iii
第
2
版への訳者序文
本書はP. J. Brockwell and R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, 2nd edition (Springer, 2002)の全訳である．第1版の日本語版は幸い，大学のセミナーや企業 の勉強会などでテキストとして採用されるなど，増刷するほど広く受け入れられた．これ はひとえに原書がすぐれていることが認められたからであり，訳者としてうれしく思って いる．今回の第2版の最も大きい改訂点は，付属の新しいソフトウェアITSM2000(version 7)の操作法にあうように本文が改められたことである．これにより時系列解析の演習が 容易に行えるようになった．また，原著者序文で触れている第6章と第10章の内容が 拡張されたほかに，第7章などほかの章でも多くの改めた箇所があり，一層教科書とし て充実したものとなった． 第2版の翻訳を機会に，読者が内容を理解しやすいように，日本語訳も全面的に検討 し直した．原書第2版の出版後，日本語版の早期出版を要望されていた方々には，長ら くお待たせしたことをお詫びする．さらに使いやすくなった第2版の本訳書が，読者の 時系列解析の勉学に資することを願っている．
なお，時系列解析ソフトウェアITSM2000にはstudent versionとprofessional version
がある．本書付属のCD-ROMに納められたITSMはstudent versionであり，扱える時
系列の長さに制限がある(student versionは250まで)．それ以外の機能は，professional versionと同じである。このprofessional versionのITSMは原著者から直接購入できるの
で，興味がある方は原著者に電子メール（アドレスpjbrockwell@cs.com）で問い合わせ
iv
第
1
版への訳者序文
本書はP. J. Brockwell and R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, 4th printing (Springer, 2000)の全訳である．同じ著者により先に書かれた大学院レベルの教 科書“Time Series: Theory and Methods”, 2nd ed. (Springer, 1991)は名著として高い評 価を受けていて，日本の大学でも時系列解析を専攻する研究者・大学院生のセミナーに おいて広く読まれている．その名著の姉妹編として学部生および時系列解析の実務家向 けに書かれたものが本書である． 日本における時系列解析の研究は，AICなどのモデル選択の規準に多大な貢献をされ た赤池弘次氏を代表として，とくにデータ解析の面で世界的な水準にある．近年，日本 語で書かれた時系列解析の書籍がかなり出版され各々特徴があるが，残念ながら標準的 なテキストとしては必ずしも利用しやすいとはいえないだろう． 本書の特色は，第一に，時系列解析のための古典的な手法から最新の手法までを幅広 く扱っていることである．たとえば，状態空間モデル・非線形モデル・連続時間モデル・ 長期記憶モデルなどの新しい話題を含む．また時系列解析の大きな目的の1つである予 測にも焦点をあてて，周波数領域よりも時間領域におけるアプローチを重視している． 第二に，時系列解析の実例をまず紹介した後，必要な時系列の概念を導入することによ り，初学者にも親しみがもてるように配慮されていることである．第三に，これが最大 の特徴であるが，時系列解析パッケージITSMがCD-ROMとして提供され，本書を読 みながら実際にデータ解析をとおして時系列解析の理解が深められることである．これ は統計学教育における現代の流れに沿ったものである． 本書英語版第4刷からは付属するパッケージにWindows95以降の32ビット版に完全 対応するITSM2000が加わり，ITSMはユーザーインターフェースも著しく改善されてさ らに使いやすいものとなった．本文はITSM96を用いた記述になっているから，Windows の操作に慣れない読者はITSM96をインストールしておき，はじめて本書を読むときに
はITSM96を利用して，後にITSM2000を利用するのも一方法であろう．Windowsに慣
れた読者ははじめからITSM2000を用いても迷わないだろうから，ITSM2000のみのイ
