..≠,)と 一 シ ー ズ ン の 勝 率w. 、(の は 全 チ ー ム 間 の 戦 力 分 布'に. る ・ つ ま り・ 任 意 の2チ. ー ム'と. ノ(∫ ≠ ノ)に. 所 与 と し て そ れ ら の 戦 力 水 準 が 等 し い ら=ら w,(ち,' _∫)-w,6,,の. し. す る。 そ の と き の チ ー ム'の. 基 づ い て 同 じ形 の 関 数 に よ っ て 決 ま. つ い て ・ そ れ ら以 外 の 戦 力 分 布. た,4を. 場合 に は両 チーム の勝率 は等 し くな る. よ う な 「公 平 な 対 戦 」 を 仮 定 す る。 こ の よ う な 「公 平 な 対 戦 」 を. 仮 定 して お くと,勝 率 につ い て の大 小 関 係 か ら戦 力 水 準 の大 小 につ いて 直 接 判 断 が で き る。 さ らに,勝 率 関 数 は以 下 の 性 質 を 持 つ もの とす る。 第 一 に,(W-1)各. チー ムの 勝 率 は. その チ ー ムの 戦 力 水 準 の 凹 関 数 とな る:. ∂w、. ∂2w >0,. ∂ち. ∂ち2'<0. 第 二 に,(W-2)他. の チ ー ム の 戦 力 水 準 の 減 少 関 数 と な る。 そ の と き,任. 意 の ノ ≠ ん ≠'. に 対 して. 御. ・. ∂∫、. 一 ∂w・<o ∂㍍. (1). と な る 。 こ の 性 質 の う ち で 重 要 な の は,他. の1チ. ー19(19)一. ー ム の 戦 力 水 準 が 増 加 した と き の リー グ.
(6) 第10巻. 第1号. 戦 で の 勝 率 に対 す る影 響 は どの チー ムの 戦 力 水 準 が 増 加 したの か に は よ らな い と い う部 分 で あ る。 この 対 称 性 の 部 分 は本 稿 で新 た に導 入 され る もの で,3.1節 で は この 仮 定 を 用 い る こ とで リー グ全 体 の 利 潤 が 最 大 化 され る状 況 を 特 徴 付 け る条 件 式 が 得 られ る(6)。 ま た,あ. るチ ー ム の 勝 利 は対 戦 チ ー ム の 敗 戦 とな る こ とか ら全 チー ム の勝 率 の 合 計 は. Σ 距lw、ω 一1と. な る の で ・(W-3)対. 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質. (2). 讐 一一&讐 ". が 得 られ る 。 序 文 で も 触 れ た と お り,チ. ー ム'が. 一 シ ー ズ ン の 試 合 か ら 獲 得 す る 収 入 は,こ. w、(∂ と そ れ が 本 拠 を 置 くホ ー ム タ ウ ンの 市 場 規 模,あ る も の と す る:-R、=R'(w、(伽 ∂R7∂w、>0,(R-2)勝. 、)。 さ ら に,(R-1)収. る い は 収 益 力 鷹 、に 依 存 し て 決 ま 入 は 勝 率 が 高 い ほ ど 大 き くな り. 率 が 上 が る こ と の 収 入 増 加 効 果 は,チ. に つ れ て 小 さ くな っ て い く も の と す る ∂2R`/∂w、2<0.ま. の勝 率. ー ム が 勝 ち 進 ん で い くの. た,(R-3)ホ. 益 力 が 大 き い ほ ど 収 入 は 大 き くな り ∂R'/∂〃2、>0,(R-4)勝. ー ム タ ウ ンの 収. 率 が 上 が る こ との 収 入 増 加. 効 果 は,収 益 力 が 大 き い ほ ど大 き くな る も の と仮 定 す る ∂2R7∂ 鵬 ∂w、>0。(R-4)の. 勝. 利 と収 益 力 の 補 完 性 を 意 味 す る仮 定 が,後 の 命 題 で 示 され る戦 力 分 布 の 偏 りの 方 向 を 決 め て い る重 要 な 条 件 とな って い る(7)。 こ こで,戦 力 水 準 一 単 位 あ た りにか か るサ ラ リー をcと す る と,各 チー ム ∫に と って 戦 力 決 定 の 際 に 目的 とな る チー ム利 潤 は以 下 の よ う に書 け る:. π,=R'(頭. (3). の;㎎)-c'、. 先 ほ ど の 勝 率 関 数 と収 入 関 数 の 凹 性(W-1)と(R-1)と(R-2)に. よ り,利. 潤 関数. π、 も戦 力 水 準 ち の 凹 関 数 と な る:. (6)こ れ ら の 仮 定 を す べ て 満 た す 勝 率 関 数 の 一 例 が,第4節 の 例 で 使 うナ ッ シ ュ的 推 測 の 下 で の ロ ジ ッ ト ・ コ ン テ ス ト ・サ ク セ ス 関 数(thelogitcontestsuccessfunction)で あ る 。 第4節 の例 で は(W-2)の. 対 称 性 の 部 分 が 関 係 な い2チ. を醜 ぞモ、窺L3)は. ー ム の ケ ー ス を 取 り 上 げ て い る が,上. 記 の 仮 定(W. その対枷 生の部分 も含 めて任意 のチーム数 の場合 勘ω 鉱/Σ ゐ で も満た. (7)こ の 条 件 の 符 号 につ い て は も しか した ら違 った 見 解 を 持 つ 者 が い るの か も しれ な い 。 しか し, この 条 件 の 符 号 が 逆 にな った と して も,収 益 力 の 大 き さ に従 って どち らの 方 に戦 力 が 集 中 す るの か と い う方 向 が 変 わ るの に過 ぎな い 。 な の で,リ ー グ全 体 の 利 潤 が 最 大 とな る場 合 に は 収 益 力 に 従 った 戦 力 分 布 の 偏 りが あ る こ と と,強 い収 入 獲 得 イ ンセ ンテ ィ ヴを 与 え る収 益 分 配 制 度 に よ っ て 競 争 バ ラ ン スが 改 善 され る と い う主 要 結 果 は この 条 件 の 符 号 に はよ らな い もの で あ る。 一20(20)一.
