九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

ビームコア振動によって誘起される非線形共鳴の大 強度陽子ビームのハロー形成と平衡状態への移行に おける役割

下崎, 義人

九州大学工学エネルギー量子

https://doi.org/10.11501/3180392

出版情報：Kyushu University, 2000, 博士（工学）, 課程博士 バージョン：

権利関係：

AU

ビームコア振動によって誘起される非線形共鳴の

大強度陽子ビームのハロー形成と平衡状態への移行に おける役割

下崎義人

博士(工学)

九州大学大学院工学研究科 エネルギー量子工学専攻

平成12年度

目次

第l章 序論

1-1 加速器の設計と空間電荷効果

1-2 大強度加速器の必要性 2

1-3 ハローに関する過去の研究 3

1-4 粒子コアモデルの概要及び問題点 4

1-4-1 線形空間電荷力と非線形空間電荷力の定義 4

1・4・2 粒子コアモデルの概要 5

1-4-3 粒子コアモデルの問題点 ₇

1-5 目的及び本論の構成 8

第2章 軌道計算用シミュレーションコードPATRASHの開発、 最適化

及び正当性の評価 12

2-1 ハイブリッドツリー法 13

2-1-1 ハイブリッド処理 13

2-1-2 多重極展開 15

2-1-3 ツリー法 22

2-1-4 アップワードノてス 23

2-1-5 ダウンワードノてス 27

2-1-6 拡張したSCEFの計算 28

2-1-7 近接効果 29

2-1-8 高速化テクニック 30

2-2 ステップサイズ最適化 31

2-2-1 横方向方向ステップサイズの最適化 32

2-2-2 縦方向ステップサイズの最適化 35

2-3 シミュレーションコードのベンチマークテスト 35

第3章 非線形空間電荷力を受ける粒子集団の一般的挙動 37

第4章 孤立共鳴ハミルトニアンの導出、 最適化及び正当性の評価 46

4-1 ハミルトニアン公式化 46

4-2 4-3 4-4 4-5 4-6

第5章

第6章

謝辞

参考文献

付録A 付録B

空間電荷ポテンシャルの変形 孤立共鳴ハミルトニアンの導出 非線形共鳴の定量的解析手法

計算パラメータ1)'及びI1maxの決定 孤立共鳴ハミルトニアンの正当性

孤立共鳴ハミルトニアンを用いた非線形共鳴解析 亦!L士口^号同ム問

ん r ∞ ( t

a2)… 1d 1 2t

( 2)r+l/2の積分

t+ak) It+b Tune spreadの導出

51 58 72 74 76

79

83

86

87

89 98

記号表

x，y，s

R P

V

I

Er，Eλ:，Ev

K

e

γd Da

ν

1(0

ελ­

ßx'αX'γλ­

VX，V)'

tJ.p / p

一般座標 ビームサイズ 電荷密度

理想粒子の速度 線電流

空間電荷が作る電場(Space Charge Electric Field : SCEF)

d

ds

ラティスの収束力を表す係数 荷電粒子の電荷

理想粒子のローレンツ因子 理想粒子の運動量

理想粒子の速度

el

2πεoy2 PV2

水平方向のエミッタンス 水平方向のTwiss paranleter

水平方向及び垂直方向のbare tune 運動量偏差

X-I，S=SI) ，ノI，S=S() ' ...I，S=S()'ノI，S=S- xf vf O

tJ.s

Nresr

Mx，Mv

(

^'

⁾

tJ.h

、、‘，EB，，， oo vvJ .， oo

J''EEB‘、、 、、，，sss'' "のー "の λ ，，aaE，、、

8x

s ⁼ soにおけるi番目のテスト粒子の位相空間上での位置 縦方向ステップサイズ

テスト粒子数 輸送行列

テスト粒子の実空間上での位置

ハイブリッド処理におけるグリッド間隔￥

最隣接するグリッドの交点の座標

(

)

06 - X一 - f 々ι 一一ゐ ・ t 同

Yi _ Yg

1111

8y

Ei

E(Xg，Y，� ) (

)

ei (Xi'Yi)にあるテスト粒子が持つ電荷

Ex.i，Ev.i

伊i

(Xi'Yi)にある電荷eiを持つ粒子が(X，y)につくるSCEF

(Xi'Yi)にある電荷eiを持つ粒子が(X，y)につくる空間電荷ポテ ンシヤjレ

Z X+ JY

Zi Xi + JYi

j 虚数単位

Ui

EZ.i 拡張したSCEF

Zo セルの中心

の セルの半径勺

N

u エUi(Z)

αk，i

p

ε

C

M

多重極展開係数

是1 (Zj

k

ラ �

ZK (z一 句)κ

打ち切り誤差

C�2に存在するテスト粒子数 レベル

bm 1つ上のレベルにおける多重極展開係数

cell_x_max， cell_y _max

レベルにおけるセルの数 Xmax， Xmin Xiの最大値及び最小値

Nbin

ムx

hN11i1l (X)

rlN/Jill (X)

横方向のステップ数 横方向のステップサイズ

X方向のテスト粒子数に関するヒストグラム x方向のテスト粒子数に関する密度分布

QN"ill (X) Nbinを変えることによる町l川(X)の誤差 QNlp(x)の最大値

QNbill，max

K(s) ^eB'

pν

B' 四極磁石の磁場勾配

空間電荷効果の寄与を受けながらベータトロン振動する粒子 のハミルトニアン

空間電荷効果が無いときのハミルトニアン 実験室系での空間電荷ポテンシャル

H

H。

ψ

(<Þx，<Þy，Jx，Jy)作用・角変数

(

x

)

c。 円形加速器の周長 ん 円形加速器の平均半径

HJ

(

)

l/f O.x

ハミルトニアン ゆO，x -

Vλ.

鳥 f

ßx

r� df

Jo

{トt+

刈1ト一イ引r川川+

rmsビ一ムサイズ

縦方向単位長さ当たりの総粒子数 中。

、

万人1

σνσy N

、、‘

..

ーκ/11 G

f1 u tter等の外部要因により、 。に関する陽の関数として振動 する項

g(り)(e)に関するフーリエ級数展開係数

Vs・C・λ.，vs.c.v i，δ，k

depressed tune

整数。 本研究では非線形空間電荷力による非線形共鳴条件を

i(2δVs.c.x

P(i 1()�ヴ G(ーは)げ+G(i1()日) Q(ik);:)

??