ンストールを薦める．なお，ITSMの詳細については，Springerから出版されている原著
者らによるマニュアル“ITSM for Windows”を参照されたい．
私事になるが，訳者の逸見は原書者の1人ブロックウェル教授が1994年の初来日時 に東京工業大学に短期滞在された折，教授と知り合った．そのときブロックウェル教授 は本書を執筆中であり，付属されることになるパッケージのデモンストレーションを興 味深く拝見した．その後，送られてきた本書の草稿を見る機会があった．学部レベルの 教科書および時系列解析の応用に関心がある実務家の参考書としてたいへん良い本であ り，まさか自分が訳すことになるとは思いもせず，いつか日本語訳も出版されることを 願っていた．
第 1 版への訳者序文 v たまたま1998年に訳者の1人である田中が1年近く研修でコロラド州立大学のブロッ クウェル教授のもとに滞在することとなり，それを機に教授に日本語訳を申し出たとこ ろデービス教授とともに快諾された． 翻訳中にパッケージITSMが大きく改訂されることになり，最新のITSM2000を付 けた英語版第4刷からわずかに遅れてその日本語版を刊行できる運びとなった．またブ ロックウェル教授は1999年と2000年に来日され，訳者らと日本語訳の最終版について 協議した．原著者の日本語版への序文にあるように，英語版では制約があって改訂でき なかった点も，原著者の意を汲んで日本語版では取り入れられたので，日本語版のほう が完成度が高いともいえる．英語版と若干の相異があるのはそのためである． ブロックウェル教授は日本語を学習中であるが，上達された暁に本訳書の出来にご叱 責を受けることがなければ幸いである． 最後に，翻訳の機会を与えていただき編集の労をとられたシーエーピー出版の杉谷繁 氏に心から謝意を表する． 2000年3月 訳者 翻訳分担 第1章,第5章,第7章：逸見功 第2章,第3章,付録D：宇佐美嘉弘 第4章,第6章,付録A,B,C：田中稔 第8章,第9章,第10章：渡辺則生
vi
英語版第
2
版への序文
本書は，経済学・工学・自然科学・社会科学において応用するために時系列と予測法の
実用的な知識を得たい読者を対象とするものである．われわれの前著Time Series: Theory
and Methods(以下本書ではTSTMとよぶ)と異なり，本書に必要な予備知識は，基礎的な 微積分学・線形代数学・初等統計学(たとえばMendenhall, Wackerly and Scheaffer(1990)
のレベル)のみである．学部上級と大学院初年の学生が対象である．
解析手法とデータ解析に重点を置いている．読者が本書のほとんどの計算を再現できる ように(さらに読者自らのデータを解析できるように)，時系列解析パッケージITSM2000
の学生版を納めたCD-ROMを本書に添付した．本書で用いられるデータセットもそれ
に含まれている．プログラムの実行にはウィンドウズ95,NT4.0以降のもとで動作する
IBM互換パソコンが必要である．プログラムITSMはCD-ROMから直接実行できるし，
付録Dのはじめに記載したようにハードディスクにインストールもできる．パッケージ の詳しい導入法が付録Ｄにある． プログラムを実行するのに，コンピュータの使用経験がほとんどなくてもよい．利 用するための詳しい手引きは，オンライン・ヘルプにある．それは，プログラムITSM を実行しているときに，メインオプションHelp>Contentsを選択してから調べたい題 目を選択することによってアクセスすることができる．たとえばData setsにいくと， CD-ROMに納められたデータセットに関する情報がみられる．本書は時系列を扱うほか
のコンピュータパッケージとともに利用することもできる．Venables and Ripley(1994)