(7) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. ∂π ・ 一 ∂R'.∂wL。>oま ∂'∂w∂' ' ∫ ∫. た は. 本). く。. 鴬弄一辮 團+驚1・ 穿 く・. 2.2相. 対 評価 に基 づ い た 収 益分 配. 本 稿 で は,リ ー グ に属 す る チー ム間 の 収 益 分 配 の 方 法 と して 相 対 評 価 に基 づ いた もの を 提 唱 す る。 その 方 法 の 基 本 的 な 考 え 方 は,よ. り多 くの 収 入 を 稼 ぎ 出 した チー ムが そ の 成 果. に応 じて よ り多 くの 収 益 を 獲 得 で き る よ う に して や る こ とで あ る(そ の 逆 の 場 合 に は逆 の こ とが 言 え る)。 こ こで,あ る チ ー ム ∫以 外 の チ ー ム が稼 ぎ 出 した収 入 の平 均 を. 瓦 一. (4). η圭1&R、. と す る と,チ. ー ム'は. 分配後の収益 瓦. と し て,こ. のR,に. 加 え て 自 ら が 稼 ぎ 出 した 収 入. が そ れ 以 外 の チ ー ム の 平 均 を 超 え た 分 に 比 例 し た 金 額 を 受 け 取 る の で あ る(8):. 瓦 一天、+礁. 一瓦). こ の 式 中 の 比 例 定 数 α、を イ ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ と 呼 ん で お く。 こ こ で,イ テ ィ ヴ ゜パ ラ メ ー タ 越>1と り も 多 か っ た 場 合R,〉 一R,>R∫ 。 逆 に チ ー ム'の は,そ. 瓦. して お くと・ チ ー ム 紛 に は,そ. 収 入 が そ の 他 の チ ー ム の平 均 よ. の チ ー ム が 受 け 取 る 収 益 は 元 々 の 収 入 よ り も多 くな る. 収 入 が そ の 他 の チ ー ム の 平 均 よ り も少 な か っ た 場 合 。R,<R,に. の チ ー ム が 受 け 取 る収 益 は 元 々 の 収 入 よ り も少 な くな るR、<R、. る 。 さ ら に,チ. ー ム の 獲 得 す る 余 剰CR,-R,)は. 平 均 を 超 え た 分(R,-R∂. ンセ ン. こ と も確 か め られ. そ の チ ー ム が 稼 ぎ 出 した 収 入 が そ の 他 の. に 比 例 し て い る 。 つ ま り,こ の 方 法 は 収 入 に 応 じた 収 益 を 与 え. る と い う 方 針 を さ ら に チ ー ム 間 の 収 益 格 差 を 広 げ る と こ ろ ま で 徹 底 す る こ と で,各. チー ム. に 対 し て 他 の チ ー ム よ り も 多 くの 収 入 を 稼 ぎ 出 す 強 い イ ンセ ン テ ィ ヴ を 与 え る も の で あ る 。. (8)相 対 評 価 の 基 準 と して そ れ 以 外 の 平 均 値 を 使 う と い う考 え そ の も の は,Shleifer(1985)に るヤ ー ドステ ィ ッ ク競 争 で も用 い られ て い る。 -21(21)一. よ.
(8) 昂 ⊥u暦. こ こ で は,こ. ラけ17ゴ. の よ う な 分 配 方 法 が リー グ 全 体 で の 予 算 制 約:. Σ 先1飛、≦Σ 先、R、 を満 たす 条 件 を考 え る。 この 分 配 制 度 の 下 で チー ムが 獲 得 す る収 益 を リー グ全 体 で 合 計 す る と,. Σ 焦,瓦 一Σ に、 瓦+Σ. に、 α、(R、 一瓦)(5). とな る。 こ こで 右 辺 に あ る 瓦. は チ ー ム'以. 外 の 平 均 で あ る か ら,そ. の 定 義 式(4)よ り. ΣL瓦 一η圭1Σ箔Σ漏 罵 一ΣL瓦. 瓦 一瓦 一詣. と な る の で,式(5)の. Σ 距1瓦+Σ. 一Σ画. レ ー1)瓦一Σ 剥. 一。llΣ 漁. 一罵). 右辺 は. 匹1α,(瓦一1瓦). ηllΣ 法. 一Σ缶瓦+≠. 礁. 一副. 1Σふ(α、一傷x罵 一瓦). と い う ふ う に 順 次 書 き 換 え て い け る 。 こ の 結 果 よ り,イ. ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ α、の. 大小関係 を. Rノ>R,な. ら ば αノ<α ゴか つRノ=R,な. と い う ふ う に 決 定 す れ ば,リ 全 て の'に. 対 し て α、=α(一. ら ば αノ=α ゴ. ー グ 全 体 で の 予 算 制 約 は 強 い 不 等 号 で 満 た さ れ る 。 そ して, 定)と. す れ ば,リ. ー グ 全 体 の 予 算 制 約 は 等 号 で 満 た さ れ,. 全 体 で の 収 支 が 均 衡 す る(9)。. (9)第4節 で は,完 全 な 競 争 バ ラ ンス の 実 現 は 収 支 の 均 衡 の 下 で は 不 可 能 で,予 算 制 約 が 強 い 不 等 号 で 満 た され る よ うな 場 合 に 実 現 され る とい う こ とが 例 に よ って 示 され て い る。 -22(22)一.
(9) リー グ全 体 の 利 潤 と競 争 バ ラ ンス の トレー ド ・オ フ(藤 本) 以 上 に よ り,相. 対 評 価 に 基 づ い た 収 益 分 配 制 度 の 下 で の チ ー ム ∫の 利 潤 は. 夙 一 傷R・(w,(の;刑、)+鴇1Σ. 一μR'(勘(の;㎎)+1子. 卸R・(W、 ω;砺)一 砥. Σ 弘R・(罵(の;砺)一. と 書 き 直 す こ と が で き る 。 こ こ で,2行 り,イ. ・ち. 目 の パ ラ メ ー タ は μゴ=(η α∫-1)/(η 一1)>1で. あ. ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ α、が 増 加 す る の に し た が っ て 増 加 す る 。 こ こ で パ ラ メ ー. タ の 置 き 換 え を 行 う の は,パ. ラ メ ー タ を μ、に し た 方 が 各 チ ー ム ・オ ー ナ ー に 与 え ら れ る. イ ン セ ン テ ィ ヴ の 強 さ に つ い て の 解 釈 が しや す く な る か ら だ(1① 。 こ こで考 え て い る よ う に α、>1で. あ り μ、>1と. な る ケ ー ス は,各. ヴ が 与 え ら れ る ケ ー ス,そ. し て1/η. チ ー ム ・オ ー ナ ー に 収 入 獲 得 の 強 い イ ン セ ン テ ィ. ≦ α∫<1で. あ り0≦. μ∫<1と. な るケースはチーム間. の 収 入 格 差 が 収 益 分 配 に よ っ て 縮 め られ る 弱 い イ ンセ ン テ ィ ヴ が 与 え ら れ る ケ ー ス,そ て α冴1で. μ=1と. し. な る ケ ー ス は収 益 分 配 の な い ケ ー ス とな る。弱 い イ ンセ ン テ ィ ヴの. ケ ー ス の 中 で も特 に μ、=0で. α、=1/η. と な る よ う な ケ ー ス は,元. 々 の収 入 の大 き さ と は. 無 関 係 に 全 チ ー ム に 収 益 が 全 く平 等 に 分 配 さ れ る ケ ー ス で あ る た め,最. も弱 い イ ンセ ン. テ ィ ヴの ケ ー ス とな って い る。. 3.利. 3.1イ. 潤 イ ン セ ン テ ィ ヴ と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ. ンセ ンテ ィヴ の 強 さ と リー グ全 体 の利 潤. 本 節 で は,リ で α,=1/η)で. ー グ全 体 の 利 潤 が最 大 化 さ れ る の は 最 も弱 い イ ンセ ン テ ィ ヴ の ケ ー ス(μ 、=0. 布 は,各. あ る こ と を 示 す 。 つ ま り,リ ー グ 全 体 の 利 潤 が 最 大 化 さ れ る と き の 戦 力 分. チ ー ム に 最 も 弱 い イ ンセ ン テ ィ ヴ が 与 え られ る 均 等 分 配 制 度 の 下 で の 均 衡 分 布 と. 一 致 す るの で あ る. 。 こ の 結 果 は,各. チー ム に収 入 獲 得 につ いて の 強 い イ ンセ ン テ ィ ヴを 与. え る こ と に よ って 部 分 を 最 大 化 す る と き に全 体 利 益 が 最 大 にな るの で はな いか と い う直 感 に 反 す る も の で あ る 。 そ の 結 果 は 以 下 の よ う に な る(ll)。. ⑩. た だ し,2チ. ー ム の ケ ー ス に 限 れ ば 技 術 的 に は α、の ほ う が 扱 い や す く μ、を 使 っ た 場 合 の 解. 釈 上 の メ リ ッ ト も な い 。 よ っ て,第4節. の 例 で は パ ラ メ ー タ α、の 方 を 用 い る 。. qD均 等 分 配 制 度 に よ っ て リ ー グ 全 体 の 利 潤 が 最 大 化 さ れ る と い う こ と はAtkinsonetal.(1988) に よ っ て す で に 示 さ れ て い る 。 ま た,収 益 分 配 制 度 に お い て パ ラ メ ー タ μ,を 引 き 下 げ て い く こ と に よ っ て 各 チ ー ム の 戦 力 の 限 界 収 入 が 低 下 し て い く こ と で 戦 力 水 準 一 単 位 あ た り の サ ラ リ ー6/ -23(23)一.
