平面上の曲線，空間内の曲線
3 1 . 曲 線 の 概 念
いま ，
y = j(x)という関数のグラフを，平面上に描いてみると，曲線が できる.例えば
Y=X2のグラフは，よく知られているように，放物線にな
る.
同様に ，
X=g(y)という関数，例えば
x= y2のグラフも曲線である.
y = j(X)
あるいは
x=g(y)は，どちらも
1つの変数を独立変数，他の変 数を従属変数として扱
っているから xと
Uを平等に扱っているとはいえ ない.これらを
y‑j(X) = 0あるいは x‑g(y)=Oと書き直してみるとF(x
，
y)=Oという形に統一きれ xとUが平等に扱われることになる.それだけでな く，F(x，y)=O
という式は，さらに
一般の曲線を表すことになる .X2十y2 ‑a2
=
0 という，円の式もこの形をしている.もちろん y= ::t長亡子
という形にも書けるが， 2つの式を必要とするうえ，式の形が美しいとはい えない.さらにが
+X2y+ 〆
=0のような式になると y= j(X)という形 に書き直すのは事実上難しくなってくる. しかし
F(x，
y)=Oという式は，
いつも曲線を定義するとは限らず，例えば，
X2+ 〆
+1=0は空集合を与 える.F(x，
y)=Oという書き方が便利なのは x，yが実変数でなく複素変数で， しかも
x，
yの多項式になっているときである. しかし，その場合の幾何は，微分幾何というよりも，代数幾何という分野に属している.
『曲線と曲面の微分幾何 (改訂版) ~ (小林昭七著/裳華房)
2 1. 平面上の胸線，空間内の曲線
微分幾何の立場から見て，
一番便利な曲線の表し方は，次に述べるパラメーター表示である .
tを実変数として，
( 1 . 1 )
x = x(t) ， y = y(t)という
2つの関数
x(t)，y(t)を考えてみる .
tがある区間
G云ts : .
bを動 くとき，
(x(t)，
y( t ) ) は平面上に曲線を描く.すでに考えた
y= j(x)とい うような
曲線は，x = t，
y = j( t ) と書けるから， もちろんパラメーター表 示される
.F(x，
y)=Oで与えられた曲線を(
1.1)のように表すのは，実際上の問題としては，難しいことが多いが，
X2+
y2 ‑a2 = 0のような円は，
よく知
られているように( 1
.2)
x = a cos t ， y = a sin tと書ける.
一般に(1.1)
のように与えられた曲線を考えるとき ，
tを時間と考え
tが変るにつれて，点 (x( t ) ，
y(t))が動いていくと考えると直観的にわかり やすくなる
.微分幾何では，その名の示すように，通常 x(t)も
y( t ) も t の 連 続 関 数 で あ る だ け で な く に関して少な くとも 2
，3回は微分可能と仮 定する.ときには
x(t)，y(t)が所々で微分できない(直観的にいうと所々 で曲線にかどがある)場合も考えるが，そのような仮定は，は
っきりと述べなくても前後関係からわかる.
いままでは平面曲線を考えてきたが，空間曲線は ( 1 .
3) x=x(t)，
y=y( t ) ，
z=z( t )
のように
3つの関数で与えられる.も
っと
一般に η次元のユークリ
ッド空 間中の曲線は
( 1
.4) Xl=Xl( t ) ，
X2=X2(t)，
…，
xn=xn(t)と表せる. (ここで
η次元空間の座標を
(Xl，
X2，
…，
Xn)と書かずに
(x¥x2，
… ，
xn)と書いたのは，テンソル解析上の慣わしに合せるためで
x2を
Zの
2乗と間違えないように注意する
必要がある .)ここでは
2次元か
3次元 の場合しか考えないが，ベクトルの記号を使
って(1.4)を
( 1 .
5) p = p(t)と書くと簡単で便利で、ある.
S 2 .
平 面 曲 線 33 2 . 平面曲線
平面の座標系 (x，
y)を使って曲線
( 2 . 1 )
x = x(t) ， y = y(t)を考える. ( 1 .
