論 文
周期的加振力・変位を受ける二次元
半無限弾性体の動的応答
平島健一
（昭和58年8月31日受理）
Dynamic Response of Two-Dimensional Elastic
Half-Space Under the Surface and Buried Point
Sources with Frequency Domain
Ken-ichiHIRASHIMA Abstract In th。 p，e、ent p・p・・， w・d・・i・・th・f・・m・1・ti・n・f dynami・・e・p・n・e・n th・・u・face・f two．dimensional elastic half．space under the surface and buried sourcgs with frequency domain． Some numerical results for radiation by sub’surface nuclei of extensional or ，lidi。g di・placem・nt di・c・ntinuity und・・f・eq・・n・y d・m・i…e・h・w・by th・・upe「p°sit’ ion of the closed．form solution of time domain， which were obtained by the author． 1． まえがき 地中内部または地表面の加振源による波動伝播問題 は地震波動や地盤上の構造物の設計資料として重要な 研究項目の一つで，従来から多くの研究者が取り組ん できた課題であり，1960年代以降その基本的な問題の 幾つかに対して，定量的な議論ができる程度にまで発 展してきている1）。それらの内，奥行き方向に一定な 線荷重，あるいは線転位（変位の喰い違い）が存在す る場合の，いわゆる2次元的な半無限体の時間領域で の動的応答に関する研究成果が著者によりまとめら れ，幾つかの基本的な時間関数の点源問題に対し，閉 じた型の解析解が求められている2）・3）。ここでは，周 波数領域での同種の問題の解を積分形で定式化すると 共に，現在この種の問題の解析解が得られないことを 踏まえて，著者の求めた時間領域での解析解を適切に 重ね合わせることにより，周期的な加振力／一 t変位の波 動源が基盤内部および表面に存在する場合の近似解を 得る手順と二・三の代表的な数値例を提示する。な ＊土木工学科，Department 6f Civil Engineering、1 お，この種の問題の（ここに示した手法とは異なる） 近似解の模索を行っている研究としては文献4）∼7）等 が列挙できよう。 2．周波数領域での基礎方程式，境界条件式および その形式解 変位表示した弾性体の運動方程式（Navier方程式） のうち，奥行き方向（y方向）の変位Vが一定ないし 零であるような，2次元的な場合には，それらの方程 式は次式で与えられる。
1：：1二1識藁：：：：／
ここに，蕩蕊駕㍑G＝妬｝
（1） （1）’ で，CL， C．はそれぞれ縦波，横波の伝播速度，ρは 媒体密度，λ，GはLamさ定数である。また， u， w はX，LZ方向の変位， F。，F、は単位質量当たりの体積力である。なお，コンマの後の添字はその文字の座標 による偏薇分を表すものとする。 いま対象とする周波数に依存した調和型の波動（振 動）問題の場合には式（1）の変位，物体力を一般に次式 のように仮定することができる。 u（x，z， t）＝μ・（x， z）ei・t， 孔（x，z， t） ＝＝ F。t°（x，2）ei・t， w（x，2，t）＝w・（x， z）ei・t， F，（x，2，t）＝F、ω（x，2）ei・t． （2） （ただし以下の諸式においては簡単のため，上記の式 中に示した添字ωはすべて省略する）。式（2）を（1）に代 入すれば，周波数領域での支配方程式が以下のように えられる。 CT272 U＋（C。2 一 CT2）（U，。＋W， e），x ＝一ω2u一凡（x， z）， C。2 72 w＋（C。2−CT2）（u，。＋w，、），、 ＝一ω2ω一F、（x，の． （3） つぎに等方性の構成関係式を採用すればXZ面内の 応力成分は次式で表示される。
三三；≡竃竺：：｝
さて， に， （4） ここで座標（x，z）をFig．1に示したよう Z方向を表面からの深さ方向，X方向を水平方向 にとるものとし，今，たとえば変位ecに対して座標X に関し次のFourier変換を考える。 ・・（le・ ・）一∫ン（…）e−1・・d・， この逆変換は次式で与えられる。 ・（x・・）一㌃∫ン・（le，・）e…d・・ （5）1 （5）2 したがって，式（3）および式（4）にFourier変換を施せ ばそれぞれ次式となる。 CT2〃，、z＊一（CL2 k2一ω2）u＊ ＋i・le（CL2−CT2）ω．。＊＝一凡＊， CT2 w，zz＊一（Cr2 le2− w2）w＊ 十i le（CL2−CT2）utZ＊＝−Fa＊．ii｛ii；iilii；；i㌫瀞：｝
