１ 単元観 本単元は，中学校学習指導要領 数学 第３学 年 ２内容 A 数と式 (３)「二次方程式について 理解し，それを用いて考察することができる。」 を受けて設定した。 第１学年では，一元一次方程式とその解の意 味について理解するとともに，等式の性質や移 項の考えを用いて方程式を解く方法を学習し， 代数的な操作のよさを理解している。 第２学年では，連立二元一次方程式とその解 の意味について理解し，一元一次方程式に帰着 させて解く方法として，加減法や代入法につい て学習している。 第３学年では，因数分解や平方根について学 習し，二次方程式を解くための基礎を培ってい る。その上で，二次方程式を解くことができる ようにする。また，具体的な問題解決の場面で 二次方程式を活用できるようにするとともに， 方程式をこれまでより多くの日常生活の場面で 問題解決に活用できるようにする。 数学 第３学年 安芸高田市立美土里中学校 指導者 瀬沢 真範
名刺交換の回数から全体の人数を求めよう
単 元 名 本単元で育成する資質・能力 知識・情報活用能力，挑戦力，コミュニケーション能力 研究主題 主体的に学び 表現する児童生徒の育成～資質・能力の育成を目指す「学び合い」の授業づくりを通して～ ３ 指導観 根拠を明確にし，説明する活動については，数学科の全領域で，「なぜ」「どのようにして」と問うことを 指導者は意識して指導してきたが，生徒に十分意識させきれていなかった。そこで本単元では次の点に留意 して指導を行う。 ① 計算方法を帰納的に見いだすための数学的活動を行う。 ② 既習事項の用語や定理などを小黒板にまとめ,提示することで，数学的な用語を使った言語活動の手助 けとする。 ③ お互いの気付きを出し，そのことを比較・類別・類推することが協働してできる「学び合える場」を 設定するために，ペア活動やグループ活動を取り入れていく。 これらの指導を通して，思考場面において既習内容についての学び直しや捉え直しをさせることで，学習 内容の深い学びにつなげていきたい。 単元の指導を通して，既習事項である等式の性質や因数分解，平方根の学習を拠り所としながら，効率的 な二次方程式の解き方を見いださせていきたい。また，因数分解による解き方と平方根の考えによる解き方 を比較させ，二次方程式も二元一次連立方程式と同様に，一元一次方程式に帰着させて考えればよいことに 気付かせたい。その上で，二次方程式の一般式 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + c = 0 の場合はどのように考えていけばよいの かということから，平方完成や二次方程式の解の公式につなげていきたい。二次方程式の利用では，単に二 次方程式の解をすぐに解答とするのではなく，その解が問題の意味にあっているのかを吟味することの必要 性を感じさせていきたい。 本単元では，「名刺交換の回数から全体の人数を求めることができる」という課題を設定する。全体の人 数という未知数を求めることから方程式を用いるという見通しをもたせながら，これまで学習した一元一次 方程式や二元一次連立方程式では解決できないことから，新たな方程式として二次方程式を解くことの必然 性を感じさせていきたい。 ２ 生徒観 平成 28 年度の広島県「基礎・基本」定着状 況調査生徒質問紙において，「数学の授業では， 問題を解くときには，前にならったことが使え ないかいつも考えています。」の問いに対して， 肯定的な回答が 78.2%であり，既習事項をも とにして課題解決につなげていこうとする考 え方が概ね定着している。また，昨年度から本 校が取り組んでいる「学び合い」の授業につい て，75.0％の生徒が肯定的に捉えている。ペア 活動やグループ活動でお互いの意見を共有し， 多様な意見に触れ，他者との考えを比較するこ とで新たな可能性を見出そうとしている。 しかし，平成 28 年度の広島県「基礎・基本」 定着状況調査において，判断の理由を数学的な 表現を用いて説明する問題での平均通過率は 69.6％，数量の関係を文字を用いた式で表す問 題においても平均通過率は 69.6％であった。 また，事前アンケートにおいても，「数学の授 業では，理由をあげて自分の考え方や解き方を 説明しています。」の問いに対して肯定的な回 答は 25.0％となっており，根拠を挙げ数学的 な用語を使って説明することに課題がある。～二次方程式～
