任意極三相誘導電動機の回転子バー断線故障解析
（昭和63年8月31日受理）杉浦修
Analysis of Arbitrary-Pole 3-Phase Cage Motor
with Rotor-Bar Faults
OsamuSUGIURA Abstract An analysis is developed for arbitrary−pole 3−phase induction motor with any distribution and number of rotor−bar failures． The method concerns itself with the calculating method． Apart of the present investigation has already been reported in Reports of the Faculty of Engineering Yamanashi Univarsity． This report is concerned with the results of subsequent detailed research． 1． まえがき 現在，三相かご形誘導電動機の故障診断技術の開発 が活発に行なわれており，種々の方法が実用化されて いる1）一“3）。本文は，その一方法として，より精度の高い 三相かご形誘導電動機の回転子バー断線故障診断法を 開発しようとするものである。 正常運転時の三相誘導電動機の運転特性は，その誘 導電動機の極数に関係なく，二極であると仮定して解 析しても何らの問題も生じない。しかし，その誘導電 動機に断線故障を生じると，その極数によって運転特 性に及ぼす影響は異なってくる。それゆえ，任意極の 誘導電動機の回転子バー断線時の運転特性を知るに は，極数を考慮に入れた解析を行なう必要が生じる。 本文では，もっとも良く利用されている四極の三相誘 導電動機の場合の解析を特に，くわしく行なう。そし て，その考え方を拡張して，任意極の場合についての 解析結果を求める。 2．電圧方程式 図一・1は，1番目の回転子バーが断線している四極三 相かご形誘導電動機の巻線モデルを示している。図一1 の円は，回転子のエンドリングで，円の中心からの放 射状の巻線が回転子バーである。円の外側の6個のコ イルは，固定子巻線である。図中の記号は，a， b， cが， それぞれa相，b相， c相， vが電圧， iが電流， Rが 抵抗，Lが自己インダクタンス， Mが相互インダクタ ンス，θが角度，mが回転子バーの個数である。添字 のSは固定子，rは回転子， eは電気角， mは機械角で ある。 2．1相互インダクタンス 固定子巻線間の相互インダクタンスの関係が，図一2 に示されている。Msは巻線間の角度θがθ一〇であ ると仮定した時の最大相互インダクタンスである。固
蓬
＊電気工学科，Department of Electrical Engineering． 、、II竃肇・
MrCOSθer4⑯∼Cl
tClンニ、
図一1 回転子断線時の巻線モデル Fig． l Winding model of three phase induction motor with rotor bar fault．Mscose es e −s ＝z／3 図一2 固定子巻線間の相互インダクタンス Fig．2 Mutual inductance between stator windings． Mrcoseer MrCOS2θer MrCOS3e er 図一3 回転子巻線間の相互インダクタンス Fig．3 Mutual inductance between rotor windings． 定子舗間は識械角θ・ （・， Om ＝tπずつ等分され て分布している。 四極構造の場合，θm＝π離れている同一相のそれ ぞれの固定子巻線による磁束は，反発しあう。したが
って洛固定捲線に生じる蘇は，一†π≦θ・≦
†πの間にある巻線のみと棘の鎖交をZTなう・それゆ え，電気角θeと機械角θmとの関係は，θ。 ＝： 2θmとなる。 以上の関係を図一2に適用すると， Ms・・S▲一仏・・S三π一一一｝Ms M。 cos 2θes ＝ O （磁束の鎖交なし） 図一3は，回転子巻線間の相互インダクタンスの関係 を示している。ee，＝2θm，＝巫であり，各回転子巻 線は，−買ﾎ≦θパ†πの間の巻線だ1ナと蘇の鎖
交を行なう。1
