無限個のphaseを持つある作用素のStokes geometryについて (完全最急降下法)

無限個の

phase

_{を持つある作用素の}

Stokes geometry

について 青木貴史 (近畿大・理工) 河合隆裕 (京大・数理研) 小池達也 ($\text{京大}\cdot$ 理) 竹井義次 (京大・数理研)

1

Introduction

以下の結果は研究会後に得られたものであるが, 研究会における話題と密接に関係してお り, 興味深いと思われるので, この講究録に収録させてもらうことにした. 本稿では large $\mathrm{P}^{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$ $\eta$ を含んだ無限階の方程式

$P(x, \partial_{x}, \eta)\psi=0$, $(\alpha\in \mathrm{C})$ (1)

を考える. (後に主に考えるのは $\alpha=i$ _{の場合である})

我々が現在興味を持っている作用素 $P(x, \partial_{x}, \eta)=P(X, \partial x/\eta)$ _{は, その} Borel_変換$P_{B}(x, \partial_{x}/\partial)y$

が $x$ に正則に依存する _{$\zeta=\xi/\eta$} の整函数を表象とする ($0$階の)microdifferential operator

となるものである. _{そのような作用素に関しては 3 階の作用素に対する局所理論 ([AKTI],}

Theorem 14 等) の自然な拡張が存在し, 又, $P_{B}$ に対する超局所解析を通して “new turning

point” を導入できることも判ってきている. _{(詳細は現在準備中の論文に譲る) 従ってその} ような作用素に対しては本稿で論じるような _{Stokes geometry を考えることが出来るのであ} る. _{そのような作用素の中には, 例えば}$\exp(\partial_{x}^{2}/\eta^{2})-a(x)$ _{と云う形の作用素も含まれてお} り, これ等ひょっとしたら現実的な応用を持つのではないか (例えば [BB] 参照) とも期待し ているが, 特にここで, よりおとなしそうな上述の作用素に限って議論を行う主な理由は次 のような際立った特徴をこの作用素が持つことにある: 以下に見るようにこの作用素の変わり点は2点 $(x=\pm 1)$ _{しかなく, これらの変わり点か} ら出る Stokes

curve

は無限重の重なりを示している. 従って WKB解の “接続公式” と云っ たものがあり得るのかどうかはアプリオリには全く明らかではない. 勿論上に触れたよう に局所理論が確立された今 (平成12年7月) は“当然成り立つ” _{と言い切れるけれど,} 我々自 身最初–抹の不安があったことは事実である. 本稿で示すような解の積分表示における最急 降下路のパターンの切り替わり方 (4節) から “成り立つに違いない. 自信を持って前進しよ う” と思ったのであった. さて今 (1) のWKB _解を $\psi=\exp(\int^{x}(\eta S_{-1}(x)+S_{0}(x)+\eta^{-1}S_{1}(X)+\cdots)dx)$ (2) の形で構成することにすれば, $S_{-1}$ は次の方程式を満たすことがわかる: (3) 以下 $f(x, \zeta)=\cosh(\sqrt{\zeta/\alpha})-x$

とおこう. この時 $f(x, \zeta)=0$ を解くと $\zeta=f_{n}(x)$ が得られる. 但し

$f_{n}(x)=\alpha(2n\pi i+\log(x+\sqrt{x^{2}-1}))^{2}$ $(n\in \mathrm{Z})$ (5)

である. つまり, phase を記述する $S_{-1}$ は無限個存在する. (以下$S_{-1}=$ 几で始まる WKB

解を$\psi_{n}$ で表わすことにする)

こうした無限個の phase を持つ方程式 (1) の Stokes

curve

やnew Stokes

curve

を, コン

ピ_$=-$タを用いた数値計算により求めることが本稿の目的である. さらに, そうして求めた

Stokes geometryが, 解の積分表示における steepest descent path の配位と密接に関係して

いることも数値的に検証する. (本稿で行う数値計算及び図の作成にあたっては Mathemat-$\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}4.0$ を用いた)

2

Stokes

curves

この節の目的は有限階の方程式の場合の議論をもとに (1) 式に対する変わり点,及び Stokes

curve

について考察し, それらを図示することである. まず,

$f(x, \zeta)=\frac{\partial f}{\partial\zeta}(X, \zeta)=0$ (6)

の解$x$ を変わり点と呼ぶことにしよう. 簡単な計算により

$x=1,$$-1$ (7)

が変わり点であることがわかる.

