九」旺業大学研究報告（工学）N・．391979年9月 1、3
薄膜導波路に於けるTE−TMモード位相整合のための
誘電定数間の関係
（昭和54年5月29日 原稿受付）
電子工学教室 羽 野 一 則
電子工学教室高樹慶次
Relati・ns am・ng Dielectric C・pstants f・r Phase−Matching betweelコ TE and TM Modes lIl a Thin−FiIm Waveguide
by KazunOri HANO Keiji TAI（AGI
SYNOpSIS
Ph・s・・m・t・hi・g b・tween・ig・n TE and TM m。d・・i・・thi・・film・pti・al・v・v，g。id。 i，，，q．
・i・lt・t・d・vi・e・・pP】icati⑪11s such a・p・1・・i・ati・n c…e・t・・s， m。d・！・t。・s，・。d gyrat。，s。t。．
H°weve「■・an n・亡・lw・y・b・p・・f・rmed f・・e…y・・mbh・ati…fth・medi・whi，h、。n，P。，，
the gljdi119§ysten1．
Tllis paper preserlts the relatiolls among them亡hat are indispellsa1〕］e to achieve phase−
m・t・hi・g i・th・sl・1バ・av・即ide， whi・h c・n・i・ts・f unlaxi・l a・i・・t・・pic sub・t・・te・hd｛s。t，。pi。
film and top layer・It is曲owll that the positive ulliaxial substrate can be used when its optic axis js P・・all・l t・th・p・・P・g・ti・n di・ecti・n・・th・1・｝・ed di・ecti・・， whil・the・eg・ti・e・n・。・ly when p，，、
pendiclllar to both directiolls． In tlle first case the index of refraction of the f｛1nl needs to be slightly larger thall that of the stlbstrate， bllt言11 tlle remaining two ca8es tlle illdex difference be relatively large．
Lまえがき いずれかに噺する3つの土胎について検討を行なって
いる。その結果，正の単軸結晶を用いる場合にはその光 灘灘路を恥た偏波面変鍵，光変調器，スイ．。 軸を波の進行施と一致するように決めるか，ま端爵 チやアイソレータ、ジャイレータ等の受動，能動および を成す方向に一致させるかしなければならない。一方，
非誼反素子1川や，また，多重層に於ける光トンネル効果 負の単軸結品のときには，層を成す方向と波の進行方向 による共振偏波面変換素ヂ）などでは導波路の固有T とに直角な向きに光軸を決める必要がある。また，第1 E TMモードの位摺整合（すなわち，位相定数の縮退） の場合には薄膜と基｛臣の屈折率が非常に接近しているこ が頸なことがらである．しかしな力司髄の獺の と唖求されるカ1，．他の2つ囎合には屈折率差の比較 麺合せでは必らずしも位相整合を行なうことができるわ 的大きなものが要求される。