わ)

SI (i， n)

Puri111-iδ+Q(ik)j12J-is

S2 (i， 11)

-P(ik)md+Q(iKMIll-iδ

S3(i，n，r)

P(i1(叩、n-r-i8キQQkmtJH-if

S4(i，n，r)

-P(i1()忠一i5+Q(iktun-1-i

u(k)(7J)，jν(k )(η) G(k

i

G17Jt，C11，f，tt

る定数

Ln X ム

2(jx(σx+σy)

ß"

2σx

(

)

(

)

言

λ gn

H2

Hiso 孤立共鳴ハミルトニアン(最終形)

lma似x，l川川11川'lmax Hisoを数値計算する際のi及びnに関する打ち切り範囲

Ixma

図表

図1・1 一般座標系

図1・2 PCMにおける空間電荷力 図1-3 非線形共鳴例

図1-4 初期条件として与える粒子の分布

図2-1 PIC電荷モデル 図2・2 多重極展開モデル

図2・3 複数個のテスト粒子がある場合 図2-4 多重極展開適用可能領域

図2-5 多重極展開の利…

図2-6 レベルの概念

図2・7 アップワードパス概念

図2-8 レベル3で多重極展開適用可能領域 図2-9 ダウンワードパス概念

図2・10 計算誤差の近接半径依存性

図2-11 近接半径適用の効果

図2・12 Nhillを変えたときのヒストグラム 図2-13 Nhillを変えたときの密度分布 図乙14 QNhill・maxのNhi川依存性

図2-15 RMSビームサイズのð.s依存性 図2-16 ACCSIMとの比較

図3-1 Tune spread

図3-2 RMSエミッタンスの時間変化

図3-3 位相空間上での粒子分布の時間変化。 Bare tune ⁼ (7.123， 5.779) 図3-4 位相空間上での粒子分布の時間変化。 Bare tune ⁼ (7.203，5.779) 図3-5 RMSビームサイズの時間変化。 Bare tune ⁼ (7.123， 5.779)

図3-6 RMSビームサイズの時間変化。 Bare tune ⁼ (7.203， 5.779) 図3・7 密度分布の時間変化。 Bare tune ⁼ (7.123， 5.779)

図3-8 密度分布の時間変化。 Bare tune ⁼ (7.203，5.779) 図3-9 非線形空間電荷力が介在する場合の粒子集団の挙動 図4-1 位相空間上での粒子分布

図4-2 構造共鳴のlv依存性

図4-3 ハミルトニアンで計算したtune spreado Bare tune ⁼ (7.123，5.779) 図4-4 1λmax及びIxminのI'lmax依存性

図4-5 孤立共鳴ハミルトニアン結果とPATRASH結果の比較

図5-1 非線形共鳴の共存。

図5・2 不整合による非線形共鳴から構造共鳴への推移。

図5-3 不整合による非線形共鳴の消失。

図5・4 ハミルトニアンで計算したtune spreado Bare tune ⁼ (7.203，5.779)

第i章 序論

1-1 加速器の設計と空間電荷効果

加速器は、電子やイオン等の荷電粒子を高エネルギーに加速する装置である。

原子核 ・ 素粒子物理学では、 原子核や素粒子の持つ性質や内部構造、 またそれ らに働く力の本性を解明するために、 加速器から得られる高エネルギーの粒子 を標的と衝突させて反応を調べる。

一般に加速器を設計する際、 エネルギー誤差の無い1つの粒子に対して、 設 計を行う。 この粒子を理想粒子と呼び、 理想粒子が通る軌道を設計軌道と呼ぶ。

加速器における現象に関して議論する前に、 図 1-1に示す一般 座 標 系について まず説明する。

s

�

、プ

図1・1 一般座標系

粒子の進行方向を縦方向と定義しsで表す。 !偏向磁石に曲げられる向きと逆 向きの方向」を水平方向の正の向きと定義し、 設計軌道からの変位をxで表す。

!X及びsと垂直な方向Jを垂直方向と定義し、 設計軌道からの変位をyで表す。

設計軌道上でx=y=oとなる。 また縦方向と垂直な方向、 すなわち水平方向と 垂直方向を合わせて横方向と定義する。

加速器は理想粒子が設計軌道上を通過するように、 電磁石を配置し収束系を 決定する。 しかし、 加速器は荷電粒子集団を加速するため、 荷電粒子間で働く

ローレンツ力が「外部収束系で定義される粒子の運動」に影響を与える。 この ような効果を空間電荷効果と呼ぶ。 大強度加速器について設計する際は、 荷電 粒子集団が安定に加速されるように、 空間電荷効果の寄与を考慮する必要が有 る。

1-2 大強度加速器の必要性

現在、 高エネル ギ ー 加 速 器研究機構(High Energy Accelerator Research Organization : KEK)における12GeV陽子シンクロトロン(Proton Synchrotron :

KEK-PS)と|岐車県神岡市の神間鉱山の地下にあるスーパーカミオカンデを組 み合わせたニュートリノ振動実験い]が行われている。 KEK-PSに500MeVで入 射された陽子ビームは約0.8秒で12GeVまで加速された後、 「速い取り出し」

により約1.12μ秒の時間i隔を持つビームとして取り出される。 加速器から取 り出されたビームはアルミニウムターゲットに衝突し、パイオンを発生させる。

パイオンはミュ-粒子とニュートリノに崩壊する。 この過程で生成されたニュ ートリノがスーパーカミオカンデへ入射される。 スーパーカミオカンデでは、

入射したニュートリノ反応の生成粒子が引き起こすチェレンコフ光を光電子増 倍管で検出し解析を行う。 反応数は、 加速器から供給されるビーム強度に比例 する。 従って、 1次ビームを大強度化することが期待されている。 この目的の ために、 500MeV蓄積リングと誘導加速シンクロトロン方式[2]を組み合わせた

Intensity Doubler計画[3]が、 現在検討されている。

中性子は電荷を持たず原子核周囲の電子に影響されないため、 容易に核反応 を起こすことができる。 この性質を利用して、 中性子ビームを物質に照射し散 乱された中性子の強度、 運動量及びエネルギーを測定することにより、 物質の 微視的構造や運動状態を明らかにすることができる。 このため中性子は科学 ・ 技術の様々な分野で重要な役割を果たしている[4]。 しかし中性子源の需要は 伸びているにも関わらず、 老朽化により世界中に有る研究用原子炉、 パルス中 性子源の数は21世紀に入って大きく減少するものと予想されている[5]。 この ような事態を解決するために核破砕用中性子源のための陽子加速器が、 日本[5]

及びアメリカ[6]等で設計 ・ 開発中である。

ニュートリノ振動実験用及び核破砕用中性子源用の加速器に共通する点とし て、 大強度ビームを供給することが挙げられる。 ここで大強度加速器における 重大な問題のlつとして、 ビームロスによる加速器装置の放射化がある。 ビー ムロスはビームが周囲の真空壁と衝突することにより生じ、 このとき周囲の装 置及び地下水等を放射化する。 装置のメンテナンス及び修理は、 人の手で行う 方が望ましく (hands on maintenance)、 ハローコリメーターの様な特殊な場所 以外でのビームロスは 1Wjm以下に抑えねばならない事が今までの経験からわ