次にこれらの変わり点から出る Stokes

curve

について考える. 以下では $\log(x+\sqrt{x^{2}-1})$

の分枝を, まず, $x=1$ (resp. $x=-1$) からカットを正の (resp. 負の) 実軸にそって無限遠 に引き, $\sqrt[-]{x^{2}-1}|_{x0}==i$, $\log(_{X+}\sqrt{x^{2}-1})|_{x=0}=\frac{\pi}{2}i$, (8) として定めることにする. この時 $x=1$ から出るカットを反時計回りに横切って原点の近傍 から原点の近傍に至る経路に沿って (5) 式で定められている $f_{n}$ を解析接続すると $f_{-n}$ にな ることがわかる. 従って次式により定まる $x$ 平面内の曲線を $x=1$ から出る Stokes

curve

と呼ぶことにする.

$\propto s\int_{1}^{x}(fn(x)-f-n(x))dX=0$ $(n\geq 1)$. (9)

この (9) は

$s^{\infty}|^{x}i\alpha\log(x+\sqrt{x^{2}-1})dx=0$ (10)

に同値であることがわかる. この (10) は $n$ に依らないので, 変わり点$x=1$ から出る Stokes

curve

は無限重に重なっていることがわかる. 同様に $f_{n}$ を $x=-1$ から出るカットを反時計

回りに横切って原点の近傍に解析接続すると $f_{-n-1}$ になることがわかるので,

により定まる曲線を $x=-1$ から出る Stokes

curve

と呼ぶことにする. この (11) は

$\propto s\int_{-1}^{x_{i\alpha(i\pi+}}-\log(X+\sqrt{x^{2}-1}))dX=0$ (12)

と同値であるから, やはり $x=1$ から出る Stokes

curve

と同様に (12) で定義される Stokes

curve

も無限重に重なっていることがわかる.

この (10) と (12) により定まる Stokes

curve

を以下に図示しよう. 以下の図は

$\alpha=ie^{i\theta\pi}$

(13)

3

New Stokes

curves

2節における Stokes

curve

の図からわかるとおり, 今考えている方程式に対しては, 一般

に, Stokes

curve

は交叉している. 有限階の方程式の場合の議論と同じ$\text{く}$ , Stokes geometry

を決定するためにはその交点から出る new Stokes curve についての考察も必要となるであ

ろう. 以下 $\alpha=i$, _つまり, $P(x, \partial_{x}, \eta)=\cosh(\sqrt{\partial_{x}/i\eta})-x$ (14) の場合について議論を進めることにする. (この方程式に対する Stokes

curve

は図2-1であ る) 上半平面にある Stokes curve の交点を $x_{0}$, 下半平面にある交点を $x_{1}$ として, 最初に上半

平面の交点 $x_{0}$ から出る

new

Stokes

curve

について考察しよう.

まず, $x=1$ から出て $x_{0}$ に向かう Stokes

curve

に沿って

$\Re\int_{1}^{x}(f_{n}(X)-f-n(x))dX>0$ $(n>0)$ (15)

が成り立つことに注意する. つまり, この Stokes

curve

上では$\psi_{n}$ が $\psi_{-n}$ に対して dominant

となる. (以下 [AKTI] にならって, この事を “

$n>-n$”

と表わすことにする) さらに $x=$

$-1$ _から出て $x_{0}$ に向かう Stokes

curve

に沿って

$\Re I_{-}^{(f()-}x_{1})nxf_{-}n.-1(x)d_{X}<0$ $(n\geq 0)$, (16)

つまり,

$”-n-1>n$

” となっていることもわかる. これらの 2 つのことから $x=x_{0}$ におい

て

. . .

_{$>3>-3>2>-2>1>-1>0$}

(17)

となっている事がわかる. (結果を先取りするようだが, 図4-4-2も参照) Borel平面で考え

ればこの (17) ?は WKB解$\psi_{n}$ の特異点 $y=g_{n}(x)$, 但し$g_{n}(x)= \int^{x}f_{n}(x)d_{X}$, が実軸に平行 な直線上に

.