ここに， M2＝1−2CT2／CL2． （6） （7） （8） いま，Fig．1の半無限体の表面および深さz＝hの 内部の位置に，図中に示した調和型の荷重，物体力お よび転位が生じたものとすると，これらの境界条件 τ（エ）δ（z）eiω； σωδ（z）ei・1。＼／
X
ゐEωe減
一 一 “ 一 已 否／
瓦（エ）εiω」、
∠μωθ∫ωε L訂／一一ワ ∠ωω￠∫ωεz
Fig．1 Half・plane under the surface and buried point sources with time harmonic function． のFourier変換をとったものは，次のような関係式 を満足しなければならない。・緬ω㌔毒惟・）・（・一・において）
w・・＊＋ikm…一 Cピ・・（le・・）・（・＝・において） 同：ll二：−u・1・＋・−u・1・一・ ・Au＊，同：：1二：−aw・，肉：11：一一＠4ω・＋蒜）・
國：1：：一一（ikm・A・・＋尭｝）・ （9） Fourier変換後の支配式（6）の右辺を零とおいた同次 解は境界放射条件（i．e．無限遠で変位u，ωが零とな る条件）を考慮すれば，一般に次のような解として求 められる。 a）0≦z＜hに対して， u＊＝＝A、θ”・2＋B、 eff〃叫Cle・叫D、e−・β・， b）ニニ∴㌫＿｝
ここに， w＊一ﾌA1・晦・一昔β1・一吻・ ik i le −−C1￠”β2十一D1ρ一Ppa． vβ vβ h＜Z＜○。に対して， ・・一唐﨟E一壼・炉ン〃・一毒・ OO）i，2 ao）3，4 （10 これらの解を式（7）に代入するとFourier変換後の応 力成分が以下のように与えられる。 a）O≦z＜hに対して，周期的加振力・変位を受ける二次元半無限弾性体の動的応答 ±己一一☆（ω2 十2レCT2）（Aグ＋B・e−・・U） ＋2i・le（Ci e・βa＋Di em ・β9）， ，ピゴ「㌃（le2＋VB2）（A・ e・・a＋B・e−⇒ −2ik（Cleレρ9十Die一レβa）， 1 ，τ。、＊＝2レ。（・4、 eP・a−B、e−v・屠） toC■ ＋⊥（k・＋。，・）（C1 e…−D1 e−・の． りβ （12）1∼3 b）h〈z＜○○に対して，
ρ占礎一一（《告＋⇒θ一
＋2ileD2e−vβa，ρピげ一＋÷（〃2＋臓一…
−2‘ゐD2θ一vβa， 志げ一一2…B・・e−・・Z −⊥（々・＋。、・）D，、一・弓 レβ （12）4．．6 式ao）t6“よび（12の6個の未知定数・41， B1，……， D2を 有する関係式を境界条件式（9）1−6に代入すれば，それ らの未知定数に関する6個の連立1次方程式が求めら れる。これを解けば付録Aに示したように，与えられ た調和型の境界条件の値（のFourier変換された量） σ＊，τ＊，4u＊， Aw＊， F。＊およびFz＊を用いてAl， B，，……，D2が陽に求められる。それらの式中の分 母に現れるR＿は周知のごとくRayleigh関数であっ て，後述の数値例でみるように，この項に関連して Rayleighの表面波の影響が発生することになる。こ のようにして得られた係数の値を式（6），（7）に代入し， その結果にFourier逆変換を施せば，実空間での積 分形の形式解が得られることになる。その具体的な結 果について次節で例示する。 なお，上記の手法とは別に変位ポテンシャル関数φ およびgを用いて同種の問題を定式化した結果によっ ても完全に上述のものと一致する結果が得られること が確認されているがここではその詳細は省略する。 なお，著者は時間依存性の境界条件の場合の同種の 問題をFourier・LaPlace変換を用いて付録Aの式と対 応する結果を具体的に求めているが，詳しくは文献2） を参照されたい。 3． 数値計算例 0 ’（fiee surface） Fig．2 Point extensional dislocation（vertical− Iy opening displacement discontinuity） under frequency domain at depth z＝h． （変位の喰い違い）が存在する場合。 Fig．2に示すような点（0， h）に振動数ωを有す る鉛直方向の変位（開口変位）Aw。が存在する場合を 考えるものとすれば，式（9）の境界条件式において蕊り1こ蕊嘉」 （・3）
