~ 202 ガ リ レ イ 変 換

2 3  

~ 202 ガ リ レ イ 変 換

2つの慣性系 S ( O ， x ， y ， Z) とS ' (O ' ， x ' ，  y ' ， z ' ) で x ' ， x y ' ， y  z ' ， z は平行 を保つものとし， 0 ' は O に 対 し て X o ， Y o ，  Z o の座標を持ち， 一 定 の 速 度

V o (  U o ，  V o ，  w o ) を持つものとする .

任意の点 P の座標を ( x， y ，  z ) ， ( 〆 ， y ' ，z ' )とすれば

x  =  x o   +  x ' ，  y  =  y o   +  y ' ，  z  =  Z o   +  z '  ( 2 . 2 ‑ 1 )  x  x  ‑ X o ，  y  =  y  ‑ Y o ，  z  =  ^{z  ‑ z} 。 ^{( 2 . 2   ‑ 1 ) '} 

d x o   d y o  

である.これを t で微分しよう

一 d 一 t   u

，  一 一 &  ‑ v

^，  丘 旦 二 ^{‑ d t   ‑} Wo ^wo ' である ^‑

一一 dt 

u ' 生 d t ‑   =  v

' ，  互 d 主 t   二 w ' ， (u ' ，  v '，  w ' )は 5 ' に対する P の速度成分である.

u  U o   +  u ' ，  v  =  V o   +  v ' ，  W  =  WO  +  ^{w'  ( 2 . 2   ‑ 2 )}  

u  u  ‑ U o ，  v  v  ‑ V o ，  W  =  W ‑ WO  ( 2 . 2 ‑ 2 ) '   となる . _{( 2 . 2  ‑2 )をさ らに tで微分する .ー} duo  _{一 一 一 O . ~~，V =  0}

三笠旦 = 0であ d t   ‑

，  d t   ‑

，  d t  

るか ら ，加速度成分の聞の関係式

( 2 . 2   ‑ 3 )   dw  dw' 

d t   d t   dv  d v '  

d t   dt'  du  du' 

d t   d t   ' 

が 得 ら れ る

( 2 . 2 ‑ 1 )，(2.2‑1 ) ' ， ( 2 . 2 ‑ 2 )，  ( 2 . 2  ‑ 2 ) ' ，  ( 2 . 2   ‑ 3 )を ガ リ レ イ 変 換

とよ ぶ. (2.2‑2)'を簡単な例で解釈する と，速度 U で飛 んでい る鳥を同方向 に速 度 U o で走っている列車か らみると相対的 に u ‑ U o の速度で飛んでいるように見え るとい うことである .

相対性理論では ， ( u o ，  V o ，  w o ) が光速度 に対して小さくないときにガリレイ変換は

z 

O 

ロ ー レ ン ツ 変 換 でおきかえられる .ただし，

z  ， 

2 . 2  ‑ 1 図

o 

p ~x: Y'，z ) ( x ' ，

z ' )  

U 

x  ガリレイ変換

この相対論によっても ， z 

U o ，  V o ，  wo が一定である場合， S が慣性系な らば S ' も慣性系であることに変わり はない.

『力学 ( 三訂版) ~ ( 原島 鮮 著/ 裳華房)

2 4  ₂  運動の法目Ij

~2.3 質点の質量

質点の運動 を 慣性系によって観察するとき ，質点が他の物体から 十分遠く離 れていれば等速直線運動を行って，加速度が O であることは 92. 1 で学 んだ.

2 つの質点が，互いに近かったり ，糸でつながれていたりするときには一般に これらの質点は慣性系に対して 加速度を持つ.経験によると

2 つの質点が，互いに近 く にあることによ って， ↑ 貫性系に対し て加速度を持つとき ，それ ら の加速度は ，両質点を結ぶ直線の方 向に向いていて ，互いに逆向きにな っており，大きさの比は質点 の運動状態、によらずい つも一定である .

このとき加速度の大きさが小さいほど速度の変化のしかたが小さいので慣性 が大きいと考えられる . この慣'性の大小を表すものとして ，質 量(くわしく は 慣 性 質 量)とい うものを各質点について考える .つまり ， 2 つの質点 P l ， P z が近づいて 加速度を 持 つとき ，その大きさを A l ， A z ^{とすれば，質量} m l ，

A ， 

p ， 

p ， 

A ， 

m z の比は，加速度の大きさの逆比 ml  A z 

m z  A l  ^{( 2 . 3  ‑ 1 )}  によって与え ら れるものとする .両方の 加速度の方 向が逆である ことを考 えに 入れて，ベク トルの記号 で書げば，

m 1 A 1  +  m z A z  =  0  ( 2 . 3  ‑2 )   2 . 3   ‑ 1 図 2 つの質点の加速度 となる .

l つの標準の物体の質量 を単位(たとえば国際標 準局のキロ グラム原器)にとれば，他の物体の質量は ，原理的には ， (2.3‑ 1 )  によ っ てきめられる .実際は物体の重さが質量に 比例 することを利用して精密 測定に適している天秤によ って比較する . CGS 制ではグラム ( g ) を， S I 制

作 2 . 4 ) ではキ ログラム ( k g ) を { 吏う .

2 5  

~2.4 カと加速度(運動の第 2 法則)

S  2 . 3 で述べたように， 2 つの質点 P l .P 2 (質量 m l .m2)が近づくと両方が慣 性系に対して加速度を持つが，このとき P

から P2に，また P2から P

に 力

を 作 用 するという .