$..<\Re g_{3}(X)<\Re g-3(x)<\Re g_{2}(X)<\Re_{g_{-2}}(X)<\Re g_{1}(X)<\Re g_{-1}(X)<\Re g_{0}(x)$ (18)

と並んでいることを意味する. 従って次で定義される $x$平面における曲線が new Stokes

curve の候補となることがわかる.

$s^{\infty} \int_{x_{0}}^{x}(f_{m}(x)-f_{n}(x))dX=0$ $(m, n\in \mathrm{Z}, m\neq-n, m\neq-n-1)$. (19)

(ここで $m=-n$, および

$m=-n-1$

をはずしているのは, それぞれ$x=1,$ $x=-1$ から出

る Stokes

curve

となるからである) 簡単な式変形の後, この (19) は

$\propto s\int_{x_{0}}^{x}(k\pi i+\log(x+\sqrt{x^{2}-1}))dx=0$ $(k=m+n\neq 0, -1)$ (20)

まず, $k=1,2,3$ の場合は次の様になる.

図からわかるとおり上半平面の交点$x_{0}$ から伸ばした new Stokes curve が驚くべきことに下

半平面の交点 $x_{1}$ を通過している. また $k$ が大きくなると new Stokes

curve

は虚軸に近づい

ていくこともわかる. 実際 $k=100$ の場合は次の通り.

以上をまとめて $k=1,2,$$\ldots,$

$6$ に対応する

new

Stokes

curve

を重ねて図示すると次の様に

$1^{\urcorner}$

lgulc $O^{-\mathrm{d}}$

次に $k=-2,$ $-3,$ $-4$ の場合に new Stokes curve を図示する.

flgure $\mathrm{O}^{-}0$ rlgul

$\cdot$

c $0-_{l}$ _{rl 呂}$\mathfrak{U}1\mathrm{C}0^{-}0$

やはり $k$ の絶対値が大きくなると new Stokes

curve

は虚軸に近づいていくことがわかる. 例

$\Gamma \mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$ -ソ

先ほどと同様に $k=-2,$ $-3,$$\ldots,$ $-6$ のに対応する new Stokes

curve

を重ねて図示すると次

のようになる:

New Stokes

curve

で $-6\leq k\leq 6(k\neq.0, -1)$ _{に対応するものを重ねて図示すると次のよ}

$\mathrm{k}=- 6,- 5,$ $\ldots,$ $6$

ここで簡単に

new

turning point との関連について触れておくことにする. まず,

new

turning point を [AKTI] _{に倣って定義すると}, _{詳しい計算は省略するが,} 方程式(14) に対

する new turning point は

$x=\pm\cos w$ _(但し $w$ は $w=\tan w$ を満たす) (21)

となることがわかる. (これらの new turning point (は $-1\leq x\leq 1$ _にあり, 原点に集積す

る)

有限階の方程式の場合, [AKTI] において議論されている通り, new Stokes curve は new

turning point から出るものとして考えることが出来た. 今考えている方程式についても同

様のことが成り立つことが期待される. 以下の表はnew Stokes

curve

と実軸の交点を数値

この結果から上記のことが数値的には成り立っていることがわかる.

また有限階の方程式の場合の議論から, $x=0$ を含み$x=\pm 1$ からでる Stokes

curve

に

よって囲まれる領域に含まれる new Stokes

curve

の当該部分は, 上の結果から new turning

point を通っていると考えられるのでStokes geometry には無関係である (すなわち WKB

解はそこでStokes 現象を起こさない) ことが期待される. これらの部分を点線で表わしたも

Figure 3-12

この節の締め括りとして $\alpha=ie^{i\theta\pi}$ _として $\theta$ を $0$から 1.0 まで 0.1 ずつ増やした場合の $k=$

1000に対する

new

Stokes curve を図示することにする. やはり片側の Stokes curve の交点

から出た new Stokes curve が反対側の交点を通過していることに注意して貰いたい.

4

Steepest

descent paths

有限階の Laplace型方程式

(

係数が

1

次函数である方程式

)

の場合は, 点$x$ 力\leq Stokes

curve

あるいは new Stokes

curve

上にあるという状況が, 積分表示の方で見れば, 2つの鞍点を結

ぶsteepest descent path が存在するという条件に対応していた $([\mathrm{A}\mathrm{K}\mathrm{T}2], [\mathrm{T}])$.