(10) 第10巻 命 題1.戦. 力 分 布'*一. つ ま り ∫=1,_,η. ㎜ ・ 晴. ←1,…,';)を. に 対 し て,各'. ΣLR・(勘(の;鵬)一. 購. 第1号. 分 酉己制 度 の 下 で 略. チ ー ム の 利1閏を 最 大 化 す る,. . 、 は 最 大 化 問 題:. ・ 袴. の 解 とな る とす る。. す る と餓. 力 分 布'*は. リー グ全 体 の 利1閏を最 大 化 す る。 つ ま りげ. 一@..,小. 撮 大. 化 問 題:. m・x,繍. ΣL、R'(W、(の;吻 、)一・Σ 急1'、. の 解 とな る。. こ れ ら の場 合. 戦力水 準弾. よ って 戦 力 分 布'*は. 位 あ た りの サ ラ リー は ・一Σ ∂R極. リー グ全 体 の 収 入 ΣRZ(勘. ω;吻. の. 一・ と な る.. を最 大 化 す る。. この 結 果 を 証 明 す る た め に,限 界 リー グ収 入 の 均 等 化 と リー グ全 体 の 収 入 の 最 大 化 が 同 値 で あ る こ とを 以 下 に示 して お く。. 補 題1.も. し リー グ 全 体 で 戦 力 分 布'*-el,…,小. ・よ っ て 限 界 リー 列 又入 が 購. 化 され. て い れ ば,. Σ謬. 色の;㎎)一…一Σ鶏 . その 戦 力 分 布'に. ㈹;㎎). よ って 各 チ ー ム の 勝 利 の 限 界 収 入 が 均 等 化 され て お り. 驚1確);㎎)一 …一鰐(煎);鵜) . 結 果 と して リー グ全 体 の 収 入 が 戦 力 分 布 ∫ で最 大 化 され て い る:. ＼ が 低 下 し て い く こ と もFortandQuirk(1995),vrooman(1995),Marburger(1997)に て 示 さ れ て い る 。 そ れ ら に 対 し 本 稿 で 新 た に 行 っ た の は,他 称 性(W-2)と. 対 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質(W-3)と. よっ. チームの戦力水準の増加の影響の対. を 用 い て,リ. ー グ利 潤 の 最 大 化 を 勝 利 の 限. 界 収 入 の 均 等 化 と い う 条 件 に よ っ て 特 徴 付 け た こ と で あ る 。 そ の 結 果 を 用 い れ ば,新 たに均衡サ ラ リー が ゼ ロ に 等 し くな る と い う 結 果 と 均 衡 戦 力 分 布 の 偏 り に つ い て の 結 果 が 得 ら れ る 。 -24(24)一.
(11) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. 本). Σ箔誓 ゴ色 ￠);㎎)一…一Σ箔警 竈 ￠);㎎)一・ 1η. 証明. ま ず チ ー ム ∫の 収 入 関 数 を そ の チ ー ム の 戦 力 水 準'、. で 微 分 す る こ と に よ り,チ. ー. ムの 戦 力 の 限 界 収 入 を求 め る。. 御画. R (0 W (0. =. 用. ゆ. 窃 X @. 紐 御. こ れ に2.1節 の(W-3)対. 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質 の 式(2)を 代 入 す る と,. ∂R'∂Wノ 一Σ ノ≠`∂w∂' 謬'. 誓'(w,(');㎎)一 `. と な る 。 こ れ を チ ー ム ∫の 戦 力 水 準 が 増 加 し た 場 合 の 他 チ ー ム ノ ≠'へ. ∂Rノ. 弩 ノ(W伽 '. ∂wノ. 、)一∂w∂' ノ'. と 合 計 す る こ と に よ っ て,リ. Σ聯. の影 響. ー グ 全 体 の 収 入 へ の 影 響(限. 界 リー グ 収 入). ω;砺)-L〔 羅1〕 讐. (6). を得 る。 こ こ で,任. 意 の2チ. ー ム ∫と ん('≠. ん)の 間 で 限 界 リー グ 収 入 が 均 等 化 さ れ て い る と 仮. 定 す る:. 鴫. 割. 讐 一〉淑 〔∂Rノ∂Rん ∂wノ∂wた 〕讐. こ れ に2.1節 の 式(1)の 各 ノ ≠ ∫≠ ん に 対 し て の 仮 定(W-2)∂wノ/∂ れ る 式:. 恥 鰐・ 讐 =Σ. ∂Rノ. 瓢. ∂w. 、'. ∂wノ. ∂な. 一25(25)一. な=∂wノ/∂. ∫ 、か ら 得 ら.