滑らかな水平面の上に 1 つの質点があるとし， これに第 2 の質点を近づける 代りに手で押すか引くかするとしよう.このようにしても慣性系に対して加速 度を持つが，同時に手は努力をしたという感じを持つ.この感覚が通常 カ と いう言葉で意味されるものである . むしろこの場合がもっとも原始的に力とい う語の出てくる場合であろう .私たちはこの力とそれによって生じる加速度と の間の数量的関係，しかもきわめて精密な関係に入らなければならない.

滑らかな水平な床の上においた物体にばねをつけてこれを引張る .慣性系とみな している床に対して物体は加速度を持つ. このとき，手の代りにばねから物体に力 が働いていると考える.物体につけるばねの数を変えて実験するとか，ばねの伸び をいろいろと変えるとかして(ばねから物体に働く力はばねの伸びに比例すると仮 定する)実験すると，物体の加速度が力の大きさに比例していることが正確ではない にしても実験できるであろう.このような実験結果を理想化するといってもよいが，

実際はつぎのような方法をとっている.

質点が↑貫性系に対して加速度を持っているときには，この質点に他の物体か ら力が働く結果その加速度を生じると考える.そして力はベクトルと考え，加 速度はこの力の方向と同じ方向に生じるものとし，加速度の大きさは力の大き

さを質点の質量で割ったものに等しいものとする . つまり，こうなるように力 というベクトルを定義することにする.このことを式で書くのに，力を F で 表すことにすれば

mA  =  F  ( 2 . 4   ‑1)  となる.

質点に力をおよぽす物体としては，手，張られた糸，地球，電気を帯びた物 体(質点も電気を帯びているとき)，滑らかな面からの力(面の抗力とよぶ) などがある. (2.4‑1) の 座 標 軸 方 向 の 成 分 を 書 く た め ， 力 F の成分を (X.

Y.Z) とすれば，

となる . (2.4‑1 ) ，   (2.4‑2)を質点の 運 動 方 程 式 とよぶ. ( 2 . 4   ‑ 1)を言葉でいえば，

質点に力が働くときには，質 点、は慣性系に対して，力の方向 に，これに比例し質量に反比例 する加速度を持つ

ということができる . これを 運 動 の 第 2 法 則 とよぶ.力学の問題では，力 F(X ， Y ， 

Z ) が質点の位置の関数として与えられ， ( 2 .  

4  ‑ 2 )の微分方程式を解いて ，位 置 ( x ， y ， z) を時刻 t の関数として求めるものが多い.

運動の第 2 法則は直接実験から導き出した 法則というよりも，力と加速度の関係を取り きめた，つまり定義を導入した形になってい

2 . 4  ‑ 1 図 質 点 に 働 く力 る このようにしてきめた力を扱いながら ， 惑星の運動のようなものを論じることにな る.万有引力のような距離の 2 乗に反比例する力も自然界に現われるのであ

2 6  

~ヨ→ 力

( a )  

仁 1 ^{張られた糸} ー

( b )  

←一一①

( 

面からの 抗力

v

hH

‑ w  

企伊

2  運動の法則

d

x  m  d t

A

m  f 手 = Y  d t

d

z  m  (Ji2  =  L .  

( 2 . 4   ‑ 2 )  

( c )  

( d )  

る. しかも万有引力の法則によって ，惑星の運動や人工衛星の運動を計算する と実測ときわめてよく 一致する結果が得 ら れる.これが運動の第 2 法則の正し いことの験証と考えてよい.

力の単位は ( 2 . 4 ‑ 1)ま たは ( 2.4 ‑2)によってきまる .CGS 制では m =  1 

g ，  A  =  1  c m  c2 をとってそのときの力の大きさを 1 ダイン ( d y n e ，記号 dy n )

~ 2 . 4   力と加速度(運動の第 2法則) 2 7  

として単位に使う. MKS 系またはこれを拡張した国際単位系 S I   ( S y s t を me I n t e r n a t i o n a l  d ' U n i t 吾 s ) では m =  1  k g ，  A  =  1  m  c2 のときの力を 1 ニ ュート

ン ( n e w t o n ，記号 N ) として単位に使う. 1  N  =  1 0

d y n である.

1 つの質点には ，同時にいろいろな原因による力が働くことが多い. たとえ ぼ糸でつるされた質点が重力を受けながら運動するとき(単振り子の場合)に は，質点には重力が地球から働いているのと同時に ，質点をつるしている糸が 質点を引張る向きにこれに力を作用している . そのようなとき，おのおのの物 体から質点におよぽす力は，それらの物体の状態(糸の張りぐあい，帯びてい る電気量 など)によってきまるものである.これらを F l ， F 2 ， ・・・ ， F n としよ う. そうすると ，経験によると ，

1 つの質点にいくつかの力 F l ， F 2 ， ・・・ ， F n が同時に作用する ときには，これらの力をベクトル的に(平行四辺形の方法で)合 成してできる 1 個の力 F が働くのとまったく同じである

ということができる . この F を F l ， F 2 ， ・・・ ， F n の 合 力 とよぶ.

F  =  F l  +  F 2  + ・・. =  L :   F i  したがって ，質点の運動方程式は

mA  =  L :   F i  または，座標軸の方向の成分を使って書けば

E4= _{d t '}   2 X z 

Z _d 3 _t   L = ZY a 

亘子= L :   Z i   d t '  

( 2 . 4 ‑ 3 )  

( 2 . 4 ‑ 4 )  

( 2 . 4  ‑ 5 )  

(2.4‑4) ，  (2.4‑5) が運動の第 2 法則のもっとも 一般的な表現である.

