— 極小曲面論入門 — 曲面の変分問題

曲面の変分問題

—

極小曲面論入門

—

「さきがけ数学塾」

2011.3.7 – 3.9

小磯深幸

(

九州大学大学院数理学研究院

& JST

_さきがけ

)

概要 面積の極小値や臨界点を与えるような曲面を極小曲面という．極小曲面は，その 問題の自然さから，古典的な課題でありながら現在も活発に研究されており，数学内外 への応用も多い．本講義では，

3

次元ユークリッド空間内の極小曲面について，基本的 かつ重要なトピックスを選んで解説する．さて，与えられた枠で張られる極小曲面につ いて調べるという問題は，

Plateau

問題と呼ばれている．第

1

節では，極小曲面論及び

Plateau

問題の研究の歴史を概観する．第

2

節では平面曲線の曲率，第

3

_{節では空間の}

曲面の曲率について説明し，極小曲面を平均曲率が至る所

0

である曲面として定義する．

第

4

節では，平均曲率が至る所

0

であることと，面積の臨界点であることが同値である ことをみる．第

5

節では，極小曲面に，等温座標と呼ばれる有用な表示を与える．これ を用いて，第

6

_節では，

Weierstarss-Enneper

の表現公式と呼ばれる極小曲面の表現公 式を与える．極小曲面は，正則関数と有理型関数

(

正則関数も有理型関数も，大雑把に 言えば，複素数を変数とし複素数を値に持つ関数で，この複素変数について微分可能な 関数のことである

)

の積分を用いて表される．この公式は，極小曲面の性質を調べるの にも例を構成するのにも大変有用である．さらに，複素解析学的な手法を用いて得られ る極小曲面の重要な性質のいくつかを紹介する．第

7

節では，極小曲面が面積極小であ るための条件を求める．この課題は比較的現代的なものであり，解析学を本質的に用い る必要がある．第

8

節では，極小曲面に対する最大値原理と呼ばれる有力な方法を述べ，

その応用として，複数個の単純閉曲線を境界に持つ連結な極小曲面についての非存在定 理を求める．第

9

節では，極小曲面の研究についての現状や課題について，ほんの少し だけ述べる．

なお，本講義中のいくつかの話題は，高次元空間内の極小超曲面や極小曲面に対して 一般化されるが，簡単のため，主として

3

次元ユークリッド空間内の極小曲面について 述べる．

また，この講義で扱う関数はとくに断らない限り何回でも微分可能であるとする．

目次

1

_{極小曲面論の歴史}

—

_古典的

Plateau

_{問題を中心に}

—

1.1 Plateau

_{問題とは何か．古典的}

Plateau

_{問題誕生前後の歴史}

1.2

_古典的

Plateau

_{問題の解の存在}

1.3

_古典的

Plateau

_{問題の解の一意性}

1.4

解の安定性（面積極小か否か）

1.5

_{安定な極小曲面の個数}

1.6

平均曲率一定曲面に対する

Plateau

_問題

1.7

_一般化

2

_{平面曲線の曲率}

3 R ³

_{内の曲面の曲率}

3.1

_第

1

_基本形式

3.2

_第

2

_基本形式

3.3

_第

1

_，第

2

_{基本形式の図形的意味}

3.4

_{曲面の曲率}

3.5

_例

(

_回転面

)

4

極小曲面の定義と変分問題の解としての特徴付け

4.1

極小曲面の変分問題の解としての特徴付け

4.2 Plateau

_問題

5

極小曲面の等温座標表示

5.1

_等温座標

5.2 Gauss

_写像

5.3

_調和関数

6 Weierstarss-Enneper

_{の表現公式}

6.1

_正則座標

6.2 Weierstrass-Enneper

_{の表現公式}

6.3

_{随伴極小曲面}

6.4

極小曲面に対する鏡像の原理とその応用

6.5

_{極小曲面の}

Gauss

_写像と

Gauss

_{曲率についての補足}

7

_面積の第

2

_{変分公式と安定性}

7.1

_面積の第

2

_変分公式

7.2

_{極小曲面の安定性}

7.3 Gauss

_{写像の像と安定性}

8

最大値原理と非存在定理への応用

8.1

極小曲面に対する最大値原理

8.2

極小曲面の非存在について

9

_おわりに

参考文献

1

_{極小曲面論の歴史}

—

_古典的

Plateau

_{問題を中心に}

—

1.1 Plateau

_{問題とは何か．古典的}

Plateau

_{問題誕生前後の歴史}

針金を使って閉じた曲線を作り，石鹸液の中にひたしてからそっと引き上げてみよう．す ると，針金の枠に石鹸の膜が張るのが見られる．このような，石鹸膜がモデルとなるよ うな数学的概念を極小曲面と言う．また，シャボン玉

(

_{空気を包む石鹸膜}

)