を代入してやればよい。したがって，この場合の係数 A，，B，，……， D2のうち，0≦z＜hの範囲の物理量 に関与する係数A、，B、， C1， D、は付録Aの式（A．1） より次のように与えられる。 2 A1・＝ ik（k2＋vβ2）CT2AWo ω2レ。
G㌃q−−2当・一・pht
2 −1 θ一Pah， Cr2xtwo 2 Bl−浴CR．ド（㌘Ω阜・−v・h
＋8ik・v・（k2＋v・・）・一叫・ 1）1＝ ω2R＿CT2AWo
一1 ｛4ikレβ（k2十レβ2）2e一レα九 一2i・leレβR＋e−・β九｝． （14（A）深さz＝hの鉛直方向に調和型の開口転位
もちろん，B2， D2も式（A．1）から簡単に陽な形式で 求められるが，ここでは現実的な観測，測定が可能な 表面（z＝0の面）における応力，変位を対象とする ことから，B2， D2についてはここに具体的に書き出 すことはしない。 これらの係数を式ao）1，2および（12）1．．3に代入し， Fourier逆変換を行うと共に， z＝Oの表面上での変 位U，Wおよび非零の応力τ。。が積分形で以下のよう に書き表される。CT2AWe
4πu（x，・・ω）÷∫
1．｛i’e（㌘ら 一ik（〃2十レθ2）R＋十4ikレαレβ（le2十レβ2）2 vα R＿ ・e−・・h・・hXdle一￨∫ヨ⊇・
｝昭和58年12月 “’ R梨大学工学部研究報告 第34号 ＋8刷”2＋レ生2‘”レ亟｝・一・・n＋il・・dle・
促4硲ω（・…ω）一丁己塑1）
一・￠一レα九＋ilex dカ R＿ 、 一芸∫二｛2〃・＋−8々2レ…（ゐ2＋・β2）＋21e2R・ R＿｝ ×e一レβ九＋ilex dx． （IS 4π τ。。（x，0；ω） （ω2／Cr2＋2レ。2）（々2＋りβ2） （〃2十レβ2）1∼＋−41e2（k2十りβ2）2 ρC？44ω。 一芸∫二｛一 ｝ 十一 ・e−・・h・il・・d・＋芸∫：．．｛4ピ・・ ＋＆le2・・（ω2／C・2＋2・・2）（々2＋・・2）−4k2・・R・ ＿一一一一一一一一＿＿＿一…じα ．…．．．・．・．．＿一．．・ 一（（v2／CT2＋2”・2）（’e2＋”・2）R＋＋8fe2v・Vs（”2＋ R＿ ｝ ×e−Pph＋ikx d le． （1⑤蹴・一・・・…≡L｛’k（㌘軌一一
一2ik・・e−・Bh・il・x｝d・le −｛・一（εの2｝・・＋（篇）2・・一…， ムーi・leL｛一々・κぴ芦）H。②（〃。り一［峠子佑婦）］脳叫
・2−−i・le・｛〃・x（グ2−4z2グ4）H・②（le・・） 一［〃躍＋穀一4プ）］私②（k・r）］， ・3−͡｛k・！（r2−4z2r4）H・ … （”le T・） 一ピ芸＋芸停鍾）］Hl ・2｝（⇒・ ここに， ，， ， k．・＝瓦・”・「雰・・＝工・ 上式中のRayleigh関数に無関係な項，すなわち，無 限体として媒体内に式（13）のような開口変位が生じるよ うな場合，式中の下線で示した項のみが残り他の項は 消滅する。これらの下線項に関する無限積分8）は幾つ かの演算のうち最終的に次のように求められる。たと えば水平な変位成分U．については次のようになる。 （17） （18） また，上式中のH。 （2）（ζ）はn次の第2種Hankel関 数であり，引数ζが与えられれば，計算機により具体 的な数値として求められるものである（その他の無限 体とした場合の力学量ω．．，（τ。。）．、についても同様に 求められるがここではそれらの式は省略する）。そこ で，これらの解析解を用いて無限体としたときのX軸 上の振巾副μ．elおよび！w．．「を振動数パラメータ（vh／CL を幾つか変化させて，X／hを横軸にとってプロットし た結果をFig．3，4に図示した。図にみるように， lu．。1およびltv．．【ともにωの増加に伴い増大し，かつ X／h方向に屈曲が激しくなることが観察される。 上述のように式（ls，（16）に与えた積分形の形式解の 内，点線部のものについては幸運にも解析解がえられ るが，Rayleigh関数の関与するものは，現在のとこ ろ解析解が求められない。そのため，この種の問題の 近似解の計算が幾人かの研究者4）初により試みられて ｜σ．．｜，xac、 （・14；・1） 1．0 0．8 0．6 0．4 ／ωん／CF10・0 o！．一一一．−b−． u。。∂ω￡ AWoeidit 0．2后z二 ∼・」・べく二二こ：二