けではなくぼの撒定数だけ霞まる条件を齢して
し剤ればならない。 2・駆のための一酬撫
本1靴錨のみを軸鑑，の醐憧類とし，洲， 剛路の欄姻一1に示すようい，ぎ胴、一様に 上嶋方性纈とした平板酬掘｛こ脚て，TE 広がっ騨板状のものである．波は・方向に伝搬する。
モ、ドとTMモードとが位欄合古ための系囎質が 媒質はすべて無損失囎聯で籾、その避葺、は舗
満たすぺき条件について，異方鯉質の光軸が座鞠の 域とも剛でユ・幽・の値。＝。、であるとする．上聯匡
］n・1
膜肚もに等方性囎であり謡電率はそれぞれ・…1 雇パ、后 ・ 〔101
・…である・ただL・・願割コの誘輝である譲板 ・・，ニm・・（石，、厄、・司 ｛川
は単軸結晶の異方性媒質であり，その誘電率テンソルは
次式で与えられる。 ． ｝いパ゜または正醜数
巨〕＝
本諒では光軸がエ，y，耳の各軸と一致する3つの場 靭（砺）＋ψ f（1」ば）＋舶 π Ol｝
台を考える。このとき，｛ユ）のパラメータの間でモれそれ となるような〃＝脚が〔101の範囲内に存在すれぱよい。
ε］≒ε2＝ε3・ε1＝ε3≒ε2，ε1二凸±亀が成立つ・ 本請の目的は伽）の範囲内に常に閏の解打＝」rdを見つけ るように誘雷率問の関係を求めることである。
E ＝ Eo Et 簡単な考察により｛1三）が成立するのは川ε＝」ぬ，のとき に限ることがわかる。すなわち，同次モード問に於いて
翌 d ε＝ε。εf 鵬縮退し隔．このとき（ll｝は
宕 ［ε］＝ε。
ε1 0 0 0 ε2 0 0 0 E3
図一ユ 平板状導波路
PF（ηの＋ψE（1rd）＝P、tr白rゴ）＋ψ♪r（，〜ば） ｛12〕
と書き換えられる。聞によればεゾ〉ε，であるから，㈲，
（71より常に旺く卿∫であろ。したがって，｛12 ）が成立った めには，ψE＞ψu，すなわち，
〆＝∫・膏〉（εノ、馬）、／が一ε3／、百榔
さて・導波モードが存在するためには誘電率の問に が成立つ必要がある。〔131の不等号を等号で置換えたとき の〃の値を加とすれば
ε輌．ε言，εコ＜ε∫ ｛2｝
の酬が必要である．また，各比誘電皐は1より大きく ・・；＝・・（・｝一・副・｝一・1ε・｝ U』
、、識ε，、ε、．、ノ≧1 （3｝ である・したがって訓端立つ・・σ獅鰍醐四
の場合が考えられろ。
とすろ。〔11の誘電峯テンソルを有する導波路（図一1） ㈹ ξ／〉、認 のとき η＜〃。に方ξいて の固有モードは丁EモードとTMモードとに分籠し，そ このとき，佃はり縮退可能なηの範囲は次の2つの場合 れそれの固有モード方程式は膜厚をゴとして に分けられる（図一2（a〕，（助。
帥・）＋ψ・ω÷・〃炉ゐ・亙・ノ・・一・ 2 団 （相）、・言臼。のとき，，．翻く渇の緬 駒，ω端ω＋脚・袖・時一〃コ ㈲ 嗣）・・。≦面のとき、、，臼く、、。の醐
となる；，ここに，添宇E−1『はその曇がTEモード， T ㈲ ε∫＜、后 のとき η。＜〃に於いて Mモードに開するものであろことを示してお1入 このときも，次の2つの場合があ6（図一2（c），（識。
η：実効屈折率
々。＝2調（λ．、真空、1、のi庄長） （B D ・＜〃・のとき・1・＜・・＜・／三剛囲
繭｝＝t、眺后施一同 ㈲ 働」1・≦11・のとき・ ・口く石の剛
転ωニtan−1侮ノ田・ぽ一ε」、／・，田 σ｝ さて，ξ已叶ψ、巨＝El〃川ま，，の単調増加r蝦で ψ五（泊＝｛an 1｛・ノ弄一三占癖1 聞 ある。曲，㈹に胎ける縮退可能な〃の範囲を一般に，