かっている。

ビームロスを引き起こす原因としては、 エミッタンスの増大やハローの形成 等が挙げられる。 ビームロスを抑えるためには、 まずビームロスの原因となる エミッタンスの増大及びハロー形成等のメカニズムを理解する事が最も重要で あると考えられている。 ハローの形成及びエミッタンスの増大の原因として、

空間電荷効果やラティスを構成する電磁石の磁場誤差、 運動量誤差等が考えら れているが、 大強度加速器において空間電荷効果は不可避な問題となるため、

本研究では空間電荷効果によるハロー形成を考える。

1-3 ハローに関する過去の研究

エミッタンスの増大及びハローの形成に関して、 これまでにも本格的研究は 存在する。 ビームロスは、 直接的にはビームが横方向にある壁と衝突すること により生じると考えてよい。 それ故、 横方向の運動、 すなわちベータトロン振 動に着目して研究が行われてきた。 これまでこの方面の研究 は、 粒子セル法

(Particle In Cell : PIC) [7]を代表とするシミュレーション手法、 及び粒子コア

モデル(Particle Core Model : PCM) [8]を代表とする理論的解析手法を用いて、

主に線形加速器おける空間電荷効果を含むベータトロン振動を解析することに より行われてきた。 ビーム光学系との不整合、 及び加速器ラティスの構造によ りビームコアは振動するため、 空間電荷力も振動する。 過去のシミュレーショ ン解析及び理論的解析の結果、 ビームコア振動周波数と空間電荷効果によって ずれたベータトロン振動数が整数比になるとき、 ベータトロン振動と振動する 空間電荷力の問で共鳴またはカオス的挙動が励起されることがわ かった[8 -

1 1 ]。 このとき生じるreson anceislandの境界に在る粒子がハローになるものと 予想される。

シミュレーションを用いて上記の共鳴を解析する場合、 テスト粒子に関する ベータトロン振動及びビームコア振動に関して FFT解析を行う手法や、 ポア ンカレマップを用いる手法等が考えられる。 円形加速器においてこれらの手法 を用いるためには、 100周から数千周の軌道計算を行う必要があり、 多大な計 算時間を必要とすることが予想される。 またシミュレーション解析では一般に 様々な計算要素を含むため、 シミュレーションで得られる結果について正当な 理由付けを行うこと(具体的例として、 シミュレーション結果で見られる共鳴 の原因が、 本当にベータトロン振動と振動する空間電荷力の問で生じる共鳴で あることを証明すること)が難しい。 よってPCMを用いた解析等の理論的考

察はハロー解析を行う上で重要となる。 次の節ではPCMの概要について述べ

た後、その問題点について述べる。

1-4 粒子コアモデルの概要及び問題点

PCMを用いた解析手法は以下の様に整理できる。ここでは問題を簡単にす るために縦方向に無限に長いビームを仮定し、 縦方向の空間電荷効果の寄与を

無視する。また一様収束系を仮定する。PCMを用いた解析では一般にビーム の分布として、xy空間上で、ある境界より内側にのみ粒子は均一に存在する Kapchinsky-Vladimirsky (KV)分布[¹ 2]を仮定する。

]-4-1 線形空間電荷力と非線形空間電荷力の定義

今、ビームサイズをR、電荷密度をP、理想、粒子の速度をvで定義すると、KV 分布のビームの線電流は

1=πR2pν ^{/'E‘、 1 1 、l/}

で表される。ビーム境界内に作られる空間電荷が作る電場(Space Charge ElectrÌc Field : SCEF)はガウスの法則より

2n，πr正Er=とπnr2戸1 ε0

PZ 一一

E I

。=tan-I ^Y

x

で表され、式(¹ -¹ )を代入すると

E. = I nr

2πεQvR'"

R 一 一 司 ノ 』 X 一Uv

yI一O一ε

一 π 一 ペノ』 一一 ハU Pδ O

E

λ 一一

C

( 1-2)

となる。 このようにKV分布では、 ビーム境界内において空間電荷力は線形力 となる。 しかしガウス分布のような現実的な分布を持つビームに関しては、 空 間電荷力は非線形力となる。

本論では以後、 KV 分布以外のビームが作る空間電荷力を、 非線形空間電荷 力と定義する。 また、 ベータトロン振動と振動する非線形空間電荷力により生

じる共鳴を、 非線形共鳴と定義する。

1-4-2 粒子コアモデルの概要

様収束系における、 空間電荷効果を含むベータトロン振動方程式は

x" + Kx =

竺と

y-pν (1-³)

で表される[1 ^3] 0 ただし'-

乙

ds

eは荷電粒子の電荷、 Y、 P及びνはそれぞれ理想粒子のローレンツ因子、 運動 量及び速度である。 式(1-2)を代入すると

x" +

[

号 ]

-A1 ノ 面

一 ps d一〆 一Cし 一 一一 勺JM 一 π k nu

となる。 今、 式(1-4)の解を

x=

長;瓦

[

]

と仮定する。 ここでελPはエミッタンス、 ßXIαr Iγλ・はTwiss parameterで

α

ν =-- IJ γ

2 ' -"

l+α2

γλー= 7;

である。式(1-5)を(1-4)に代入すると、次のような補助方程f

[ ^{K一 号} ] ßx =γx αλr

が得られる。ここで R=

長;万;

であることに着目し、式(1-5)に代入するとエンベロープ方程式 町一R+

25λ 子

一一R

K

(1-7)

が得られる。式(1- 7)を数値的に計算することにより、ビームサイズの情報が 得られる。ここで、テスト粒子をビームの境界の内側及び外側に配置する。こ のとき、ビームの境界内に存在する粒子が受けるSCEFは式(1-2)で表される。

一方、ビーム境界の外側に有る粒子についてはガウスの法則より

2πrE，. =

よ

ε。

E.. = - _1 1 2πε。νr

ここでy=oと仮定すると

ー一x

E λ 一一 一今，h 応一I 一円U

となる。 よってベータトロン振動方程式

x" + K{s)x =

予

(1-8) x" + K{s)x =互立 Ixl三R

x

2

Z ""

V可，ー...

C F・4

、、 ...