(12) 第10巻. 第1号. を代 入 す る と,こ れ ら ∫と ん以 外 の チー ムの 勝 利 の 限 界 収 入 の 項 が 消 去 され る こ とで 以 下 の よ う に条 件 が 単 純 化 で き る:. 〔∂R'∂Rた ∂w,∂wた〕〔磯+窪 こ こ で1≠ -3)よ. 〕一・. ん で あ る こ と に よ り2番. り負 と な る た め に. ,結. 目 の カ ッ コ の 中 は ゼ ロ で は な く,仮 定(W-2)と(W. 果 と し て2チ. ∂Rた (w、(の;刑、)=(w、(の;吻 ∂w、 ∂wん. ー ム 間 の 勝 利 の 限 界 収 入 の 均 等 化:. ∂R`. ∂. を得 る。. チーム 鳳. の脚. 方 が臆. で あ ったの で,同 様 の灘. よ り,も し戦 力分 布'*一@.。':). に よ って リー グ全 体 で 限 界 リー グ収 入 が 均 等 化 され て いれ ば,. Σ跨. ㈹. 鵬)一 …一Σ鶏. ㈹;㎎). . その 戦 力 分 布 ∫ に よ って リー グ全 体 で勝 利 の限 界 収 入 が 均 等 化 され て い る こ とが い え る。. 器 ㈹. 鵬)一・ ・一鰐 ㈹. 鵜) . これ を式(6)に代 入 す る と,リ ー グ全 体 の 収 入 が 戦 力 分 布'で. Σ際. ㈹;鵬)一. …一Σ鶏. 側;㎎)一. 最 大 化 され て い る:. ・ 証明了. こ とが 分 か る。. 命 題1の 証 明. ど ち らの 最 大 化 問 題 の 場 合 で も,最 大 化 の 一 階 条 件 は限 界 リー グ収 入 の 均. 等 化 で あ る こ とか ら,補 題1の 結 果 と して 命 題1が 成 立 す る。. 補 題1と 命 題1で. 証明了. 意 味 す る仮 定(W-2)を. は,他 の チー ムの 戦 力 水 準 が 増 加 す る と きの 勝 率 へ の 影 響 の 対 称 性 を 導 入 す る こ と に よ って,リ ー26(26)一. ー グ全 体 の 利 潤 最 大 化 条 件 を チー ム.
(13) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. 本). 間 で の 勝 利 の 限 界 収 入 均 等 化 条 件 へ と帰 着 した。. 器(Wle*);刑 、)一 … 一鰐(煎);肌) こ こ で は さ らに,こ. . の条 件 に よ って 特 徴 付 け られ る最 適 戦 力 分 布'に. 勝 率 が 上 が る こ との 収 入 増 加 効 果 は,(R-4)収 ∂2RZ/飢. ∂w,>0と(R-2)チ. 槻. で あれ ば齢. 益 力 が 大 き い ほ ど大 き くな る と い う仮 定. ー ム が 勝 ち 進 ん で い くの に つ れ て 小 さ くな っ て い く と い. う 仮 定 ∂2R∫/∂毘2<0よ 吟. つ い て 調 べ る。. り,勝 畝. 利 の 限 界 収 入 が 等 し い2チ. の>w、. の. ー ム'≠. ん につ い て収 益 力 が. と な っ て い る。 ま た,(w-1)勝. ム の 戦 力 が 大 き くな る ほ ど 高 くな る こ と ∂w,/∂'>0か. ら,「 公 平 な 対 戦 」 の 下 で の チ ー ム. の 戦 力 は 収 益 力 が 大 き い チ ー ム ほ ど大 き くな っ て い る こ とが 分 か る:ち リ ー グ 全 体 の 利 潤 が 最 大 化 さ れ て い る と き に は,よ. 率 はそ の チー. . . 〉'ん。 こ の よ う に,. り大 き な 収 益 力 を 持 つ チ ー ム に よ り大. き な 戦 力 が 集 ま っ て い く こ と に な る 。 こ の こ と は,リ. ー グ全 体 の 利 益 の た め に は戦 力 均 衡. が 必 要 で あ る と い う認 識 に反 した結 果 とな って い る。 均 等 分 配 制 度 の 下 で リー グ 全 体 の 利 潤 が 最 大 化 さ れ る こ と を 示 し たAtkinsonetal. (1988)で. は,Holmstrom(1982)に. よ る予 算 制 約 を 満 たす チー ム生 産 の 非 効 率 性 の 結 果. が こ の 場 合 に 成 立 しな い 理 由 と して,リ げ られ た 。 しか し,命 と な る の は,リ. 題1の. 結 果 に よ れ ば,均. 等 分 配 制 度 の 下 で リー グ 全 体 の 利 潤 が 最 大. ー グ 全 体 の 戦 力 の 合 計 が 一 定 で あ る か らで は な く戦 力 の 限 界 費 用(戦. 準 一 単 位 あ た りの サ ラ リー6)が こ こ で は,リ. ー グ全 体 の 戦 力 水 準 の 合 計 が 一 定 で あ る こ とが 挙. ー グ 内 で 戦 力(選. 力水. ゼ ロ と な る か らで あ る と 言 え る 。 手)に. 対 して 支 払 わ れ る サ ラ リーcが. う 問 題 を さ ら に 考 え る 。 そ の 問 題 へ の 対 処 と して,各. ゼ ロ とな って しま. チ ー ム が 保 有 す る 戦 力 に 対 して 支 払. う こ とが で き る サ ラ リー総 額 を そ の チ ー ム が 分 配 され る収 益 の 一 定 割 合 、 β ∈(0,1)と. す る. サ ラ リ ー ・キ ャ ッ プ 制 度 を 採 用 す る こ と が 考 え られ る 。 こ の よ う な サ ラ リー ・キ ャ ッ プ と 均 等 分 配 制 度 が 組 み 合 わ さ れ れ ば,各. チー ムの 利 潤 は. π、一(1一 β)⊥ Σ 急 lR・(w、(');刑、). と な り,各. チ ー ム の 利 潤 動 機 に よ っ て 戦 力 に 対 して の サ ラ リー が 最 大 限 に 確 保 さ れ る こ と. に な る ⑫。 さ ら に,ど ⑫K6senne(2000b,p.426)に. の チ ー ム の利 潤 最 大 化 も リー グ全 体 の収 入 最 大 化 と同 値 にな る こ と よ っ て 説 明 さ れ て い る よ う に,実 -27(27)一. 際 の サ ラ リー ・キ ャ ッ プ 制 度 の/.
