ベクトルと行列の作法
1 1 2 3 2 3[
]
x
x
x
c
c
c
A′
=
′
′
′
1 2 3 1 2 3x
x
x
c
c
c
A
=
列ベクトル 行ベクトル 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝐀𝐀 自分自身の内積は大きさの二乗[
1 2 3]
12 1 1 2 2 3 3 3c
c
c
c
c
c c
c c
c c
c
A A
′
=
′
′
′
=
′
+
′
+
′
1 1 2 3 3 2[
]
Tx
x
x
c
c
c
A
=
転置ベクトル[
1 2 3]
12 1 1 2 2 3 3 3 Tc
c
c
c
c
c c
c c
c c
c
A A
=
=
+
+
内積ベクトルの内積と直交性
単位ベクトル 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝐀𝐀 3 1 1 2[ 1
0
0 ]
Tx
x
x
x
=
転置ベクトル 内積がゼロ （直交性） 3 2 1 2[ 0
1
0 ]
Tx
x
x
x
=
3 3 1 2[ 0
0
1 ]
Tx
x
x
x
=
[
]
1 20
1 0
0
1
0
0
Tx x
=
=
[
]
1 30
1 0
0
0
0
1
Tx x
=
=
任意のベクトルは単位（直交）ベクトルで表される 1 1 2 2 3 3c
c
c
A
=
x
+
x
+
x
2 1 1 31
0
0
x
x
x
x
=
2 2 1 30
1
0
x
x
x
x
=
2 3 1 30
0
1
x
x
x
x
=
行列（ベクトルの変換）
1 2 3 1 2 3x
x
x
c
c
c
A
=
列ベクトル 例：ｚ軸での回転 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
Z
1 1 2 2 1 2 3 3cos
sin
0
cos
sin
sin
cos
0
sin
cos
0
0
1
c
c
c
c
c
c
c
c
A
Z A
ベクトルの任意の変換は行列をかけることで 実行される （大きさが保存されないものも含む）座標系も行列で変換される
単位ベクトル 例：ｚ軸での回転 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
Z
1cos
sin
0 1
cos
sin
cos
0 0
sin
0
0
1 0
0
x
2 1 1 31
0
0
x
x
x
x
=
2 2 1 30
1
0
x
x
x
x
=
2 3 1 30
0
1
x
x
x
x
=
2cos
sin
0 0
sin
sin
cos
0 1
cos
0
0
1 0
0
x
𝑥𝑥′1 𝑥𝑥′𝟐𝟐座標系をうまく選ぶと記述が簡単化
1 2 2 1 3 3( )
( )
( )
x
c t
c t
c
t
x
x
A
=
列ベクトル ベクトルA上に座標を移す変換があったとする 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3a
b
c
d
e
f
g
h
i
X
1 2 3( )
0
0
x
f
x
t
x
A
′
′
=
′
2 3 1 1a
d
g
x
x
x
x
′ =
2 3 2 1b
e
h
x
x
x
x
′ =
2 3 3 1c
f
i
x
x
x
x
′ =
新しい単位座標のベクトルを古い座標で表すと これにより 同じベクトルでも座標系の選び方で表記が簡単 1( )
1 2( )
2 3( )
3c t
c t
c t
A
=
x
+
x
+
x
1( )
f t
A
=
x′
2 2 3 1 2 3( )
( )
( )
( )
f t
=
c t
+
c t
+
c t
ここで 𝑥𝑥′1 𝑥𝑥′𝟐𝟐 𝑥𝑥′𝟑𝟑2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 1 3 2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 3