〇．0 0．0 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．0 7．0 碗 Fig．3 Horizontal amplitude of displacement for the point extensional dislocation under some typical frequencies（Exact solution for infinite−plane）． ｜ω．．1，．。，、 ・・（×『） 0．8 0．6 0．4 0．2 0．0 0．0 Fig．4 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．0 7．O x／h Vertical amplitude of displacement for the same case of Fig．3．周期的加振力・変位を受ける二次元半無限弾性体の動的応答 きているが，ここでは著者の別論文で得られた時間領 域（たとえば，時間的にdelta型，あるいはstep型 等の時間関数）の解析解2）の重ね合わせ（合成積）に より，ここで対象としている周波数領域での表面の応 力・変位の近似解を求めることを試みる。たとえば Fig．2と同一の点（o， h）に， 1’0 4W（X，の＝4ωo・δ（X）・H（t−to）． （19） のstep型の開口変位が生じた場合の表面変位の解析 解は著者の別論文2）で得られており，その結果は形式 的に次のように表すことができる。
二1∴1蕊司
上式中のσ。およびW。， じた形の解である。したがって，いま， 周波数領域での開口変位の場合， ei・t≒H（の＋Σ（￠⑭一ε⑭一・） ゴ＝1，2’” 4ち＝ち一ち一1． ⑳ （n＝1∼4）は代数的に閉 式（13）のような嶋）］・i
｛21） 0．1 0．01i幽v。＝。．，。。・一
普一…l＼ぷ叉：メニ改
lV綜慧：一一≦ミ
1−＿⇒％・9「∋一一（丘・in ・㎞）二蹴ll｝・・一一・m・n・・x／h
（ここに，2Vは十分に大きな整数） のように近似できることから，次のような近似式が成 立する。砲∵慧ll；：劃／
w（x，0；w）≒・・ 22） ここで，時間のきざみ幅4おおよびNは対象とする振 動数ωに依存し，一般には必らずしも一定ではない。 しかし幾つかの代表的な試行計算例から，4ち＝πω／ 120，ω砺＝2π（i．e． N ・240）で十分に精度よく収束 することが確認されているので，以下の数値例ではこ れらの値を用いて計算を遂行する。 Fig．5はFig．2に与えられた開口変位状態のときの 自由表面（z＝Oの面）上の変位の絶対値を表面に沿っ た座標位置Xでの変化について計算したものの例であ る。この図中には式（nで与えられた無限体とした場合 の解析解（厳密解）を実線および一点鎖線で示し，他 方，上述の重ね合わせの近似手法を用いた結果のう ち，無限体とした項から出てくる近似値を◎および▽ で示して本近似法の精度検討の一資料としたが，図に 見るように，二，三の点を除きかなり精度のよいも のとなっていることが観察される。この結果に自由 表面の存在によってRayleigh関数の関与から出てく 0．0 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．0 Fig．5 HorizQntal and vertical amplitudes of di＄− placenient on the surface of half−plane for the point extensional dislocation under frequency domain． る項の近似値を重ね合わせた結果が，点線で示した曲 線で与えられている。図の縦軸は対数目盛りとなって おり，半無限体の結果は無限体のそれのほぼ3倍とな っていることが観察される（ただし，水平変位IU．．iと ［ulとは以下にみるようにX／hの位置によりその比は 異なったものとなっている）。 また，水平変位國はx／h＝O．75あたりから減少 し，x／h＝2．5近辺で一担最低値をとるが，それ以降 は漸増する。しかし，その後x／h＞5．0で序々に減少 する傾向を示す。鉛直変位iω1についてはX／hの増加 につれて単調に減少するものの，その減少傾向はX／h ＝1．5前後を境にして異なった傾斜をもったものとな っている。 （B）深さz＝hに調和型のすべり転位が存在する 場合。 この場合の境界条件は㌫：；：㌫1雛t，｝ ㈱
で与えられる。したがって，これ以降の計算は前項（A） で述べた同様の手順に従うことにより無限体および半 無限体表面の水平，鉛直変位Iu．．1，1w．．1および國，1ω1 が計算できることになる。ここでは無限体とした場合 の｛u。、1の解析解による結果をFig．6に示した。 （C）深さz＝hの水平方向に開口転位が存在する 場合。 11”．．｜，xa，、 1．。（・」ギ） 0．8 0．6 0．4 0．2 0．0 0．0 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．0 7．O x／h Fig．6 Horizontal amplitude of displacement for the point sliding dislocation under some typical frequencies （Exact solution for infinite−plane）． 1．0 0．1 0．01 Iulorlwl （・」宰）、一。3。。 普一1・ のロロの − −− ． ．ひ