( 2 . 4  ‑ 5 )で

L :   X i  =  0 ，  L :   Y i  =  0 ，  . L :   Z i   =  0  ^{( 2 . 4  ‑ 6 )}  

2 8   2  運 動 の 法Q I J

のとき質点に働く力は つ り あ っ て い る という.そのときは質点の加速度は O である .

~2 . 5 作用・反作用の法則 ( 運動の第 3 法則 )

運動の第 3 法則を述べよう . これは ，質点の質量の定義，この定義を下すこ とのできる経験法則 ( s ^{2 . 3 の最初に述べたことが ら) ，それに第 2 法則を考え}

に入れて導くことができる.

2 つの質点 (質量二 ml . m2) が空間にあって，互いに力をおよぽすためど ちらも↑貫性系に対して加速度 (Al ， A2) を持っているものとしよう . そのとき は， S  2 . 3 で述べたように A

A

は両質点を結ぶ方向にあって，しかも ( 2 . 3 2 ) が成り立つ .第 2 の質点から第 1 の質点におよぽす力を F 2 1 ，第 1 から第 2

におよぽす力を F 1 2と書けば，運動方程式は

m1 A1  =  F 2 1 ，  m2 A2  =  F 1 2   となる . (2.3‑2) によれば

F 1 2   =  ‑ F 2 1  

Al ， A2 が両質点を結ぶ直線の方 向にあることとこの式とをまとめていえば，

2 つの質点の一方が他 方に力をおよぽしているときには ，必 ず 後者も前者に力をおよぼしており ， それらの力は両質点を結ぶ直 線の方向に沿って逆の向きに作用しており ，その大きさは等しい ということができる .力が両質点を結ぶ直線の方向にあることには触れない表 現もある . N e wt o n の P r i n c i P i a では触れていない.後に示すように s ( ^{8 . 4} 

参照) ，質点系の角運動量保存の法則にはこれが必要である ので，ここでこの ことも含めて第 3 法則とした. これが 運 動 の 第 3 法 則 である .一方の 力を 作 用 ，他方の力を 反 作 用 とよぶことがある. どち らを 作用， どちらを反作 用というかは立場によってちがうこともあるがヘ 手が壁を 押 し，同時に壁が

.  どちらでもよいときには，作用 ，反作用のことばは使わないのがふつうである .

~ 2 . 5   作用・反作用の法則 ( 運動の第 3 法則) 2 9  

手を押しているときには，前の方を作用，後の方を反作用というよびかたをす る.一般 的 に い え ば，重 力，電 気 的 な 力 ， 手 で 押 す と き の 力 な ど， その大き さ，方向がはじめからわかっていたり ， または私たちが制御できる力は作用と よばれ，壁の押しかえす力，糸の張力，斜面からの抗力など，考 え て い る 体 系 の持つ束縛条件(固い壁があるとか，長さの一定な糸でつるされているとか，

斜面の上を運動するように束縛されているとかの条件)によって現われる力の 方を反作用とよぶことが多い.

[ 例 1 J  質量 ml ， m2 ，  m3 の物体をつぎつぎに糸で連結して 一直線にして水平な滑 らかな机の上におく . m ，に F の力をこの直線の方向に作用させて全体系を引張ると き，おのおのの糸の張力はどれだけか.

作 "

m ， 

[ 解 J 2.5‑ 1 図のように糸の張力を 5 ， ， 5 2 と する .加速度を a とすれば，

ー ‑ 5 2 s~- 5 ，  s ，  F  m ，の運動方程式 m ， a  =  F  ‑ 5 ，  (  1  )  2 . 5  ‑ 1 図 m2 の運動方程式 m2a  =  5 ，  ‑ 5 2   (2) 

m3 の運動方程式 m3a  =  5 2   (3)  (1) +(2)+(3) 

(1)に代入

(3  )に代入

(m ，  +  m2  +  m3)a  =  F ，  F 

G  ml+m2+m3 

5 ，  ⁼ ‑ ^{‑ ‑ ‑ ‑ . . ! ! ' ! J : . 十} m 3 m ，  +  m2  +  m3 

5 2

  =  ‑ _{一 一} m3  m ，  +  m2  +  m3 

[ 例 2 J 水素原子では +e の電気を帯びた陽子のまわりを ‑e の電気を帯びた電 子が回っている .電子の質量を m とし，これが陽子のまわりを半径♂の円を描い て等速円運動をしているとして，電子が陽子のまわりを単位時間に回る回数 νと a

との関係を求めよ .陽子から電子には e

j ( 4

eoa

の引力が働くものとする . [ 解] 電子の加速度は中心に向かつて

‑ 文字 a は加速度に対して使う の が本書の 記法であるが， 水素原子の 場合，半径に a を使うのがふ

つ う な の でここでもそれにしたが っ た.

3 0   2 運動の法則

。 ^{( 2 ] [ ν} ) 2 =4 π

a 運動方程式は

2  .

t

 ̲2..2 じ 押

1 ・

‑ a = 一一一一一: : : 2

4 7 1 と o a e 

J ) = コーす

7 2 一寸i2: τ

m ε : o ' ‑ a  

[ 例 3 J 単位長さの質量，すなわち線密度が σ の糸が半径 r の円形の輸をつく

.