R 。

t�

W

� -1

�H

、、 一一ー - Gaussian

-一一一 Ixl<R

\、，\

nu 今ノ臼今ノM- ハU

ハU o 20

x[mm]

図1-2 PCMにおける空間電荷力

が得られる。 テスト粒子について上式を数値的に計算し、 軌道を追跡すること により、 ベータトロン振動と振動する空間電荷力の間で生じる共鳴がハローの

原因であるということが解明されてきた。

1-4-3 粒子コアモデルの問題点

しかしPCM を用いた解析手法には大きく2つの問題点が存在する。 1つ目 の問題点として、 式(1-8)はKV分布を仮定した場合のベータトロン振動方程式 であり、 KV分布以外のビームに関して解析ができないことが挙げられる。 図

ト2に現実の加速器内の粒子分布に近いガウス分布の空間電荷力及び式(1-8)で 得られる空間電荷力を示す。 ビーム半径が大きくなるほど、 空間電荷力に違い

が出ることがわかる。 一般的に、 ハローはビーム半径が大きい部分に生じるた め、 ガウス分布のような現実的な分布を持つビームに関しては、 PCMを用い た解析は使えないことがわかる。 2つ目の問題点として、 式(1-7)について数値 計算を行う際、 エミッタンスの変化を予測することができないため、 rmsエミ ッタンスを定数にせざるを得ないことが挙げられる。 第2章で述べるが、 ビー ムが加速器に入射する場合、 大なり小なり入射する側の加速器のオプテイクス と不整合を持った状態で入射される。 このときビームの空間電荷力等を通して 非線形力が介在する場合、 ビームコアを取り巻く形で粒子分布に filamentation が発生する。 このためrmsエミッタンスは時間とともに増加する。 ある程度時 間が経過すると、 位相空間で見るとfilamentationがビームコア完全に巻き付き 不整合は消失し、 rms エミッタンスは一定となる。 すなわちPCM解析では、

入射直後の粒子の挙動を追跡することができないO

1-5 目的及び本論の構成

本研究は、 言及してきた線形加速器ではなく、 大強度円形加速器におけるハ ロー形成のメカニズムを、 非線形共鳴の理論的観点から解明することを目的と する。 粒子集団の分布として、 現実の加速器内の粒子分布に近いガウス分布を

仮定した。

まず、 本研究の取り掛かりとして、 l次元一様収束系におけるハロー形成の メカニズムを調べた。 この目的のために、 空間電荷効果を含むベータトロン振 動

日 __ eE、

x" +κx=-74ー γ-pν

K二consf.

について軌道計算を行うための、 l次元シミュレーションコードを開発した [14 ]。 シミュレーション結果のl例として、 位相空間における粒子分布を図ト 3に示す。 このとき、 テスト粒子を位相空間上に均等に配置し、 ベータトロン 振動の軌道についてFFT解析を行った。 FFT解析の結果、 図ト3について「不 整合によるエンベロープ振動により振動する空間電荷力」と「ベータトロン振 動Jの間で非線形共鳴が起き、 2 つの resonance island が生成されていること がわかった。 ビームコアより外側に存在するIresonance island の境界にある 粒子」は、 円形加速器をl周した後も resonance islandの境界、 すなわちビ-

ムコアの外側に存在することになる。 このため resonance island の境界にある 粒子は、 ビームコア内にある粒子よりもビームロスを引き起こす確率が高い。

また resonance island の境界 にある粒子数は、 ビームコアに存在する粒子数に 比べて非常に少ない。 以上のことはハローの特徴に合致する。 すなわち、

resonance islandの境界に有る粒子 がハローになるものと予想される。

2.0 1.5 1.0

[甘cg ^q 0.5 0.0

>， -0.5

ー1.0 -1.5

ー2^.0

-20 -] 5 -1 0 -5 0 5 ] 0 ] 5 20

y [mm]

災|ト3 非線形共鳴例

次に、 現実的なラティスに入射直後の、 過渡状態におけるハロー形成のメカ ニズムに関して、 より現実に即した解析を行うためにl次元問題で開発した非

線形共鳴理論[ 14]を更に拡張し、 より一般的な2次元非線形共鳴理論の観点か ら調べた。 本論では、 このハローに関する2次元問題 について詳細に論じる。

まず非線形空間電荷効果の寄与を受ける粒子集団について横方向の挙動を調 べた。 この目的の ために、 軌道計算用シミュレーション コードPATRASH (PArticle TRAcking in Synchrotron for Halo analysis)を開発した。 SCEFを、

高速 ・ 高精度であるハイブリッドツリー法を用いて計算した。 第2章でハイブ リッドツリー法の詳細、シミュレーションパラメータの最適化及びPATRASH の正当性の評価について解説し、 第3章でシミュレーション結果から得られた 粒子集団の挙動について論じる。 次にハロー解析におけるPCMにかわる手法 として、「非線形空間電荷力の寄与を受けながらベータトロン振動を行う粒子」

に関するハミルトニアンについて、 時間平均を行い共鳴に関する項のみを取り

出す 孤立共鳴ハミルトニアン [15， 1 6]を用いた解析手法を開発した。 また、

ガウス分布の空間電荷が作るポテンシャルは、 rmsビームサイズに関する関数 となる[17]0 PATRASHを用いてrmsビームサイズの現実的な 時間変化を求め ることにより、 非線形共鳴について粒子集団が加速器に入射してから平衡状態 に達するま での時間変化を解析することができる。 第 4章で孤立共鳴ハミル トニアンの導出、 パラメータの最適化について解説した後、 第5 章で、手|三和jl形共 鳴解析結果について論じる。 結論を第6章で言及する。

この章の最後に、 シミュレーション及び孤立共鳴ハミルトニアンを用いた解 析に関して、 共通する計算条件を投理しておく。

(1) KEK-12GeV PSのラティスを通過するビームに関して解析を行った。

(2) 空間電荷効果の影響を明らかにするために、 低エネルギーである入射エ ネルギー(500MeV)を仮定した。

(3) x，y方向にガウス分布を持つコースティングビームを仮定した。 これによ りs方向の空間電荷効果の影響を無視できる。

(4) 空間電荷効果を含むベータトロン振動について解析を行った。

(5) 運動量偏差についてI:lp^/ p ⁼ 0 と仮定した。

(6) 粒子は、 ラティスが持つ収束力によりベータトロン振動を行う。 粒子が 円形加速器をl周する聞に 行うベータトロン振動数をチューン( tune)と 呼ぶ。 空間電荷効果が無視できる場合、 チューンはラティスの構成により 決まる。 このチューンを bare tune と呼ぶ。 一方、 空間電荷効果が無視で き ない場合、 空間電荷による発散力のために収束力が弱まり、 チューンは bare tuneより小さくなる。 発散力により bare tuneより小さくなったチュ

ーンを depressed tuneとH乎ぶ。

計算では、 bare tuneに関して

(

)

を用いた。 このbaretuneはKEK-PSで実際に運転されるものである。

(7) KEK-PS の 500MeV ビーム輸送系において測定された 4次元位相空間上 での分布を、 PATRASHの初期条件として用いた。 ただし、 計算結果を相 互に比較するために、 初期条件はビーム強度及び bare tune に依らないも のと仮定した。 このとき の分布を図1-4 に示すo X方向95%エミッタンス を25.56πmm mrad、 y方向950/0エミッタンスを12.03 πmm Jnrad と仮定 した。