5)のように( 2 . 2 )
p=p( t )
とも書くことにする. ( 2
.1)あるいは (2.2 )を徴分したものを
(2.3 ) ρ
(t) =(i(t)
， y( t ) )
と書く.微係数をどとか d x / d t と書く代りに￡としたのは物理からの輸 入である .p
(t)が時間 tのときの点の位置を表すとすると，ρ
(t) は動点 の速度ベク トルになる.ベク トル ρ( t )
の長さ ￨ρ(t)1は(2.4) ρ
( t 1 )
=! ( i ( t ) ) 2 +
(y (t) ) 2
で与えられ，運動の速さを表す.同様に ρ
(t)を徴分して得られる
(2.5) が(t)=( . i ' ( t ) ，
y(t))は加速度ベクトルを表す.
いま，曲線
p(t)(0ζt三三b)の長さを計算してみるとl
bρ b 1 ) 凶 ￨ ρ 以 抑 ω ο 州 ( 州 ο 州 t
州)川￨となる.すなわちこれは動点 p ( t )が t=Oから t
=bの聞に動いた距離である.初めの時間
Oは固定し ，
bの代りに変数tを使い(2.6) s =
l
tρ I
(t)I
dtと書くと
sは時間
Oから tの聞に点が動いた距離で，当然 tの関数にな る.正確には
s=
l
tl ρ ( 山
uというように tと
Uを区別すべきであるが，習慣上
(2.6)のように書くことがある.逆に tを
Sの関数として書けるかどうか考えてみると，物理的
に考えて，動点が途中で止まったりしなければ，距離
Sから tが割り出せ
るはずであるから，少なくとも理論上はこれは可能である.数学的には
2
空間内の曲面の小域的理論
s l . 空間内の曲面の概念
平面曲線が
(1.1) (1.2)y = f(x)
，
F(x，y)=O， (1.3) x = x(t)， y = y(t)などという形に表せるように，空間内の曲面に対しても次のような表し方が
ある.(1.4) (1.5)
z=f(x， y)， F(x，y，z)=O，
(1.6) x=x(u
，
v)，
y=y(u，
v)，
z=z(u，
v).(1.4)の表し方は(1.5)や(1.6)の特別な場合とも考えられる.現に(1.4)
は，
F(x，y，z)=f(x，y)‑zと書けば(1.5)の 形 に ，
x=u，
y=v，
z=f(u
，
v)と書けば(1.
6)の形になる .z=f(x，
y)のグラフは/が微分可能 なら滑らかな曲面になるが，
(1.5)や(1.6)の場合にきちんとした曲面になるためにはこれから述べる条件を満たす必要がある
.まず ，F(x， y， z) = 0を考える.微積分で，この曲面の点 (xo，Yo
， ゐ)に おける接平面は
Fx(xo， Yo，ゐ)(x‑Xo)十 九(Xo，Yo，ゐ)(y‑Yo) (1.7)
+
F，(xo， Yo，ゐ)(z一 ゐ)=0
で与えられることを習った.しかし，
(1. 7)が本当に平面を表すためには Fx(xo， Yo，ゐ)， Fy(xo， Yo， ゐ ) ，
Fz(xo， Yo，Zo)のうち，少なくとも
lつ が
Oで
42 2. 空間内の曲面の小域的理論
ない必要がある.例えば
(l.8) Fz{xo， Yo
， ゐ)宇 O
とすると，陰関数定理により ，zを x，yの関数として，( 1 . 9 )
z=f(x， y)と(Xo，Yo)の近傍で書くことができる.よって ，F(x，y，z)=Oで定義され る点の集合が曲面であるための必要十分条件は，まず空集合でなく ，F(xo， Yo，
Z o )
=0 となる各点
(Xo，
Yo，ゐ)において全微分 dF=Fxdx十 九dy+Fzdz
が
Oでない，すなわちベクトル
(Fx，
Fy，
Fz)がOでないことである.次に(1.6)の場合を考える.微積分で点 (x(Uo，Vo)， y(Uo， Vo)， z(Uo， Vo)) における接平面は次の形に書けることを習った.
x ‑xo y ‑yo z‑
z o
( 1. 1 0 )
I x，，(uo， vo) y，，(xiuo， vo) y，
μ
to， vo) zv( Uo， vo) ただしXo = x(uo， vo)
，
yo = y(uo， vo) ， ゐ=z(uo， vo)( 1
.1 0 )を第 1行について展開してみると， ( l .1 0 )が本
当に平面になるため には ，x ‑Xo， Y ‑Yo，
z一ゐの係数になる 3つの行列式I
y，，( Uo， vo) z，，( Uo，
vo)I I
z，，( Uo， vo) x，，( Uo， vo)I
I
yv( Uo， vo) zv( Uo， vo)l ' I
zv( Uo， vo) xv( Uo，
vo)I
( l .1 1 ) ι
I
x，，( Uo， vo) y，，( Uo，
vo)I I
xv( Uo，
vo) yv( Uo，
vo)I
の中の少なくとも 1つが Oでない必要がある.例えば 3番目の行列式宇 O とすると，陰関数定理により
z
はx，yの関数として(Xo，yo)の近傍で( l .