‑ . ̲ . ̲ . ̲ . ‑ ・

・ ̲ . . . ̲ ‑ ‑ ‑ ‑ ̲ . . ̲ . . ‑ ・

・

・

・

・

・ ̲ . . ̲ ‑ ‑ ̲ . ̲ . ̲ ‑ ̲ . ̲ . ̲ . ̲ ‑ ‑ ・

・ ̲ . ‑ ・

・ ̲ . . ̲ . . ̲ . . ̲ . . ‑ ・

・ ̲ . . 

j  ニ ュ ー ト ン ( Isa 川 明 肌 1 叫 問) ! 

l 余 談

Newton の伝記については，多くの本に書かれているので，ここで くり返すの j 

i は避けよう .ここでは今日の力学の教科書の基礎になっている「プリンキピア J j 

j の運動の法則 を Motωajori の英語訳* から掲げておこう j 

LA  WS  OF  MOTION 

;  は叩山… 削 … I 旧 m O 側 ω M

LAW  1 

E v 的 同 c o n t i n u e si n 偽 s t a t e 0 /   r e s t ，  o r   0 / 閥 的 rmm o t i o n  i n   a r 忽 h tl i n e ，  u n l e s s   i t お c o 柳 刷 t o c 加 昭 t h a ts t a t e り か c e s im 炉 e s s e du p o n  i t .  

; … !   _{s e d} ^Th _;   ^e  _and ^{c h ω a ? η} _{ゐ 仰d} ^{z g e   0 /}   _e ^m _{i n} ^{o t i}  

伽 d i r e c t i 仰 ザ 伽 勾 h tl i n e  i n  w h i c h   t . 加 t か c e

; ぬ ^{impressed ;} 

LAW  I I I  

m u t u a l  a c t i o n s  0 /   t w o  b o d i e s ゆ one a c h  o t h e r  a r e  a l w a y s  e q z ω1 ，  and  d i r e c t e d ω 仰 向 ημ r t s

プリンキピア」刊行以来 3 0 0 年の間 ， わずかの変形はあってもほとんどすべて ! 

i の物理学の教科書はこれにしたがって力学理論を展開している . N ew ton の偉大 ;

!  さをあらためてみる思いがする ! 

! ・ S i r! s a a c  Newton: PRINCIPIA ，  Mott e ' s   Tr a n 山 t i o nR e v i s e d b y  Ca j o r i   (U n i v .   o f   Ca l i f o r n i a ，  1 9 7 4 )  Vo l .   ! ，  1 3 ページ(日本語訳，中野猿人: I アイザツク ・ ニュートンプリン i 

i  シビア」自然哲学の数学的原理(講談社. 1 9 7 7 )   2 9 ページl.

. ̲ . ・

・ . . ̲ . . ̲ . . ‑ ・

. . ・ ̲ . . ‑ ・

. ・ ‑ ・

・ ̲ . . . ̲ . . ‑ ・

・

・ ̲ . ‑ ・ ‑ ‑ ̲ . . ̲ ‑ ‑ ‑ ̲ . . ‑ ・ ‑ ' ‑

第 2 章 問 題

り ， その平面内で一定角速度 ω でくるくる回っている .糸 の張力を求めよ .

[ 解] 糸 の 小 さ な 部 分 AB を考える . AB が中心 O でつ くる角を 2 8 とする . AB の長さを L 1 s とすればその質量は σ L 1 s . 糸の張力を S とし， AB の部分に着目すれば， A と B

とで接線の方向に作用している . この 2 つの力を合成するの には ， AB の 中点を C として C か ら O に 向 か う 成 分 を つ くって加え ればよい . 2S  s i n  8 となるが，。は小さいか ら 2S θ となる .

3 1  

2 . 5   ‑ 2 図

AB の部分はこの力によって O のまわりに等速円運動を行うのであるか ら，運動 方程式は

σ L 1 s ・ 7ω2=  2S8  L 1 s  =  2r8 を入れて，

S= σ r

ω σ V

，  V:  糸の速さ

第 2章 問 題

1 .   滑らかな水平面上にある板(質量 M) の上を人(質量 m) が板に対して加速 度 a で歩くとき，板は水平面に対してどのような加速度を持つか. また，人と板

とが互いに水平におよぽしあう力はどれだけか.

2 .  水平な滑らかな床の上に一様な鎖(質量 M 長さ l ) を一直線においてその一端 を一定の力 F で引張る .鎖の各点での張力を求めよ.

3 .  惑星が太陽から惑星の質量に比例し ，太陽からの距離の 2 乗に反比例する引力 を受けて太陽のまわりを円運動を行うものとする . いろいろな惑星が太陽のまわり を回る周期 T と ，円運動の半径 a との聞には

手 = 惑 星 に よ ら な い 定 数

の関係があることを示せ.この関係はケプラーの第 3 法則 ( ( 6 . 2 ‑ 1 7 ) 式参照)に 相当する .

4 . 太陽系は銀河系の中心から 3 0 0 0 0 光年の距離で，およそ 2 5 0km  S ‑ l の

30000 光年』

;::~~'.;'，:.‘品    、J口.:'

ぶ'/;i，i止、汚弐~.i，辛与主説~~芯j~.~伝F 訟 ~::ι~}.行:μ言柁メ♂う 3 予又'.:

};:ぞ午";，，\ω;

太陽系

‑ 一一一 50000 光年一一一+

3 2   2 .運動の法則

速さで銀河系の中心を 中心として等速円運動をしている .銀河系の形は図のように なっており，太陽系は銀河系の各恒星からの万有引力を受げている .銀河系の恒星 は空間に散らばっているが，大ざっぱにいって太陽系に働く力は，銀河系全体の質 量がその 中心に集 中していると考えても大体の程度のことはいえるであろう .太陽 のまわりの地球の運動の速度は 3 0 . 0k ^mc

として，銀河系の総質量と太陽の質量 との比を求めよ .

5 .  中性子星とよばれる星は中性子が万有引力によって結びつけられたもので，原子 核と同様な密度(およそ 1 0

g  c m‑

を持つ.中性子星は球形で， 自転している

として ，赤道で中 性子が飛び去らないための回転の周期の最小値を求めよ .