PATRASH及びハミルトニアン解析の結果を図示する際は、 全て水平方向 フライングワイヤーモニターの位置( 1-4B入口)での結果を用いた。

(8)

ハU

b

10 15 20

‘ ;'. ....>，.;i_.�.4J，..，:円:;・'，(

\ ・."，..，....�，呂E、，_�，�jQ'Ii.�I.�・ピ . ......L.:ro:G凶虚:;U'忌....，.唖創凶""'-::;:i-...-

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ー10

-20-15-10 -5 0 5

y _[mm]

5

。

-5 [℃EE}'

h

a

10 15 20 10

5

。

-10

-20-15-10 -5 0 5

x _[mm]

-5 {刀EE].V〈

C

10 15 20 20

-20

-20-15 -10 -5 0 5

x [mm]

ハU‘，，4

。

ー1⁰

15

5

-5

-15

{EE}h

図1-4 初期条件として与える粒子の分布 (a) x-x'空間、(b) y-y'空間、(c) x-y空間

第2章 PATRASHの開発、 最適化及び正当性の評価

「空間電荷効果を含むベータトロン振動」に関する軌道計算用シミュレーシ ョンコードPATRASH (PArticle TRAcking in Synchrotron for Halo analysis)に ついて解説する。 軌道計算の概要は以下の通りである。

初期条件として、 4次元位相空間(x，y，x'，y')における粒子集団の分布を乱数を 用 い て決定し た 。 こ こ で5⁼ 50に あ る各粒 子 の位 相 空 間上 で の 座 標を

(

子の座標を

(

で、 Nresrはシミュレーションにおけるテスト粒子数である。

(

山

\1Ill111llノ 、、IE，，，J

AU

FB 一一 S VJ FB A仏

ハU

\11111111J + /Ill-111111、 γ' 一 e一 b ， 一「 L j h 一 u m ・ノ 目 ' A /tlE1

CM 一一 eu u rd fd

一一 一一

ed pd

x x

/lsilli--、 λ

一一 \111111ノ

Lω お + +

rd rd

一一 一一

cu fu

x x

/fill--\

(

) 1

� I

L ₍

) ( _{) . I 子}

)

p^1: I 'V

\

I

Yi_υ

山s=

=

^{M "I}

.. ₁ +什|一一E" \. y -

l x 一

|

で計算される。 ここでM.x，Myは輸送行列、 Eλ，Eyは SCEF である。 この計算手 法は、 前章で述べたl次元 シミュレーションコードを開発する際に用いた手法 であり、 厳密な Vlasov 方程式の解析解との比較により正当性が証明されてい る[14]。 加速器パラメータである Twiss paran1eter及びbare tuneは輸送行列及 びベータトロン振動に関する補助方程式の解[1 9]を用いて計算した。

E.x，E)'を計算する手法として、 高速かつ高精度なツリー法[20， 2 1 ]を用いた。

また計算速度を向上するために、 ハイブリッド処理[22]、 及びメッセージ通信 インターフェース[23 ]を用いた並列処理を行った。 ツリー法及びハイブリッド 処理の共通点は、 ある条件を満たす複数個のテスト粒子を、 iつのマクロ粒子 にまとめることにより、 計算回数を減らすというものである。 この章ではまず ハイブリッド ツリー法の詳細、 横方向及び縦方向のステップサイズの最適化

及びシミュレーションコードの正当性の評価について述べる。 次にシミュレー ション結果から得られる、ハローの形成を含む粒子集団の挙動について述べる。

計算条件については、 第1章の最後に述べたものを用いる 。 2-1 ハイブリッド ツリー法

クーロン力、 重力や分子間力が働く場合の多体問題を扱う際、 計算用シミュ レーションはブルートフォースであるが有力な解析手法である事は良く知られ ている。 今、 人f附，1回のテスト粒子数を用いる場合を考える。 それぞれの粒子聞 に働く力を個々に計算する場合、 その計算数はN，es，2 /2となる。 N凶Iが多い場 合には莫大な計算時間を要するため、 現実問題としてシミュレーションは不可 能となる。 計算時間を少なくするために、 これまでParticle In Cell (PIC)を用 いる方法やツリー法を用いる方法等、 様々な計算手法が開発されてきた。

PATRASHでは、 電荷を持つ粒子集団が作るSCEFを計算する手法として、 ハ イブリッドツリー法を用いた。 詳細について解説する。

2-1-1ハイブリッド処理

ハイブリッド処理について説明する。 まず粒子集団におけるビームコアの領 域をグリッド状に分割する。 今、 グリッド内に存在するl つのテスト粒子に着

目する。 テスト粒子の実空間における位置をい，Yi)、 グリッド間隔をðhとし、

最隣接す る グ リ ッ ド の交点の座標を ( ^Xg，yg ) ^、 ( ^{Xg+ ðl川} ) ^、 ( ^Xg，Yg+ð り ^及び

( Xg + ðh，Yg を

e(い'11)

(1- 8x)(I- 8y)e

e(九+ðh，yg)

8x(l- 8y)e

ρL V ノ 門λ υ 、、EE，，， x fuu

唱EE-- J'aE目、、 一一 、、，a，，，， AU + μAH λ e

e vノ門λ引UX 門ALU--

AU +

A + λ OL

により、 グリッドの各交点上に分配する。 この分配方法はPIC で用いられる 方法である[7] 0 ただし

x: -x_ 8x ^{= _'_一一ι}

/1h

8v 〆 ⁼ Yi - Yg /1h

であり、 またe(λg.Y.�)、 e(x，�+8.II，yg)、 e(九九+8.11)及びe(X，� +8.II.Yg +8.11)は各交点に分配され る電 荷である。

、‘sa''，，，， AU +

μ《λ ，，，‘、ρし

e(λ」+企h，九+ð..h)

y

(Xg ⁺ /111， Yg ⁺ /1h) (Xg， Yg ⁺ /1h)

(Xg，Yg) (Xg ⁺ /1h， Y g )

e (λ'g'Y ^g) e(λFA，+Ajl，yr)

。 x

図2-1 PIC電荷モデル

これにより、 グリッド内にあるテスト粒子数を、 グリッドの交点の数のみ存在 するマクロ粒子に変換することができる。 すなわち全体の粒子数が減少し、 計ー

算速度を向上できる。 グリッド内のマクロ粒子及びグリッド外のテスト粒子を 用いてSCEFを計算する。 テスト粒子に働くSCEFEiは、 最近接する グリッド の交点におけるSCEFE(λいけ、 E(Xg+Óh仁川)、 E(Xg .Yg +Óh)及びE(xx+Aj1YH+A11)を用いて

Ei ⁼

(1 -8x)( 1 -8y

+ふ(1-δy)E(Xg

+(1- 8x)似(川叫+8x8yE(い川町叫

で計算される[7]⁰ 2-1・2多重極展開

ツリー法を用いるためには、 空間電荷ポテンシャルを多重極展開する必要が ある。 またハイブリッド処理を行うため、 グリッド上のマクロ粒子は、 任意の 電荷を持つようになる。 このため任意の電荷を持つ粒子で構成される集団につ いて多重極展開する必要がある。

(Xi'Yi)にある電荷引を持つ粒子が(X，y)につくるSCEFEiは、 ガウスの法則から

- .

