第２６章　電磁誘導(1)　(12/18)

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第２６章電磁誘導(1)

誘導起電力

(2)

磁界中のコイルと磁束（復習）

図_{a)のように、面積}Sの１回巻きコイルを の磁力線が貫くときを考える。このような磁力線の数を磁束（_{magnetic flux）}と呼び、_{[Wb（ウェーバー）]という} 単位で表す。また、単位面積あたりの磁束を磁束密度といいBで表すと、 = BSとなる。一般的に磁界を表すときは、この磁束密度Bを用いる。 図_{b)のように、磁界}Bに対してコイルが の角度を持つとき、 ₌ BScosとなる。また、磁界の強さをHとすると、 ₌ ₀SHとなる。 B S  B S   a) 磁界に対して垂直 b) 傾き の位置 S: コイルの断面積  : コイルを貫く磁力線（磁束）  : コイル面と磁界のなす角 B: 磁束密度

(3)

磁石による電磁誘導

コイルと検流計を直列に接続し、磁石を１個用意する。

×

コイルに永久磁石を近づけると、検流計の針は一方へ動く。永久磁石の動きを止めると、検流計の針の動きも止まる。コイルから永久磁石を離すと、検流計の針は初めとは逆方向に動く。 N N N 永久磁石による磁界の変化を妨げるようにコイルに電流が流れる。

(4)

磁石による電磁誘導

（

Faradayの実験）

コイルに電流計をつけて電流を計る。 N S N S I_B N S I_B

(a)

(b)

(c)

電流計の指示

I

_B

0

(a) 磁石を近づける (b) 磁石を止める (c) 磁石を離す

(5)

コイルによる電磁誘導

（

Faradayの実験）

磁石を大きなコイルに変えて、電池とスイッチを用意する。 I_A (a) SW-ON 電流I_Aが流れ始める (c) SW-OFF_電流_I_A_を止める (b) SW-ON 電流_I_Aが流れ続ける S I_A I_B (a) S (b) S I_A I_B (c) 電流計の指示 I_B 0 大コイルの電流 I_A 0 (a) (b) (c)

(6)

Lenzの法則

Faradayは電磁誘導に関する様々な実験から、「誘導起電力 V は、大 きさが回路を貫く磁束 、すなわち回路を垂直に貫く磁力線の数  の時間的変化の割合に比例する。」ことを発見した。これを_{Faradayの法則} （1831）という。同様に、_{Lenzは、「}誘導起電力、したがって誘導電流は、それによって新しく生ずべき磁束が、もとからその回路を貫いている磁束  の変化を妨げる向きに起こる。」ことを発見し、これを_{Lenzの法則}（_{1834）という。こ} れらを磁束 、時間 t、誘導起電力 V を用いて表すと、となる。 MKSA単位系を用いて、誘導起電力 V [V]、磁束  [Wb]、時間 t [s]を 表すと、比例定数 k = 1 となる。 d d V k t  

(7)

コイルによる誘導起電力

スイッチを入れたり切ったりすると、その速度に比例した電流がプラス、マイナス交互に電流計に表示される。コイル面を貫く磁束が変化するとコイルに誘導起電力（_{induced electromotive force）が生じ、その結果電流が流れる。}

コイルの巻き数を _n、コイルを貫いた磁束を  とすると、誘導起電力 _V は、となる。

S

n



d d V n t  

(8)

導体板と磁界

導体板に磁石を近づけると、導体内に渦状に電流が流れる。これを渦電流という。導体には電気抵抗があるため、この電流によってジュール熱が発生する。このような加熱法を誘導加熱と呼び、これを利用したのが電磁調理器（ IH: Induction Heater ）である。コイルに高周波（_{25kHz）の電流を} 流すと、コイルによって発生する磁界の変動により鉄やアルミの鍋に渦電流が発生し、中の食材を加熱することができる。電磁調理器

(9)

モーターと発電機

図のような長方形（面積_{S）の導線} に磁界の中で電流を流すと、導線にローレンツ力が働き、_{XX´軸を中心} に回転する。これがモーターの原理となる。モーターの_{XX´軸を中心に角速度}  で矢印方向に回転させると、コイルの面を磁束  が貫く。この貫いた磁束がコイル内に起電力を生じる。コイルが回転するとき、コイルの法線と磁界_{B のなす角度}  は  ₌ _t となる。これはモーターの逆原理となり、発電機の基本構成となる。 X X´  磁界_B 電流_I 磁界_B X 電流_I X´ 

