離散剛要素法における岩の衝撃特性について

離散 岡

J要

素法 にお ける岩の衝撃特性 について

藤村

尚

・・ 木 山

英郎 ≒勝見

雅

*・

岩成

敬介

*

(1983年6月17日受理)

IInpact of Rock by Discrete BIock

lethod

by

Hisashi FuJIMuRA;Hideo KIYAMAtt TadaShi KATsuM寸

Keisuke lwANARI・

(Received June 17,1983)

This paper presents the result of some studies on the rational deternlination of

significant lnaterial constant κ _{(elastic spring)and} η(ViSCOus spring)都 rith regard

to Discrete BIockふ江ethod(DBWI)、vhich have beenとnveloped by CundaH(1971)

ヽVe are made use of the newiy analysis method(DB [)mOdified Cutadall

method

We Mrill work 覇′ith the fono都′ing basic frame vork, convergence and stability of solution by difference scheme

faling―dollln,irnpact test and repulsion coefficient

in analysis by DBh/1,falling―down and impact behavior on the slope

1. `ま

じ

め

に 近年

,い

わゆる不連続性岩盤 における諸現象 を解析す るための種々 の力学 モデルが提案 されている。

Ashby,Goodman,Ngoら

は従来の連続体 としての有 限要素法にせん断 ばね ジ ョイン ト要素 を導入 した逐次解 析法 を提案 している。 さらに これ を進 めて

,川

井

,竹

内 らは独 自の離散化 モデル (剛体― ばねモデル

,有

限要素 ばねモデル

)を

提案 してい る。 また

,斎

藤 らは岡」体結合 要素による解析 を示 してい る。 以上述べた力学モ デルは

,い

ずれ も各要素が互 いに何 らかの形で結合 され

,団

体 の極限解析 モデルであ り

,例

えば斜面 における転倒・ 滑落破壊 の ように

,周

辺の岩盤 か ら独立 した任意 の要素 の回転運動 を含 む問題 について は

,岩

盤 を剛体 ブロ ックの集合 と仮定 し

,そ

れ らの個々 のブロックの運動方程式 に基づ いて系全体 の動力学的な 破壊状態を連立方程式 として解 くカンドルの方法が適 し ていると思われる。 著者 らは

,こ

のカン ドルの開発 した離散剛要素法｀2,9

(Discrete BIock Method,以 下

DBMと

略す

)の

要素

形状 を円形に簡略化するとともに

,弾

性スプリングの岡J 性定数の決定法の提案や変位増分の算定式の修正 を行 な い

,多

数の粒子からなるサイロ内の粒状体の重力流動の 解析に適用 し多大の成果を得たはさらに,進 んで実用的な 解析法を確立するためには,差分近似による解の収束性・ 安定性などの材料定数に関する基本的な問題 を検討 して お く必要がある。 そこで

,本

報告では

,ま

ず

DBMに

よる一球の自由落 下運動か ら解の収束性・安定性 について記す。つぎに, 岩石ならびに金属の自由落下実験 を実施 し

,得

られた結 果 と

DBM解

析結果 とを対比す る。最後に

,斜

面への自 キ 土木工学科 Department of Ci I EngineeAng

由落下運動の

DBM解

析について記す。以上の結果を総 合 して材料定数の合理的な決定法 を図る。

2.材

料 定 数 て

,

ηと時 間 増 分 △チの決 定 法

2.1

運動方程式の減衰特性

Fig。1に_{示す弾性スプ リング}(剛性定数 κ),ダ シュポ

Fig。 l A sil■ple mass―spring―dashpot system

ッ ト(粘性定数

7)で

結 ばれた質量 η の円形要素 につい ての並進(ク)￨こ関す る運動方程式 は式(1)の形式 に略記 さ れ る (ただ し

,重

力 の作用 は考 えない もの とす る)。 物 芝+7立+て ,=0・… … … …・₍₁₎ 式(1)において

, 7<27物

Kの

とき

,減

衰振動 を表わ し

, 7>27物

Xの

とき チの増加 とともに一様 に滅衰す る無周期運動 を表わす。 そ して

,両

運動の境界 である式 12)の関係が満た され るとき

,最

も減衰 が速 い。 7と27物

K・

………(2) したがって

,要

素間の衝突 によって生 じる跳ね反 り現象 をで きるだけ

,速

か に減衰 す るために

,カ

ン ドルは ηと rfの_{決定 に際 し式}(2)の関係 を考慮 す ることを提案 した?