平成２９年７月７日（金）第５校時 第３学年 男子１１名 女子１３名 計２４名４ 単元の目標 【学習指導要領との関連】 （１）二次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること （２）因数分解したり，平方の形にしたりして二次方程式を解くこと （３）解の公式を知り，それを用いて二次方程式を解くこと （４）二次方程式を具体的な場面で活用すること ５ 単元の評価規準 ア 関心・意欲・態度 イ 思考・判断 ウ 技能 エ 知識・理解 ① 具体的な事象を通し て ,二次方程式 やそ の 解 に関 心を 持ち , 自分なりの方法で解 を求めようとする。 ① 具体的な事象の中に は ,二次方程式 で表 される関係があるこ と に 気付 き ,その解 の意味を考察するこ とができる。 ① 二次方程式に値を代 入 し て ,その数が解 であるかどうかを確 か め る こ と が で き る。 ① 二次方程式とその解 を理解している。 ② 二次方程式と解くに は，因数分解や平方 根の考え方を利用で きるという見通しを もつことができる。 ② 因数分解を利用して 二次方程式が解ける こ と に関 心を もち , それを利用して二次 方程式を解こうとす る。 ③ 「 = 0 な ら ば = 0 または = 0 の 性 質 を 適 用 す る と ,因数分解を利用 して二次方程式が解 けることを考察する ことができる。 ② 因 数 分 解 を 利 用 し て ,二次方程式 を解 く こ とが でき ,その 手順を説明すること ができる。 ② 二次方程式の解は,一 般に２つあることを 理解している。 ③ 因数分解による二次 方程式の解き方を理 解している。 ③ 平方根の考えを利用 して二次方程式が解 けることに関心をも ち ,それを利用して 二次方程式を解こう とする。 ④ 平方根の考えを利用 して二次方程式が解 け る こと に気 付 き , 二次方程式の解き方 を考察することがで きる。 ③ 平方根の考えを利用 し て ,簡単な二次方 程式を解くことがで き ,その手順を説明 することができる。 ④ 平方根の考えによる 簡単な二次方程式の 解き方を理解してい る。 ⑤ 𝑥2+ 𝑥 + = 0 の 形 の二次方程式も, 𝑥 + 2= の形に変 形すれば解けること を理解している。 ④ 具 体 的な 場面 で ,二 次方程式を利用して 問題を解決しようと する。 ⑤ 具体的な場面で数量 の 関 係を とら え ,二 次方程式をつくるこ とができる。 ⑥ 二次方程式の解の適 否について考察する ことができる。 ④ 簡単な二次方程式を つ く った り ,解を求 めたりすることがで き る とと もに ,解の 適否を説明すること ができる。 ⑥ 二次方程式を利用し て問題を解決する手 順を理解している。
６ 本単元において育成しようとする資質・能力とのかかわり 本校で育成したい資質・能力は，①コミュニケーション能力 ②知識・情報活用能力 ③挑戦力 ④協働性 ⑤自己肯定感 ⑥よりよく生きようとする力 の６つである。そのうち，本単元で重点 的に指導したい資質・能力は以下の３つである。 育成したい 資質・能力 本単元の学習を通して目指す姿（◇）と育成するための支援・工夫（・） ス キ ル ①知識・情報活用 能力 ◇課題解決の際，自ら求めて様々な資料を検索することで情報を収集し，必要な知識・ 情報を選択し，それを根拠として自分の考えや他者の考えを補強・修正することが できる。 ・既習事項や本時での獲得した知識や情報をもとに課題を解決していく 意 欲 ・ 態 度 ②挑戦力 ◇困難な課題や初めての状況に直面した際，自分のこれまで学んできたことを活用し たり，他者と協力したりすることで，あきらめることなく解決案を生み出したり， 計画を見直したり，実践したりしようとする。 ・単元を貫く学習課題（単元のゴール）を常に意識して学習に取り組んでいる。 ス キ ル ③コミュニケーシ ョン能力 ◇相手のことを考え，根拠をもって自分の考えを分かりやすく説明することができる。 相手の思いや立場を尊重して受け止め，課題解決に向けて話合いを深めることがで きる。 ・仲間との建設的な対話を通して，自分たちの考えをよりよくしていこうとする。 ７ 指導と評価の計画（全 17 時間） 次 時 学習内容 評 価 関 考 表 知 評価規準 評価方法 第 一 次 （ 二 次 方 程 式 と そ の 解 ） ２ ○ 表や樹形図などを用いて課題を解決する 方法を探る。 ○ 班の中で名刺交換をしたときの回数を確 認し，それを学級全体に広げた場合にはど のようにすればよいかを考えることを通 して，効率的に求める方法を考える必然性 を感じる。 ○ 効率的に課題を解決する方法を考えるこ とを本単元の課題として意識する。 ○ 人数（未知数）を求めることから，方程式 を立てて考えればよいという見通しをも つ。 ○ 式を整理し,二次方程式を定義する。 ○ 解の意味を確認する。 ○ ○ ◎ イ① エ① ウ① ノート 行動観察 問題 １辺が𝑥ｍの正方形の土地の横を４ｍ延ばし,縦を２ｍ縮めて面積が 16ｍ2長方形の土 地を作った。正方形の一辺の長さを求める式を作りなさい。 単元を通して学ぶ課題 名刺交換の回数から全体の人数を求めることができる。 問題 名刺交換を全員で 45 回行ったときの人数は何人でしょう。 課題の設定・情報収集 コミュニケーション能力
第 二 次 （ 因 数 分 解 に よ る 解 き 方 ） ５ ○ 前時の内容から,二次方程式の解き方を考 える。 ・なぜ解が２つあるのか。 ・なぜ因数分解で解けるのか。 （本時） ○ ◎ ア① イ② ノート 行動観察 ○ 因数分解を用いて,二次方程式を解く。 ○ ○ ◎ ○ ○ ○ ア② イ② イ③ ウ② エ② エ③ ノート 行動観察 ○ 左辺に全部の項を集めて ,因数分解をす る。 ○ ◎ ○ ア② ウ② エ③ ノート 行動観察 第 三 次 （ 平 方 根 を 利 用 し た 解 き 方 ） ３ ○ 平方根の考えを使って解く。 ○ ○ ◎ ○ ア③ イ④ ウ③ エ④ ノート 行動観察 ○ 𝑥 + 2= という形の式をつくって（平 方完成の考えを使って）解く。 ○ ◎ エ⑤ ウ④ ノート 行動観察 問題 二次方程式 𝑥 + 2 2= 𝑥 + 4解きなさい。 問題 (1) 二次方程式𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0を解きなさい。 (2) 二次方程式x2− 6𝑥 + 9 = 0を解きなさい。 (3) 二次方程式𝑥2− 16 = 0を解きなさい。 次の方程式を解きなさい。 (1) 3𝑥2− 6 = 0 (2) 𝑥 − 2 2= 9 次の方程式を解きなさい。 (1) 𝑥2+ 6𝑥 − 1 = 0 (2) 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 整理・分析 実行 整理・分析 課題１ 拓海さんは，二次方程式の解き方を考えています。いくつかの二次方程式をつくり，下のよ うに考えました。拓海さんの考えの続きを説明してみましょう。 拓海さん 「オは
x
×(x
-8)=0 のことだから，数の計算と同じように考えると， 𝑥と 𝑥 − 8 のどちらかが「 」 知識・情報活用能力 知識・情報活用能力 知識・情報活用能力 知識・情報活用能力 挑戦力第 四 次 （ 二 次 方 程 式 の 利 用 ） ７ ○ 問題から二次方程式を導き,問題に適した 解を求める。 ◎ ○ ○ ア④ イ⑤ イ⑥ ノート 行動観察 ○ 問題から二次方程式を導き,問題に適した 解を求める。 ◎ ○ ウ④ エ⑥ ノート 行動観察 ○ 問題から二次方程式を導き,問題に適した 解を求める。 ◎ ○ ○ ウ④ イ⑥ エ⑥ ノート 行動観察 単元を貫く課題の解決 ○ 二次方程式 2 = 45 を解く。 ○ は自然数であることに留意して解答を 求める。 ○ ◎ ○ ア④ イ⑥ ウ④ ノート 行動観察 ２，３，４のように連続する３つの整数があります。大きい方の２つの整数の積は， ３つの数の和の２倍になります。これらの３つの整数を求めなさい。 長さ 10 ㎝の線分ＡＢがあります。 点ＰはＡを出発して毎秒１㎝の速さでＢまで動きます。 このとき，ＡＰ，ＰＢを１辺とする２つの正方形の面積 の和が 58 ㎝2になるのは，点ＰがＡを出発してから何秒 後ですか。 振り返り まとめ・創造・表現 縦５ｍ，横８ｍの長方形の土地に，右の図のよう に幅は一定の道と花壇を作ります。花壇の面積を 10ｍ２にするには，道の幅を何ｍにすればよいです か。 コミュニケーション能力 挑戦力 挑戦力 実行 振り返り 名刺交換を全員で 45 回行ったときの人数は何人でしょう。 挑戦力