ψ1r（）2〕＝tan−1｛（ε」」、ノ＝）v后『一ξ3み砺戸｝ ｛g〕 〃、≦〃≦〃三とすれば〔i2 ）が成立つためには
Io5
l l
；詩i ；」。ii ilgi li≒1
国， ・≦オ氏・厄 倒，」・≦，」＜恥 伺， 。≦ノ氏、何 ωいr．≦，氏、信
図一2縮珂能蜴合（ 〉σ｝とその範囲（太線部）
r＝、／」〜2一ε：，σ・＝（ε∫／、騙）、／〃2＿ε3
川ξE（ h）〉ξ訳川）才ゴよびξτ（」1三）＜ξパ恥｝ （iい12＝、石フ＝百一のとき
〔1・1），（い2） ㈹で不等号が逆になればよい。したがって
または 、ξ㌫．認〉，ハ・ξ，一．抽・つ議、，
α1〕ξE（川）〈ξ、、r（川）および鼻（姫｝〉ξ．、r（恥） （］9 1｝・（19 2）
｛n・1），（H・2） を得る。
となればよいパ下一ト］）一（n，2）端り立った （iiい ・引・・のときは成立しない・
めの誘電定数問のr縣を求、うるのであるが、まず，。＝ 次に・ ・＝・・1に．ける（1 1）・（i 2）が瞳っ耕
，嘲ナる（卜2），（日）端立する条件を求める。 を勅る・，・1の値は，11ニ…または〃1−…である・3・
，，，の値蹴（B時；け訓の範囲によい，＝、厨 剛らかに㌔ように…≦・・とならねばならないので，
ω＜δ《1，δは肝の剰拭でδ＿。と詞る）、註 〔鵬副こ肌ては識＝・鳳・1・一忘σ）2勘端
1緬＝恥である。 討すればよい・
日・2）の条件 （1 ］）の条1王F
｛山、，．、硫のとき 川・1r・・＝石のとき
輌，）一ψ畑軸（）〜，）一，嗣 ㈹ ・ ・（・偏）端恥夙・（間
となればよい。この右辺は7；rに正であるか軸酬で とな］tぱよい・これよりξ・について〜1この関係を得る・
あれ風㈹は常に成立する。すなわち， 島くε∫＜ε3口＋ピτ蔦み〆葛一ε、） 酬 ・認・認＜ε」、／＝ 価1 または，εrについて，
一方・ψ・〉ψ・，のときには ξ。〈ε已・， ． ⑳ ・縮・⊂〉εヱ、／＝ （】7・1） ξ㌍ε、一ξ…（ε亡ε2）／（εゾーε2）・ ［Rl
かっ を得る。
｛iil川＝」↓［＝、メ言のとき εr〈⇔ ｛］7・2）
ε1・ごεノー｛・認／、認一εノ、／＝；）： ㈹ ψ∫：｛、〆τ：）〉蜘∫（ゼ官｝
となればよい。 となればよい、これより，，または，，について
ih ・＝・刷とき 、，＜． 訂自、二自 信一ξ3 e3〕
摺蕊：、㌫㌻こ…であるか：1意屡蕊｝ 〔21｝
佃田の条件 ，。ニ，‥，，（・呈一ε1ε、）畑一ξ副 ｛25）
ユ06
をP拓。 ． である。この第ユ項と第3項との開係により，ωを用い 圃 川＝掬のときには成立しない。 てε：〈自＝ε3．（負の単結結晶）でなければならないこ （1］・川の条件 とがわかる。また，第2項と第3項より
（i） 」力二」rτ＝・ノ冨のとき ． ε3くε∫＜ε占くε亡 ． ． ． 1331
9・庁｛4τ≡「）＋ψ￡（、／三）＜P・∫（、／吉｝ εb＝ε3（1十4COSθ」）／3 〔30
となれぱよい。これより を得る。ここに，ξ6は閲の第2項と第3項との問の不等
畠｛1＋・巨く巨）＜身 四 實霞：麸㍍竃㌶㌶蜜蕊菖
εr＜ εtf 〔呈η →
る。また，ε，は｛加で与えられる。島く烏の証明は付一 を得る。 2に与えてある。
． 次に，2．の田｝について考えると，（H・1｝の条件は成 （li｝η1＝提＝v信このとき
立しないことがわかる。すなわち，（A・1）の場合縮退 ψE｛、后）＜ψA，（、届） 可能なηの範囲は，〜，＜H＜、后であるから（H・1）の
となればよい．これより 紺のうf5（i澗を鮒すれ ギよい・㈹のときは卿