今考えている方程式

$P(_{X,\partial_{x}}, \eta)\psi=0$, $P=\cosh(\sqrt{\partial_{x}/i\eta})-x$ (22)

は$x$ についての無限階の Laplace型方程式と考えられ, 従って上記の有限階の場合の結果が 同じように成立していると期待される. 以下では (22) の解の積分表示として $\psi=\int\exp(\eta h(_{X,\zeta}))d\zeta$ (23) ($\int\underline{\mathrm{B}}1$ “ $h(x, \zeta)=x\zeta-2i\sqrt{\zeta/i}\sinh(\sqrt{\zeta/i})+2i\cosh(\sqrt{\zeta/i})$ (24) である) を考え, $x$ をいろいろ動かした時の積分表示 (23) の鞍点 $\zeta_{n}=i(2n\pi i+\log(x+\sqrt{x^{2}-1}))^{2}$ (25) (この鞍点は (5) で与えられた $S_{-1}$ に–致することに注意) と, その鞍点を通る steepest

de-scent path を図示することにより, 2節や3節で調べた Stokes

curve

及びnew Stokes

curve

の図や, この期待の正当性を検証する.

41 $x=1$ の近傍

まず, $x$ が変わり点 $x=1$ の近傍を動く時の steepest descent path の配位について考える

ことにする. 具体的には次の図の様に$x=1+0.2e^{i\theta\pi}$ (_但し $\theta$ は $0$ から2まで0.1ずつ増や

す) として考える.

この様に $x$ を動かした時の鞍点 $\zeta_{n}$ $(n=0, \pm 1, \ldots , \pm 3)$ と steepest descent path を調べて

みると次の様になる.

Figure 4-1-al Figure 4-1-a2 Figure

4-1-a3

Figure 4-1-a4 Figure

4-1-a5

Figure

4-1-a6

Figure 4-1-al0 Figure 4-1-all Figure 4-1-al2

Figure 4-1-al3 Figure 4-1-al4 Figure 4-1-al5

Figure 4-1-al9 Figure 4-1-a20 Figure 4-1-a2l

$\text{以}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

上の図では鞍点 $\zeta 0,\zeta_{\pm 1}$ から出る steepest descent pathが見えにくいので改めてそれらの

鞍点から出る steepest descent path を以下に図示する.

rlgure $4-\perp- 0\perp$ rlgure $4-1-\mathrm{D}\angle$ $\mathrm{r}$lgure $+\perp-\mathrm{U}\mathrm{o}$

rlgure $4- 1-0\perp\epsilon$

以上の図から steepest descent path のパターンは $\theta=$ 0(図 $\mathrm{a}1$ あるいは図 $\mathrm{b}1$) の前後, $\theta=$

0.6\mbox{\boldmath $\pi$}(図$\mathrm{a}7,$ $\mathrm{b}7$) と $\theta=$ 0.7\mbox{\boldmath $\pi$}(_図$\mathrm{a}8,\mathrm{b}8$) の間, 及び$\theta=$ 1.3\mbox{\boldmath$\pi$}\mbox{\boldmath$\pi$}(図 $\mathrm{a}14,$ $\mathrm{b}14$) と $\theta=$ 1.4\mbox{\boldmath $\pi$}(_図

$\mathrm{a}15,$ $\mathrm{b}15)$ の間において切り替わることが見て取れるが, これらは丁度

$x$ が $x=1$ から出る

Stokes

curve

を横切る時である. その Stokes

curve

を横切る際に鞍点 $\zeta_{n}$ と $\zeta_{-n}$ が steepest

descent path により結ばれるということも, $x=1$ から出る Stokes

curve

が (9) _で定義さ

れていることと整合している. また, このことが全ての $n$ について–斉に起きていることが

Stokes

curve

が無限重に重なっていることと対応している. さらに, 例えば, $x=1$ から

左上に出る Stokes

curve

は3節で見たように$\psi_{n}$ が $\psi_{-n}$ に対して dominant であったが, 図

$\mathrm{a}7$ と図 a8(

あるいは図 $\mathrm{b}7$ と図$\mathrm{b}8$) を見比べるとこの Stokes

curve

上では$\zeta_{n}$ から出ている

steepest descent path が $\zeta_{-n}$ に入っていることも確認できる. つまり, こうした WKB解の

dominance の関係もうまく対応していることがわかる.