12) z=f(x， y)と書ける.
したがって ( l .
6)の式が曲面を定義するための必要十分条件は ( 1
.1 1 )の行列式の全部が同時には Oとならないことである.
以上のことをまとめて空間中の曲面の定義を正式にする.
一番便利なのは曲線のときと同様，
パラメーター表示法(1.6)である. (1
.6)において~ 1. 空間内の曲面の概念 43
x(u， v)， y(u， v)， z(u， v) は (u，v)平面の領域Dで定義された3団連続微 分可能な関数で， Jacobi行列
(1.13) ・ I xu YU ZU I L Xv YV ZV J
がD上の至るところで階数2のとき(すなわち，どれか1列を除いてでき る行列の行列式がOでないとき)， (1. 6)は空間内に 曲面片を定義するとい
う.
(u， v)がD内を動くとき ，(x(u， v )，
y(u， v)，z (
u，v ) ) に
よって描か れる図形を曲面片という.空間内の集合Mがいくつかの(無限にたくさん
かもしれない)曲面片の和集合になっているとき ，M
を曲面と呼ぶ.した がって曲面片は特に曲面である.習慣に従い曲面片のことも曲面と大抵の場合は呼ぶことにする
.曲面の各点の近傍のことを話している限りにおいて は， 1つの曲面片を考えているだけである.この主主では， もっぱら 1つの曲 面片に限られた微分幾何，すなわち小域の微分幾何を論じる.この節を終る にあたって曲面の例をいくつか示してみよう.例1.1球面(sphere): X2
+ 〆 +
Z2 = a2.これの具体的なパラメーター表示としては
(l.14) x = u ， y = v ， z =
J
a2 ‑U2 ‑ V2がある .(U， V)
は領域
D={(u，v); U2十v2<
a2}を動き，そのとき (x，y， Z)は上半球面，すなわち
Z > O
となる部 分を動く.このような半球をいくつか使 うと球面を覆うことができる.しかし計算上便利なパラメ
ーター表示は微積分の 教科書にもでてくるx = a cos u COS v ， (1.15) y = a cos u sin v ，
z= asmu
で(1‑1図参照)，
( u
，v )
が 領 域 {( u
， v); I ul<
π/2 }を動くとき ，(x， y， z)は 球面から南北両極を除いた部分を動く.z
1 ‑1図
3
曲 面 上 の 幾 何
~l.
曲面上の Riemann 計量
この章では曲面の性質のうち，第一基本形式だけにより定まるものを調べ る.例えば柱面
(1.1) x=x(u)
，
y=y(u)， z=vを考えてみる.第
2章
33の例
3.1のように，パラメータ
‑ uは
(1.2)
( 表 r + ( 表 r
=1となるようにとってあるとする
.そのとき，第一基本形式が (1.3) I=(du)2+(dv)2で与えられることはすでに確かめた.す なわち，
(1. 2)が成り立
っている限り，柱面の第一基本形式
(1.3)は平面のそれと一致するわけである.第
2章 の例
3.1で計算したよフに，平均曲率
Hは ，
(1.1)が変ると，それにともなって変るから，第一基本形式
Iだけで定まるとはいえない
.一方
，
Gaussの曲率Kは，どの柱面に対しても 0になるから第一基本形式
Iによ
って定まるのではないかという可能性がでてくる.実際，後で証明するように，その通りなのであるが，このように，第一基本形式だけで定ま るものを調べるのがこの章の目的である.いい換えれば，曲面が
3次元ユー クリ
ッド空間中に入っているということを忘れて，第一基本形式だけを使って曲面論を展開しようというわけである
.したがって，思いきって (u，
v ) を座標系とする平面内の領域
D上に，
第一基本形式のようなもの
~I 曲面上のRiemann計量 87
(l.4)
Edudu + 2Fdudv + Gdvdv
が 与 え ら れ た と す る . ( 1. 4 )は第 2章 の ( 2 . 1 3 )の よ う に ， D 内 の 曲 線
(u( t ) ，
v(t))の長さを測るために使うので(
du
¥2 ， n T 'du d v
， r.(d v
¥2( l .