㈱とにより，ε∫〈臼となるため仮定②に反する。また，
・ノε1ε3｛島一ξ2）／、／εr一ε3＜ε了 囲 〔Dのときは，伽，（測，倒によりε，〈1 となるため仮定
：：芸三：1三認｝ 四 ll：鷺1こ1芸纂麗鷲ま蒜；：慧∵
｛1・2）の川の条件のうち（1θは成立しない。（1ηの方は可 を得る。 ，
能である。ε，≧1を用いれば，ε∫について 6iD 川＝恥のとき
融。）〈輌。）であるヵ、ら常に臓する。 ・胴〉・・ノ・扁一・・ノ・巨
以上より，縮退するためには働または（B｝の範囲に於い が必要である。したがって，ε了とε」に日して て，｛1）または田〕の条件を満足すればよい。なお，次乖の
議誹於いて条件（3｝を難するために調の、。を1と ε・＜ε・＜ε・一≦・κ・・ 田
比較しておく。すると， とならねぱならない。ここに，εロは次の方程式
『二1：：三）＜当 伽｝ 厄 ＝自μ『『一砕扁 閲
の解で これは数値的に求まる｛図一3L図一3には，
εc＝εコ｛1＋、／＝／、后＝丁） ｛31｝
参考のために，島．εごが描いてある。したがって，（1 を得ろ。 ・2）の条件として，ε∫についてはli田，1鋤より，またε については（39より
3具鯛1 @ 、。＜、、＜，、のとき区、，＜εロ 0
3．1 光軸が〃方向にある場合（ξ1＝ε3±ε2） ． を得る。一方，日｝について検討すれば，｛1・］）の耐の
が二：1るから馬 の㈲；蕊驚繍蕊｝㌫
（A・1）の場合：
ぱ、ユ≦ε、くε，を得るロしたがって，〔1・1）の条件とし コ
ξ・・ε・＜ξ・＜，・・ 働 ては，1≦，，＜、，となる．以上より，｛1）が成立つのは，
。各鱈、1、．。と、、の記号を用，鋼， （卜川と〔レ2）の樋唖鯛ηとなる・これ力耽
適用範囲はその節たけである。 川の場台の糸件である。
】骨
1．1
1．ユ
1．05
1｛〕7 〔㌍2 であるから，この第ヱ項と第2項との関係よワ，ε2＜ε、
ε。。 また，第2項と第3項より
ε凸 ≦ ε∫ （3gj
とならなければならない。一方，把＝π。であるから，〔D の場台だけ轍討すればよい．（1朝1こ対して剛よ cコ．2 り常に成立つ。一方，（1・Dに対してはその㈹と閲とに
ξ占≦ε∫のとき ε3≦εr＜輪 帥1 を得る・またωに対してはパ0酬および，、〈，。の悶，
係とωを用いて，
］．00
L・・・・・…㌔・95L−・・ 1：1竺蕊∴鷺｝杣 逗一3欝燭憩㌫イ：㍍、、る を鞠蜘閣めると
（A・2剛合・ @ 1：：ll＜冷i∴慧証 ・21
ξ㌔ ε3＜」〜6≦εゾ ｛3且｝ となろ。
1．5
1．0
0．5
0
εfヨ
ユ．0 1．1 ］一・2 1．3 1．4 図一4 縮退可能な誘電定数を与える曲線（c軸，ク〃軸，負の単軸結品）
各パラメータはεユで規格化されている
108
以一L・｛A・］｝と （A・2）の場合をまとめれぱ c
三i竺竃三1三ヲ ㈹L
I
は凸＝ξaで規格化してあり，縦軸ξ、コ全ε，／臼，描軸 ε力全己r／ε3とし，異方性の大きさ亀，二ε記ε3をパラメ
ータとして，・。≦・。／・、，ε，。全・4・，，、⇒、。／、3 エ」
を描いてある｛ただし，＆に閏して，ε，；＝ユ／εユのグラフ
ピョヨコ は描かれていない）。図一4を用いて縮退する媒質を選択 Eコ4 するには次のようにすればよい。異方性媒質（ε、ニε、＞ Lo ε2）が与えられると，ε日＝1∫ξ、の直線を引き，同じε艶
に対すろ曲線（ε廊，ε。コ、ε江3）とこの直線とで囲まれる
領域内に，点（ξ臼，ξ日｝がはいるように，ε∫，ε、を決 1 0宏