(10)

磁界の中で回転するコイル

面積 _{S のコイルが一様な磁場内で角速度}  で回転するとき、コイル面と磁束密度 _{B のなす角度を}  (= t)とすると、コイルを貫く磁束  は   BScos  BScost となり、電磁誘導からコイルに生じる誘導起電力 V_c は、となる。ただし、_V₀ は誘導起電力の最大値（振幅）である。このようにコイルを使った発電では、時間の経過と共に方向が変わる電流が発生する。このような電流を交流という。 0 sin sin c d V BS t V t dt      





t



S



N

(11)

コイルの磁束と誘導起電力

図中の _V_c の周期_(cycle) _T _[s]、すなわち _{0 (ゼロ)から0 (ゼロ)までの時} 間はコイルの回転周期に等しい。このときの１秒当たりの振動数を周波数_(frequency) _f といい、その単位をヘルツ_{[Hz]で表す。また、}角速度_(または角周波数)  は、と表される。 t BS BS

2 T

T

t BS BS

2 T

T

cos

BS



t



d

dt



c

V

a) コイルの磁束変化 b) コイルへの誘導起電力 2 ₂ _f T





 



(12)

コイルによる自己誘導

回路に流れている電流 _{I が、抵抗} や起電力の変化によって変わるとき、この電流による磁場も変化し、それに応じた誘導起電力が生じる。この誘導起電力は電流変化と反対の方向に発生する。このような現象を自己誘導（_{self-induction）}という。いま、電流変化によって回路を横切る磁束の変化を d とすると、d は電流変化 dI に比例するので、となる。この d による誘導起電力 V はファラデーの法則から、 となる。式中の _{L はコイルよって決} まる比例定数で、自己インダクタンス_{(self-inductance) といい、単位は} ヘンリー［_H (=V･s/A)］で表す。 N 回巻きで断面積 S、長さ  のコ イルに透磁率  の磁性体が入っているとき、単位長さ辺りの巻き数が n = N /



より、磁束密度 _{B は、} B = nI = NI /



となる。磁束  = BS = NIS /



より、誘導起電力 _Vは、 となり、自己インダクタンス _{L は、} となる。

d



L I

d

d d d dI V L t t    2 d d d N S Id V N t



t   



2 N S L





自己インダクタンス

(13)

コイル対による相互誘導

して、の誘導起電力を発生させる。この現象を相互誘導（_{mutual induction）}という。比例定数 _M₂₁ は、コイル２の巻き数 _{n、およびコイル１の電流 I}₁ や磁束 などで決められ、 S L₁ L₂ I₁ B  M₁₂ ２つのコイルを、図のように近づけておき、コイル１に電流 _I₁ を流す。コイル１の電流が、時間 dt の間に dI だけ変化すると、コイル１に dI による磁束変化 d が現れる。この磁束変化が、電流の流れていなかったコイル２を貫き、コイル内に比例定数 _M₂₁ を通となる。この比例定数 _M₂₁ を相互インダクタンス_{(mutual inductance)}といい、単位は自己インダクタンスと同様にヘンリー［_{H］で表す。} 1 21 21

dI

V

M

dt





21 1

n

M

I





(14)

変圧器

強磁性体のリングに図のように２つのコイルを巻き付けたものを変圧器という。電源をつないだコイルを１次コイル、もう一方のコイルを２次コイルといい、入力する電源には交流電源を用いる。_N₁回巻きの１次コイルと_N₂回巻きの２次コイルを用い、１次コイル側に_V₁(t)の交流電源をつ なぐと、コイルには、の磁束変化が生じる。磁束がリングから漏れないとすると、２次コイルには、の誘導起電力が生じる。このときの誘導起電力の比をとると、という関係が得られ、電圧を変えることができるということがわかる。なお、電力の消費がないと仮定すると、エネルギー保存の法則より、次式が成り立つ。 1 1

d

_d

V

N

t





2 2

d

_d

V

N

t





2 2 1 1

N

V

N



1 1 2 2

V I V I



巻き数 _N₁ _巻き数 _N 2 内部の磁束  電圧 _V₁ 電圧 _V₂

(15)