3 3  

3  ^{簡 単 な 運 動}

~3.1 落 体 の 運 動

地球の表面の近くで物体(質点とみなす)を静かに放すと下向きに落ちる . 上向きに投げても ，下向きにつき落としても ，質点の持つ加速度は下向きに向 かっていて ，どの場合でも下向きの速度が増加してゆく .鉛直上方 E 

に y 軸をとり ，適 当 な 高 さ の 点 ( 地面とか床とか)を原点 O にと る.質量 m の質点を ， この y 軸上で運動させる .質点はとにか く 下向きに加速度を持っているのであるから ，地球から質点に，下向

きに力が働いていることは確かである . この力の大きさを W とし よう .そうすると，運動方程式は

m 互 2 y̲  U l 

d t

( 3 . 1 ‑ 1 ) 

G a l i l e i が実験で確かめたところによると ，質点の持つ加速度は，

運動中変わることなく一定で，しかも ，その加速度の値は物体によ

ηz 

w 

O  3 . 1 ‑ 1 図 物体に働 く 重力

らずどのような物体でも同じ値を持つ. この最後に述べたことは，非常に注意

しなければならないことである . もともと ，物体が↑貫性，したがって質量を持

つということと ，地球が物体を引張るということ(これは後に第 5 章，第 6 章

で述べる万有引力の特別な場合である)とはまったく独立なことと考えられる

のであるが，ガ リレイの実験によると ， ( 3 . 1 ‑ 1 )で加速 度 d

y / d t

が物体 に

よらないというのであるから，慣性質量 m と重力とが比例していなければな

らないことになる . このことは今日のところ 1 0 ‑

_{の精密さで確 かめられてい}

3 4   3  簡単な運動

る(~ 6 . 5 参照).これを

w

mg

と書くことにしよう . ( 3 . 1  ‑ 1 ) に入れれば運動方程式は

( 3 . 1 ‑ 2 )  

o d  

y 一

r 一 的 ( 3 . 1 ‑ 3 )  

となる.この式は ， ( 1 . 4 ‑ 8 ) と同じ形の方程式(微分係数を含んでいるから 微分方程式)である . ~ 1 .   4 で は ( 1 . 4‑6 ) か ら ( 1 . 4 ‑ 8 ) を求め， ( 1 . 4‑ 6 ) 中 の定数 a ， b ，  C の意味もしらべたのであるが， ここでは ( 3 . 1 ‑ 3 ) から運動を求 める手続きをたどろう .力学ではこのような種類の問題，すなわち ，運動方程 式が微分方程式の形で与えられて， これから積分によって運動を求める問題が 多い.物理の一部としての力学では，力学的現象が与えられてから ，運動方程 式を立てるまでの思考が大切で，運動方程式を解くことは数学的過程(場合に

よっては計算機でもできる)と考えてよいことが多い .解が得られたら ，これ を物理的に解釈しなければならないことはもちろんである . ~ 1 . 4 でト行った方 法の逆で，定数の意味を求めるところなど似たところがあるから ， くわしい説 明は抜きにして進むことにする .

( 3 . 1  ‑ 3 ) を積分すれば

生こ=‑ g t   +  c ，  C:  定数

d t  ( 3 . 1 ‑ 4 )   いま ， t  =  0 で tE=uo ，つまり初速度を Vo とすれば ( 3 . 1 ‑ 4 ) で t =  0 とお

d t   いて，

Vo  =  C 

したがって， ( 3 . 1  ‑ 4 ) は d y / d t = ^速度 = V とおいて，

=生二 Vo‑ g t 

d t   ( 3 . 1 ‑ 5 )   ( 3 . 1  ‑5 ) をもう一度積分して

y = ω ‑ tg h c ' ，  c r :   定数 ( 3 . 1 ‑6 ) 

投げ出したときの位置を原点 O に選べば， ( 3 . 1 ‑ 6 ) で t =  0 とおいて，

S  3 . 1   落体の運動 3 5  

0 =  c '   したカまって ，

y = ω‑tgt2  ^{( 3 . 1 ‑ 7 )}  

となる . ( 3 . 1 ‑ 5 ) ，  ( 3 . 1 ‑ 7 ) から t を消去すると ， y と U との関係式

V2 

= 

^{2gy  ( 3 . 1  ‑ 8 )}  

となる

( 3 . 1 ‑ 5 ) をみると ， Vo  >  ^{0 ，つまり} ，はじめ上に投げたときには ，時間が たつにつれて速さが小さくなり ，ある時刻 t

で V = o ^{になることがわかる .}

t

は ( 3 . 1 ‑ 5 ) から

t

=  ^Vo  _g  ^{( 3 . 1 ‑ 9 )}  

によってきめら れる.そ のときの高さは ( 3 . 1 ‑ 7 ) に ( 3 . 1 ‑ 9 ) を入れて，

yl 二生三

2g  ( 3 . 1  ‑ 1 0 )  となる .これが最高点の高さで，質点はこの後には落下してゆく .そのときで も運動方程式 ( 3 . 1  ‑ 3 ) はそ のまま 成り立つのであ るから ， ( 3 . 1 ‑ 5 ) ，  ( 3 . 1 ‑ 6 ) ，  ( 3 . 1 ‑ 7 ) の各式もそ のまま成り立つ.