(14) 第10巻 か ら,利. 第1号. 害 は 全 て の チ ー ム 間 で 一 致 して い る 。 注 目 す べ き こ と に,こ. の 結 果 は サ ラ リー ・. キ ャ ッ プ 制 度 が 選 手 の サ ラ リー の 高 騰 を 抑 え る 目 的 で 採 用 さ れ て い る と い う 通 常 の 認 識 に は 反 す る も の で あ る 。 こ の 結 果 に よ る と,収 を 採 用 す る こ と は,チ. 益 分 配 制 度 と と も に サ ラ リー ・キ ャ ッ プ 制 度. ー ム の 利 潤 動 機 の た め に 選 手 の サ ラ リー が 不 当 に 下 が っ て し ま う こ. と を防 いで い るの だ と解 釈 で き る。. 3.2イ. ンセ ンテ ィヴ の 強 さ と競 争 バ ラ ンス. 前 節 で は,収 益 力 の 大 きな チー ムへ の 戦 力 の 偏 りと収 入 獲 得 につ いて の 最 も弱 い イ ンセ ンテ ィ ヴの 供 与 が リー グ全 体 の 利 潤 を 最 大 化 す る こ とを 示 した。 本 節 で は,各 チー ム に収 入 獲 得 の 強 い イ ンセ ン テ ィ ヴを 与 え る こ とが 競 争 バ ラ ン スを 改 善 す る こ とを 示 す 。 これ ら の 結 果 を合 わ せ る と,リ ー グ全 体 の 利 潤 と リー グ 内の 競 争 バ ラ ンスの 間 に トレー ド ・オ フ が 存 在 す る こ とが 分 か る。 こ こで は,競 争 バ ラ ンスが 改 善 され た こ とを 確 認 す る手 段 と して,Marburger(1997) やK6senne(2000a,2005)ら. に よ る比 較 静 学 の 方 法 を 用 い る。 つ ま り,収 益 分 配 の 導 入. に よ る チ ー ムの 戦 力 需 要 曲 線(戦 力 の 限 界 収 入 曲 線)の. シ フ トの 大 き さを 収 益 分 配 導 入 前. の 均 衡 点 で評 価 して 比 較 す るの で あ る。 こ の方 法 を正 当 化 す るの は,仮 説:「 よ り戦 力 水 準 の 小 さな チ ー ムの 戦 力 需 要 曲 線 の 上 方 シ フ トが 戦 力 水 準 の 大 きな チー ムの 戦 力 需 要 曲 線 の 上 方 シ フ トよ り大 き けれ ば,そ れ ら2曲 線 の 交 点 で あ る戦 力 市 場 均 衡 点 は需 要 曲 線 が よ り大 き く上 方 シ フ トした チー ムの 戦 力 水 準 が 相 対 的 に大 き くな る方 向 へ と移 動 し,チ ー ム 間 の 競 争 バ ラ ンスが 改 善 され る こ と にな る」 で あ る。 本 節 の 結 果 は以 下 の よ う にな る。. 命 題2.相. 対 評 価 に 基 づ い た 収 益 分 配 制 度 に お い て イ ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ が 各 チ ー. ム の 収 入 の 大 小 関 係 瓦 〈Rん('≠ き,強. ん)に 基 づ い て μ 〉 腕. い 収 入 獲 得 イ ン セ ン テ ィ ヴ を 与 え る 収 益 分 配(全. とな って い る とす る。 この と. て の ∫に 対 し て μ、>1)は. リー グ. 内で の 競 争 バ ラ ンスを 改 善 す る。. 証明. 強 い イ ンセ ン テ ィ ヴを 与 え る収 益 分 配 制 度 が 競 争 バ ラ ン スを 改 善 す る こ とを 示 す た. め に,結 果(1):全 て の ∫に対 して μ,=1と. な る よ うな 収 益 分 配 が な い場 合 に は,競 争 バ. ＼下 で 各 チ ー ム が 選 手 へ の 年 俸 と して 支 払 え る 総 額 の上 限 は 前 の期 の リー グ全 体 で の 収 入 総 額 を チ ー ム数 で 割 った 金 額 とな る。 しか し こ こで は,均 衡 で の 選 手 の サ ラ リー が ゼ ロ とな る問 題 へ の 対 処 と して そ の 期 の リー グ全 体 の 収 入 を 上 限 額 の 決 定 に使 って い る。 -28(28)一.
(15) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. 本). ラ ン ス が 収 益 力 の 大 き な チ ー ム ほ ど 戦 力 水 準 が 大 き くな る よ う に 偏 っ て い る こ と と,結 (2):イ. 果. ンセ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ を 引 き 上 げ る こ と に よ っ て そ の 戦 力 格 差 が 縮 小 して い く. こ と を証 明 す る。 ま ず,結. 果(1)全 て の'に. 対 し て μ、=1と. な る 収 益 分 配 が な い 場 合 に競 争 バ ラ ン ス が 偏 っ. て い る こ と を背 理 法 に よ って 証 明 す る。 収 益 分 配 が な い場 合 に は各 チー ム はそ れ ぞ れ 独 立 に そ の 利 潤(式(3))を. 最 大 化 す る こ と に な る の で,プ. レイ ヤ ー暢. の均 働. ・-ef,…,'の. に お いて は チ ー ム間 で 戦 力 の 限 界 収 入 が 均 等 化 され て い る⑱. 鶉1(Wlぴ);〃宥)一 讐. こ こ で,収. 一・ ・ 。一鶉1(㌦(〆);〃㌃)・ 笥. 益 力 が 鷹,〉 〃㌃ と な る2チ. ー ム'≠. 一c. ん の 間 で 均 衡 戦 力 水 準 が6≦. て い る と 仮 定 す る 。 す る と 「公 平 な 対 戦 」 の 下 で は,(W-1)勝 ∫ 、の 凹 関 数 で あ る と い う 仮 定 よ り,そ. 漿 とな っ. 率wガ('ど,た 、)は 戦 力 水 準. れ ら の チ ー ム ∫≠ ん の 間 で 戦 力 の 勝 率 へ の 影 響 は. 窪鯛 ≧寄o調 とな らな けれ ばな らな い。 よ って,こ の2チ ー ム間 で 戦 力 の 限 界 収 入 が 均 等 化 す るた め に は,そ れ らの 間 で 勝 利 の 限 界 収 入 は. 鶉殉;㎎)≦. 鶉1(w、c・);槻). と な っ て い な け れ ば な らな い 。 こ こ で,勝. 率 が 上 が る こ と の 収 入 増 加 効 果 は(R-4)収. と い う 仮 定 ∂2R7∂ 〃1,∂w、>0と(R-2)チ て い く と い う 仮 定 ∂2Rソ ∂w,2〈0か. ⑱Szymanski(2004;2006)や ト ・サ ク セ ス 関 数 を 用 い た2チ. 益 力 が 大 き い ほ ど大 き くな る. ー ム が 勝 ち 進 ん で い くの に つ れ て 小 さ くな っ ら,収 益 力 が 〃1ガ〉 配た と な る2チ. そ れ へ の コ メ ン トEckard(2006)に. よ って ロ ジ ッ ト ・コ ンテ ス. ー ム の 例 を 使 っ て 示 さ れ て い る よ う に,固. と リー グ 内 の 総 戦 カ ー 定 ∫,+∫2=1の. 下 で は任 意 の戦 力 分 布. ー ム ∫≠ ん の 勝 率. ∫=(',,',)に. 定 供 給 推 測 礁/漉. 、=-1. 対 し て ∂w、/∂'、=1と. な る。 この結 果 が得 られ れ ば,戦 力 の 限 界 収入 の均 等 化 と勝 利 の 限界 収 入 の均 等 化 は同 値 とな る。 この 同 値 性 と3.1節の 補 題1の 結 果 と命 題2で の 比較 静 学 の 方法 に よ って,固 定 供 給 推 測 と総 戦 カ ー 定 の 仮 定 の 下 で 収 益 分 配 の 「不 変 原 理 」 が 成 立 す る理 由を 説 明 で き る 。 この よ うに,本 稿 で 得 られ た 補 題1の 結 果 は リー グ全 体 の 利 潤 最 大 化 だ けで な く,収 益 分 配 と競 争 バ ラ ンス の 関 係 に対 して も意 味 の あ る見 通 しの 良 い 議 論 を 可 能 に す る。 -29(29)一.