・ノ’／〆÷〔こく亀・
グ N ン句 v、 戸’ Iト．．．、。．． iw・・｛ 〆 姦一＿
ｯlr二｝
o一
weiωt⊥
AUo e iωt 、亘＼、（［”l N s ．Y ロベ1沃遷1こLこ：：
｜u。．1，、a，、 ” ’xv Exact Solution ’＼、 （lnfinite−Plane）． ＼、：9二こ二二鵠1謁畑・一㎞一棚
0．0 1．0 2．0 3．0 4．0 5．0 6．O Fig．7 Horizontal and vertical amplitudes of displacement on the surface of half−plane for the point extensional dislocation （horizontally opening mode）under frequ− ency domain． この場合には動弾性学の表示定理9’1°）に，前節で求 めた基本解を利用して重ね合わせを行うことによって 表記の問題の解析が可能になる。ここでは理論過程は 省略するが，この場合の無限体ならびに半無限体とし たときの変位を求めた結果をFig．7に与えてある。こ の場合もFig．5と同様な精度と傾向が指摘できるが， その詳細は省略する。 4． む す び 以上，周期的（調和型の）点振動源による2次元半 無限弾性体表面の変位，応力を求めるための積分形の 解を与えると共に著者の別論文2・）3｝の成果を用いた一 近似手法を提案した。さらにその手法を用いて具体的 な数値計算を行い，またその精度検定についても一部 実施し，ほぼ良好な結果となっていることを例証し た。ここでは点振動源の場合に限定しているが，分布 振動源が存在する場合，あるいは振動源が移動する場 合等にも容易に拡張が可能である。 付録A，係数A1， Bi， C1， D、， B2および1）2の解 境界条件式（9）によって得られる6個の連立1次方程 式を閉じた形で解くことにより，係数A，，Bl，……， D2の値が具体的に次のように求められる。 A，一・一ぽ o一le2f・−f・＋・・f・−le2f・ 2（レ。2−・le2）2り。（レβ2−le2）｝・ G−・一励o…li鵠；一蒜鵠｝・
Bl−一}｛・〃・∫1＋（k・＋…）∫・｝ ＋2（ 1レα2一鳶2）R−←（た・f3一允）R・・一励 十4（レα2ア3−∫6）ゐ2（鳶2十レβ2）e一レβ九｝ ＋2（ 1激ﾀ2−々2）R．｛÷（v，・ f4一克・f5）R・・一 一4（f4一砿）le・（k2＋め・叫 Dl「と｛（為2十レ）！1＋2・。・・ゾ・｝ ＋2（。。・1−fitisi？：R−｛4（le2ア・一ア・）・a・・ ×（ゐ2＋レβ2）e一励一（レ。2ゾ3一ア6）R＋θ一坤｝ ＋2（。，・IEItsii？：Rr←4（v・右一ゐ・九）・・ ×（〃2＋vβ2）e−v・九＋（／一レβア5）R＋e’Y・九｝， B・一と｛2々・ア1＋（k・＋…）∫・｝ ＋・励｛ん2∫・づ・＋上・ア・一ゐ2∫・2（・。2一た2）2・。（レβ2−〃2）｝ 十 1 ｛一（〃2∫3−∫6）1∼＋θ一・・ん 2（レ。2一た2）R＿ →−4（レa2∫3−∫6）〃2（le 2十レβ2）e−Pph｝ ＋26♂三脳｛t（v・み一〃・f5）R・・一ぱ 一4（f4−v・f・）k・（le2＋め・一O
D・「と｛（〃・＋・，・）∫1＋・・。・，∫・｝ ＋・ゆ｛レ。2／3一ゾ6iア4一レβゾ52（・。2−le・2）2（・β2−k2）｝周期的加振力・変位を受ける二次元半無限弾性体の動的応答 十 1 ｛4（々2∫3一ゾ6）レαレβ 2（レ。2−一 le 2）R＿ ×（le・2＋・β2）e一励一（・。2∫・一／・）R＋e一州 十 1 ｛−4（レβゾ4−k2ア5）レβ 2（レβ2−〃2）R− ×（ゐ2十vβ2）e−Y・h＋（f4一レβア5）R＋e一酬． （A．1） ここに， fi− C㍑。・τ＊・ゾ・一，竺・…ア・＝＝・−aec・・ f、＝−ilevβaw＊， f，＝i・leAw＊＋ Fx＊， toCT2 1 2） 3） 4） 5） f・一一i1一 2CT2CL2 論 ） le 24μ＊十 Fa＊， toCL2 （A．2） ㌫覧惹1：：：㌫！ダー募）1’2・｝（A・3） 1）