質点、が滑らかな斜面を滑る場合を考える .斜面上の 1 つの点 O を原点とし，

斜面に沿 って下向きに x 軸をとる.質点に 働 く 力は， まず重力 mg が鉛直下方に働くほ か，斜面から質点に力が働く . この 力は，斜 面が滑らかなときにはいつも斜面に直角であ る . こ れ を 斜 面 か ら の 抗 力 ま た は 束 縛 力 とよぶ.斜面の傾きを O ^{とすれば，重力}

mg の 斜 面 の 方 向 (x 軸 の方向)の成分は ⁸  mg  s i n   e ^{であるか ら} x 方向の運動方程式は

U 

3 . 1  ‑ 2 図 斜 面 上の運動

• ( 3 . 1   ‑ 8 ) はよ聞が + ^{mgy  =}  +mvo' ₂ 

と書い

t~ 方が力学的エネノレギー保存の法則(第 5 章)と

' .... 

関連して記憶するのに便利である .

3 6   3  簡単な運動 d

x 

m  _d

_t

_"

mgs

m σ  ^{( 3 . 1 ‑ 1 1 )} 

y 軸の方向については，いつも y = o で d

y / d t

も O であり ，重力の成分は mg  cos  e ^{であるから ，}

0 =  N  ‑ mg  cos  θ  ( 3 . 1  ‑ 1 2 )   ( 3 . 1‑11 ) から

X 一

d 一 d ( 3 . 1  ‑ 1 3 )  

したがって ，質点の加速度の大きさは一定で，斜面に沿って下向きに向いてい る.ただ，自由落下のときにくらべて s i n θ がかかっているだけ小さくなって いる. ( 3 . 1  ‑1 2 ) は N を与える式で N =  mg  cos  e である . ( 3 . 1 ‑ 1 3 ) から ，

x を時間 t の関数として求めることは自由落下のときと同様であるから省略し よう .

重力加速度 gの値は地球上の場所によってちがうが，大体

g  =  9 . 8 0   m  c2  ( 3 . 1  ‑ 1 4 )   としてよい.重 力 加 速 度 と し て は ふ つ う こ の 値 が 使 わ れ る . 斜 面 に す る と ， ( 3 . 1 ‑ 1 3 ) からわかるように，加速度の値が ( 3 . 1 ‑ 1 4 ) の値よりも小さくなる から ，測定につごうがよくなる . Ga l i l e i が斜面を使ったのはそのためである.

自由落下の場合にかえって ，空気の抵抗があるときを考えよう.一般に物体が空気 中を運動するときには空気からこの物体に運動をさまたげる力が作用する . これが空 気の抵抗で，速さがあまり大きくないとき(音の速さより小さいとき)にはつぎの 2 つの原因によって抵抗が起こると考えられる.

(a) 物体が動くにつれて運動する空気の部分の物体に触れているところ，いくら か離れているところなどで，空気の速度がちがうが，空気の粘性によって物体の運動 をさまたげる力が現われる. この抵抗は物体の速さに比例する.

(b)  物体が空気中を動くとき ，いままで静止していた空気に，急に運動を起こさ せる.空気の動き出す速度は物体の速度の程度で，そのような空気の質量は物体の速 度に比例している.物体は空気を押すのであるが，その反作用として空気から抵抗を 受ける .この抵抗は物体の速さの 2 乗に比例する大きさを持っている .

物体が空気中を動くときばかりでなく，水のような液体中を動くときも同様な抵抗

を受ける .

~ 3 . 1   落体の運動 3 7  

速度が小さげれば抵抗は速さに比例する . つまり ， 上に述べ た ( a  )の効果だけが現われる .質点の質量

を m，抵 抗 を kmvとし，鉛 直 上 方 に y 軸 をとろう a  ( 3 . 1  ‑ 3 図).上方に運動するときを標準にとって運 ￨ ↑

動方程式を立てる .

g  E 

制U

M m  

・ ‑ ‑ ‑ A

・

︐ 

制ν

m 五 旦 ‑ mg  ‑ km v. 

d t   ( 3 . 1  ‑ 1 5 )  ^{mg  mg}  質点はいずれは下 に向けて落ちるのであるが， そのと

きには ， v  <  0 で抵抗力 は上向きに k m l v lとなる . し たがって ，運動方程式は

v>O  v<O  3 . 1 ‑3 図抵抗が速度に比例

m  ~~ d t   =  ‑ mg  +  km  I  v l  

となる . v  <  0 であるからこの式は ( 3 . 1 ‑ 1 5 ) に一致する .つまり ，速 さに 比 例する抵抗が働くときには，質点が上向きに運動していても ，下向きに運動し

ていても ，運動方程式は ( 3 . 1 ‑ 1 5 ) で与え られる . それゆえ ， これから出てく る式はどれも質点が上昇，下降する全範囲を通 じて成り立つ .

( 3 . 1  ‑ 1 5 ) から

d 巳 ー =‑ d t   g  +  kv 

積分して，

t l o g(g+hu)

t  + ^定数

したカ f って

g  +  k v  =  c e ‑

，  c  :  定数

t  =  0 で v =  v o とすれば

g  +  k v o

C

これを上の式に入れて v について解けば

‑ 加速度として宅千を使ってもよいが速度と時間の関係も問題となるので生を使っている. d t 2 

1 . . 1 ̲ . ‑ ' ' ' ‑ ' 

d t 

3 8   3  簡単な運動

v= ーす+ (  ^{v o}   +  ~) ^{e ‑}

^{( 3 . 1 ‑ 1 6 )} 

となる.これが，任 意の時刻での速度を与えるものである . また ， v  =  d y / d t  

であるから ， これを ( 3 . 1 ‑ 1 6 ) に入れて積分すれば，

y=‑ft‑: _k (

0+ 旦 ) ^{e ‑}

ル

h¥ kJ V 

となるが， t  =  0 で y =  0 とすれば

=  ‑ _{~ k  ( ¥  vo}

+ _，  ^旦 _kJ  ) +c

となる . これからどを出して y の式に入れると ，

y =‑f t+ 士 ( ^{v o   +}  ~ )( ^{1  ‑ e ‑}

^{( 3 . 1 ‑ 1 7 )} 

となる . ( 3 . 1  ‑ 1 6 ) を図に描いてみると 3 . 1 ‑ 4 図のようになる . v o   >  0 ， つま り ， は じ め 上 向 き に 投 げ た と き に