MsrCOSθe MsrCOS（θe＋θ er） 図一4 固定iと回転子巻線間の相互インダク タンス Fig．4 Mutual inductance between stator and rotor windings． Msr （一4x） （−2鴛）−2宮 一冨 （2駕） （ O 冨 図一5 λfs rの回転子位置による変化 Fig．5 Variation of Msr with rotor position． （θ●） θ● 図一4は，固定子と回転子巻線間の相互インダクタン スの関係を示したもので，θm＝・ Oの時の最大相互イン ダクタンスがM。rである。前2者と異なる所は，回転 子が回転しているため，ある特定の巻線間の相対的な 角度が変わるので相互インダクタンスが図一5のよう に変化していることである。 2．2電圧マトリクス いままで述べてきた関係を利用して，図一1の各巻線 すべてについて，電圧方程式を求める。そして，得ら れた電圧方程式群を一括して行列形式にまとめると， （1）式が得られる。 ＝ Z、，Z12， Q21，Z22， 1r Qr 1刎 Pμ2 r ア ， ア ， ” ア ただし， 1 ，・・，， ＝＝ ［ia：i］，［v・・］一 ［…］一ｧi｝
1 ［：’i／・［i”’］＝＝［li：bl］’ （1）［Z12］＝［Z21］＝ o ，o，一一｝M・P O ，0， 0 −†M・P，o， o ， ［Zl 1］＝［Z22］＝ R・＋カL⊂丁〃ψ， o 一去〃』P，R・＋ヵL・，一一｝M・P o ，一去〃』カ，R・＋ρL・
［仁］−1一輪［iii鰍）iiiii；籍）i；／iii脇麗i㍑｝］
1 ［卸一識1一輪「c°s（°e−2「「） ＋暢一1一 1 ，cos（θe−2π十eer） ，…Ccos｛θe−2π十（m−1）θer｝ cos（ee一θes−2rr），cos（θe一θes−2π十Ser），…，cos｛θe一θes−2π十（m−1）eer｝ cos（Oe−2θes−2π）， cos（θθ一20es−2rr十θer），…，cos｛θe−2ees−2π十（m−1）θeア｝ Rア十力Lr ，カ／レlr COSθθr ，・ カノlfr cos（m−1）θeア， Rr十PLr ，・ PMr cos（〃z−2）θθr，カノ匪r cos（〃2−1）θer，・ ， ・ 、 ロ 1 ． ‘ カノ∬γc6sθθア ，PM， c6s 2θer 1 ・，〃。cos（〃z−1）ee， ・，〃。cos（m−2）θ、r ・，鋤。cos（〃2−3）θ、ア … ： ， ： も ，・“jRr十PLr
l ．1 1 瓦斗π。；二±仏力， 一一汲狽唐o，Rs十PL s，一一ルfsP l ，一一MsP，Rs十PLs l−−MsP， ，一一一Vψi、Rs十PL s，一一MsP， i−一〃8ク，Rs十PLs，一一”sρ‘ ］ 1 （2）上式において，pは微分演算子， tは転置行列，1は 断線箇所の回転子バー番号である。また，1に付随し た，実線1あるいは！は回転刊一断線1・よって， 1番目の行や列が除去されたということを表わしてい る。 図一1は1本の回転子バーが断線した場合であるが， 任意の断線数でも成り立つ。この場合は，断線数分の 行や列が除去される。 （1）式を（2）式のように書き表わすこともできる。 （2）式において，空白の部分は零である。網目の部分 は回転子の位置に無関係に，常に一定のインダクタン スである。斜線の部分は回転子の位置の変化によって， 変化するインダクタンスである。図中の矢印→は，イ ンダクタンスが矢印の方向へ，回転に伴って移動して いく様子を示している。 2．3 並列接続 （1）式において，四極三相誘導電動機の電圧方程式が 得られた。これより，誘導電動機の諸特性を求めるに は固定子巻線の同一の相が並列接続なのか，直列接続 なのかを特定する必要がある。正常な運転の状態では 並列接続とか直列接続に関係なく，同一の特性が得ら れる。ところが，回転子断線故障を生じると，故障位 置が同一であっても誘導電動機の運転特性は異なって くる。したがって，それぞれ別々に解析する必要があ る。 まず，並列の場合について解析していく。図一6は固 定子A相の巻線が並列に接続されていることを示し ている。固定子のB相やC相も同様に接続されてい る。図一6の関係から，（1）式の電圧，電流，インピーダ ンス行列を整理すると，
一］一
ﾛ1−［v・・］
一闘一2［・v・］ iao （3） 図一6 固定子a相の接続 Fig．6 Parallel connection of a−phase stator windings．一一