42 $x=-1$ の近傍

次にもう –つの変わり点 $x=-1$ の近傍において考える. 以下の図の様に$x$ が $x=-1+$ $0.2e^{i\theta\pi}$ ($\theta$ は$0$ から 2 まで 0.1 ずつ増やす) と動く場合を考える.

$\mathrm{p}_{1}.\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}4-.\Delta-\perp$

以下に鞍点$\zeta_{n}(n=0, \pm 1, \ldots, \pm 3, -4)$ _から出る steepest descent path について考える.

Figure 4-2-al Figure 4-2-a2 Figure 4-2-a3

Figure 4-2-a7 Figure

4-2-a8

Figure

4-2-a9

Figure 4-2-al0 Figure 4-2-all Figure 4-2-al2

Figure 4-2-al6 Figure 4-2-al7 Figure 4-2-al8

Figure 4-2-al9 Figure 4-2-a20 Figure 4-2-a2l

やはり以上の図では鞍点 $\zeta_{0},\zeta\pm 1$ から出る steepest descent pathが見えにくいので改めてそ

れらの付近の鞍点から出る steepest descent path を以下に図示する.

$\Gamma \mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}4^{-}\angle-04$ $\Gamma$lgurc $\angle\neq-\angle^{-}\mathrm{u}_{\dot{\mathrm{t}}}$) rlgure 4-z-ot)

$\Gamma 1\mathrm{g}\mathrm{U}\mathrm{l}\mathrm{C}^{l}4-\Delta^{-}\mathrm{U}$’ $\Gamma$lgurc $l\neq- z- \mathrm{u}\mathrm{o}$ rlgure _$+\angle-0y$

4.1 節と同様に steepest descent path のパターンが切り替わるのは $x$ が $x=-1$ から出る

Stokes

curve

を横切るときであることが見て取れる. なお $x=-1$ から出る Stokes

curve

は (11) で定められていたが, その Stokes curve を横切る際に $\zeta_{n}$ と $\zeta_{-n-1}$ の鞍点が steepest

descent path によって結ばれていることもわかる. やはり, この事が全ての $n$ について–斉

43 上半平面上で実軸に沿って

続いて $x$ が実軸に沿って上半平面において動く場合を考えよう. 具体的には次の図の様に

$x=t+0.2i$ (ただし, $-1.5\leq t\leq 1.5$ _{で垣ま 0.1 ずつ増える)} として考える.

以下に鞍点 $\zeta_{n}(n=0, \pm 1, \ldots, \pm 3)$ _から出る steepest descent path _{を図示する}.

Figure 4-3-al Figure 4-3-a2 Figure 4-3-a3

Figure

4-3-a7

Figure 4-3-a8 Figure

4-3-a9

Figure 4-3-al0 Figure 4-3-all Figure 4-3-al2

Figure 4-3-al6 Figure 4-3-al7 Figure 4-3-al8

Figure 4-3-al9 Figure

4-3-a20

Figure 4-3-a2l

Figure 4-3-a25 Figure 4-3-a26 Figure 4-3-a27

Figure 4-3-a26 Figure 4-3-a27 Figure 4-3-a28

Figure 4-3-a29

これらの図においても $\zeta_{0},\zeta_{\pm 1}$ から出る steepest descent path が見えにくいので改めてそれ

Figure 4-3-bl Figure 4-3-b2 Figure 4-3-b3

Figure 4-3-b4 Figure 4-3-b5 Figure 4-3-b6

Figure 4-3-bl0 Figure 4-3-bll Figure 4-3-bl2

Figure 4-3-bl3 Figure 4-3-bl4 Figure 4-3-bl5

Figure 4-3-bl9 Figure 4-3-b20 Figure 4-3-b2l

rlgure $4-\delta^{-}0^{-}\angle^{-}\angle$ $\mathrm{F}$

$\Gamma$lgure $4-\delta^{-}0\angle 0$ $\Gamma \mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$4-s-Oz$l$ $\mathrm{r}$lgure $+0-ozo$