Vo 

O  ^t ， 

は ， ( 3 . 1 ‑ 1 6 ) にしたがって速度は しだいに小さくなり ，

H

一 一二 一一一一一一一一

t 

t 叫 + ;  ^{v o )  ( 3 . 1  ‑ 1 8 )} 

で v =  0 ，つまり最高点に達する . それからは落下して速さはしだいに 増してゆく . しかし，速さは ( 3 . 1

Vo 

3 . 1  ‑ 4 図 抵 抗 が 速 度 に 比 例

より大きくはならない.

1 6 ) で t = ∞ とおいて f 尋られる 一 . f L

U ∞  h  ( 3 . 1  ‑ 1 9 ) 

はじめ大きな速さで下に向けて投げるときには ， 3 . 1 ‑ 4 図の下の曲線に示 すように ，質点の速さは空気の抵抗のため，重力が働いているにもかかわらず 速さが小さくなり ，やはり ( 3 . 1 ‑ 1 9 ) の μ という値に近づいてゆく . V o o を 終 り の 速 度 とよぶ.

抵抗が速さの 2 乗に比例するときには，上向きに運動するときと下向きに運

~ 3 . 1   落体の運動 3 9  動するときと で ， 運動方程式がちがう .

上向 きのとき : m 互 立 ‑ mg  ‑ mk v

d t   ( 3 . 1 ‑ 2 0 )  下向 きのとき : m 互 主 d t   ‑ mg  +  mkv

( 3 . 1 ‑ 2 0 ) '  

である . したがって ， はじめ下向 きに投げるときは式 ( 3 . 1 ‑ 2 0 ) ' だけでよい が，上向きに投げるときには ， まず ( 3 . 1‑ 2 0 ) を使って ， これを積分し ，最高 点に達した後には ( 3 . 1 ‑2 0 ) ' を使わなげればならない .

上向き ，下向きの場合を 1 つの式で表したいときには

m  ~~ =  ‑ mg  ‑ mk v l v l  ( 3 . 1 ‑2 1 )   d t  

コンビュータを使うときには I v l を， たとえば ABS( V)とすればよい .

t  =  0 で v =  v o   >  0 という初速度で投げたときには ， ( 3 . 1  ‑ 2 0 ) を解い て

v=J4  j Zuo‑ t a n ( 3 t )  

‑V  k  1  +  v _o / 1 ; ^{叫 ぶ t )}

v= O ^{になる時刻，すなわち ，最高点に達する時刻} t ， はこの式の分 ( 3 . 1 ‑ 2 2 ) 

となる .

子が O になる t の値で，

t ，

7jF t a n ‑ l ( JZ ^{仇 ( 3 . 1 ‑ 2 3 )} 

となる . これから先は ( 3 . 1 ‑ 2 0 ) ' を使わなければならないが， t れ で v=

O という条件で ( 3 . 1 ‑ 2 0 ) ' を解くと

v  =  ‑ I f ^{t a n h   [ M ( t  ‑ t ， ) ]} 

となる . t  → ∞ にすれば終りの速度が得られる *

( 3 . 1‑ 2 4 )  

庄 日 _{( 3 . 1  ‑ 2 5 )} 

. 終りの速度だげを求めるのならば，運動方程式で加速度= o . ^{つまり ，} 重力と抵抗力とがつりあっ

ているとして求められる . ( 3 . 1 ‑ 2 0 ) ' で d v / d t =  0 とおいて V o o =  ‑ . / 9 T l i . 同様に，抵抗が速さに

比例するときには ( 3 . 1 ‑ 1 5 ) で d v / d t =  0 とおいて voo=‑ g / k

4 0   3 . 簡単な運動

[ 例] 空気の抵抗が速さの 2 乗に比例する場合，物体を静かに落としたとき / i f i t が 1 にくらべて小さくてその 3 次以上の項を省略できるような時間内の速さと t との 関係，落下距離と t との関係を求めよ .

[ 解] ( 3 . 1 ‑ 2 4 )で下向きに U を正にとり ， t ，  =  0 と おけば v  =  fttanh ゆ t ) / i f i t が 1 にくらべて小さいとしてこれを展開すれば，

fτ ~ .fiik t  ~

‑ . f i i k  

、

一 一 一一

v= 、 す ;JEIHLJEFt=gt i l ーす却 t

これを積分すれば

=  ₂  ~ ^g _{" .} ^{t   2  ̲}  ， ₁ 1 " ₂     kg _{， . "}   2 t' 二~ _{.  ‑ 2}  ^g _{" .} ^{t2    (}  _¥  ¹

^{一 ihg} _{6  ， . " .}   パ _/ 

~3.2 放物運動

一様な重 力のあると ころで，水平とある角を つ く る 方 向 に 投 げ ら れ た 物 体

(質点とみなす)の運動をしらべよう . まず，空気の抵抗を無視してよい場合 を考える .任意の瞬間に質点 P に働く力は，鉛直下方に大きさ mg の重力が 働くだけで水平方向には力が働いていない.水平に x 軸 ，鉛 直 上 方 に y 軸を