(16) 第10巻 は 漁. ・)>w、 の. 第1号. と な っ て い る1まず で あ る 。r公 平 な 対 戦 」 で あ る こ と と(W-1)チ. ー. ムの 勝 率 は その チー ムの 戦 力 が 大 き くな る ほ ど高 くな る こ とか ら,こ の 結 果 は最 初 の 仮 定 'f≦ 罷 に 矛 盾 す る。以 上 に よ り,収 益 分 配 の な い プ レイ ヤ ー市 場 均 衡 で は収 益 力 が 大 きな チ ー ム ほ ど よ り大 きな 戦 力 を 保 有 す る こ とが いえ た。 次 いで,結 果(2)インセ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メー タを 引 き上 げ る こ と に よ って そ の 戦 力 格 差 が 縮 小 して い くこ とを 証 明 す る。 相 対 評 価 に基 づ い た収 益 分 配 制 度 の 下 で も,実 現 され る戦 力 市 場 均 衡 で は チー ム間 で 戦 力 の 限 界 収 入 が 均 等 化 され て い る:. 鶉1(綱 た だ し,こ. 讐 一…一鰐 甑)・. こ で のR、. 笥. は 収 益 分 配 制 度 の 下 で チ ー ム ∫が 受 け 取 る 収 益 で あ る 。2.2節 よ り,. チ ー ムが 受 け取 る収 益 は. 瓦一μR輔;鵬)+'子 で あ っ た の で,イ 化 分 を μ,=1の. 鐙. Σ逮. い伽. 、). ンセ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ μゴを 引 き 上 げ た と き の 戦 力 の 限 界 収 入 の 変 と こ ろ で 評 価 す る と,. 〕廻 一・一去Σ跨(w、(〆);砺)〉・. とな る。 こ こで 最 後 の 符 号 は,収 益 分 配 の な い市 場 均 衡 で は戦 力 の 限 界 収 入 と戦 カ ー 単 位 あ た り の サ ラ リ ー が 等 し くな っ て い る と い う 結 果 ∂R7∂ ∫,=cと(W-2)チ は他 の チ ー ム の戦 力 水 準 嚥. 少 関 数 とな る こ と に よ る結 果 瞬. か ら成 立 す る 。 こ の 式 よ り,収 益 力 が 鵬 ム'≠. ー ム の勝 率. ・/∂w、)・@、/∂'、)<・(ノ. 〉 〃㌃ で 戦 力 水 準 が'f>婿. と な っ て い る2チ. ≠') ー. ん の 間 で 限界 リー グ収 入 が. Σ際 と な れ ば,イ. ㈹;砺)〉 Σ職. ㈹;吻 ・). ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー タ を μ,>1へ. テ ィ ヴ を 与 え る こ と で,収. と 引 き 上 げ て よ り強 い 収 入 イ ン セ ン. 益 力 の 小 さ い チ ー ム の 方 が 収 益 力 の 大 き い チ ー ム よ り戦 力 の 限. 界 収 入 が 大 き く増 加 す る と い う こ と に な る: 一30(30)一.
(17) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. ∂ 驚L<読. 本). 〔 凱. そ して,戦 力 の 限 界 収 入 が よ り大 き く増 加 す る ほ ど戦 力 水 準 の 伸 び は大 き いの で,こ の 結 果 は引 き上 げ前 の 戦 力 水 準 が 小 さ い チー ム ほ ど よ り大 き く戦 力 を 増 加 させ る こ とを 意 味 す る。 よ って,こ の と き に は イ ンセ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メー タの 引 き上 げ に よ って 競 争 バ ラ ン ス が 改 善 され る こ と にな る。 最 後 に,収 益 力 が 鵬 〉 〃%で 均 衡 戦 力水 準 が ∫f>媛 と な って い る2チ ー ム1≠ ん の 間 で 限 界 リー グ収 入 が. Σ跨. 睡);鵬)〉 Σ職(w,(〆);砺). とな る こ と を示 す 。 ま ず(W-1)勝. 率wゴ('ゴ,た ゴ)は 戦 力 水 準'ゴ の 凹 関 数 で あ る こ と に よ り,「 公 平 な 対 戦 」. の 下 で は6>漿. の と きに は. 艶 ノ ・'二)<寄 岡 と な って い る。 収 益 分 配 の な い 場 合 の 市 場 均 衡 〆 で は2チ ー ム間 で 戦 力 の 限 界収 入 が 均 等 化 して い る こ とか ら,勝 利 の 限 界 収 入 の 間 に は以 下 の 関 係 が 成 立 して いな けれ ばな らな い:. 諜1㈹;鵬)〉 霧 確);槻) こ こ で 限 界 リー グ 収 入 の 差 を 取 る と,3.1節 議 論 と 同 様 に,そ. 畷. の 補 題1の. 式(6)と 限 界 リ ー グ 収 入 の 均 等 化 の. の符号 は. 一 Σ曜 一磯. 驚1〕 鴎+窪. 〕. と い う ふ う に チ ー ム 間 の 勝 利 の 限 界 収 入 の 大 小 に よ っ て 決 ま る こ と が 分 か る 。 こ こ で,2.1 節 の(W-2)と(W-3)よ. り右 辺 の2番. 目 の カ ッ コ 内 は 負 で あ る 。 よ っ て,必. 一31(31)一. 要な結果.
