日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
1
数 B
数学的帰納法
（ ）
全ての自然数 で成り立つことを証明するための方法
n
数学的帰納法の原理・等式の証明
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そのためには, 自然数 を含む式 について以下の二つの ことを証明できれば良い。
n (A)
[1] ( ）のとき,
(A)
が成り立つ。[2] ( ） のとき,
(A)
が成り立つと仮定すると,（ ）が成り立つ。
この二つを証明することによって,
つまり のとき成り立つ。
n = 1 + 1 n = 2
さらに,
n = 2 + 1
つまりn = 3
のとき成り立つ。同様に,
n = 4, 5, 6,⋯
のときにも成り立ち,全ての自然数 について が成り立つと結論づける ことができる。
n (A)
の時, 成り立つので のときも成り立つ
n = 1
n = 1 + 1
の時, 成り立つと のときも成り立つ
n = k
n = k + 1
n = 1 n = 2 n = 3
n = 4 ⋯
n = k
n = k + 1 ⋯
n = (k n = (k + 1) + 1 + 2) + 1
n = 1 n = k n = k + 1
数学的帰納法
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
2
数 B
x
例題
解
数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明しなさい。
1 + 2 + 3 + 4⋯⋯ = 1 2 n(n + 1)
[1]
n = 1
のとき, 左辺= 1
, 右辺= 1
2 ⋅ 1 ⋅ (1 + 1) = 1
数学的帰納法の原理・等式の証明
となり,
n = 1
のとき,(A)
が成り立つことがわかる。この等式を
(A)
とすると,[2]
n = k
のとき,(A)
が成り立つ, つまり1 + 2 + 3 + 4⋯⋯ = 1
2 k (k + 1)
が成り立つと仮定すると,
n = k + 1
の時の(A)
の左辺は,1 + 2 + 3 + 4⋯ + k + (k + 1) = 1 2 k(k + 1) + (k + 1)
= 1 2 k
2+ 3 2 k + 1
= 1 2 (k
2+ 3k + 2)
= 12(k + 1)(k + 2)
また,
n = k + 1
の時の(A)
の右辺は,1
2 (k + 1){(k + 1) + 1} = 1
2 (k + 1)(k + 2)
よって,
n = k + 1
の時も(A)
は成り立つ。[1], [2]から, 全ての自然数 について
n (A)
が成り立つ。＞ 第３章 数列＞ 第３節 数学的帰納法 > 第３講：数学的帰納法
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
3
数 B
x
例題
が 以上の自然数であるとき, 次の不等式を証明しなさい。
n 3
2
n> 2n
すなわち,
2
k+1> 2(k + 1)
よって,
n = k + 1
の時も(A)
は成り立つ。[1], [2]から, 以上の全ての自然数 について
3 n (A)
が成り立つ。不等式の証明
数学的帰納法を用いる不等式の証明
数学的帰納法を用いた不等式を証明する場合, 次の手順で証明する。
[1]
n =
最小の値 のとき,(A)
が成り立つ。[2]
n = k
のとき,(A)
が成り立つと仮定し, それを用いて右辺と左辺の差を求める。そして
(A)
が成り立つことを示す。等式とは違い, 右辺と左辺の差を求めるため, 不等式の向きに注意！
解
[1]
n = 3
のとき, 左辺= 2
3= 8
, 右辺= 2 ⋅ 3 = 6
となり,
n = 3
のとき,(A)
が成り立つことがわかる。この不等式を
(A)
とすると,[2]
n ≧ 3
として,n = k
のとき, 成り立つ, つまり2
k> 2k
が成り立つと仮定する。
2
k+1− 2(k + 1) = 2 ⋅ 2
k− (2k + 2)
の時の の両辺の差を考えると,