Ex.i(r，8) = ヅ_1 -cos8 Lπεor

_ .

E".i(r，8) = 士二-' -sin8 よ乙πεor

司ノ- Vノ 、‘J 〆'a，‘、、 + 司ノ』 x x / t E \ ll v 一一

-1 Y- Yi

8=tan-'

�

X-Xi

で与えられる。 空間電荷ポテンシャルはSCEFを積分することにより求まり、

伊i(r，8)

=一三 F ・ -

となる。 ただしψi(r=1，8)=1と仮定した。 ここで

Z

= X + lY

Zi =

Xi +

と定義する。 jは虚数単位である。 ここで拡張した空間電荷ポテンシャル

Ui(Z)

=-�ιl的-

ん'i.-CQ

(2・1)

を定義すると

Ui(z)=-

4ケ

んJレ乙O

= 式 l市+か)一(Xi+ jYi)}

、、・1・・・・''''nu ，rd e ，，，SE---E，.‘、、

i同

一一

_ . �・

=一�lnr-j�8 2πε。 2πε。

となり、

伊i= Re[Ui]

であることがわかる。 また拡張したSCEF

aui(Z) E;.i(Z ) = 一 一「一 az

を定義すると

より

Ez i(z) = J- 」 ­

Lπεo

Z

Zi

ei 1

-2πεo ^rej8

=ゴ」lcosO -jJ 」lsino

2πεo r 乙πεo r

= Ex.i - jE"、

Eυ(x，y) = Re[九(Z) ]

Ey，i(X，y) = -Im[ _Ez，i(Z)]

(2-2)

(2・3)

(2-4)

となる。従って式(2-1)を計算することにより、空間電荷ポテンシャル及びSCEF が求まる。 式(2-1)の計算方法については、 多重極展開を用いる。 多重極展開 を用いる利点については、 この節の最後に述べる。

今、 図 2-2に示すように、 Zoを中心とする半径'ôの円を考える。

z

Ui(Z)

図2-2 多重極展開モデル

IZi -zol豆町<<Iz -zolのとき式(2-1)は 引(z) =

式

=

式

(

7ff j

=

式

式 十

可 )

∞1 (Zi一句)k

=一三�lnε。 (z -20) +ご」エ-2nêo� k (2一句)k (2-5)

kf

一

シ」

t<< 1

の関係式を用いた。

図 2-3で示されるように、Zo近傍にN個の粒子が存在する 場 合を考える。

z

、‘，，，，

〆，，‘、 7ι q

図2-3 複数個のテスト粒子がある場合

20を中心とする円内に存在する粒子集団がzに作る拡張した空間電荷ポテンシ

ャルは、 式(2-5)より

U(z) =ヱUi(Z)

�I ∞ 1 (

^{- ZO)k} I

=

エ _I | ^一 三 _2TCêO

ln(z一句)+ゴ」エ

_2πεo

- ₍

|

-

zo/ I

= 一」ム�l幻ln(ドzト一吋一寸可z匂ψ0 2πmε0k=l(z-zo)k

となる。 ただし

句作0=

持

(

)

Qo =ヱei (2・8)

であるo ak.iを多重極展開係数と呼ぶ。

式(6)を計算機で計算するためにはkについて、 有限な値kmaxで打ち切る必要 がある。 このときの打ち切り誤差εを評価しなくてはならない。

U(z)=-iL111(z-zo)+-Lエ GK 2mOK=l(z-zo)k

=ー ムln(z _εo -ψムE ^{GK +-L Z GK}

\ v /

2πεo � (z一句)k ' 2πεo

より、

ε= IU(z) +ムl n(z一句)-L E ^GK

πεo

2TCêO � (

-匂)k

19

_ 1 _{1 モ} αk

-

1

k=右+1 (Z -ZO)k

N

l _{ej (Zj一句)k} 一一ーヱヱ -

εo

k = t.

( Z - Zo ) k

1 ∞ N 1

_ 一 k

三戸一エ エ 土 町

πmε o

k=九k九m .川川川山川川IlaX + 礼川1山I X +川+刊1 i= 斗 1 �

(Z 一z匂叫O)k C.IZi一匂|豆町)

=1 aO 一

_;:: 号 一 l ザ

+lk

(

ω

2nêollk=t:+1 y -

(Z-引k (・: IABI

IAIIBI)

三| 謝 礼 _l(z fo ₎ ^(・:kミ1)

三| 本| _k i _l l _(Z f _d ^(-.・IA

^BI

^IAI

^IBI)

三|本 I _k= t. _叶 | 去 k (・.・IABI三IAIIBI)

=1 本l JMK /I1111111\ C _一一 7 \E111111ノ

=1

剥古川

ヲん一 ^一一 爪U ^{一 ハU一7ι > > ，刀}

^{∞Yf-一円 i一ぴ ー一ιc}

=1

剥万七 (自J

となる。 誤差εを小さくするためにはC�2であれば良いことがわかる。 すなわ ち、 図 2-4に示すように、 多重極展開が使える領域C三2と、 使えない領域

C<2が存在する。 C<2の領域は式(2・1)の和を用いれば良いO また誤差kmaxを

決めるとkmaxcx: lnεでpが決まる。

. 7句 ×匂

図2-4 多重極展開適用可能領域(斜線)

多重極展開の利点に つ いて述べる。 図2-5に示すように、 í Zo近傍のN個の 粒子が、 C�2に存在するM個の粒子の位置に作るU(z) Jを計算する場合を考 える。

M個のテスト粒子

N個のテスト粒子

刻2-5 多重極展開の利点

バ(2-1 )を用いて個々にU(z)を計算する場合、計算回数はM.Nである。 一方、

多重極展 開 を用いる場合を考えると、 まずαkを計算するとき、計算回数は N・krnaxである。 次に先程計算し たσkと式(2-6)をM個の粒子について用いる場 合、計算回数はM・krn似である。 よって全計算回数は(N+ M). krnaxとなる。 M及 びNが十分大きく、kmax <<M及びkmax <<Nの とき は(N+M).kmax<<M.Nとなり、

計算時間は非常に速くなる。

2-ト3 ツリー法

ツリー法について説明する前に、 まずレベル及び親子の概念について説明す る。 粒子集団全体を含むように正方形の空間を考える。 図2-6に示すように、

この空間を 全く分割しない場合をレベル0、 x，yの辺を 2 分割した空間をレベ ル1、さらに2分割した空間をレベル2 と定義する。 レベルlの階層では一辺

がどに分割される。 分割されてでき る空間を「セル」 と定義し、分割する前の セルを「親」、分割した後の セルを「子」と定義する。 1つの親に4つの子が 生まれる。