による本の第14章に，S-plusを用いて計算する方法がたくさん述べてある． 各章末にたくさんの問題を載せたが，その多くは与えられたデータセットを検討する ためにプログラムを用いるものである． 広い読者層に基礎となる理論を利用できるように，重要な数学的結果のいくつかを証 明なしに述べた．しかし，ほかの点では論理が徹底して展開されるように意図した．(証 明に興味ある読者のために参考文献をあげた．) 本書の第1版の後でITSM2000にアップグレードされたので，この版を機会に本文を 新しいソフトウェアにあわせ，第1版の読者から寄せられた多くの誤りを訂正するとと もに，第1版で手短に扱ったトピックスをいくつか拡張した． ソフトウェアの取扱説明である付録Dは，ソフトウェアの新しい版に対応するように 書き改めた． ほかの拡張した変更をいくつかあげると以下のとおりである．(i) 6.6節において，回帰 モデルの誤差が時系列構造をもつ場合の一般最小二乗推定と最尤推定におけるイノベー ションアルゴリズムの役割を強調した．(ii) 6.4節において，ARIMA過程の予測関数に関 するあつかいを拡張した．(iii) 10.3節において，GARCH過程のモデル化とシミュレー ションというファイナンス時系列の解析にあたって非常に重要なトピックスを含めた．
英語版第 2 版への序文 vii 新しい題材は付録のソフトウェアに取り入れられ，オプションAutofit(自動あてはめ) を加えた．これにより，ARMA(p,q)モデルを指定した(p,q)の範囲について最尤法であ てはめて，AICCの値を最小とするモデルを自動的に選択することで，時系列データの モデル化が円滑に行える． 本書には，1変量および多変量時系列と予測について紹介する1年コースのために十 分な題材がある．第1章から第6章は，コロラド州立大学と王立メルボルン工科大学に おいて1変量時系列に関する1学期の入門コースとして数年間用いてきた．スペクトル 解析に関する章は，読まなくても連続性を失うことがないので，興味がない読者は省略 できる． 本書の完成にあたって，第1版の読者，とくに新しいコンピュータパッケージの共同 開発者マシュー・コールダー，貴重なコメントや示唆を与えてくれたアンソニー・ブロッ クウェルに感謝の意を表する．また，第2版を準備する間支え続けてくれたコロラド州 立大学，全米科学財団，シュプリンガー・フェアラーク社，私たちの家族に心から感謝 する． コロラド州フォートコリンズにて P.J.ブロックウェル R.A.デービス 2001年8月
viii
日本語版第
2
版への序文
私たちはIntroduction to Time Series and Forecastingの日本語訳第2版が出版され大変う れしく思う．
第2版には，ソフトウェアITSM2000のstudent versionの最新版が添付されている．
それを用いて，本文にある数値計算を再現したり，読者自身の時系列データを解析でき る．第1版への重要な追加は，10.3節におけるGARCH過程のモデリングとシミュレー ションである．この過程は，ファイナンス時系列を解析するときにとても重要である． その重要性は，2003年にロバート・エングルがノーベル経済学賞を受賞したことからも わかる(当年は2人が受賞)．ほかの重要な追加として，6.6節において回帰モデルの誤差 が時系列構造をもつ場合の一般最小二乗推定と最尤推定におけるイノベーションアルゴ リズムの役割を強調したこと，および6.4節におけるARIMAモデルの予測関数に関す る扱いを拡張したことがあげられる． 新しい題材は付録のソフトウェアに取り入れられ，オプションAutofit(自動あては め)を追加した．これにより，ARMA(p,q)モデルを指定した(p,q)の範囲に対して最尤 法であてはめ，AICの値を最小とするモデルを自動的に選択することで，定常時系列の モデリングが円滑に行える． ソフトウェアの取扱説明である付録Dは，ソフトウェアの新しい版に対応するように 書き改めた． この第2版の出版にあたってすばらしい仕事をしていただいた訳者の方々に感謝する とともに，多くの貴重なご意見を寄せられた第1版の読者とITSM2000の共同開発者マ シュー・コールダーおよびアンソニー・ブロックウェルにお礼を述べたい． また，第2版を準備する間支え続けてくれたコロラド州立大学，全米科学財団，シュ プリンガー・フェアラーク社，私たちの家族に心から感謝する． コロラド州フォートコリンズにて P.J.ブロックウェル R.A.デービス 2004年3月
ix
目次