5)E
( ¥d< ‑ < : ‑
t: ‑
} )+
' u2F
.L 一一一一d t d t ' +
G( u " ¥< d ‑ < : t : }
)は ，
du d v d t ‑ d t ‑
Vでない限り，つねに正であるべきである.すなわち，
(l. 4)は正値形式でな ければならない.この条件は，
( 1 . 6 ) EG
‑F2> 0 ， E > 0
とも表される. ( l .
4)が正値形式であるとき，それを ， D 上の
Riemann計 量
(Riemannianmetric)と呼ぶ.これは1854年6月10日にゲッチンゲン大 学で，当時27歳のRiemannが第一基本形式だけに基づいた幾何の研究を提唱したことにちなんでつけた名である.
(Riemannは
2次元に限らず，
一般に η次元の場合について話をした.
)
(1.5)において，曲線の長さがパラメーターに使われているとする.その
ときは， t の代りに通常
Sを使う.第 2章 ( 2 . 1 3 )の式は
f
β / ，...，(
du
¥2 ， n T 'du d v
， r.(d v ¥ 2 ( l . 7
)I . /
E(一一一)+2F
一一+
G(，V) < ‑ < ゐ
)a
V ¥ぬ / ゐ ゐ
¥ Gゐ/
となるが s が長さを表すパラメーターであることから
(du ¥ n
T 'du d v
， r.(d v ¥ 2 ( l .
8) E(< ‑ < ; ‑
)+ 2F
一一ー一一+G(，V) < ‑ <
= 1¥ G
お/ ゐ ゐ
¥ぬ/となる. ( l .
8)から形式的に
(1.9)
d s
2=Edudu + 2Fdudv + Gdvdv となるから，
Riemann計量(1.4)をαゲと書く習慣がある.もちろん， 第 2 章 ~2 で考えた空間内の曲面の第一基本形式は， Riemann 計量の重要な例であるが，ここでは領域Dに直接定義される Riemann計量
で応用上重要なものを 2 つ挙げる.
88 3 曲面上の幾何
伊JI1. 1
領域
Dを
u2+
V2<
1で定義される単位円の内部とし
2 ̲，
(
dU)2+
(dV)2 ds" = 4{1一(u2
+
v2)F (1.10)とおき，これをポアンカレ
(Poincare)計量
(Poincaremetric)と呼ぶ.とおいて複素座標を使うと
( 1 .
11) d 2‑4duy daS
石 て 百円吉
とも書ける. (ただし，
dw = du+
i dv， dw = du ‑i dv )•
ω= u
+
iv例l.2
領域
Uを
{(x，
y); y>
O}で定義される上半平面とする.z=x+iyとおいて複素座標を使うと，虚数部分が正の複素数の全体とも考えられる.領域 U上に
(1.12)
という
Riemann計量を考える.
ゐ
2ー (dx)2+
(dy)2 y2これも
Poincare計量と呼ぶ.
上の2つの例は見かけ上は違っても本質的には閉じであることを説明し
•
ょ関数論ですでにおなじみの読者もあると思うが
7.
(1.13)
.1‑ w
z = Z 1
+
wに よ っ て .
D={ω; 1ω1<
1}と
の対応がつく.実際
U={z=x十iy;y>O}の 聞 に1
対
1( 1 . 1 4 )
2u i=z
z
=il二 竺
+iI‑a
. 1
+ω
1+ W 2(1‑ww) ー一(l+w)(l十勿).
であるから，
y>Oとなるのは
￨ω12<
1のとき， かっそのときに限る.
また.
(1.l3)の ωをzについて解くと，(1.15)
となるから，
(1.l3)の逆写像が見つかったことになる.したカまって(1.l3)
と(1.
15)はD ， U 聞 の
1対
1の 解 析 的 対 応 を 与 え る こ と が わ か っ た .
4
Gauss ‑Bonnet の定理
~ 1.
外微分形式の積分
(u， v)平面内の領域Dで定義された1次微分形式 (1.1) r:p=/du
+
gdv とD内の曲線(1.2) C: u=u(t)， v=v(t) (α豆tζb) に対し，積分
(1. 3)
1
r:p=l
b( /安 ー + g f t ) d
が定義されることは，微積分の線積分のところで学んだはずで、ある. 領域Dで2次微分形式
(1. 4) ゆ=hdu
^
dv が与えられたとき ，D
に含まれる領域A上での積分を(1.