V 

とれば ( 3 . 2 ‑ 1図)，運動方程式は m ‑ ‑ du  ‑ ; J t ニ

m~=

dv  ‑ mg  d t  

( 3 . 2   ‑ 1 )  ( 3 . 2‑2) 

x  である.これらの式はたやすく積分できる .

t  =  0 で ， 水 平 と ん の角をつくる方向に V o 3 . 2   ‑ 1 図 放 物 運 動 の速さで投げられたとする .初期条件は

t  =  0 で x =  0 ，  y  =  0 ，  U 日 c o s

，  V  = 日 s i n

。

である . ( 3 . 2 ‑ 1 ) ，   (3.2‑2)を tについて積分すれば，

U  =  C "   V  =  ‑ g t   +  ^C2 

初期条件を入れて，

~ 3 . 2   放物運動 4 1  

Cl  =  V

COS  ， 1

，  C2  =  V

s i n   ， 1 。

したがって，任意の時刻での速度成分 U ， V は

u  =  V

COS  ， 1

，  V  =  V

s i n   ， 1

g t   ( 3 . 2   ‑ 3 )   u  =  d x / d t ，  v

d y / d t を (3.2‑3)に入れて積分する.初期条件を考えに入れ て積分定数をきめれば

x= 日 t c o s 九 y= 竹 内 iM‑ht2 ^{( 3 . 2 ‑ 4 )}  

これが任意の時刻での質点の位置である .

( 3 . 2  ‑ 3 ) ，  ( 3 . 2  ‑ 4 )で任意の時刻での位置と速度がきまったのであるから ，質点 の運動の時間的経過は t の関数として一義的にきまったのである .こ のことは，古典 力学では一般的にいえることで， 1 つの質点に働く力が位置の関数として与えられて いるならば，その質点の将来の位置と速度とは，ある時刻(たとえば t =  0 ) での状 態によって一義的にきまってしまう 事 . これを古典力学の 因 果 律 とよぶ.

質点がいまの場合のように ( x ， y) 平面内で運動するときには，運動の時間 的経過のほかに，どのような軌道(径路)を描くかということが問題になる . それには， (3.2‑4)の 2 式から t を消去して x ， y の関係式を求めればよい.

第 1 の式から tを出して第 2 の式に代入すれば

可

‑ z

y  =  x  t a n   ， 1

ー す gwC052Ao ^{( 3 . 2 ‑5)} 

となる . x=o で y=o であることはあたりまえであるが，飛んでいってもう 一度 y=o になるところ，つまり ，放 射 距 離 R は ， ( 3 . 2  ‑ 5 ) で x =  R ， y  =  O として， 0 でな い方の解を求めればよい.

R= 子山 ^{( 3 .2‑ 6 )}

となる V

を一定 に し て お い て ， ん を い ろ い ろ と 変 え る と R が変わる . ， 1 。

=π/4 のとき，水平面上一番遠くまで達する .

[ 例] 1 点 Oから初速度 Vで石を投げ，水平距離 X.Oからの高さ y の点 Pに当 てるのにはどのような方向に投げればよいか.

[ 解] 求める方向と水平のつくる角を A とする .P に当たるまでの時間を t とす

任意の数の質点か ら 成り 立つ体系の場合にも同様に成り立つ.

4 2   3  簡単な運動

れば

x  =  Vt  c o s   A .   y  =  Vt  s i n   A  ‑ ~ ^{g t}

t を消去すれば，いくらか変形した後， A を求める式として，

を得る . これから

t a n リ ー 立 _gx  : t a nA+l+ 立 与 _gx  =0

tanA  a n l 1   =  ₌ ~:t _一一ー gx  _士 ‑ ./+す _. v  _/- g ‑ _{~ -τ} x ‑ _- 1  一 2vv 一 g 一 x ‑ 一 この式を満たす A のうち ‑ 2 ~ ~ 一 一 ^A  ~ 互の範囲にあるものをと 2 っ て，

A l  

=  =  t t a a n n ‑ ‑

'  ( { 丘+./乙 ‑ ' ‑ +  . /  ‑ ‑ T ‑ ， ‑‑ ‑1‑ 1  ‑ 立 制

J  a ¥ g x  V  g . x .   g x ‑ /  λ 2 _"   =  t a n ‑

( _¥g 笠 _x  ‑ J _v  ^工 _{g . x .} ^{す   ト 立} _{g x} ² _{一 /} ^{; )} 

平方根の記号の中の式が負になると A の実数値は存在しない.そのときは，初速度 V でどのような方向に投げても P 点に達するようにすることはできない.その境界 の曲線は

2 0 0 m 

初速度 40  m 

3 . 2   ‑ 2 図

y ー _‑2'9‑ ヱ _U' ^{̲ g ̲} _{2  X} 

で，p点がこの放物線の外側にあるとき は石は届かない. p がこの放物線の内側 に あ れ ば， 2 通り の角 ん ， ん が あ る .p  が上の放物線上にあるときはん， ん が 一 致して A は 1 通りしかない. このことは 図に描いてみるとす ぐ わかる

放物運動で空気の抵抗が速度の 2 乗 に比例する場合を考えよう .石 を 投 げ たり ，野球の球を飛ばすときがこれに 相 当 す る と 考 え ら れ る .速 さ が V の ときの空気の抵抗を mkV

とする .運動方程式は ( 3 . 2 ‑ 3 図参照)

‑ く わし く は，山内 ・ 末岡編:大学演習「力学 J (裳華房，1 9 8 0 )  6 1 ページを見よ .