第２学年 組 数学科学習指導案
指導者 １ 単 元 図形の性質と合同 ２ 指導観 ○ われわれの身の回りには，様々な平面図形が存在しており，それらを「形」「大きさ」「位置関係」という観点で とらえ考察してきた。そして，考察する手段として用いてきたのが，直観的な見方や考え方だけではなく，帰納的 に考えたり、演繹的に考えたりするなどの論理的な見方や考え方である。論理的に考察し表現する能力は，数学の 中だけに限らず，いろいろな分野においてきわめて重要である。 本単元のねらいは，基本的な平面図形の性質を見いだし，平行線の性質を基にしてそれらを確かめることができ るようにするとともに，図形の合同について理解し，図形についての見方を深め，図形の性質を三角形の合同条件 などを基にして確かめ，論理的に考察し表現する能力を養うことである。学習内容としては，平行線や角の性質， 三角形の内角と外角，多角形の内角の和と外角の和，三角形の合同条件，証明のしくみなどがある。これらを，観 察や作図する操作や実験などの活動を通して，その推論の過程を自分の言葉で，他者に伝わるように分かりやすく 表現できるようにする。また，推論の方法には，帰納，類推，演繹の3 つの方法があり，必要な場面に応じて適切 な推論の方法を用いることができるようにすることは，中学校の段階で重要なことである。このような面から，本 単元の学習は大変意義深いといえる。 ○ 生徒は第１学年において，図形の作図や移動を学習している。また，空間における直線や平面の位置関係を知り， 空間図形を直線や平面図形の運動によって構成されているものととらえ，平面上に表現したり、平面上に表現され たものを読み取ったりしている。これらの学習を通して，図形についての感覚をはぐくみ，図形についての理解を 深めるとともに，論理的に考察し表現する能力を培ってきている。 本学級の生徒は，学習意欲が旺盛で，小学校及び第１学年で学習した，三角形や四角形の基本的な性質について は理解できている生徒が多く，本単元の学習に必要な知識や技能は，ほとんどの生徒が身につけている。しかしな がら，「なぜですか？」という問に対しては，根拠を明らかにして説明することが出来ない生徒が多い。また，実 験や実測，観察の結果から，新たに性質を見いだしていこうとする意識もあまり強くない傾向にある。更には「計 算はいい」が「図形は分からない」と考えている生徒も，かなりの割合で見られる。これらは，本学級の生徒の， 操作活動を通して結果を考察するという発見までの過程よりも，結果の方に関心が高いことに起因していると考え られる。このことから，単なる知識の断片的な暗記ではなく，操作や実験などの活動を通して，それぞれの知識が つながるように，「既知のことに帰着」して考えさせる指導をしていきたい。 ○ 本単元の指導にあたっては，小学校で学習した三角形や四角形の性質と関連付け，学び直しの機会を設けなが ら取り組ませていく。また，証明については，図形の性質を演繹的に確かめ，論理的に考察し表現する能力を養っ ていきたい。 そのためにまず，３本の直線でできる図形を考えさせる。ここでは，できた図形を交点の個数で分類させ，それ ぞれの図形において角に着目し考察させることで，本単元の学習への意欲を高めていく。次に，角と平行線の性質 を理解させる。ここでは，「既知のことに帰着して考える」ことを通して，確かな根拠を基にして筋道を立てて考 え説明することを学習させる。さらに，三角形の合同について考えさせる。ここでは，合同の意味と三角形の合同 条件について理解させる。最後に，証明について理解させる。ここでは，三角形の合同条件などを基にして図形の 基本的な性質を確かめたり，新たな性質を見いださせたりする。その際，はじめは，根拠を明らかにして説明し伝 え合う活動を通して，推論の過程を自分の言葉で他者に分かりやすく表現することを大切にしていく。その後，言 葉や用語，記号を使うことに慣れるようにし，漸次，推論の過程を正確に，しかも分かりやすく表現する能力を高 めていきたい。 ３ 目 標 ○ 図形の性質や合同について関心をもち、筋道を立てた考え方の必要性を感じ取り，数学的な論証を行おうとする。 (数学への関心・意欲・態度) ○ 図形の基本性質など，既知のことがらを根拠として新たな図形の性質を証明し，それを積み上げていくという数 学的な考え方のよさが分かる。 (数学的な見方や考え方) ○ 図形の基本性質を理解し，具体的な角の大きさを求めることができ，図形の基本性質を用いた簡単な証明を読み 取ったり表したりすることができる。 (数学的な表現・処理) ○ 対頂角の性質，平行線の性質，平行線になる条件，三角形の内角と外角，多角形の内角の和・外角の和，合同な 図形の性質，三角形の合同条件および証明のしくみを理解している。 (数量・図形などについての知識・理解)４ 計 画(17 時間） 関：関心・意欲・態度 考：数学的な見方や考え方 表：表現・処理 知：知識・理解 次 時 学習活動・内容 ねらいと手だて 評価規準 一 ⑦ １ ② 平行線の性質について理解する。 ・ 対頂角，同位角，錯角 ・ 対頂角の性質 ・ 平行線の性質 対頂角の性質，平行線と角の関 係，三角形の内角の和，多角形の 内角の和・外角の和などの，図形 の基本性質を理解することができ る。 ○ 直観的に気付くようにさせる ために，具体的な実験や操作，観 察を利用する。 関：実験や操作，観察などを通 して角の大きさについて関 心を示し，その性質を見出 そうとする。 考：平行線の性質が正しいこと を説明することができる。 表：平行線の性質を用いて，角 の大きさを求めることがで きる。 ２ ① 三角形の内角と外角について理解す る。 ・ 三角形の内角と外角 ・ 直角，鋭角，鈍角 ・ 三角形の分類 ○ 角を移動させ，１箇所に集める ために、平行線を利用した補助線 を引かせる。 表：三角形の内角と外角の性質 を用いて，角の大きさを求 めることができる。 ３ ② 多角形の内角と外角について理解す る。 ・ 多角形の内角の和 ・ 多角形の外角の和 ○ 三角形の内角の和を利用する ために，対角線などの補助線を引 かせる。 表：多角形の内角の和を求める ことができる。 考：多角形の内角の和と外角の 和の求め方を説明すること ができる。 ４ ② まとめ ・ 角と平行線の性質 ・ 条件変更による問題作成 ○ 既習のものから新しい事がら を導き出す見方や考え方を身に 付けさせるために，「～でなけれ ばどうだろう」という視点をもた せ，条件を変更させる。 考：平行線の性質や角の性質を いろいろな場面で活用する ことができる。 関：見出した性質を，平行線の 性質や角の性質を基にすす んで確かめようとする。 二 ③ １ ① 合同な図形の性質について理解する。 ・ 合同な図形の性質 ・ 記号≡を使った合同の表し方 三角形の合同条件を理解すること ができる。 ○ 合同な三角形の性質を理解させ るために，辺と辺，角と角の関係 を考えさせる。 表：２つの三角形を比較し，対 関係を考えて，記号≡を使 って表すことができる。 ２ ② 三角形の合同条件について理解する。 ・ 三角形の合同条件 ○ 三角形の合同条件をつくるため に，実際に合同な三角形をかかせ ることを通して必要十分条件を考 えさせる。 知：三角形の合同条件を理解す ることができる。 三 ⑦ １ ② 仮定と結論について考える。 ・ 仮定と結論 ・ 逆 ・ 平行線になる条件 三角形の合同条件を利用して基本 的な証明を行うことができる。 ○ 仮定と結論を明らかにさせるた めに，「･･･」ならば「～」という 形に着目させる。 関：証明のしくみに関心を示し， 仮定と結論を明らかにしよ うとする。 ２ ① 証明のしくみについて理解する。 ・ 証明のしくみ ○ 証明のしくみを理解させるた め，言葉や図を使って筋道を示す。 知：証明のしくみを説明するこ とができる。 ３ ① 証明の根拠について考える。 ・ 証明の根拠となることがらのまとめ ○ 証明の根拠となりえるものとなら ないものを判断するために，図形の 基本性質を演繹的な方法によって確 かめる。 考：証明の根拠となりえるもの とならないものを判断する ことができる。 ４ ③ まとめ ○ 単元のまとめと確かめを行うた めに，総括的評価をおこない，自 分の課題を把握させる。 考：平行線の性質，三角形の角， 三角形の合同条件などを， 図形の論証の場面に応じて 活用することができる。 本 時 （ ２ ／ ２ ）