5 ) 1
o=/ 1
hdudvと定義する.2次微分形式が /dv
^
duとか /du^
dv+
g dv^
duの形 に与えられたときには，まず ‑/du^
dvとか(f‑g)du 1¥ dvの形に直してから(1.5)の定義を適用する.例えば
I /
dv^
du =I ‑ /
du八dv (1. 6 )
JA JA= 広 ‑ / ぬ ゆ となる.
~ 1. 外微分形式の積分
V.l U
日 醐崎ー C コ
. .
u Z
いま (X，y)
平面の領域
Bと(u，v )平面の領域
Aの聞に変換 ( 1 .
7)x=x(u
，v )
， y=(u，
v)が与えられているとき ， B 上の微分形式
kdx^
dyに対し
( 1
.8)/ dX . ， dX ¥ /何 ? ¥
kdx八dvy = k( ¥ du '::~ du ~~
+
， :~ dV dv ~V 1^
(二iZ‑du +
ニ乙dv
1/ ¥ dU ~~ ， dV ~V /
/ dX d1./ dX d
打¥
=k
( ーと一一一' : : "
ldu八dv¥dU dV dV du /
。
(X，
y)= k
一一一。 (u ，
'v‑)+‑ du^
dv123
1 ‑1図
トだし
ニ(ーい ) l b / O Z 4
，
d(U，
v)I
dy/dU以 I
)となり， 微積分の二重積分のところで学んだ公式
r
，1r r
1 1 1 ¥ 1 ¥ ¥ d(X，
y)( 1 .9 )
JJB1 /
k(xf l . ¥ . . t . ， ，
yYI ) dxdy u...<‑u，y ‑= JJI /
A k(x(u" ¥ " " ¥ " " ， ，
vV h )，
y(uY¥""， ，
vVII ))一一一f
d(U， v )
‑dudv
は ， ( 1. 5 )で定義された積分が座標変換で不変で
、あることを示している
.微分形式の外積を使うことにより，座標変換の際，
Jacobi行亨IJd(X，
y)/d(U，
v )
が自然にでてくることに注意しよう.いま，1次徴分形式￠が特に関数
f
を使ってq;= df の形に書けるとき には，積分(1.
3)は
( 札 1 .
10ω1 df=
可f パ ん
(μ刷
Zと書ける
.これは，徴積分の基本定理に他ならない.これを 2次微分形式に
124 4. Gauss‑Bonnetの定理
拡張したも
のが次に述べる Stokesの定理である.領域
Aが区分的に徴分 可能な曲線
Cで固まれているとき，
1次徴分形式￠に対し，
Stokesの定理は
( 1 .
11)I
drp =I
rpA .IC
。
C3となる.右辺の線積分では，曲線
Cに沿 ってどちら向きに積分するか，はっきりと 定義しておく必要がある. (なぜなら，反
対向きに積分すると，積分の値の符号が変 。C，
るからである
.) 正しい向きは，
1‑2図のように，
Cに沿って進むとき，領域
Aの 内部が左側に見えるような向きである.領 域
Aの境界
Cをこのように向きをつけた
とき
aAと
書くことにすると，証明すべき式 ( 1
.11)は( 1
.12)I
drp =I
rp.IA .IaA
と書ける. この式を A が長方形 O 三三 u~
a
，
0 ~ v三二bの場合に確かめる
. (1.13)ψ=fdu+gdvとすると
( 1 .1 4 ) ゅ= ( 支‑ j f ) d u
〈b(0， b)
(0，0)
1‑2図
であるから
1‑3図( 1 ω J O = f f ( j f ‑ j f ) ぬ
b= j b r i t d u d u
一f f 7 5 b ぬ
= [b[g(a
，
v) ‑g(O，
v)] dv ‑[ a
[j(U， b )
一 仇 州 向CI
(α， b)
(a，O)
=
[ a
f(仏 0)du+
[b仇
v)dv+ 1
0仇b ) ぬ + 1
0 g(O，
v) dv= ん ￠
5
極 小 曲 面
第
4章までは予備知識として微積分と行列の初歩しか必要ではなかったが，こ の章を理解するには複素関数論の知識も少々必要である.極小曲面の面白さは，
関数論との関連にあるといえる.第 2 章 ~3 で古典的な極小曲面を演習問題とし
ていくつか挙げたが，この章では，それらの曲面をさらに詳しく調べるのが主目
的である.有名な
Plateau(フ
。ラトー)の問題など難しい解析の知識を必要とする話 題には全く触れない.極小曲面についてさらに勉強したい方には，
R. Osserman のASurvey of Minimal Surfaces (1969)を勧める
.~l.