定すればよい。 ㌔一・・，，
32光軸が訪向にあ嚇合（・∈・・＝・・） 図＿5方程式｛駒醐駈．，と。。，山，
この場合も3．1と同様に譲論すればよい。ε，，εコ＜ε∫ 各パラメータは飾で規格化されている であるから，、／ε1ε3＝、／ε2自くεノとなる。2．のG、）が可能
である。 の解であり，この数値解を図一5に示す。図一5には，
参考のために，畠，εcが描いてある。したがって，（1・2｝
（A°Dの糖； の鮒として，、，1・対して1綱と㈹より，また、，に対 、，烏く．．＜。1 ㈱ しては・〔」1は1〕
である．第噸と第頭との関係より，、1＝、、＜，疵 ・＜ε・＜ξ・のとき1≦・K・・ （］
の単軸結晶）でなければならないことがわかる。また， を得る。一方，（1・Dの㈹の条件に対して，則とε ＜εノ 第2項と第3項とから とからε，について自工ε，＜ε∫を得る。またG｝の条件と
、K，ゾ価く，c ㈲ して鵬15｝とを髄して，ユ≦・・＜・・を得る・端 、、＝｛、、＋2、縮珂，。、醐 ・㈹．〔団の条微1≦・ ＜・・となる・したがって珊
を考虚すれば（A・］）の場台の条件ぱ帥となる。
を得る。ここに，ε占は㈹の第2項と第3項との間の不等 （A・2）の場台1 号を等号で置摸えたときの￡∫についての解であり，その
導出およびθ．の具体式鮒ヨ1、与えてある。ε，馴で ・・，・・臼；＜・・ （到
与えられ，乱くξcの閏係は付一2で証明される。2．の価 であるから、第1項と第2項より ξ1＝凸くE且（正の は成立しないことがわかる。というのは（II・Dが成立 単軸結晶）とならねばならない，また，第2項と第3項 しないからである。そこで，｛Dについて検討する。（川の とから
ために，（卜2）の（i〕の条件のうち（mだけが可能である。
Uηより，、，≧1を棚する已1± … 鮪 ｛5D
、、＜、。＜、，のとき1エ、，，、。 ｛」1〕 とならね胸らない・ここに・・酬で敏られる・3・1 の場合と同様にして
とならなければならない。ここにε血は次の方程式
ゴ胴r。厩／、㌃一自／、后 ｛18｝ 1：lll＜ε 蕊∴：：：1：｝ 閲
lU9
E 亡3
1コ
1．0
0．5
parameヒer ： ε23 一一一一一一 〇．920ρ旦，一一一
〇卓80go94
Ef3
1．O l．1 1．2 1．3 1．4 図一6 縮退可能な誘電定数を与える曲線（c軸汐二軸．正の単軸結晶）
各パラメータはε3で規格化されている
をlil：＿〔A．鵬合をま＿ぎ ：：1：1㌫㌶：；lll｝｛56｝
iii三ll璽i三1ヨ｛㌧な1㌔∴＿＿る：1）
よって、α｝の条件として，｛51ト〔55はり
．ヒなる。これよリ図一6を得る。図一6ではパラメータ
は・、で規靴してあり国＿1と同蕊手法によ。禰 ε・＜己 ＜細のとき臼εκε・・ 抽｝
退する媒質を決定できる。 を得ろ。同様にして，岡のヨ…件が成立する崇件を求めれ 3・3光軸がcτ方向にある場合（ξ、±ε。ニεヨ ば，
端；㌫蕊ii㌫ば籔のと一≦臼の一く− 1591
＿＿ を得日。魚件｛3｝よリε，≧1であるから，5¶のε、．を1と
眠己 ＜緬 帥購、ξすると，
とな⊃ねばならない．励より，，，＝、，＜、1（正碑齢i
糠：㌻い一］杣次に醐立つ：：二lll蕊烈 （師
となるoここに噺
：1：i；：き；：：三：ll蕊：｝ （55） 臼＝亀（，＿D／（㍗認一自一1） （丘‖
聞ろ．モこで，，，と、，の刺、関f剰こついて㈹より で、筋。Lたが。て、勅るべき，吉限t
llO
ε口