ツリー法は大きく分けてアップワードパス(upward pass)及びダウンワー ドパス(downward pass)と呼ばれる 2 つの計算過程 で構.成される。 まず多重 極展開は、 要約すると「 あるセル内に存在する粒子集団を、 セル中心に存在す

るマクロ粒子に変換し、 C三2を満たすセル内の粒子と の相互作用を計算する 方法」と言える。 以下、変換された マクロ粒子を代表粒子と呼ぶ。

多 重極展開を用いると、 あるレベルでは各セル内にlつの代表粒子が存在す

る。 しかしiつレ ベ ルが低くなると、 4つの子が集まって1つの親になるため、

lつのセルに4つの代表粒子が存在することになる。 そのため、 さらに4つの 代表粒子をまとめて、 lつの「大きな代表粒子」に変換することができる。 こ のように、 レ ベ ルが小さくなる度に代表粒子を「大きな代表粒子」 に変換する 過程をアップワードパスと呼ぶ。

あるレ ベ ルに存在する、 lつの粒子に働く空間電荷ポテンシャルを、 多重極 展開を用いて計算する場合、 同じレ ベ ルにある代表粒子を用いて個々に計算す るよりも、 アップワードパスで作った「大きな代表粒子」を用いて計算したほ うが計算回数は少なくなる。 このようにアップワードパスで作った「大きな代 表粒子」を用いて計算する過程をダウンワードパスと呼ぶ。

レベルO レベルl

レベル2 レベル3

図2-6 レベルの概念

2-1-4 アップワードノてス

l番下の階層であるレ ベ ル/における拡張した空間電荷ポテンシャルを計算 する場合を考える。 セルの中心を2，とすると、 拡張した空間電荷ポテンシャル

は、 セルの中心2，に関する多重極展開式(2-6)から

U(Z)

= -'"'�� In(z -

) + '"'� � エ OK

2nêo _�

(Z一川k

となる。 ここで式(2-9)を、 親のセルの中心Z/_Iに関する多重極展開に変換するo Z/に関してMaclaurin展開すれば良い。 まず右辺第1項目について

、、EEE，J ，，，， 7ι

，，，， 守ι ，，，aE‘、 ヲゐ一一

、hE』，r .，，， ァ~

7ι J'z'E‘、 、、EB，，ノ ，，，e ヲ'~

ヲ''~ ''''E‘、

'BEE-- 一一 、、，as，J ，，，t ヲ''~

ヲι /SEE-

司‘a. 、、‘，a，/ .，，， 7ι ，，，s ァ~ /1\ ヲι一一 74匂 今、J 、、‘，z，f ，，，， ア』 7'~ ，，a，，、、 44 ー一到 「ノ』 、、EEE''' a''' 7~ ，，，， ヲ'ι /lE1 守ι一一 z 司ノ』 、、，aE，，， ，，，e 7も ア』 /'E1\ l一2.

∞YJ】〕一

n (2-10)

次に右辺第2項目について考える。 ただし引は定義によりZ/の関数であるが、

Maclaurin展開に寄与しない。 これはレベルOにおけるセルの大きさとl番下 の階層を決めると、 akは一憲に決まる定数であるからである。

エ αk r=エOK(z-Zl-l)-k

ヱ

k

⁽

) ^- k _-

I ^_ (

)

::i(Z-勾) k=l k = !|

+ 司ノ-

7ι

7ι

7'』 ア'~ 'κ一 + 一 つ­ Lκ一 。 ∞Y白山一 +

(

ì (

_-Z

) ^川

= エエak I l ^，� '

��: ^Á ) I (

)

ここで式(2-10)の右辺について111=0のとき

') __ ^u ，:..:._k

= u

+ __ ^{u_2 門 +�刊+} 4 A +

白 (

r

⁽

t (

)

(

)

m = 1のとき

子初k _、 (

) _{_ ニ}

(

) ₊

(

)

3(

)

白 (

-Z/ーl)k+1 (Z-Z/ーl)2 (z-Zl-l)3 (z-Zl-i)4

111=2のとき

モ 予 - a

(k +

1)k (Z/ -Z/ー 1)2

al (Z/ -Z/ー1)2

' '; +

2(Z/-Z/ 3a -

I? _

+

a 3 .， .4.3 (z/-zト1)2

+...

Z A 2(z-Zl-l)山 (Z -Z/ーlY (Z-Z/_I)斗 2(Z-Z/-IY 111=3のとき

モ(k+2)(k+1)k (z/-z/_1)3

al(z/-z/-lf

+

， 4a2(z/-Z/- -

lf

+...

f:1

(Z-Z/-I)"十九 (Z-Z/_I)斗 (2-Z/_I)

となる。これらを(Z-Z/_I)についてまとめると ( k+m-1 (2/ -Z/ー1)川 ì

エ ヱ

l _k m l j(z-Zl-l) k + 111 z-zl-l (z-Zlー1) _{= +} 21G 2Ml(Zl-Zl-l)l

� r + 2a a 3 2(Z/ -Z/ー1)+ al (Z/ -ZI_I )2 1

(z-Zl-l) - l

1 4 l h +3向( Z/-Z/ー1)+3a2(Z/-Z/_1)2+al(Z/-Z/ーlf]+

(z-z/_lf l

= 之 ^l _l 三 _σ 川 ^一1 1 ド(ヤZ/一勾ι叫一斗iJl J )

11川h凶12=凶I戸凶=斗l

バ(

_一

)y _H

" \ k 一 1 ) (2・12)

となる。よって式(2-9)、(2-10)及び(2-12)から、レベルlにおけるセルの中心Z/

に関する多重極展開は、親 のセルの中心Z/- 1に関する多重極展開 U(z) =-ILln _ε。 (z-zlーl)+-L エ

2πεOH1= l(z-Zl-l)fl (2-13)

(Z/ -Z/-I)川H1 fm -1 1

=αo n1 + E G Kl k -l j(Zl-zlー 1)川 (2・14)

ho =α。 (2-15)

に変換できる。図2-7に示すように、lつの親に4つの子が存在する。それぞ

25

れ子 に関して、 セルの中心を2/.i、 多重極展開係数をαk

，iと定義する。

。k

，1

4

Z/ � /".4

ak/

z/ーl

�.3

2/.2 z/)

