有限次元の空間のノルム

(1)

変分法・解析力学：演習問題

1

有限次元の空間のノルム

(V,∥ · ∥)を有限次元ノルム空間，dimV =n^とし，V ^の基底x1,· · · , xnを固定する。任意のu∈V は定数{cj}j を用いてu=c1x1+· · ·+cnxnと一意的に表わされる。そこでV ^{の新しいノルムを}

∥u∥max := max

j=1,···,n|cj| で定義する。

(1) ∥u∥maxがノルムの公理をみたすことを証明せよ。

(2) ^定数M >0^{が存在して，任意の}u∈V ^に対して∥u∥ ≤M∥u∥max となることを証明せよ。

(3) ^定数m >0^{が存在して，任意の}u∈V ^に対してm∥u∥max ≤ ∥u∥となることを証明せよ。(^背理法，Bolzano-Weierstrassの定理を用いて証明する。わからない場合は文献を調べよ^*1。)

(^注意) ∥ · ∥1, ∥ · ∥2を2つのノルムとするとき，定数M, m >0^があってm∥u∥1≤ ∥u∥2≤M∥u∥1

が成り立つとき，これら2つのノルムは同値であるという。上の問題の結果は，有限次元ベクトル空間上の任意のノルムは∥ · ∥max と同値であることを示している。したがって，有限次元ベクトル空間上の任意の2つのノルムは同値になる。

2

有限次元の有界作用素

V, W をノルム空間とする。線形写像T :V →W ^{のノルムは}

∥T∥:= sup

u∈V\{0}

∥T u∥W

∥u∥V

で定義される。これを作用素ノルムという。∥T∥<∞となる線形写像の集合をB(V, W)^と記す。

(i) ∥T∥<∞であることの必要十分条件は，定数C >0^{が存在して，任意の}u∈V ^に対して

∥T u∥ ≤C∥u∥

であることを示せ。

(ii) V が有限次元空間なら，任意の線形写像T : V → W は有界であることを示せ。(^ヒント：

u∈V ^をV ^の基底e1,· · · , en,n= dimV を用いて表し，三角不等式を使って∥T u∥^を評価せよ。前問の(3)^{を使って，問}(i)^の定数C^{を定めよ。})

(^注意) (ii)^{の結果は，}V ^{が有限次元なら}B(V, W)^は単にV ^からW への線形写像の集合であることを意味する。

3

線形作用素の基本的性質

(1) V =W =Rⁿ^{の場合を考える。}Rⁿ^{のノルムは}Euclid^ノルム∥u∥= (u²₁+· · ·+u²_n)^1/2^で定義されるものとする。ただしu = (u1,· · · , un) ∈ V^{。線形写像}T ∈ B(V, W)^{は行列要素}tij

*1関数解析の教科書にはたいてい書いてある。例えば，関数解析(^{黒田成俊著，共立出版})

1

(2)

を用いて(T u)i=∑n

j=1tijuj と表すことができる。このとき，

∥T∥ ≤(∑ⁿ

ij=1

t²_ij )1/2

を示せ。

(2) V =Rⁿ^{であるとする。}f ∈ B(V,R)^に対してh= (h1,· · · , hn)∈V ^{が存在して} f(u) =⟨h, u⟩:=

∑n j=1

hjuj, u= (u1,· · ·, un)∈Rⁿ (1)

となることを示せ。

(^注意) B(V,R)^をV ^{の双対空間といい}V^′^{で表すが，}(2)^はV ^{が有限次元なら}V^′^はV =Rⁿ^と同一視できることを意味している。

4

簡単な場合の

Fr´echet

微分

a, b, c∈R^とする。V =R²^{とし，汎関数}f :V →R^をf(x, y) =ax²+bxy+cy²^{で定義する。}

(1) ^点(X, Y)∈V ^においてf ^がFr´echet微分可能であることを示しf^′(X, Y)^{を求めよ。}

(^ヒント：f^′(X, Y)∈ B(V,R) =V^′^なので，h:= (h1, h2)∈R²^{に対して，}

f^′(X, Y)(h) =⟨f^′(X, Y), h⟩

を求めればよい。)

(2) f ^が2^階Fr´echet微分可能であることを示し，L := f^′′(X, Y)^{を求めよ。}(^ヒント:^導関数f^′ はV ^から V^′への写像なのでその微分は L ∈ B(V, V^′)^{である。すなわち} u ∈ V ^に対して Lu∈ V^′^であり，h∈V ^に対して(Lu)(h)∈R^{である。したがって，}L^{を求めるということ} はu= (u1, u2)∈V,v= (v1, v2)∈V ^に対して

⟨Lu, v⟩ ∈R

を求めることと同じである。) (3) ⟨Lu, v⟩=∑2

i,j=1uiLijvj となる対称行列L= (Lij)^は何か？

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有限次元の

Fr´echet

微分

V =Rⁿ^とし，f :V ∋(x1,· · ·, xn)7→f(x1,· · ·, xn)∈R^は2階連続微分可能であるとする。

(1) ^点 x = (x1,· · ·, xn) ∈ V ^{における} f ^の Fr´echet ^{微分} f^′(x) ∈ V^′ を知りたい。u = (u1,· · · , un) ^に対して⟨f^′(x), u⟩ ^{を求めよ。答えは，}bj(x) = ∂f /∂xj, j = 1,2,· · · ^を用いて表わせ。

(2) L=f^′′(0)^{とするとき，}⟨Lu, v⟩=∑n

i,j=1uiLijvj となる対称行列L= (Lij)^{を求めよ。答え} はaij = (∂²f /∂xi∂xj)(0)^{を用いて表わせ。}

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