(18) 第10巻. 第1号. 証明了. が 得 られ る 。. こ こ まで の 議 論 に よ って,収 益 分 配 制 度 に まつ わ る リー グ全 体 の 利 潤 と競 争 バ ラ ン スの ト レ ー ド ・オ フ が 示 さ れ た 。 次 節 で は,命. 題1と2の. 結 果 を2チ. ー ムの 例 を 使 って 確 認 す. る 。. 4.例. 本 節 で は,本 6∈(0,1),収. 稿 の 結 果 を2チ ー ム の例 で 示 す 。 単 純 化 の た め に,収 入 の 勝 率 弾 力 性 を. 入 の 市 場 規 模 弾 力 性 を1で. 模 を 醜(〃2>1),チ. ー ム2の. あ る と す る。 そ して,チ. 直 面 す る 市 場 規 模 を1と. ム1の. 方 が チ ー ム2よ. と2の. 収 入 関 数 は そ れ ぞ れ 」Rl=〃2Wlε とR2=w2ε. 定 ε ∈(0,1)よ. ー ム1の. す る 。 こ こ で,仮. 直 面 す る市 場 規 定 〃2>1は. り収 益 力 の あ る チ ー ム で あ る こ と を 意 味 す る 。 以 上 よ り,チ と な る ω。 ま た,弾. チー ー ム1. 力 性 につ いて の 仮. り両 チ ー ム の 収 入 は そ の勝 率 の 凹 関 数 と な る:∂R7∂w、>0,∂2.R7∂w、2<0。. こ こ で は,各. チ ー ム ∫('=1,2)の. w、=ち/(∫1十 ち)に. 期 待 勝 率 が ロ ジ ッ ト ・ コ ン テ ス ト ・サ ク セ ス 関 数. よ っ て 求 め られ る も の と す る。 こ の 関 数 は 各 チ ー ム の 勝 率 が チ ー ム 間. の 相 対 的 な 戦 力 に よ って 決 ま る こ とを 意 味 して い る。 勝 率 関 数 が この 形 で あ る と き に は, 2.1節 で い う 「公 平 な 対 戦 」 が 実 現 さ れ る 。 ま た,ナ. ッ シ ュ 的 推 測 の ケ ー ス4ら/読. 、=0. (ノ≠ の を 仮 定 す る。 す る と この 仮 定 の 下 で は,期 待 勝 率 の 変 化 は以 下 の よ う にな る:. >0. =. ∂''. ('1+'、)2. ('1+'、)2. こ こ で,2番. 、/4ち). ('1十 ち)2. =∂w∫<0. ('1+ち)2. 目 の 式 の 最 後 の 等 号 は(W-3)対. 2チ ー ム の ケ ー ス で は,他. ノ. ∂''. '. ∂w 、@、/4ちX'1+ち)一'、0+4∫. ⑭. . ノ. '1+ち 一ちG鴫/4ち). ∼. ∂w `. ∂'、. 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質 と な る も の で あ る 。. の チ ー ム の 平 均 収 入 は 他 の チ ー ム の 収 入 そ の もの と な るR、=R. ノ. こ こで の 弾 力 性 一 定 の収 入 関 数 は,Vrooman(1995)に よ って も用 い られ て お り,競 争 バ ラ ンスの分 析 を勝率 や収 益力 や戦 力 水準 な どの比 率で考 え られ るメ リ ッ トがあ る。 さ らにSzymannski andKesenne(2004)の よ うに収 入 の勝 率 弾 力 性 が ε=1と な る特 殊 ケ ー ス を使 え ば,均 衡 戦 力 水 準 につ い て 明 示 的 に解 くこ とが で き る とい う メ リッ トもあ る。 しか しそ こ まで 特 殊 化 して しま え ば,収 入 関 数 が 勝 率 につ い て 線 形 とな るた め に リー グ利 潤 の 最 大 化 が 考 え られ な くな る と い う デ メ リ ッ トもで て くる(後 の式 ⑩ とqDを 見 よ)。 後 に分 か る よ う に,こ こ で は競 争 バ ラ ンス の 分 析 を 戦 力 水 準 の 比 率 で 考 え られ るだ けで 十 分 で あ る。 一32(32)一.
(19) リー グ全 体 の 利 潤 と競 争 バ ラ ンス の トレー ド ・オ フ(藤 本) の で,チ. 瓦. ー ム'が. 相 対 評 価 に よ る収 益 分 配 制 度 の 下 で 受 け取 る こ との で き る収 益 は. 一 α 、R、+(1一. α,)R、. と な る 。 こ こ で は 記 号 の 簡 略 化 の た め に,前 タ μ∫=2α ∫-1で. 節 ま で 用 い て い た イ ン セ ン テ ィ ヴ ・パ ラ メ ー. は な く α∫の 方 を 使 う。 以 上 の 事 柄 よ り,チ. ε. 右. C. ぢ十ち ε. 2 ' C. '1 一. 醜. α. ∫1十 ち. ー. ー. ∂. 十. 一. α. 0. ε. ー. ー =. π. ち. ち. 一. 一. ち 十ち. 利 潤 関数 は. ー. 工. 傷 レ. 駁. ε. ー. ー =. 刑 傷. π. '1. ー ム1と2の. ∫1十 ら. とな る。. (W-3)対. 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質 ∂w2/∂'1=一. ∂Wl/∂∫1よ り,チ. ー ム1の. 利潤最大化の. 一階条件 は. εh雁 囲 一(1一α1)d(諭. 一・(7). とな る。 同様 に,チ ー ム2の 一 階 条 件 は. 献. 一(1一α2)槻門](ち. +》. 一・(8). とな る。 そ れ ぞ れ の 一 階 条 件 の 左 辺 は収 益 分 配 制 度 の 下 で の各 チ ー ム の 限界 収 入 ∂疫'/∂'、 で あ る 。 こ れ ら に よ り,命. 題2の. 結 果(2)に 示 し た と お り戦 力 水 準 が ∫1>∫2で あ る と き に. は. ∂ 妾圏<∂ 島圏 とな る こ とが 確 認 で き る。 一 方,収 益 分 配 が 無 い場 合 で の 均 衡 戦 力 比 率 は一 階 条 件 式(7)と (8)に α1=α2=1を. 代 入 す る こ と で 求 め ら れ,'f/'∫=〃21/(2一 ε)>1と. な る 。 こ れ が 命 題2. の 結 果(1)に あ た る 。 競 争 バ ラ ン ス の 偏 りを 示 す 最 後 の 不 等 号 は 仮 定 ε ∈(0,1)と ら い え る 。 以 上 の 二 つ の 結 果 か ら,α1>1と 一33(33)一. α2>1と. 〃1>1か. な る よ うな 強 い イ ンセ ン テ ィ ヴを.
(20) 第10巻. 第1号. 与 え る 収 益 分 配 は リー グ 内 の 競 争 バ ラ ン ス を 改 善 す る こ と が い え る 。 さ ら に 一 階 条 件 式(7)と(8)よ り,完. '1=. 全 な 戦 力 均 衡'1='2が. ε[α1(研1)-1]ε[α,(吻+1)一. 実 現 され るの は. 司. 2副c=2副c. よ り,条. 件. 醒 一1 α2=α1十. (9). 〉 α1 刑+1. が 満 た さ れ て い る と き で あ る 。 こ の と き,両 件 α1>1/伽+1)と. α2>〃2/(〃1+1)が. チ ー ム の 戦 力 水 準 が 正 値 と な る た め に は,条. 必 要 で あ る(こ. れ ら は α1>1と. た され て い る)。 上 記 の式(9)よ り,均 等 分 配 制 度 を は じめ α1=α2と. α2>1の. と き満. な って い る場 合 に は. 完 全 な 戦 力 均 衡 は実 現 され な い こ とが 分 か る。 む しろ,戦 力 均 衡 を 実 現 す るた め に は収 益 力 の 小 さな チ ー ム に よ り強 い収 入 獲 得 イ ンセ ン テ ィ ヴを 与 え る必 要 が あ る。 この こ と は以 下 の よ う に確 認 で き る。 元 々 チー ムが 獲 得 した収 入 と収 益 分 配 制 度 の 下 で 受 け取 る収 益 の 差の絶対値 は. 一(α 、-1)IRrR、1. R-R'∫. と な る こ と か ら,式(9)の の 少 な い チ ー ム2の て,2.2節. 関 係 α2>α1は. 収 益 を 増 や す 分 よ り も収 入. 収 益 を 減 らす 分 の 方 を 大 き く して い る こ と を 意 味 す る 。 そ の 結 果 と し. で 考 え た リ ー グ 全 体 で の 予 算 制 約 は 強 い 不 等 号 で 満 た さ れ る:. 疫1+疫,-Rl+R,+(α,一. こ こ で,関. 収 入 が 多 い チ ー ム1の. 係'1=ち. も う 一 方 で,リ. Σ回. α1)(R,-Rl)<Rl+R2. と 〃2>1か. ら.Rl>.R2と. な って い る こ とに注 意 さ れ た い。. ー グ 全 体 の 利 潤 の 最 大 化 を 考 え る 。 リー グ 全 体 の 利 潤 は. ∴ γ+周. と な る 。 よ っ て,(W-3)対. 一礁+ち). 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質 ∂wノ/∂'、=一 ∂w、/∂'、(ノ≠ の を 用 い 一34(34)一.