2,2

差分近似 による解 の収束性 。安定性 運動方程式(1)を差分近似 す る場合

,解

の収束性・ 安定 性 を得 るためには時間増分 △ナに制約条件が必要である。 この点 に関 して,カ ン ドル は式(1)中の粘性効果 を無視 し た, 1つの質点 と1つのスプ リングか らなる1自由度の 振動系 を用いて以下 のように考察 している。 Fig.2に示す 1自 由度振動系の運動方程式 は式⑪ で表 わ され る。 η芝十

Kw=0・

………(3)

Fig。 2 A simple mass―spring system

この とき

,差

分表示式 は … … ₍₄₎ となる。 カ ン ドルは式(4)の解の収束性

,安

定性 を保証す る条件 として次式の関係 を示 している。

か

<2〃

… …………Ц

働

ここに

,イ

は一つのスプ リングの剛性 として

,圧

縮抗力 を与 える弾性 スプリング 【ηな り

,せ

ん断抗力 を与える 弾性 スプリング

Fsな

りを考 えている。以上 はいずれ も, 1要 素 1接 点に簡略化 した運動方程式から導かれた条件 である。実際には 1つ の要素が周辺要素 との接触数だけ のスプ リングによって支 えられているため

,多

自由度の 振動系 と考えなければならないため

,両

式を目安 にして η,κおょび △ナの適当な組合せを試行錯誤によって決定 するのがよいとしているp

2.3

弾性スプ リング定数の決定

DBMで

は,要素を剛体 と仮定 し,衝突あるいは接触に よって生ずる作用力は

,接

触点における相対変位量に関 連 して与 える方式を採用 し,両者 を結ぶ係数 として κ を 定義 しているが,て の材料定数 としての意味については 言及 していない

Pκ

は本来弾性的性質を有する粒状体の 変形係数に相当するもの と解釈 し

,そ

の算定法 として, 対象 とする粒子の弾性接触における荷重一変位曲線の勾 配を用いることを提案する。幸い

,円

要素の場合には, Fig.3に 示す H Hertz(1881)に よって解かれた弾性円 柱の接触理論解が利用できる。ヤング率 ど

,ポ

アソン比 フの等 しい 2つ の円柱(半径 竹,ゎ )が上下か ら単位厚 さ 当 り荷重?で 圧縮 された場合の両中心の接近量 δと接触 幅 うは次式で与えられる。 〓 ク 十 ク 一 И Ｋ 一 物 十 ク

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

14巻

Fig。 3 Elastic co■tact model of cylinder

δ

=笈

1〆

).各

(:十

h晉

相

n午

)

ぅ

2=学

_→

_解努・

二

号▲・

? ここで

,簡

単のため,埼 =駒

=/と

すれば

δ

=工

≒半生・

_考

(モ

+2h午

)…

…………

0

ぅ2=4″(1-ッ

2)考

… …… ……… … ……… …・₁₇₎ したが って法線 方向の剛性定数

/2は

次式の ように決定 され る。 πど … … …・(8) なお

,2つ

の円柱のヤ ング率

B,あ

が異なる場合のK″ は,式18)によってrfI,Ff2を算出 し

,簡

便的 に次式で定 め る。 κ耀

=る

・ 為 … … … …つ 同様 な考え方か ら接線方向の剛性定数 【sは

,2円

柱弾性 接触 におけるせん断荷重―接線方向変位 曲線 か ら定 める べ きであるが,簡単のため,K″ に対 する逓減率Sを導入 して次式の ように仮 す る。 κs=κ″s… ………,10 κか κsを式