以上の図において steepest descent path のパターンの切り替わりが起きるのは, 図 $\mathrm{a}6$ から

図$\mathrm{a}8$ にかけて (あるいは図 $\mathrm{b}6$ から図 $\mathrm{b}8$ にかけて) と, 図 $\mathrm{a}24$ から図 $\mathrm{a}25$ にかけて (あるい

は図 $\mathrm{b}24$ から図 $\mathrm{b}25$ にかけて) であることがわかる. これらはそれぞれ, $x=-1$ から出る

Stokes curve, 及び, $x=1$ から出る Stokes curve を横切る時である. (また退化の仕方, つま

り, steepest descent path を結ぶ鞍点の対についても 4.1 節, 及び42節の結果と整合してい

る)

それ以外のところでは steepest descent path のパターンは変わらない. 従って, 今考えて

いた経路と横切る new Stokes

curve

(図3-12において点線である部分) は Stokes geometry

に関与してこないこともわかる.

44 Stokes

curve

の交点 $x=x_{0}$ の近傍

次に Stokes curve の上半平面の交点 $x=x_{0}$ の近傍における鞍点と steepest descent path

について考えよう. まず以下の図のように $x=x_{0}+0.2e^{i\theta\pi}(\theta$ _は$0$ から 2 まで 0.1 ずつ増や

rlgure 4-4-1

以下, 鞍点 $\zeta_{n}(n=0, \pm 1, \ldots, \pm 3)$ _{について考える}.

Figure 4-4-al Figure 4-4-a2 Figure

4-4-a3

Figure

4-4-a7

Figure 4-4-a8 Figure 4-4-a9

Figure 4-4-al0 Figure 4-4-all Figure 4-4-al2

Figure 4-4-al6 Figure 4-4-al7 Figure 4-4-al8

Figure 4-4-al9 Figure 4-4-a20 Figure 4-4-a2l

まず, 交点 $x_{0}$ の下側, すなわち $\theta$

が1から2まで変わる場合については, steepest descent

path のパターンの変化を読み取るのは易しい. 実際図 $\mathrm{a}13$ から図 $\mathrm{a}15$ にかけて, 及び図

a17

から図 $\mathrm{a}19$ にかけての2 _$t$所においてのみパターンが切り替わっていることがわかる. それ らはそれぞれ, $x=-1$ から出る Stokes curve, 及び $x=1$ から出る Stokes

curve

を横切る

場合である. また点線で表わした

new

Stokes

curve

を横切る時には steepest descent path

のパターンは変化しないこともわかる. これは43節の結果とも整合する.

次に, $\theta$ が $0$ から1に変化する場合, つまり, _$x$ が実線で表わした new Stokes curve を横

切る際の steepest descent path の変化について見てみよう. 上記の図から読み取れるのは,

$\text{少なくとも}.x=-1$ から出る Stokes curve を横切る図$\mathrm{a}3$ から図 $\mathrm{a}5$

にかけて, 及び $x=1$ か

ら出る Stokes

curve

を横切る図 $\mathrm{a}7$ から図 $\mathrm{a}9$ にかけては, パターンの切り替わりが起こって

いるということである. しかし, 問題の

new

Stokes

curve

を横切る図 $\mathrm{a}5$ から図 $\mathrm{a}7$ にかけて

(図$\mathrm{b}5$ から図 $\mathrm{b}7$ にかけて) は, 図が粗過ぎてどのような変化が起こっているのか読み取りに

くい. そこで, 以下に $x=x_{0}+0.2e^{i\theta\pi}$($\text{但し}\theta$ は 0.25 から 0.5 まで 0.01 ずつ増やす) の場

合に対応する鞍点 $\zeta_{n}(n=-3, -2, -1, \mathrm{o}, 1,2)$ _{付近の様子を図示してみる}. (_{以下の図に限っ}

て $\zeta_{n}(n=-3, -2, -1, \mathrm{o}, 1,2)$ 以外の鞍点から出る steepest descent path _{についても図中}

