完全非連結群の表現の基礎

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(1)完全非連結群の表現の基礎高瀬幸一. （宮城教育大学）. 完全非連結空間上の分布 . 局所コンパクト. 空間. 基本近傍系をもつとき，局所コンパクト位元の任意の近傍. . の各点がコンパクト開集合からなる. は完全非連結であるという．. 群が完全非連結である必要十分条件は，単が. のコンパクト開部分群を含むことである．. を局所コンパクト完全非連結空間，及び群として，上の左測度を一つ固定しておく．のモジュラー関数を Æ と書く

(2) Æ ．以下，. 閉部分群 . をとる．連続関数で Æ Æ なるものをに関する上の関数と呼ぶ．このとき上の測度

(3) で. . . . . .

(4) . は上の左測度）．特にに対して

(5)

(6) となる．従ってが群の準同型写像であるときには，

(7)

(8) となるが，. なるものが定まる（. より精確には命題. 連続群準同型写像に対して，

(9)

(10) . なる上の測度

(11) が存在する必要十分条件は Æ Æ . なることである．系上に不変測度が存在する必要十分条件は Æ Æ . なることである．に関する上の関数に対して上の測度

(12) を

(13)

(14) により定義する． . から複素ベクトル空間. に対して. への関数がであるとは， . がの開集合となることをいう． . . . . コンパクト . .

(15) . . とおくと，自然な複素線形写像 . は単射（

(16)

(17) ならば全射）となり，同型 . を導く．. . の開集合. . に対して. と. おいて. 複素線形形式の元を上の分布と呼ぶ．の開集合とに対して. ½ として，上の分布の層が定義される．とに対して. . . . . . . のを

(18)

(19) とする．

(20) に対して

(21)

(22) とおいて . と書く．. における. に対してによりが定義されとを同一視する．例. . からへの全射複素.

(23) 局所閉部分空間 . に対して，. から単射複素線形写像を定義する．特に開集合に対して £ . . ! に対してとすれば，線形写像. . . だから，. . . . と定義する．命題.

(24) . . . と . に対して . なる唯一の. が存在する． . . ". と書く．.

(25) .

(26) # ，とおけば上の命題で. コンパクト開集合， ¼ . . . . . . . . に対してで， . 例.

(27) . 上の正規化された測度をと. によりが定義されしてる．例.

(28) コンパクト部分群 . とする．上の関数 ! " ! ". ! がを上張るから， ! ! によりを定義すると . よりとなる．そこでを . . . " . ". . だから . の畳込み積と呼ぶ．命題は畳込み積に関してをとする代数である， " $ コンパクト部分群に対して ½ % に対して ½ ¾ ½ ¾ ，ここで. により定義すると，. を.

(29) "

(30) " ". . がに連続に作用するき，はに . により作用するから，に対して . . により. を定義する．は自身に左右から連続に作用するか. ら，にも左右から作用する．. がコンパクトでへの作用が推移的ならば，

(31) な上の不変測度

(32) が唯一存在して，不変なは .

(33) の定数倍に限る．. 定理る. . . $.

(34) に対して，単位元の近傍があって # ならば．系はの両側イデアルである．コンパクト開部分群に対して両側不変はをとするの部分代数である．例コンパクト開部分群に対して， & である． . 定理. . 加群を加群とする．コンパクト部分群に対して . . とおき. . . . コンパクト開部分群. . のときを加群と呼び，更に任意のコンパクト開部分群に対して

(35)

(36) のときを許容加群と定義. . 呼ぶ．. を加群とすると，に対してが定義されて，は左加. だから群となる．命題. . 加群とコンパクト部分群に対して ! . . . が左加群でのとき，コンパクト開部分群を加群と呼ぶ．が加群ならば，は自然に加群となる．逆にを加群とすると，とに対して，なるコンパクト開部分群をとり，よりとおくと，は左加群となる．そこでに対して Æ とおくと，は加群となる．定義. . %.

(37) 加群に対しては . により加群となり，は . 加群となる．これを. の反傾表現と呼ぶ．コンパクト開部分群に対. して複素線形同型. . # # . に対してで，は単射加群準同型写像を与える．に対して上の関数をの行列成分と呼ぶ．命題許容加群に対しては許容加群で，加群の同型が成り立つ． " 加群としての単純性との単純性は同値．命題 $ を加群とすると % $ に対して %& & % & $ なる % $ が唯一存在する． " % % は複素線形同型 $ $ を与える．. が成り立つ．. と加群に対して，はにより加群となるから，その閉部分群部分加群. ' .