(21) リー グ 全 体 の 利 潤 と 競 争 バ ラ ン ス の ト レ ー ド ・オ フ(藤. 本). れ ば,リ ー グ利 潤 最 大 化 の 一 階 条 件 は それ ぞ れ. ε レ ㌍ 一d(. GO). 右赤 溜. 一副(ち. 一・. +》. (ll). 一・. と な る ⑮。 こ れ ら よ り最 適 戦 力 比 率 ∫1/ぢ=〃21/(1一ε)が 得 ら れ る 。 こ の と き に は,勝 界 収 入 の 均 等 化 と と も に 命 題1の 吻>1よ. り,〃21/(1一 ε)>1と. 結 果c=0も. 利の限. 成 立 し て い る 。 こ こ で 仮 定 ε ∈(0,1)と. な る 。 こ の 結 果 か ら,よ. り収 益 力 の あ る チ ー ム に 収 益 力 の 大. き さ に応 じて よ り多 くの 戦 力 を 集 め る と い う よ うな 競 争 バ ラ ン ス の 偏 りが あ った 方 が リ ー グ 全 体 の 利 潤 に と っ て は 良 い と い え る 。 さ ら に,こ イ/';=〃21/(1一ε)>1は,収. の ときの競 争 バ ラ ンスの偏 り. 益 分 配 が 無 い 自 由 競 争 の と き の'f/ぢ=〃zl/(2一. い こ と に も 注 意 さ れ た い,1/(1一. ε)>1/(2一. ε)>1よ. りも大 き. ε)。. こ こで,収 益 分 配 制 度 の 下 で の 各 チー ムの 利 潤 最 大 化 の 結 果 と して リー グ全 体 の 利 潤 が 最 大 化 され る場 合 を 考 え る。 その た め に は,両 方 の 最 大 化 問 題 で の 各 チー ムの 戦 力 水 準 が 一 致 す る必 要 が あ る. 。 こ こ で の 一 階 条 件 式(1①と(ll)と先 に 導 出 さ れ た 一 階 条 件 式(7)と(8)か ら,. 戦 力 水 準 の 一 致 の た め に は2つ. の 条 件 式 α1=1一. α1と. α2=1一. α2が 同 時 に 満 た さ れ な. け れ ば な ら な い 。 こ れ ら の 条 件 か ら 得 ら れ る の が3.1節 の 命 題1で α1=α2=1/2の. ケ ー ス で あ る 。 す で に 触 れ た よ う に,こ. 示 した 均 等 分 配 制 度. の リー グ 利 潤 の 最 大 化 の 条 件 は. 先 ほ ど 導 出 し た 完 全 な 戦 力 均 衡 の 条 件(9)と は 両 立 しな い 。. 参. 考. 文. 献. 〔1〕Atkinson,S.E.,Stanley,L.R,andTschirhart,J.(1988).Revenuesharing asanincentiveinanagencyproblem:anexamplefromtheNationalFootball League.R41VD/io麗. 川 α1(ザEcoηo履c519,27-43.. 〔2〕Eckard,E.(2006).Comment:Professionalteamsportsareonlyagame: TheWalrasianfixed-supplymodel,contest-Nashequilibrium,andtheinvariance principle.Jo膨rη. α16ゾ5カoπ5Ecoηo〃. πc37,234-239.. 〔3〕El-Hodiri,M.andQuirk,J.(1971).Aneconomicmodelofaprofessional sportsleague.Jo膨rη. α1ρ ゾPo〃"cα1Ecoηo〃. り779,1302-1319.. q5)(W-3)対 戦 の ゼ ロ ・サ ム 的 性 質 よ り,弾 力 性 が 一・ 定 の 収 入 関 数 と ロ ジ ッ ト ・コ ンテ ス ト ・サ クセ ス関 数 を 用 いた 場 合 に は リー グ全 体 の利 潤 は戦 力 比 率'1/ち の変 化 に した が って 増 減 す る よ う にな って い る こ とが これ らの 式 か ら分 か る。 よ って,リ ー グ全 体 の 利 益 とい う観 点 か ら競 争 バ ラ ン スを 見 る場 合 に は戦 力 比 率'1/ち を考 え れ ば十 分 で あ る。 一35(35)一.
(22) 第10巻. 第1号. Fort, R. and Quirk, J. (1995). Cross-subsidization, incentives, and outcomes in professional team sports leagues. Journal of Economic Literature 33, 1265-1299. C5 : Fort, R. (2006). Sports Economics (2 ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. Sports really are different: The contest C6 : Fort, R. and Winfree, J. (2009). success function and the supply of talent. Review of Industrial Organization 34, 69-80. Moral hazard in teams. Bell Journal of Economics C7 : Holmstrom, B. (1982). 13, 324-340. C8 : Kesenne, S. (2000a). Revenue sharing and competitive balance in professional team sports. Journal of Sports Economics 1, 56-65. C9 : Kesenne, S. (2000b). The impact of salary caps in professional team sports. Scottish Journal of Political Economy 47, 422-430. C10: Kesenne, S. (2005). Revenue sharing and competitive balance: Does the invariance proposition hold ? Journal of Sports Economics 6, 98-106. C11: Marburger, D. (1997). Gate revenue sharing and luxury taxes in professional sports. Contemporary Economic Policy 15, 114-123. C12: Quirk, J. and Fort, R. (1992). Pay dirt: The business of professional team sports. Princeton, NJ: Princeton University Press. RANDJournal of EconomC13: Shleifer, A. (1985). A theory of yardstick competition. ics 16, 319-327. C14: Szymanski, S. (2003). The economic design of sporting contests: a review. Journal of Economic Literature 41, 1137-1187. C15: Szymanski, S. (2004). Professional team sports are only a game: The Walrasian fixed-supply model, contest-Nash equilibrium, and the invariance principle. Journal of Sports Economics 5, 111-126. S. (2006). Reply: Professional team sports are only a game: C16: Szymanski, The Walrasian fixed-supply model, contest-Nash equilibrium, and the invariance C4 :. principle. Journal of Sports Economics 7, 240-243. Szymanski, S. and Kesenne, S. (2004). Competitive balance and gate revenue sharing in team sports. Journal of Industrial Economics 52, 165-177. C18: Vrooman, J. (1995). A general theory of professional sports league. Southern Economic Journal 61, 971-990. C17:.
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