Figure 4-4-bl Figure 4-4-b2 Figure 4-4-b3

Figure 4-4-b4 Figure 4-4-b5 Figure 4-4-b6

Figure 4-4-bl0 Figure 4-4-bll Figure 4-4-bl2

Figure 4-4-bl3 Figure 4-4-bl4 Figure 4-4-bl5

Figure 4-4-bl9 Figure 4-4-b20 Figure 4-4-b2l

Figure 4-4-b22 Figure 4-4-b23 Figure 4-4-b24

これらの図を順に見ていくことにする. まず, 図 $\mathrm{b}5$ から図 $\mathrm{b}7$ にかけて (

あるいは図 $\mathrm{c}5$ から

図 $\mathrm{c}7$

にかけて) 一度鞍点同士が steepest descent path により結ばれていることがわかる.

これは, 前にも述べた通り, $x=-1$ から出る Stokes

curve

を横切る際の変化である. (4.2

次の steepest descent path の変化は図 $\mathrm{b}17$から図 $\mathrm{b}19$ にかけて (図 $\mathrm{c}17$ から図 $\mathrm{c}19$ にか

けて) 起きている. New Stokes curve の図と $\theta$

の値を見比べると, これは

$s^{\infty} \int_{x0}^{x}(f_{n}(X)-f-n-2(_{X}))dx=0$ (26)

で定められていた new Stokes

curve

を横切る場合の変化である. また, 鞍点も $\zeta_{n}$ と $\zeta_{-n-2}$

が steepest descent path によって結ばれていることが見て取れる. さらに次の変化は図 b21

から図 $\mathrm{b}22$ にかけて (図$\mathrm{c}21$ から図 $\mathrm{c}22$ にかけて) 起きているが, これは

$\propto s\int_{x_{0}}^{x}(fn(X)-f-n-3(_{X}))dx=0$ (27)

により定められていた

new

Stokes curve を横切る場合である. この時$\zeta_{n}$ と $\zeta_{-n-3}$ が

steep-est descent path によって結ばれている.

図から確実に読み取れるのはこの辺りまでだが, ここまでのパターンの切り替わり方から,

$s^{\infty} \int_{x_{0}}^{x}(fn(x)-f_{-}n-k(x))dX=0$ $(k=4,5, \ldots)$ (28)

で定義された new Stokes

curve

の上でどんな現象が起こっているかを推測することは難し

くないだろう. 例えば, かなり下の方に位置する鞍点 $\zeta_{-k}$ から出た steepest descent path が

上の方まで上がってきて, (28) という new Stokes curve の上では最も上に位置する鞍点 $\zeta_{0}$

に入る訳である. (この時, $\zeta_{n}$ と $\zeta_{-n-k}$ が各$n$ について–斉に steepest descent path によっ

て結ばれる. )

3 節で見たように,

new

Stokes

curve

(28) は $k$ が大きくなるにつれ次第に虚円に漸近

して行く. 従って, $k$ が非常に大きい時の状況を数値的に検証するのは原理的に困難であ

る. しかしその–方で, ある–つ固定した $n$ に対して WKB 解 $\psi_{n}$ を考えると, 交点 $x_{0}$ で

の dominance の関係が (17) の様になっていることから判るように, 最初の有限個の (new)

Stokes

curve

を除いて $\psi_{n}$ は Stokes 現象を起こさない (他の無限個の new Stokes curve 上

では $\psi_{n}$ は subdominant). つまり, steepest descent path の言葉で言えば, 鞍点 $\zeta_{n}$ を通る

steepest descent path の配位は, 最初の有限個の (new) Stokes curve を横切った後には安

定する. (虚心の近傍では, 他の鞍点から出た steepest descent path が $\zeta_{n}$ に入ってくるだけ

で, $\zeta_{n}$ から出る path の方は他の鞍点には入らない. ) 上に挙げた図の中で, $x$ が虚軸上に在

る場合に対応する図 b26(及び図 $\mathrm{c}26$) が非常に簡明なのは, これが理由である.

4.5 もう$-$_{つの交点 $x=x_{1}$ の近傍}

最後に, 下半平面にある Stokes

curve

の交点 $x=x_{1}$ の近傍において考える. 以下の図の

ように $x=x_{1}+0.2e^{i\theta\pi}$($\theta$ は$0$

から2まで0.1ずつ増やす) と $x$ を動かして考える.