図2-7

アップワードパス概念

「子における多重極展開」を

「親における多重極展開」に変換する

ここでi

=

叫(z)=ームln(z-zl-l)+-LZ

₍

-Z/ー1)' b

(zli-ZlJI 川 (171- 1 ì

+ 2

^il _k- ^l |(Zli-zl-ly

bO，i

となる。 よって親 のセル内の粒子集団が、 外部に作る拡張した空間電荷ポテン シャルは、 式(2-16)をi

=

U(z)=-2LIn(z-Zl-l)+-LZ 2m0111=l(z-Zlー1)'11

blll =ヱbl/l，i

となる。 式(2-18)はレベル1-1における lつのセルが作る拡張した空間電荷ポ テンシャルだが、レベルlにおけるポテンシャル式(2-9)について 多重極展開係 数引をんに、 セルの中心をZIからZI-lに変換したものと同じ式 である。 よって 式(2-7)、(2-8)及び(2-9)から式(2-14)、(2-15)、(2-18)及び(2-19)への変換公式を 用いると、レベル1-2に関するポテンシャル式も同様にして求まる。

2-1-5 ダウンワードノてス

zにおける拡張した空間電荷ポテンシャルを計算する場合を考える。 ダウン ワードパスでは、 「各レベルについて、( ₁₎ Zの親に最隣接の親の子 で、かつ(2 )

zの隣でない子」の多重極展開のみ計算する。

具体例として、図 2-8及び図 2-9 におけるz での拡張した空間電荷ポテンシ ヤルを計算する場合を考える。 図2-8は、レベル 3において 多重極展開が適用 されるセルを示している。 図2・9において、 まずレベル0及びレベルlについ ては該当する子がないので計算しない 。 レベル2 について、 丸印が示す セルの

多重極展開のみ計算する。 レベル 3についても同様に丸印が示す セルの多重極 展開のみ計算する。 図2・8 と図2-9 で、 多重極展開を適用するセルが重なるこ

とカfわかる。

図2-8 レベル3で多重極展開適用可能領域(斜線) 黒丸はテスト粒子

• レベルO

レベル2

• レベルl

レベル3

刻2-9 ダウンワードパス概念

各レベルについて斜線が引かれた 領域に着いてのみ計算する。

2-1-6 拡張したSCEFの計算

これまでは拡張した空間電荷ポテンシャルをツリー法で計算するアルゴリズ ムに関して説明してきた。 PICで SCEFを計算する場合は、 空間電荷ポテンシ ヤルを数値的に計算し、 さらに数値的に微分するという2段階 に分けて計算す る。 今回採用したツリー法 の 場合 、 式(2-2)に(2-18)を代入した式

ん I 1 ぶ 1nb

E

i (z) = -L + 一一 芝

2_nE

o

2 πεo h l (z - zl- l )111+

につ い て計算すればよいので 、 1段階で計算可能である。 尚、 ツリー法が適用 できない領 域 に関しては、 式(2・2)に(2-1 )を代入した式

ムル刊E

(2-21 )

を用い て直接計算すれば良い。 式(2-20)と(2-21)の和を取り、(2-3)及び(2・4)に

代入すること で、 SCEFが求まる。

2-1 -7 近接効果

直接計算 の 短所の lつに、 近接効果 が挙げられ る。 テスト粒子が一様に分布 され ているとき、 計算結果は理論値に近づく。 しかし乱数を用いて分布を決定 する際には、 粒子間隔が非常に短く なる場合がある。 こ のときSCEFの 大きさ が急激に増加し、 理論値に対して 非常に大きな 誤 差を 生じる。 これを近接効果 という[22]。 ツリー法でも、 多 重 極展開を適用できないセルに関しては直接計 算を行う ため近接効果が生じる。 開発したシミュレーションコードでは、 テス

ト粒子の位置から、 ある 半径の外に ある粒子につ いてのみ直接計算を行うこと で近接効果を回避した。 この半径を近接半 径と呼ぶ。 近接半 径を変えて、 SCEF を計算し、 理論値 からの相対誤差に関してヒストグラムを計算した。 粒子集団

の 分布 はKV分布を仮定し、 粒子 数10万個、 レ ベル7及びp=1で計算を行っ た。 結果を図2-1 0に示す。

12000

10000

.F‘ロ，コd -.4 『

8000

，

、C司c』qE司..1 6000

業者

認トト 4000 2000

。。

図2-10 粒子数

1mmm fu・u・uauドハUζJハUハUハUつ-ハυ戸、dti44「、J

2 ₃ 4 5

相対 誤差[0/0]

計算誤差の近接半径依存性 10万個

レベル 7 多重極次数 l

半径lcmのKVビーム

近接半径=225μmが誤差が小さい

近接半径が225μmのとき、 最もヒストグラム の裾が狭まることがわか る。 よ

ってシミュレーションでは、 最適な近接半径を225μmとして計算を行った。

ヌ1 2-11は近接効果を回避した場合と回避しなかった場合のSCEFを理論値と 比較したものである。 近接効果を回避することにより、 明らかに理論値 からの ずれを小さくできる。

o 近接半径無し o 近接半径 225凶n

? ， 1"" 1 0理論値

S 1.5 .1

〉2

� H回

ハU-EEA

!言、

忠臣� 0.5 長

nu ハUnu

2 4 6 8 ^{.，EA ハU}

r [mm]

災12-11 近嬢半径適用の効果 2-ト8 高速化テクニック

この節では、 開発したシミュレーションコードに関して、 高速化のために行 ったテクニックを下に整理した。 Oは最も効果的だったテクニック、 0はOに

次ぎ効果的だったテクニックである。

。複素計算について、 一般的に公開されているライブラリcomplex.hは使用せ ず、 シミュレーション内で個々に計算する。

。ツリー法では、上述した計算過程をとるため多数のループ計算を必要とする。

このとき粒子を基準とするループではなく、セルを基準とするループを用いる。

具体例

for(n=O; n<Ntest; n++) { } ではなく

for(cell_x=O; cell_x<cell_x_max; cell_x++) { for(cell_y=O; cell_y<cell_y_max; cell_y++){}

とする。 ここでcell_x_max及びcell_y_max はレベルの関数で、 そのレベルに おけるセルの数である。

。直接計算に関して、 作用 ・ 反作用を利用する。 自分自身及び最近接のセル8 つの計9個に関して直接計算をする必要がある。 ここで作用 ・ 反作用を利用す る。 粒子iが粒子2に与える電場をElとすると、 粒子2 は粒子 lに-Elの電 場を与える。 このことを用いると5つのセルについてのみ直接計算を行えば良 いことになる。

。複数個の割り算について、 分子 は異なるが分母が同じ場合、 先に分母の逆数 を計算する。

02で割る演算y = ^{x /} 2は、 右シフト演算子を用いる。 y = x>> 2

o if(x==A) { if(y==B) { } if(y==C) { } if(yヱコD) {}

とするより

if(x==A && y==B) { } if(x==A && y==C) { } if(x==A && y==D) { }

とした方が速い場合がある。

2-2 ステップサイズ最適化