(8, 9,10)の

よ うに定 めると

,ダ

シュ ポ ッ トの粘性定数7澱

,7sは

式12)の関係 を用いて次式のよ うに定 まる。 77t=27′広 々 ………・lo

7s=27η

Ks=7た

S'…

………1か この とき △チは,式(5)に代 えて次 の ように 【耀とη″か ら定 めるのが便利 である。 Иチ<7れ/Ff. ,・………Ⅲ10 この時,△チをで きるだけ小 さ くとれ ば離散化誤差 の減少 と安定性 もよ くなるが

,そ

うす る ことによって所期の時 刻 に到 るための繰返 し数が増加 し

,演

算時間の増大 とス テ ップごとの丸 め誤差の累積 に よる誤差の増大 を招 くこ とに留意す る必要がある。 3。

1球

の 自 由 落 下 運 動 差分法における解の収東性

,安

定性 を明確 に してお く ことは解析上極 めて重要であ る。 そ こで

,一

球 の 自由落 下運動解析 を通 じて,Ffと7および △チについて検討する。 要素半径

/=10お

よび0 5cm,比重 ρ

=265g7cme,

ν

=03,線

_荷重

_?=30g7cmを

_{採 用 してい る。これ らの} 数値 を式偲た1帆 tDに用 いて

,種

々 のヤ ング率 β に対 す る法線 方向の定数K″,7た お よび △チの算定値 を示 した のがTable Iで ある。ど の増加 とともに

,κ

たもナヒ例的 に 増大 し,それ とともに計算 ステ ップを示す時間増分 △チを 小 さ くする必要のあることがわか る。 また

,半

径が大 き くな ると 【耀の減少,7潔 の増加 を示 してい る。 1つの要素 をある一定 の高 さか ら

,平

面上 に向 って 自 ？ 一δ 〓 Ｘ ” 一 ι 十 ２ 一３ 一

Table I Values of K耀 ,771 and Иナdependent on β R・1 0(cm, K=812x105(cm) 昨

2脈

H=98x10‐5(cm) △t=10 xlo S tsec) ―――――― ?=?。 一― ― =09η。 一――一― =07?。 ―――― =05R。

Fig。5 Element motion varied with viscous constant

由落下 させた場合 について

,種

々の定数 に対 す る静止状 態 に達す るまでの挙動 について述べる。要素の初期位置

はFig.4のように設定 し

,要

素半径

P,落

下距離 打 と

Fig.6 Relationships betwecn time steps T and fall distancc H する。Fig.5は要素の剛性定数 κ を仮定 し,粘性定数7 をわずかに変 えた場合の要素挙動である。縦軸 には要素 中心の鉛直変位(初期 を基準)ク を横軸 は時間 ステ ップ数

T(N:回

数)で ある。 さらに

,粘

性定数7の収束性への 影響 を落下距離 Frと 剛性定数 rfに ついて調べ るとFig. 6のように示 される。

F=0.5cm

β (kモチIttlcm2) て〃

/Pg(cm)

第

/pg(cmゐ

) れ(s)< 7.5×102 3.84×104 1.11×10 2.89×10 4

1

×103 5.01×104 1.27×10 2.53×10 4 1××104 4.25×105 3.69×10 8.68×10 5

1

×105 3.70×106 1.09×102 2.94×10 5

1

×106 3.27×107 3.24×102 9,90×10 6

R=1.Ocm

ど(kgfたm2) κ盟

/pg(cm)

77f/pg(cmゐ) Иナ(s)< 7.5×102 3.64×104 2.16×10 5,94×10 4

1

×108 4.06×104 2.47×10 5.20×10 4

1

×104 4,06×105 7.22×10 1,78×10 4

1

×105 3.55×106 2.13×102 6.01×

105

1

×106 3.16×107 6.36×102 2.02×10 5

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

14巻

これ らの結果 よ り

,DBMに

よる一球の自由落下運動 に おいては,カ ン ドルの提案す る7。=27′物【 の値 よ りも

U(cml

Fig.7 Comparison with theoretical value and computation valuc(DBⅢ I)

