日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
2
数 B
x
例題
解
数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明しなさい。
1 + 2 + 3 + 4⋯⋯ = 1 2 n(n + 1)
[1]
n = 1
のとき, 左辺= 1
, 右辺= 1
2 ⋅ 1 ⋅ (1 + 1) = 1
数学的帰納法の原理・等式の証明
となり,
n = 1
のとき,(A)
が成り立つことがわかる。この等式を
(A)
とすると,[2]
n = k
のとき,(A)
が成り立つ, つまり1 + 2 + 3 + 4⋯⋯ = 1
2 k (k + 1)
が成り立つと仮定すると,
n = k + 1
の時の(A)
の左辺は,1 + 2 + 3 + 4⋯ + k + (k + 1) = 1 2 k(k + 1) + (k + 1)
= 1 2 k
2+ 3 2 k + 1
= 1 2 (k
2+ 3k + 2)
= 1 2 (k + 1)(k + 2)
また,
n = k + 1
の時の(A)
の右辺は,1
2 (k + 1){(k + 1) + 1} = 1
2 (k + 1)(k + 2)
よって,
n = k + 1
の時も(A)
は成り立つ。[1], [2]から, 全ての自然数 について