,
,
j j j j j j j j j j j j j N N N N j j Nc
c
c
c
c
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
x
x
x
c
x
c
x
x
x
−x
+ − − + − + − + +
′
=
′
=
′
=
1 1 j j j Nx
x
x
− +
固有ベクトル 固有値α
1α
2α
3固有ベクトル系は直交座標系を形成
n
n
n
Ax
′
=
α
x
′
n番目の固有ベクトル n番目の固有値1
0
T n mn
m
n
m
x x
′ ′ =
=
≠
直交性 2 11
N j n nc
大きさは規格化する固有値と固有ベクトル
11 12 13 21 22 23 31 32 1 2x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
2 1 11
0
0
x
x
x
=
1 2 20
1
0
x
x
x
=
1 2 1 2 30
0
0
0
0
0
x
x
A
α
α
α
′
′
′ =
1 2 11
0
0
x
x
x
′ =
′
′
1 2 20
1
0
x
x
x
′
′ =
′
新しい基底（元に基底での表現は前頁参照） 元の基底 変換行列 固有ベクトルを基底に選んだ行列 （対角成分に対応する基底の固有値）運動方程式を解く時、 異なる時間依存性を持つ 成分を分離して記述できる。 （例：分子の振動モード）
固有ベクトルでの展開
1( )
( )
N n n nt
f t
x
x
=′
=
∑
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 𝑥𝑥′1 𝑥𝑥′𝟐𝟐 𝑥𝑥′𝟑𝟑 1( )
1 2( )
2 3( )
3c t
c t
c t
A
=
x
+
x
+
x
1( )
f t
A
=
x′
特に各固有ベクトルに対する時間依存性 が同じ場合は、時間発展の描写 が劇的に簡単化できる。 （多くの運動は、実際、そのような状況）古典力学
ニュートン方程式
2
2
( )
m
d
dt
F
q
q
=
位置
q
と運動量
p
で記述
（エネルギーや運動量の保存則が含まれる）
力
は
ポテンシャル
の微分
0 20 40 q 0 2000 4000 U (q ) (cm -1)( )
U q
q
q
p
p
∂
= −
∂
=
古典力学
ニュートン方程式
2
2
( )
m
d
dt
F
q
q
=
位置
q
と運動量
p
で記述
（エネルギーや運動量の保存則が含まれる）
力
は
ポテンシャル
の微分
0 20 40 q 0 2000 4000 U (q ) (cm -1)( )
U q
q
q
p
p
∂
= −
∂
=
ハミルトニアン（ニュートン方程式の源）
運動エネルギー
（p：一般化された運動量）
ポテンシャルエネルギー
（
ｑ
：一般化された座標）
2(
,
)
(
)
2
H
p
q
m
p
q
=
+
U
W. R. Hamilton（1805–1865) アイルランド・ダブリン生ま れのイギリスの数学者、物 理学者。(トリニティ大学卒)正準形式の古典力学
( , )
( , )
q
q
q
q
H
p
p
p
p
H
∂
= −
∂
∂
=
∂
ニュートンの運動方程式はハミルトニアンからも導かれる。（物理法則として根源的？） （正準方程式）量子力学
( , )
q t
Ψ
波動関数（位置と運動量で直接記述しない）
物理現象は波動関数と呼ばれる複素数で
定義された統計分布関数で記述される
：波動関数
2
( , )
( , )
P q t
= Ψ
q t
：分布関数
2
( , )
( , )
P q t
= Ψ
q t
波動関数
（波動ぽい確率分布関数）
フ ィ ル ム フ ィ ル ム 古典的粒子古典的粒子 量子力学的粒子確率波と波の違い
物質波：素粒子は粒子性と波動性を持つ