△

t■1 0Xlσ 4(seC) K'=728(1ざ(Cm) q=10η_。

40o

X (Cm)

Fig.9 Element inotion

わずかに小 さい

o7∼

0970を

用いた方が収 束が速いこと がわか る。 また

,要

素の収束性 はFrぉょびrfにも影響 を受 けることが知れ る。 ここで, 1自由度の運動方程式 は理論解 によって解 く ことがで きる。Fig.7は

,要

素 と平 面 (床面)との接触 後 の

DBM解

_{析 と理論解 による運動 を示 してい る。両者} の変位 は僅かに異 なるものの

,収

束性 に関 してほぼ一致 しているので

,DBM解

析 による誤差 は少 ない と言 えよう。 一方

,Fig.8は

粘性定数 を臨界状 態以上 に大 き く与 え た場合 の結果 を示す。また

,Fig.9は

,時間増分 △サを制 約条件以上 に大 き く与 えた場合 の結果 を示 す。両者 とも, 要素 は衝突 によ り新 たな運動エネル ギーがカロわ ったかの ごとき不合理 な反撥 を示 してい る。

4.自

由 落 下 実 験 ここでは

,自

由落下装置 を試作 し

,岩

石 とベア リング 材料 に対する実験を行った。この実験 を通 じて材料の大 きさ

,初

期高さによる反綾係数の相違 について調べる。 このようにして得られた反撥係数の値 を参考にして

DBM

解析に用いた材料定数 て および 7の 値 を検討する。

4.1

実験装置および方法 自由落下実験装置は試料保持機構に工夫が必要であり, ベア リング用には電磁石 と定電圧電源 を用いたが

,一

方 K=812x10S(cm) R=2子馬K X0 0 H=98×10 5にm) Δt=1 0X10 5(seC' tx10-4) ＆ Ｘ ｍ

定す

解好に

高

)

岩石試料 には ソレノイ ドを用いた側面か らの支圧 による 方法を採 ってい る。両法 とも,落下開始時の試料 に外力, 回転が加 わ らない ことが必要である。試料が衝突す る床 版材 は

S45Cの

構造用硬鋼 を用いたので試料の硬 さと等 しいか

_,そ

れ以上の硬 さを もっている。試料 の落下挙動 は写真か ら判読 し求 める。 実験 に用いた試料 は,φ 25 cmと φ10 cmの 精選 された ベア リング(1),修)と岩石試料 として Table Ⅱ に示 す花 開

Table II General rock properties

Granite Quart多 diorite 予力 ″ザん

(cm)

D力物夢

97 (cm)

4.99 4.99

Y6ung modulus

β

(Pa)

6.468×101° 7.301×101° Poisson′s ratio

警

ndty (g/Cm3)

2.08 Compression strength σ

c (Pa)

2.45 ×109 <4.90× 109 (1)φ

=2.5cm,(2)φ

=1.Ocm

岩 と石英閃緑岩 である。石英閃緑岩のヤング率 ど

,ポ

ア ソン比 フ

,密

度ρおよび圧縮強度 ∝ の各値 は花 開岩の も のに比べていずれ もわずかに大 きいが

,両

試料 とも健 全 な岩石である。

4,2

実験結果・ 考察 PhOto。

1,2は

自由落下実験 にお ける両試料 の挙動 を 撮影 した ものである。この写真か ら初期高 さ 為と反撥 に つづ く跳ね反 り最高点の高 さ 力1を読取 って,反撥係数 ￠