ｫ］一［…］
一「iii1一囚 ［Zli＋Z21］＝＝［252＋Z22］ Rs＋カLs，一卿，一丁砲
一tM・P，＆砿，一†拗
一†晦，一去仏力，＆砿
＝［z．］ となる。（1）式を変形すると γ】1＋レ㌦2 ＝ ZU＋Z21， Zl2＋Z22， Zl． Z2r ∫琶1 辜ﾊ2 ， ， が得られる。 1 1 （4） （5） （6） 図一7より分かるように，｛［靭＋［靭の各難の 1 1 二つの項のうち，一方は磁束の鎖交がないため，一つ の項のみとなる。よって，［Zi ，］＝［Z2r］＝［Zsri］より ｛［才1。］＋嘲｝聞一［払1］田一 （7） となる。（7）式において，回転子バー断線箇所の1行あ るいは1列の除去を意味する直線に付ける記号1を省 略した。今後も同様に省略する。 MsrCOS（θe−2π） 図一7 固定子と回転子巻線間の磁束鎖交 Fig．7 Flux linkage between stator and rotor windings．＼
図一8 固定子と回転子巻線間の磁束鎖交領域 Fig．8 Region of flux linkage between stator and rotor windings． 図一8のごとく，ある回転子巻線を考えると，回転子 の位置が変わっても，磁束が鎖交する固定子巻線は3 個である。すなわち，a， b， c相の固定子巻線が各1個， 甑角で号πずつ，ずれて存在することになる・した がって， ＋zal｛・．・］＋fZ？af［・・2］一嵩｛馴 ただし，［Z。，2］＝［Z。，1］tである。 よって，（6）式は（3）∼（8）式を用いると， あるいは， Zss／2， srl／2 1s （8） sr2 ， rr r （9） ［…＋・・2］一ｫ撰1−2［・・］
一］一
m㌶1一ピ1−［Vs］
［Zii ＋ Zi2］＝［Z、2＋Z22］一［Z。。］ となる。したがって，（1）式より ［囚一［Zss］｛2囚｝＋［tsr1］周一 （10） が得られる。⑩式の右辺の第2項は，直列接続でも， 並列接続でも（7）式の関係が適用できるからである。 また，［ん1］＝［1。2］＝＝［1。］であるから，（1）式より＋尉一｛聞＋協｝囚＋卵
（11） が得られる。図一7から分かるように，［Z，i］と［Z，2］の 同一の箇所の各要素は，どちらかが零であるので， ［Z。、］＋［Z，2］一［Z，i］一［Z，2］一［Z。。、］ の関係がある。それゆえ，（11）式は冊一働L］＋申冊
となる。（10）式と⑫式をまとめて， r として，並列接続の場合の電圧行列が得られる。 2．4 直列接続 図一9は，固定子A相の巻線が直列に接続されてい る図を示している。図一9から分かるように，ia1＝ia2 ＝iaoであるから， iao 図一9 固定子a相の直列接続 Fig．9 Series connection of a−phase stator windings． となり，直列接続の場合の電圧行列が得られる。 3．諸特性の導出 ⑫ （13） 並列接続と直列接続の場合の電圧行列（9）式と⑬式か ら後の解析は，二極の三相誘導電動機の回転子バー断 線時の解析と同様の方法で行なえばよい4）。ただ，イン ピーダンスに乗ぜられる定数が異なるだけである。 （9）式と⑬式に対称座標法を適用して，対称成分に置 換し，整流行列を乗ずることによって，（14）式が得られ る5）。 Vs” r z㌫， Sγ2， ≦争1 rr 19’ （14） （14）式において，並列接続と直列接続の違いは，イン ピーダンス行列の各要素の値だけである。すなわち， 並列接続の場合の［Z勾，［Z診1］，［Zξ司，［Z。，］は，それぞ埴列繍の場合の土吉歩十である・
（14）式から後の解析過程は，梨大研究報告No．34の二 極の誘導電動機の回転子バー断線故障と同じである。 したがって，a相の電源電流isaは，isa ＝：V21 lail cos（ωt＋α＋9P。、） ＋∀傷1ゾα21cos｛（2s−1）ω彦＋α＋2β＋ePs2｝ （15） ⑮式より，電源電流i、aは電源周波成分の1。iと，回転 子バー断線が生じた時に流れる（2s−1）ωの成分の1。2 の二種類の周波数の電流の合成であることが分かる。 回転子バーに流れる電流irは，
十研＝万