（微小領域では力学と異なる物理法則）
電子： 干渉性（波動性）
光子： 光電効果（粒子性）
物質波といっても粒子は点であって広がっているわけではない。
（波動関数は確率分布を記述する関数）
・量子力学的現象は確率論的（不確定性関係、決定論的ではない）
・位置の他に位相の情報を持っている（複素関数の形式で書かれる）
シュレディンガー方程式
時間について１次，座標について２次微分の
微分方程式（シュレディンガー方程式）で記述
運動量p
ˆ
i
q
=
−
∂
∂
運動エネルギー ポテンシャルエネルギー プランク定数 22
(
, )
p
ˆ
( )
( , )
i
q t
q t
t
m
U
q
∂
Ψ
=
+
Ψ
∂
シュレディンガー方程式
2 2 2( , )
(
2
(
)
,
)
i
q t
U q
q t
t
m q
∂
−
∂
∂
Ψ
=
+
Ψ
∂
運動量p
ˆ
i
q
=
−
∂
∂
運動エネルギー ポテンシャルエネルギー プランク定数 時間について１次，座標について２次微分の
微分方程式（シュレディンガー方程式）で記述
ポテンシャルゼロ（
平面波or自由粒子
）の解
2 2 2 2f q t
( , )
c
2f
( , )
t
q
q t
∂
=
∂
∂
∂
2
2
2
( , )
t
i
( , )
t
m q
q
t
q
∂
∂
Ψ
∂
Ψ
=
∂
(
)
si
(
, )
n
kq
f q t
=
ω
t
±
比較：波動方程式(波、電磁波など) 時間で２回微分したもの ∝ 位置で２回微分したもの(
)
( , )
cos
f q t
t
kq
t
ω
ω
∂
=
±
∂
(
)
2 2 2( , )
sin
f q t
t
kq
t
ω
ω
∂
= −
±
∂
(
)
( , )
cos
f q t
k
t
kq
q
ω
∂
=
±
∂
(
)
2 2 2( , )
sin
f q t
k
t
kq
q
ω
∂
=
±
∂
1c k
ω
=
− sinとcosの解の線形結合(
)
(
)
sin
(
, )
A
t
kq
B
co
s
t
kq
f q t
=
ω
±
+
ω
±
シュレディンガー方程式の場合
2 22
( , )
t
i
( , )
t
m q
q
t
q
∂
∂
Ψ
∂
Ψ
=
∂
(
)
)
s
(
o
,
c
t
kq
t
q t
ω
ω
∂
=
±
∂
Ψ
(
)
2 2 2si
,
n
(
)
k
t
kq
q
q t
ω
∂
=
±
∂
Ψ
(
)
si
(
q t
, )
n
ω
t
±
kq
Ψ
=
X
シュレディンガー方程式の場合
2 22
( , )
t
i
( , )
t
m q
q
t
q
∂
∂
Ψ
∂
Ψ
=
∂
(
)
(
)
( , )
cos
sin
A
t
kq
B
t
k
t
q t
q
ω
ω
ω
ω
∂
=
±
−
±
∂
Ψ
(
)
(
)
2 2 2 2sin
( , )
cos
k A
t
kq
k B
q t
t
kq
q
ω
ω
∂
=
∂
Ψ
±
+
±
(
)
(
)
sin
(
q t
, )
=
A
ω
t
±
kq
+
B
cos
ω
t
±
kq
Ψ
22
k
A
i
B
m
ω
=
22
k
B
i
A
m
ω
−
=
22
m
k
ω
= ±
A
=
iB
ポテンシャルゼロでの解
(
)
(
)
(
)
sin
cos
( , )
exp
A
t
kq
i
t
kq
A
i
t
kq
q t
ω
ω
ω
=
±
+
±
=
±
Ψ
( )
( )
2 4 3 5 2 2( 1) 0 01
1
1
1
1
2!
4!
3!
5!
( 1)
( 1)
(2 )!
(2
1)!
j j j j j ji
i
j
j
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
+ ∞ ∞ = =
= −
+
+ +
−
+
+
−
−
=
+
+
∑
∑
( )
0 2 3 4 5!
1
1
1
2!
3!