=

￨ (b)metal

Photo。 l lmpact test

7′カェル 。 が得 られ る。両試料の反撥係数 ♂と跳ね反 り回 数

Nの

関係 をFig。 10に 示 す。これ らの図か ら

,両

試料 とも反 撥係数 は

09付

近 にあることがわか る。 しか しな が ら

,

この反撥係数 と ぞ やJcなどの物理定数 との関係 は明 らかでない。 また

,試

料の初期高 さや直径が増 す に つれ て

,反

綾係数 は小 さ くなっている。 さて

,試

作 の両 11穏

‐

(a)rock,

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

14巻

H=eュ9cm

10 N

― H=276cm ――― H=333cm 0

ng.11

gearing (け 0 -―― Meta■ apparatus △ ― ‐‐ ・ ― Rock apparatus

CoHHparison vith ィ

netal and

apparatus rock Gritti te _。 ) ●       ▲ 0 △

3・

0 △ Ouaをとz aiOritO(a) 装置について―,ベア リング(1)を用いた実験結果 を

ng.11

に示す。両者はほぼ一致 し

,岩

石保持機構の信頼性が得 られた もの と思われ る。

4. 3 DBMと

反撥係数 自由落下実験結果を念頭 におき

,DBMに

よる―球の自 由落下運動の解析について述べる。

3.節

では差分法に おける解の収束性ぅ安定性を追求 したが

,こ

こではむし ろ実験で得 られた反撥係数 との対応に重点をおいた

,た

および ″の材料定1数について記す。 自由落下運動の解析例 として

,要

素半径 々=o5c14, 【″/た=7.6意×10勧。ク。=77B/pr=1.57(島 rsl, △チ

=

10｀⑥ として

,初

期高さ ∬ =9,=×10 4cmか ら平面上 に 落下させた時の要素の跳ね反 り最高点￨の位置Frと時間 ′ H=276c市 H=3&3Cn

(x10‐4)

100 t(sec)

38。9990

Fig。12 Element motion

(S)の 関係 をng。12に 示す。要素の跳ね反 りは

,粘

性 定数7の減少 とともに

,大

き くな り

,収

束性 が遅 い こと がわかる。 ここで

,時

間が小 さい

,初

期の直線部 におい て

,反

撥係数 ♂を算定す ると

096(70/100),0.92(70/

50),0.62(7。 /10)が得 られ る。

3.節

の実験結果 に よ ると9≒0,9であったので,両者 を対比すれば粘性定数

7=

7。/50の 曲線が対応す る と言 えよう。また,種々の 【耀お よびFrに対 して反撥係数 を算定 するとTable ⅡIの よう になる。この表 か ら,K耀 およびrrの増加 とともに反撥 係数が大 きくなることがわか る。 5。 斜 面 へ の 自 由 落 下 運 動 前節 では,平面上への 自由落下運動 について取扱 った, その運動 は平面 に鉛直 な直線運動である。 ここでは

,斜

面上への 自由落下運動 について検 討する。要素 は斜面上 への衝突 に伴 なって起 きる回転運動 な らび衝突後 の非接 触状態 における曲線 あ るいは直線運動 な どその挙動 は極 めて複雑であ る。解析結果の一例 を

Hg,13に

示 す。主な 結果 をまとめる と次 の ようであ る。 (i)時間増分 △チが大 き くなるにつれて斜面上での転 り は大 きい。 しか し,△チ

=107(s)以

下では要素の運動 は 一致 している。 この ことは解 の収束性 とも関係 し

,要

素 と斜面 の接触時 には少 な くとも △ナ

=107(s)の

時間ステ ップが必要であることを示 している。 (ii)粘 性定数

7=7。

の場合 には

,要

素 は斜面 を転が り 落 るが, 7の僅かな減少 (017。∼0.97。

)で

大 きく跳 ね反 る。 しか し

,7を

01× 7。よ り小 さ く取れ ば要素は 不合理 (￠

>1)な

跳ね反 りが起 っている。 (

)剛

性定数 `鷲 の増加 に ともなって

,要

素 は鉛直お よび水平方向の跳ね反 りを増 してい る。 この ような要素 の運動 を通 じて,κ,ど を逆算す ることも可能であろ う。 (

)要

素の初期高 さを3 cmとするような大 きい衝撃力 に対 して も解析で きると以上 の ことか ら,この斜面の解 析結果 は現実の落石 に対 して十分応用で きる。 6。 結