５ 本 時 平成２２年１１月１８日（木） 第５校時 ２年 組教室 第一次の４時（２／２） (1) 本時の指導観 本時は，平行線と角の７時間目である。これまでに生徒は，直線と角，三角形の角や多角形の角について学習してい る。そこで本時は，これらの既習内容を用いて解決した問題の条件を変更し，その問題に取り組ませることを通して， 数学的な見方や考え方を育成し，自分なりの新たな数理を見いだすことをねらいとする。 そのためにまず，問題１を解決させ，めあてを確認させる。次に，条件の１つである角度を変更し，問題１で求めた 角の関係を一般化させる。ここでは，「～でなかったらどうだろう？」という，条件変更のための視点を与える。さら に，点Ｐの位置を「内部」から「線上」や「外部」と変更し，自分なりの数理を見いださせる。ここでは，３回の条件 変更のそれぞれで導いた∠ｘの関係を比較させることで，共通点や疑問点を表出させていく。その際，１回目の条件変 更で導いた∠ｘ＝∠ａ＋∠ｂの∠ａと∠ｂがどのように変化したのかということを，コルクボードで確認しながら共通点に気付か せる。最後に，本時の学習を振り返らせる。ここでは，条件を変えることで，変化することと，変化しないものに気付 くことができ，新たな見方や考え方を獲得することができることを実感させる。 学習活動 具体的な手だて 定着活動 音声計算トレーニング法による１分間の計算練習を行う 目標設定 学習過程及び学習内容の示唆を行う 習得活動 問題１において，「∠ａ，∠ｂ」へと変更して，∠ｘ＝∠ａ＋∠ｂへと一般化させる 活用活動 問題１において，「内部」を「線上」，「外部」へと変更して，自分なりの数理を発見させる《挑戦行動》 振り返り活動 本時の学習において，分かったこと，気付いたこと，感じたことを記述させる (2) 主 眼 ○ 問題の条件を変更し，その問題の解決を通して，新たな数理を自分なりに見いだすことができる。 (3) 準 備 ①問題１を書いた模造紙 ②学習プリント ③コルクボード (4) 過 程 学習活動・内容 主な支援 評価の観点(方法) 形態 配時 １ 音声計算練習を行う。 【定着活動】 ・ 角と平行線・多角形の角 ２ 問題１を解決し，めあてを確認する。 (1) 解決方法を確認する。 ・ ∠ｘ＝４０°＋30°＝70° (2) 本時のめあてを確認する。 ・ 自己目標の設定 【目標設定】 ３ 条件を変更した問題を解決する。 (１) 「40°，30°」を「∠ａ，∠ｂ」へと変更し て考える。 【習得活動】 ・ ∠ｘ＝∠ａ＋∠ｂ ･･･ 一般化 (2) 点Ｐが 「内部」を「線上」，「外部」へと変 更して考える。 【活用活動】 ・ 線上の場合：∠ａが０° ∠ｘ＝∠ｂ ・ 外部の場合：∠ａが負の角 ∠ｘ＝－∠ａ＋∠ｂ (3) 新しい数理を見いだす。 ・ 点Ｐの位置によらず∠ｘ＝∠ａ＋∠ｂ ・ ∠ａ＝０°の場合は錯角 ・ 負の角 ４ 本時の学習を振り返る。 【振り返り活動】 ・ 条件を変えることで，変わることと，変わ らないことが分かる。 ○ 基礎・基本の定着のために音声計算に 取り組ませ，自分の伸びを実感させる。 ○ 問題１に取り組ませ， ∠ｘ＝４０°＋30° となる考え方を確認させる。 ○ 「角度が４０°，30°でなか ったらどうだろう？」と発問することで，解決し た問題１に対して新たに疑問を持たせる。 ○ 自己目標を設定させるために，問題解決 までの学習過程を示唆する。 ① 条件を変更する ② ∠ｘの大きさを求める ③ 自分なりの数理を発見する ○ 「～でなかったらどうだろう？」という視点 を与えることで，条件を変更して問題１を発 展的に見ることができるようにする。 ○ 外部の場合は，∠ｘ＝－∠ａ＋∠ｂであ るが，∠ａを負の角と捉えさせることで，∠ｘ ＝∠ａ＋∠ｂで求めることができるという見 方ができるようにさせる。 ○ ３回の条件変更の∠ｘの関係を比較させ ることで，共通することや，疑問点に気付か せ，新たな数理に気付かせる。 ○ 次時は，２つの三角形が合同であること を説明によって確かめることの意義とその 方法について学習することを伝える。 ○ 自分なりの数 理を見いだすこ とができる。 (プリント分析， 発言チェック) 一斉 個 一斉 個 個 個 ↓ 小集団 一斉 5 ５ ５ １５ 15 5 めあて 問題の条件を変更し、平行線と角の間に成り立つ数理を発見しよう。 【問題１】2 本の直線ℓ，m が平行です。 いま，2 本の直線の内側に点P が1 つあります。∠ｘの大きさ を求めなさい。 P ｘ 40° 30° ℓ m