８ 本時について （１）本時の目標 二次方程式を効率よく解く方法を見つけることができる。 （２） 観点別評価規準 ○ 二次方程式やその解に関心をもち，既習内容を活用しながら，二次方程式の効率的な解の求 め方を考えている。 ◎ 二次方程式を解くには，因数分解や平方根の考え方を利用できるという見通しを持つことが できる。 （３）学習の展開 学習内容 ○指導上の留意点 ◆配慮を要する生徒への支援 ・予想される生徒の反応 評価規準（評価方法） ◇教科の指導事項 ★育成したい資質・能力 導 入 ○二次方程式の確認 ○ 課 題 解 決 の 見 通 し を もつ。 ○ 前時の解の求め方を振り返る。 ○ 前時の解の求め方が効率が悪いことに気 づき本時の目標につなげる。 ○ 拓海さんの考えは，因数分解を使っている ことを確認する。 ○ 因数分解を使って二次方程式を解く方法 の要点をおさえる。 展 開 ○グループで交流する。 ○ グループで課題解決に取り組んでいる際， 指導者は基本的に見守るという立ち位置 でいる。 ○ グループの話し合いに声をかける場合は， まずグループでの協議の様子を把握して 判断する。（生徒の声を聴く） ○ グループ協議が行き詰まっている場合は， ◇二次方程式やその解に関心を もち，既習内容を活用しなが ら，二次方程式の効率的な解 の求め方を考えている。ア① （ノート，行動観察） ★課題解決の際，必要な知識・ １ 既習事項の確認 本時の目標 二次方程式を効率よく解く方法を見つけることができる。 ２ 本時の課題を把握し，課題解決へ向けての見通しをもつ 課題１ 拓海さんは，二次方程式の解き方を考えています。いくつかの二次方程式をつくり，下のように考えま した。拓海さんの考えの続きを説明してみましょう。 拓海さん ア 𝑥2+ 2𝑥 − 15 = 0 イ 𝑥2= 4 ウ 𝑥2− 25 = 0 エ 𝑥2+ 6𝑥 − 5 = 0 オ 𝑥 𝑥 − 8 = 0 カ 𝑥 − 3 2= 5 3 課題の解決 課題２ ア～カの方程式はすべて解くことができるでしょうか。拓海さんの考えやその他の考えを利用して 解いてみよう。 「オは𝑥 × 𝑥 − 8 = 0 のことだから，数の計算と同じように考えると，𝑥と 𝑥 − 8 の どちらかが･･･････
展 開 ○全体で練り合い，考え を深める。 ○新たな課題の発見 指導者が支援するのではなく，他のグルー プと困っていることを共有し，課題解決の 糸口を見出させる。（生徒をつなぐ） ◆ グループの中で他の生徒とつなぐ。 ○ グループ協議は意見を一つにまとめるこ とが目的ではなく，個々に考えをもたせる ために行わせる。（生徒にもどす） ・ アの方程式は右辺が０で，左辺が因数分 解できるので拓海さんと同じ考え方で解 ける。 ・ イの方程式は４を左辺に移項すると右辺 が０になり，左辺が因数分解できるので 拓海さんと同じ考え方で解ける。 ・ ウの方程式は右辺が０で，左辺が因数分 解できるので拓海さんと同じ考え方で解 ける。 ・ イとカの方程式は同じ平方根の考えを使 うと解くことができる。 ・ エの方程式は解くことができない。 ○ 因数分解では解けない方程式があること を確認する。 ○ 式変形の方法までたどり着けなくても，式 変形をすれば解けそうだということに気 付ければよい。 情報を選択し，それを根拠とし て自分の考えや他者の考えを補 強・修正することができる。（行 動観察・振り返り）【知識・情報 活用能力】 ま と め ○自己評価する。 ○ 今日の授業で気付いたことや難しかっ たことをノートにまとめさせる。 ○ それぞれの方法について，後日具体的な解 き方を確認していくことを伝える。 ・ 二次方程式は，因数分解や平方根の考え を使うと解くことができる場合もある。 ・ すべての二次方程式が解けるわけではな かった。 ◇二次方程式を解くには，因数 分解や平方根の考え方を利用 できるという見通しを持つこ とができる。イ②（ノート） エの方程式を解く方法はないだろうか。 ５ 今日の学習を振り返る