語 離散剛要素法

(DBM)を

実用 に供 する場合 には

,剛

性 定数や粘性定数 および時間増分 を合理的 に決定す ること

Table II Results of analytical inodel ヽ 、 く 尺 (cm) 1.0 κ刀/Pg(cm) 7.68X104 7.28×104 3.84×104 1.74×104 7.28X104 η用/pg(cm盗) 1.569 1.527 1.109 .468× 10 0.017 И r 1.O X 10 5 1.0×104 打 (cm) 98× 105 9.8×10S 9.8×104 9,8 ×10 3

98×

102 〃。

(cm)

9.8X105 9.8×105 9.8×104 9,8 ×10 3 9.8×102 打1 (cm) 3.82×105 3.81×106 3.12X105 1,77×105 8.5X105 885×10 4 9,76× 10 3 9.84×102 0.624 0.623 0 564 0.424 0,931 0。950 0,998

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

14巻

Kn/pg(Cm)・2.91x105 (C)

(a):F=0 5cm,〃

=2 75cm,α

=60°

,7=70/8,△

チ=10 ζ (b):F=0 5 cln,〃

=2 93cm,α

=30°,Kヵ/だ

=728×

10 4cm,△チ=10 7s (C):R=05側 ,打 =2 85cm,α 三_{45°,7=70/8,K耀 /pF=728× 10 4cla} 一     一     一     一     一     一     一     一     一     Ｆ 刑 Kn′ρg(cm)=5.82x106 At.10‐51(s〕

が早急の問題 であ る。 そこで まず,剛性定数 だ の決定 に際 して,弾′性接触理 論 による方法 を提案 した。つ ぎに

,DBMに

よる一球の 自 由落下運動 を解析 し

,解

の収束性 と剛性定数 κ

,粘

性定 数7おょび初期高 さ 打 な どとの関係 を明 らか に した。 さらに

,自

由落下実験 か ら岩石の反綾係数 を求め

,そ

の値 を

DBM解

析で算定 したが

,収

束性 を無視 した材料 定数 を採 ることになった。最後 に斜面への自由落下解析 か ら回転運動や衝撃力が加われ ば

,材

料定数

,時

間増分 の選択が複雑 になることがわか った。 なお本計算 は鳥取大学電子計算機 セ ンターの

HITAC

M-150,京

都大学大型計算機 セ ンターの

FACOM M―

200で行 った。 最後 に

,本

研究 を実施 す るに際 し

,実

験 データの集積 と整理 に多大の労力 を煩わ した本学院生西村強お よび本 学卒業生丸山弘文 (現・ 自営

),谷

口浩章 (現・鳥取市役 所

)の

各氏 をは じめ土質工学研究室の諸氏 に対 して感謝 の意 を表 す る次第 である。 参 考 文 献

1)Cundall,PA:A COmputer MOdelfor Simulating Progressive, Large Scale MOvements in Blocky Rock Systems, Symp ISRh/1, Nancy, France, Proc Vo1 2,pp 129-136,1971

2)Cunda■ , P A : Rational Design of Tunnel

Supports― ―

A COmputer

lodel for Rock lass

Behavior Using lnteractive Graphics for the

lnput and Output of Gemetrical Data,Technical

Report MRD-2-74,Mittouri River Division,US Army Corps of Engineers,1974

3)CundaH,PA:Exphcit Finite― Difference Method

in Geomechanics, Numerical Methods in

Geomechanics(edited by Desai,CS.),Vol l,pp

132-150, 1976

4)本

山・ 藤 村 :カ ン ドル の離散 剛要 素 法 を用 いた岩 質 粒状体 の重 力 流動 の解析 ,土 木 学会 論 文 報 告 集,No.