$p$lgure 4-0-1

以下, 鞍点 $\zeta_{n}(n=0, \pm 1, \ldots, \pm 3)$ _から出る steepest descent path _{を図示する.}

Figure

4-5-a4

Figure 4-5-a5 Figure

4-5-a6

rlgure $\angle\pm- \mathrm{O}^{- \mathrm{a}\perp 0}$ $E$lgure q-o-al/ Plgure+0-a\perp o

Figure 4-5-al9 Figure 4-5-a20 Figure 4-5-a2l

44 節と同様, 交点 $x_{1}$ の上側, すなわち new Stokes curve が点線で表わされている側では,

$x=\pm 1$ _から出る Stokes curve _{を横切るところでのみ,} steepest descent path のパターンが

変化していることが見て取れる.

方, 実線で表わした new Stokes curve を横切る際のパターンの変化を調べるために,

$(n=-3, -2, -1, \mathrm{o}, 1,2)$ _{付近の様子を図示してみよう}.

Figure 4-5-bl Figure 4-5-b2 Figure 4-5-b3

Figure 4-5-b4 Figure 4-5-b5 Figure 4-5-b6

Figure 4-5-bl0 Figure 4-5-bll Figure 4-5-bl2

Figure 4-5-bl3 Figure 4-5-bl4 Figure 4-5-bl5

Figure 4-5-bl9 Figure 4-5-b20 Figure 4-5-b2l

Figure 4-5-b22 Figure 4-5-b23 Figure 4-5-b24

まず図 $\mathrm{b}5$ から図 $\mathrm{b}7$ にかけて, つまり $x=1$ から出る Stokes

curve

を横切る際に最初の 変化が起きている. 続いて図 $\mathrm{b}17$ から図 $\mathrm{b}19$ 番目にかけて, そして図 $\mathrm{b}21$ から図 $\mathrm{b}22$ にかけ

てそれぞれ

の $k=1$ 及び $k=2$ により定義される

new

Stokes

curve

を横切る際に, steepest descent

path のパターンが変化している. _{これらの図から容易に推測されるように}

_,

_一般の $k$ _に対

する

new

Stokes

curve

(29) の上では, 最も上に位置する鞍点 $\zeta 0$ から出た steepest descent

path _{がうまく折れ曲がりながら下へと降りて行って}

,

かなり下の方の鞍点 $\zeta_{k}$ に入るものと

考えられる. _(この時 $\zeta_{n}$ と _{$\zeta_{-n+k}$} が各_$n$

について–斉に steepest descent pat 旧こよって結

ばれる. )

: _{このように}, 下半平面の Stokes

curve

の交点 $x=x_{1}$ の近傍においても, 実線で表わされ

る new Stokes

curve

_{を横切る際に確かに steepest descent path のパターンが変化する. 但}

し, その変化の仕方は44節で見た上半平面の交点 $x=x_{0}$ の近傍におけるものとは異なっ

ており, 実際, 例えば鞍点 $\zeta_{0}$ を通る steepest descent

path の配位は, 虚軸の付近で無限回 変化する. ($x$ が虚軸上に在る場合に対応する図$\mathrm{b}26$ を 44 節の図 4-4-b26(及び, 図4-4-c26) と比較して欲しい. _この

₄₅

_{節の図の方が}

₄₄

_{節の図と比べて格段に複雑であることがわか} る) 従って, 対応する _WKB 解$\psi_{0}$ を考えれば, これは虚軸の付近で Stokes 現象を無限回起 こしている訳である. 参考文献

[AKTI] T.Aoki, T.Kawai _{and Y.Takei: New turning points in the exactWKBanalysisfor}

higher-order ordinary differential equations, Analyse alg\’ebrique des perturbations

singuli\‘eres. I, Hermann, 1994, pp.69-84.

[AKT2] T.Aoki, T.Kawai and Y.Takei: 完全最急降下法を目指して, in this volume.

[BB] $\mathrm{H}.\mathrm{L}$.Berk and $\mathrm{D}.\mathrm{L}$.Book: Plasma

wave

regeneration in inhomogeneous media, Phys.

Fluids, 12(1969),

649-661.

[T] Y.Takei: Integral representaion for ordinary differential equations of Laplace type and exact WKB analysis, in this volume.