1．Z ril COS（S（vt＋α一β＋qrl） 11r21 COS（scvt＋α一β＋ePr2） 11ηml COS（Sωt＋α一β＋qm） ㈹ である。（16）式より，すべり周波数である回転子バーに 流れる実効電流Irは，各バーによって異なる。その電 流の不規則の分布を検出することによって，その断線 故障を知ることができる。 瞬時トルクriOは， ri。＝rm。＋rp。 （1カ である。⑰式は，瞬時トルクrioが平均トルクrmOと回 転子バー断線故障によって生じる28ω成分の振動ト ルクrp。の合成であることを示している。したがって， バー断線故障は2sω成分の検出によって診断できる。 ⑮∼⑰式はコンピュータを利用しなければ，実質上 の計算は不可能である。そこで，これらの数値計算を 行なうことのできるプログラムのフロー・チャートを， 図一10に示す。このプログラムは二極でも，四極でも， 並列接続，直列接続にかかわりなく共用できる一般性 のあるプログラムである。図中の記号で不明なものは， 前記の研究報告に説明されている。 4．任意極数（P，極） 図一11はP々極数の場合の三種かご形誘導電動機の ［・rl ’t］［’Z−s−r．t；t；／］［≠コ［Kre’］ 断線箇所No
’ 、 図一11任意極数の回転子断線時の巻線モデ ノレ Fig．11 Winding model of arbitrary−poie induction motor with rotor−bar faults． 巻線モデルである。×印は1番の回転子バーが断線し ていることを示している。これより，前記と同様に電 圧行列を求めると，⑱式となる。 γL1 Z1， Z2，……， Ziρ， 1ア 1刎 γ二2 Z1，Z』2，……，ち， 2γ ∫μ2 ＝ ： ト、 l奄堰_！
九ρ zρ1，z蕗……，zρρ， ρア ∫ψ ア γ1， γ2， ， r， rr ア ⑱ 図一10 フローチャート Fig．10 Flow chart． 固定子巻線の各相を，すべて並列接続にすると， Vu、＋V。2＋……＋V。ρ ＝（P，／2）Vs 1刎＋1。2＋……＋1砲二1． Zl 1十Z21十……十ZP i＝ZSS ZI2十Z22十……十Zp2＝ZSS Zlρ十z』ρ十……十Zpρ＝Zss 名。＋孝。＋……＋t，， ・ Zsrl 舌了∫μ1十fir21u2十・・・… 十Zrrt…∫uρ＝漏Zs／（P，／2） という関係が成り立つので，次式の電圧行列が得られ る。 Zss／（P，／2）， 8r ， srl／（、P，／2） 1』 rr r ⑲ つぎに，固定子巻線の各相をすべて直列接続すると， V。i＋V。2＋……＋V。p ＝Vs I。i＋1。2＋……＋ 1。p＝（P，／2）ム （1。i＝ 1。2 ＝＝……−1。ρ） 宏Zμ1十牙訂μ2十……十翻ψ＝漏1s その他の関係は並列接続のみと同じであるから電圧行 列は， r （P々／2）Zss， sr2 ， sr1 rr r ⑳Is Kp Ks Zss Zss Zss 図一12 固定子a相の回路 Fig．12 Circuit of a−phase stator windings． である。 最後に，図一12のように固定子巻線がKp個の並列数 と，K、個の直列数を含む任意極数几の回転子バー断 線時の三相誘導電動機の電圧行列を求める。 仮定から，」陥1ζ，＝＝ P，／2である。また， Vui十Vu2十……十Vuρ＝Kp Vs Iui十lu2十……十1uρ＝K。1s 者五1七左ん2＋……＋Zrrp1。P＝Zs］S：ir2（1。IKp） その他の関係は並列接続のみと同じであるから， あるいは， Zss・Ks／Kp， sr i／Kp ls 伽） ラムが，そのまま利用できる。その時，最初のインピ ーダンスの読込みのデータが異なるだけで，その他の プログラムの内容は，まったく同じである。 5． む す び いままで述べたことをまとめると，以下のようにな る。四極および任意極数の三相かご形誘導電動機の回 転子バー断線時における運転特性を求めた。その場合， 固定子巻線の各相の接続方法が並列か直列かによっ て，同一故障でも運転特性が異なることを示した。固 定子巻線がKpの並列数で， Ks個の直列数を含む任意 極数の場合でも，それらの運転特性が得られることを 示した。 今後は，運転特性の計算と実測を行なって，解析結 果の妥当性を実証し，実用に供しうるようにする必要 がある。 最後に，この論文をまとめるに当たって，有効な助 言をくだされた山梨大学の数野教授と電気工学科の諸 先生，東京電機大学の磯部教授に感謝の意を表します。 sr2 P ， rr r