4!
exp[ ]
5!
n ni
i
n
i
i
i
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
∞ ==
= + −
−
+
+
+
∑
オイラーの公式ポテンシャルゼロでの解
(
)
(
)
(
)
sin
cos
( , )
exp
A
t
kq
i
t
kq
A
i
t
kq
q t
ω
ω
ω
=
±
+
±
=
±
Ψ
cos( )
ex
p[
i
θ
]
=
θ
+
i
s
in(
θ
)
オイラーの公式(
)
(
)
2 2 2 2 2sin
cos
( , )
A
t
kq
t
kq
A
q t
ω
±
ω
Ψ
+
±
=
=
分布は定数 → 位置によらず一定（非局在）調和振動子（バネ）ポテンシャル
2 2 2 2 21
2
2
( , )
q t
i
m
q
( , )
t
m
q
ω
q t
∂
−
∂
+
∂
Ψ
=
∂
Ψ
0 20 40 q 0 2000 4000 U (q) (cm -1)数値計算のために、波動関数をメ
ッシュを切って表す
1 2 1 1 1 2 1 1( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
j j j j j j N Nc t
c t
c
t
t
c t
c
t
c
t
q
q
q
q
q
q
ψ
+ − + −
=
列ベクトル
1
( )
( )
( )
1( )
j j j jc
t
c t
c t
c
t
q
q
q
+−
−
−
−∆
∆
→
∆
微分を差分で書くと
1(
q
j)
c t
j( )
c
j( )
t
q
q
−∂Ψ
−
→
∂
∆
2 2 2( )
( )
( )
2
i
q
U q
q
t
m q
∂
Ψ
= −
−
∂
+
Ψ
∂
∂
1 2 2(
)
(
)
(
)
j j jq
q
q
q
q
q
q
+∆Ψ
∆Ψ
−
∂ Ψ
∆
∆
→
∆
∂
2 1 1 2 2
(
q
j)
c
j( )
t
2 ( )
c t
jc
j( )
t
q
q
+ −∂ Ψ
−
+
→
∂
∆
微分を差分で書くと
2 2 2( )
( )
( )
2
i
q
U q
q
t
m q
∂
Ψ
= −
−
∂
+
Ψ
∂
∂
1(
q
j)
c t
j( )
c
j( )
t
q
q
−∂Ψ
−
→
∂
∆
2 1 1 2 2(
)
( )
2
( )
( )
2
j j j jq
c
t
m
t
c
t
h
c
q
ε
+ε
ε
−∂ Ψ
→ −
+
−
−
∂
2/ 2m q
2ε
=
∆
2
/ 2m q
2ε
=
∆
メッシュ
N
→ ∞
(
):ヒルベルト空間
1 1 1 2 2 2 3 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( 2 ) 2 2 j j N N c t U q c t c t U q c t U q i t c t c t c t c tε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+ − − + − − + − − ∂ = − ∂ 微分を差分で書くと
q
∆ → 小さい
( )
t
i
( )
t
t
Ψ
HΨ
∂
= −
∂
2 1 1 2 2(
)
( )
2
( )
( )
2
j j j jq
c
t
m
t
c
t
h
c
q
ε
+ε
ε
−∂ Ψ
→ −
+
−
−
∂
レポート問題
（調和振動子の固有ベクトルと固有値）
左記のプログラムを動かして、小さい方
から４つ固有ベクトルをプロットせよ
import numpy as np
from numpy import linalg as la N = 500 qmax = 5. qmin = - qmax dq = (qmax - qmin) / (N-1) epsilon = 0.5/dq/dq M = np.zeros((N,N)) U = np.zeros(N) q = np.zeros(N)
for val in range(0 , N):
q[val] = qmin + dq * val U[val] = 0.5 * q[val] * q[val] M[0][0] = 2 *epsilon + U[0]
M[0][1] = - epsilon
for val in range(1 , N-1):
M[val][val-1] = - epsilon
M[val][val] = 2 * epsilon + U[val] M[val][val+1] = - epsilon M[N-1][N-2] = - epsilon M[N-1][N-1] = 2 * epsilon + U[N-1] eg , vt = la.eigh(M) print("eigenvalue") print(eg)
for val in range(0 , N):
2 1 2 2 2 1 1 1 2 3 1 3 2 3 3 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 3 2 2 1 1