第2版への訳者序文 ……… iii 第1版への訳者序文 ……… iv 英語版第2版への序文 ……… vi 日本語版第2版への序文 ……… viii 第1章 序論 1 1.1 時系列の例 ……… 1 1.2 時系列解析の目的 ……… 6 1.3 単純な時系列モデル ……… 6 1.3.1 平均0のモデル ……… 7 1.3.2 トレンドと季節性を含むモデル ……… 8 1.3.3 時系列のモデリングへの一般的なアプローチ ……… 14 1.4 定常モデルと自己相関関数 ……… 15 1.4.1 標本自己相関関数 ……… 18 1.4.2 ヒューロン湖データのモデル ……… 20 1.5 トレンドと季節成分の推定および除去 ……… 23 1.5.1 季節性がないときのトレンドの推定と除去 ……… 24 1.5.2 トレンドと季節性の推定および除去 ……… 31 1.6 推定されたノイズ系列の検定 ……… 36 問題 ……… 41 第2章 定常過程 47 2.1 基本的性質 ……… 47 2.2 線形過程 ……… 52 2.3 ARMA過程入門 ……… 56 2.4 標本平均と標本自己相関関数の性質 ……… 59 2.4.1 µの推定 ……… 59 2.4.2 γ(·)とρ(·)の推定 ……… 60 2.5 定常時系列の予測 ……… 65 2.5.1 ダービン・レビンソンアルゴリズム ……… 70 2.5.2 イノベーションアルゴリズム ……… 72x 目次 2.5.3 無限に多くの過去の値を用いた定常過程の予測 ……… 76 2.6 ウォルド分解 ……… 78 問題 ……… 79 第3章 ARMAモデル 85 3.1 ARMA(p, q)過程 ……… 85 3.2 ARMA(p, q)過程の自己相関関数と偏自己相関関数 ……… 90 3.2.1 自己共分散関数の計算 ……… 90 3.2.2 自己相関関数 ……… 95 3.2.3 偏自己相関関数 ……… 96 3.2.4 例 ……… 98 3.3 ARMA過程の予測 ………101 問題 ………110 第4章 スペクトル解析 115 4.1 スペクトル密度関数 ……… 115 4.2 ピリオドグラム ………124 4.3 時間不変線形フィルター ………131 4.4 ARMA過程のスペクトル密度 ………136 問題 ………138 第5章 ARMA過程によるモデリングと予測 141 5.1 予備推定 ……… 142 5.1.1 ユール・ウォーカー推定 ………143 5.1.2 バーグのアルゴリズム ………150 5.1.3 イノベーションアルゴリズム ………154 5.1.4 ハナン・リサネンアルゴリズム ………160 5.2 最尤推定 ……… 162 5.3 モデル診断のためのチェック ……… 167 5.3.1 { ˆRt, t = 1, . . . , n}のグラフ ………168 5.3.2 残差の標本自己相関関数 ………168 5.3.3 残差のランダムネスに関する検定 ………169 5.4 予測 ………171 5.5 次数選択 ……… 173 5.5.1 FPE規準 ……… 173 5.5.2 AICC規準 ……… 175 問題 ………177
目次 xi 第6章 非定常および季節時系列モデル 181 6.1 非定常時系列のARIMAモデル ………182 6.2 識別方法 ……… 189 6.3 時系列モデルの単位根 ………196 6.3.1 自己回帰の単位根 ………196 6.3.2 移動平均項の単位根 ………198 6.4 ARIMAモデルの予測 ……… 200 6.4.1 予測関数 ………202 6.5 季節ARIMAモデル ……… 204 6.5.1 SARIMA過程の予測 ………210 6.6 ARMA誤差をもつ回帰分析 ………211 6.6.1 普通最小二乗と一般最小二乗推定 ………211 6.6.2 最尤推定 ………214 問題 ………219 第7章 多変量時系列 223 7.1 例 ……… 223 7.2 多変量時系列の2次の性質 ………228 7.3 平均と共分散関数の推定 ………233 7.3.1 µの推定 ………234 7.3.2 Γ(h)の推定 ………235 7.3.3 2つの定常時系列の独立性に関する検定 ……… 236 7.3.4 バートレットの公式 ………237 7.4 多変量ARMA過程 ………240 7.4.1 因果的ARMA過程の共分散行列関数 ………243 7.5 2次の確率ベクトルの最良線形予測量 ………243 7.6 多変量自己回帰過程によるモデリングと予測 ………245 7.6.1 ホイットルのアルゴリズムによる自己回帰過程の推定 ………246 7.6.2 多変量自己回帰過程の予測 ………249 7.7 共和分 ………253 問題 ………254 第8章 状態空間モデル 257 8.1 状態空間表現 ………258 8.2 基本構造モデル ………261 8.3 ARIMAモデルの状態空間表現 ……… 265 8.4 カルマンの漸化式 ……… 269 8.5 状態空間モデルの推定 ………275 8.6 欠測値を伴う状態空間モデル ……… 281