(38) ' . に . により. を夫々誘導表現，コンパクト誘導表現と呼ぶ．コンパクト開部分群対して. . . . . . とおくと，. 次の複素線形同型が成り立つ；. . ' . .

(39) . . . .

(40) 閉部分群上の測度を命題. が.

(41) . ! . に関するの関数に付随する

(42) とする．加群の同型 ' Æ Æ

(43) ! ! . !

(44) により与えられる． (.

(45) 定理. 加群と加群に対して.

(46) . 複素線形同型及びその逆写像 ' % . ' ' が & %& & ' & により与えられる． " 複素線形同型 ) Æ Æ

(47) が. ) % & . . % &

(48) . により与えられる．. $ と $ 加群に対して，次の加群の同型が成り立つ；' ' ' ! ! 命題. .

(49) 閉部分群. ( をの許容表現とする．に対して

(50) ' ( .

(51) だから. ( ( により ( を定義し，( の指標と呼ぶ．定理互いの同型でないの既約許容表現 ( ) " * に対して (

(52) . は上一次独立である．系の既約許容表現 ( ( に対して ( ( ならば ( と ( は同型である．. が +コンパクト（可算個のコンパクト集合の和集合）のとき定理単純加群に対して * ) ． .

(53). 関数のなす代数の層をと書く．加群を簡単に上の , と呼ぶ．上の ,# に対して . - . - は . の部分加群で . . である．局 . 上の複素数値. 所閉集合. .

(54). に対して.

(55) -

(56)

(57) .

(58) .

(59) . に対して開集合 - - - # " +.

(60)

(61) .

(62) は. -

(63)

(64) . -

(65)

(66) により加群となる．. 更に自然な写像. . . $ . - -

(67)

(68) . 上の ,# が開集合により定義される．上の ,# が逆に . . なる加群 . に対して. は全射である．特に局所閉集合. . 次のように定義される．まず. . - - . - - . - . - # とおいて，開集合に対して. に対して

(69). .

(70) -

(71)

(72) . . - .

(73) - - . " # " とおき，これを. -

(74)

(75) . -

(76)

(77) . -

(78)

(79) 加群とし，開集合によりに対して制限写像を -

(80)

(81) -

(82)

(83) により定義する．このときに対して複素線形同型

(84) - -

(85) . . 及び加群の同型 . . - - . .

(86) が成り立つ．こうして出来たを加群 . により生成された（或いは対応する）,# と呼ぶ．上の ,# に対して . . とおくと，任意のに対して. . .

(87) - - となるから，. により生成された上の ,# は自然にと同型である．より精確に定理. . . は. 上の. ,# の圏から . . なる. 加群の圏への圏同値を与える． ,.

(88)

(89) .

(90) / があるとき，上の ,# に対して，は - Æ / - - . により加群となる．このときとなるから，対応する上の ,# を / と書く．を上の ,# とする．開集合に対して . - . - 完全非連結空間. . とおくと，制限写像. から. - - . るから，その逆写像をより. への連続写像. は複素線形同型 . を与え

(91) # とする．閉集合 0 に対して全射 $ . 加群の完全列. . . . . 0 . が成り立つから，包含写像を. ) 1 0 . とすると，. 上の. ,#. の次のような完全列が成り立つ；. ) 1 . 加群に対して， 2 2 が. の自己同型写像であるとは 2 はの位相自己同型写像，" 開集合に対して 2 2 は複素線形同型写像で 2 - Æ 2 2 - . - ，なることを言う．. の自己同型写像全体 -. は 2 2 3 3 2 Æ 3 3! ½ Æ 2 により群となる．上の ,# と群準同型写像 -. 2 2 に対定義. . して. はに 2 により連続的に作用する， " を - 2 ½ - - により加群としたとき，は加群である. .

(92) に対して

(93)

(94) は自

(95) に対してで然に

(96) 加群となる．特に閉部分群あって 2 であるとき 4 とおくと. と仮定すると，. 定理. の固定部分群. - に対して " # - は関 - " は次の加群の同型を与える；. . 数で，. ' #.

(97) # ..

(98)