平均曲率と極小曲面
第 2 章 ~2 で定義したように，空間内の曲面で平均曲率 H が至るところ
Oとなるようなものを極小曲面と呼ぶ.条 件
H=O の幾何学的意味を説明
する.(u，
v)を座標系とする平面内に曲線で固まれた領域Rを1つ固定する.R
の境界をなす曲線を oRと書く.パラメーター(u，v)がR
を動くような 曲面(l.1) p(u
， v)=(x(u， v )， y(u， v )， z(u， v ) )
を考える
.(u，v )が境界
oR上を動くとき
p(u，
v) は空間内の曲線を描く.この空間曲線を固定したまま
，すなわち ，p (u， v ) を
oR上 で は 変 え な い で，曲面を変形してみる.どのように変形しでも曲面の面積が減らないよう な曲面は
H= O
148 5.極小 曲 面
という条件を満たすことを第
2
章の問2 . 4
で説明したが，復習も兼ねて，こ こでもう少し詳しく説明する .eを単住法ベク トル場とし ， f
を境界aRで はOとなるようなR上の関数とする .f e
は曲面の法ベクトル場で境界上で Oとなる. したがって
εを 小さい 実数と して
( l .
2) t=p +εf e
とすればFはp
を
aR上では固 定 したまま少し変形した曲面を与える.そ の面積を A ( e ) とする
.A ( O )
は，初めに与えられた曲面pの面積である.p
を変形したとき面積が減 らないとすると
(1.3)A ( O )
ζA (
ε)という不等式がすべての
f
とEに対して成り立つ.特に A(ε)をEで微分して
ε=0とすると
Oになる.すなわち，
( 1 . 4 ) A ' ( O ) = O .
一方，問 2 . 4 の解で示 したよ うに
( l .
5)A ' ( O ) = ‑ 1 1
fHJ
EGて F2dudv.JJR
もし
H=O
ならば明らかに(1.4)が成り立つ.rpをR内で正，境界aR 上でOとなる関数とし ，f=ψHとすれば(1.5)から( l .
6)A ' ( O )
= ‑1 1
rpH2JEGてF2dudvJJR
を得る. もし H宇Oならば
( l .
7)A ' ( O )
ニ ‑1 1
rpH2JEGてF
2dudv<
0JJR
となるから，
t=p+
ε
rpHeというように法方向に変形すると εが十分小さい範囲では蘭積が減ってい くことカすわかる.
曲面が z=f(x，y)
の形で与えられた とき， 習慣に従って
( 1
.8)ρ ‑ lL
ax' n ‑1 . ι
!
.J. ‑ ay ，
r=ZL
ax"s‑11
‑axay't =Z4
ay"とおくと ( 1 .
9)~ 1. 平均曲率と極小曲面
H=~(1
+
q2) ‑ρ 2
qs+
t(l+ グ)
2(1+が+ぷ
)3/2149
となることを第
2章の問
2.1で確かめた
.したがって
，曲面が極小曲面であるための条件
H=Oは
(1.10) r(l
+
q2) ‑ρ 2
qs+
t(l+ グ )=0
で与えられる
.これは極小曲面の微分方程式として古くから知られている.
しかし，応用上便利なのは(1.
9)よりも次の
発散形(divergenceform)の式 である.すなわち，
W=(l+
が +
q2)l!とおいたとき
(1.11)
H = す [d~ (長) +~ ({{r)]
となる
.証明は
(1.9)に帰することもできるが，第2章の問
2.1の
ように E=l+グ，
L =ift
W dX'
F = ρ
q，G =
1+
q2，
M =上 主
1d立
W dX W dy
， を第
2章の
(2.43)に代入しJ V=ifι
W dy
H - 」育 1 1土 !L.Qしよ土Jt lι 血血血 ~l
‑2 W2 L W dX I W dy W dX W dy
J
一
̲ l ̲f J ! : ' : 三 p
2. 2 P . . . . . . . J . . . W
2二i L k ̲ ιι̲ . P ! L主 1
‑2
W2L
W dX I W dy W dX W dyJ
=訪吉 [{ W* 一会 (ρ告 +q~)}
+{W
者 ‑ ‑ w ( ρ j f + q 7 7 ) ) ]
=