xii 目次 8.7 EMアルゴリズム ……… 286 8.8 一般化状態空間モデル ………289 8.8.1 パラメータ駆動モデル ………290 8.8.2 観測値駆動モデル ………296 問題 ………307 第9章 予測の手法 315 9.1 ARARアルゴリズム ………316 9.1.1 記憶短期化 ………316 9.1.2 サブセット自己回帰のあてはめ ………317 9.1.3 予測 ………317 9.1.4 ARARアルゴリズムの適用 ……… 318 9.2 ホルト・ウィンターズアルゴリズム ………320 9.2.1 アルゴリズム ………320 9.2.2 ホルト・ウィンターズとARIMA予測 ……… 323 9.3 季節的ホルト・ウィンターズアルゴリズム ………324 9.3.1 アルゴリズム ………324 9.3.2 季節的ホルト・ウィンターズとARIMA予測 ……… 326 9.4 予測アルゴリズムの選択 ………326 問題 ………327 第10章 進んだ話題 331 10.1 伝達関数モデル ………331 10.1.1 伝達関数モデルに基づく予測 ………336 10.2 干渉解析 ……… 339 10.3 非線形モデル ………342 10.3.1 線形性からの逸脱 ………344 10.3.2 カオス的な決定的系列 ………345 10.3.3 ホワイトノイズとIID系列の識別 ………345 10.3.4 有用な3つの非線形モデルのクラス ………348 10.3.5 ボラティリティのモデリング ………349 10.4 連続時間モデル ………357 10.5 長期記憶モデル ………361 問題 ………365 付録A 確率変数 369 A.1 分布関数と期待値 ……… 369 A.2 確率ベクトル ………373 A.3 多次元正規分布 ………377
目次 xiii 問題 ………379 付録B 統計の補足 381 B.1 最小二乗推定 ………381 B.1.1 ガウス・マルコフの定理 ………383 B.1.2 一般最小二乗法 ………383 B.2 最尤推定 ……… 384 B.2.1 最尤推定量の性質 ………385 B.3 信頼区間 ……… 385 B.3.1 大標本信頼領域 ………386 B.4 仮説検定 ……… 386 B.4.1 誤り確率 ………387 B.4.2 信頼領域に基づく大標本検定 ………387 付録C 平均二乗収束 389 C.1 コーシーの収束判定基準 ………389 付録D ITSMの使い方 391 D.1 はじめに ……… 391 D.1.1 ITSMの実行 ……… 391 D.2 モデリングに必要なデータの準備 ………392 D.2.1 データの入力 ………392 D.2.2 情報 ………393 D.2.3 データの保存 ………393 D.2.4 データのプロット ………394 D.2.5 データの変換 ………394 D.3 データにあてはめるモデルの探索 ………399 D.3.1 自動あてはめ ………399 D.3.2 標本自己相関関数と標本偏自己相関関数 ………399 D.3.3 モデルの入力 ………400 D.3.4 予備推定 ………402 D.3.5 AICC統計量 ……… 404 D.3.6 モデルの変更 ………405 D.3.7 最尤推定 ………405 D.3.8 最適化の結果 ………406 D.4 モデルの検定 ………407 D.4.1 残差のプロット ………408 D.4.2 残差の自己相関関数と偏自己相関関数 ………410 D.4.3 残差のランダムネスの検定 ………411
xiv 目次 D.5 予測 ………412 D.5.1 予測規準 ………412 D.5.2 予測結果 ………412 D.6 モデルの性質 ………413 D.6.1 ARMAモデル ………414 D.6.2 モデルの自己相関関数と偏自己相関関数 ………414 D.6.3 モデルの表現 ………416 D.6.4 ランダムな系列の実現値の生成 ………417 D.6.5 スペクトルの性質 ………418 D.7 多変量時系列 ………418 参考文献 419 索引 425