・点火プラグ・非接触式充電器

コイルに蓄えられるエネルギー

コイルに電流を流すと、磁界が変化し、誘導起電力により、その磁界の変化を妨げようとする。そのため、コイルに電流を流すためには、電源にこの起電力に逆らって仕事をしなければならない。仕事率（電力）は _{P = dW / dt = IV} であり、誘導起電力は _{V = LdI / dt} で表されるので、この起電力に逆らってする仕事は、となる。これより電流が _{I になるまで} にする仕事 _{W は、} となる。 2

1

2 d

d

W

t

LI

d

I

t

d

t

LI

         



2

1

2 d

d

W

LI

t







トランスの応用ガソリンエンジンスパークプラグ二次コイル一次コイルバッテリー鉄心カム

(16)

例題

図のように単位長さあたり_n回巻か れた半径_{Rの長いソレノイドがある。} 電流_{Iが変動しているとき、ソレノイド} 内外の電界の強さを求めなさい。半径_{rの円を考える。コイル内に発} 生する磁界は、_{B =} ₀_{nIで、図のよ} うに対称性から電界は円に接する方向にできる。円内の磁束は、 ₌ BS = (₀nI)(r2_{)で、誘導起電力は、} である。よって、より、となる。また、ソレノイド外側では、 = ₀nI(R2_{)で一定なので、} となる。 2  _ V 



E dr  rE 2 0 2 d /d d /d V  rE   t  r n I t 0 2nr Id , (d ) E r R t    2 0 2 d , (d ) nR _I E r R r t    R _I I r E E E E B B

(17)

例題

図のように半径aの導体とこれと絶 縁された半径bの導体円筒で構成さ れた同軸ケーブルがある。内側を電流Iが流れて外側をIの電流が流れ る。 1) 単位長さあたりの自己インダクタンスを求めなさい。 2) 電流が変化することによる、内部の導線内の電界の強さを求めなさい。 1) アンペールの法則より、aからb の間には、B = ₀I / 2r で求められ る電流が流れる。半径rでの幅drの 区間を貫く磁束密度は、なので、ケーブル内の磁束密度は、となる。これより、となるので、である。 0 2 d B rd I dr r      0 0 2 d 2 ln( / ) b a I I r b a r      



 0 2 ln( / ) d d d b a Id V t t      0 2 ln( / )b a L  _  I I b r a

(18)

例題

図のように半径_{aの導体とこれと絶} 縁された半径_{bの導体円筒で構成さ} れた同軸ケーブルがある。内側を電流_{Iが流れて外側をIの電流が流れ} る。 1) 単位長さあたりの自己インダクタンスを求めなさい。 2) 電流が変化することによる、内部の導線内の電界の強さを求めなさい。 2) アンペールの法則より、磁束密度は、となる。よって図の区間内の磁束は、よって誘導起電力は、となる。これは、中心で一番大きい。 0 2 0 2 2 0 ( ) ( ) ( ) rI B r a a I B a r b r B b r            2 2 0 ₄ ₂ ₂1 d ' d ' d ' ln x a a r r b l B r l B r l B r a r a l I b a  _                  



2 2 0 ₄ ₂ ₂1 d _ln d d a r a Id V E t  __a  b t             



 



  I I b r a

(19)

例題

図のようにインダクタンス_Lで抵抗 Rのコイルを起電力V₀の電池につないで、スイッチを入れた。スイッチを入れたときの時刻を_{t = 0とすると、} 流れる電流_{I(t)を求めなさい。} 電流が変化すると_{V = LdI / dtの} 誘導起電力が生じる。よって、となる。これは、と書くことができ、_V₀は定数なので、となる。微分して元に戻る関数であることから解は_{Aを定数として、} とすればよい。_{t = 0 で I = 0 なので、} A = V₀ / Rであることがわかり、 となる。 0 d /d V L I t RI 0 0 d d V _R V I I R L R t                        0 d d V I _{R I} L R t             0/ Rt L/ I V R Ae   0(1 Rt L/ )/ I V e R I t 0 V R V₀ L R S

第２６章 電磁誘導(1) (12/18)