_{がモデルとな} るような数学的概念は，平均曲率一定曲面と呼ばれている．石鹸膜は非常に薄いのでそ の重さを無視すれば，表面張力の作用により，それ自身に近い曲面と比べてできるだけ 面積が小さい形になる．つまり，面積極小になる．

同じ針金枠を張る

2

_{種類の石鹸膜}

(

_{どちらも向き付け可能}

)

同じ針金枠を張る石鹸膜

(

左：向き付け可能，右：メビウスの帯型．向き付け不可能

)

さて，空間の中に与えられた閉曲線

Γ

_に対し，

Γ

_{で張られる}

(Γ

_{を境界にもつ}

)

_曲面 全体の成す集合を

S

とおこう．

S

は無限次元である．

S

に含まれる曲面

X

_に対し，

X

の面積を

A(X)

_{で表そう．すると，}

A

_は

S

から

0

_{以上の実数の成す集合}

R ⁺

_{への写像で} ある．このような「無限次元空間上で定義された『関数』」を汎関数という．

A : S → R

は面積汎関数と呼ばれる．汎関数に対しても，「微分」を定義することができる．面積汎

関数

A

_の微分が

X

_で

0

_{になるとき，}

X

_{を極小曲面という．}

(

極小曲面の厳密な定義は 第

3

_{節で与える}

^∗

_．

)

このような概念が初めて文献に現れたのは，

1762

_{年にフランスの数学者}

J. L. La-

grange

_{が彼の論文}

^∗

の中に「与えられた閉曲線を境界にもつ曲面全体の中で面積最小の

ものをみつけたい」と書いた時である．

Lagrange

_は，

(x, y)

平面の領域上で定義された 関数

f(x, y)

_のグラフ

z = f(x, y)

の形で表されている曲面が極小曲面であるために関数

f

_{が満たすべき条件}

∂

∂x

f _x 1 + f _x ² + f _y ²

+ ∂

∂y

f _y 1 + f _x ² + f _y ²

= 0 (1)

を導き

^†

，例として平面をあげた

^‡

．一方，

L.Euler

_{は懸垂曲面}

x ² + y ² = a

2

e ^z/a + e ^−z/a

, (a > 0)

が面積最小曲面の例であることを証明した．

1776

_年に

J.B.M.C.Meusnier

_は

(1)

_{と同値な式}

1 + f _y ²

f _xx − 2f _x f _y f _xy +

1 + f _x ²

f _yy = 0 (2)

を導いた．これは今日，極小曲面の方程式と呼ばれており，極小曲面論において基本的 なものである．また彼は，

(2)

_が，曲面

z = f(x, y)

_{の平均曲率}

^§

_が

0

_{であることと同値} であることを示し，この事実により，その後，平均曲率が至るところ

0

_{であるような曲} 面が極小曲面と呼ばれるようになった．さらに，常螺旋面

y

x = tan(az), (a = 0)

が

(2)

をみたすことを示した．

懸垂曲面（左），常螺旋面（右）

∗「面積汎関数

A

_{の微分が曲面}

X ∈ S

で

0

になる」という性質は，平均曲率と呼ばれる曲面の曲が り具合を表す量が

0

であるということと同値であることがわかる．実は，「平均曲率が至るところ

0

_であ る」という性質を満たす曲面を極小曲面と定義するのである．一方，「平均曲率が至るところ一定である」

という性質を満たす曲面を平均曲率一定曲面という．

∗

Essai d’une nouvelle m´ ethode pour d´ eterminer les maxima et les minima des formules int´ egrales ind´ efinies

†

f

の右下の添字は当該の変数での偏微分を表す．

‡全平面で定義されたグラフ

z = f (x, y)

で極小曲面であるものは，平面のみである．

§平均曲率の定義は第

3

節で与える．

このころ，極小曲面を関数として具体的に表すことや，新しい例をみつけるための研 究が盛んになされたようである．あるいは，

Lagrange

が与えた「与えられた閉曲線を境界 にもつ曲面全体の中で面積最小のものをみつけたい」という問題を解こうとしたのかも知 れない．

G.Monge

_が

1784

_{年に，次いで}

A. Legendre

_が

1787

_{年に，後に}

S.F.Lacroix

_，

A.M.Amp´ ere

，その他の数学者達が，

(1)

を積分することにより，極小曲面を複素解析関 数を用いて表す公式を得たが，これらは新しい極小曲面を得るのには有効ではなかった し，

Lagrange

の問題を解決するのにも有効ではなかった．

1816

_年に

J.D.Gergonne ^¶

が次のような具体的な問題を提起し，それは数学者達の極小曲面に対する関心を高めた．

(i)

２つの同じ半径の円柱の交わりで張られる曲面の中で面積最小のものを求めよ．

(ii)

空間の四辺形で張られる曲面の中で面積最小のものを求めよ．

(iii)

与えられた２つの円を通る曲面の中で面積最小のものを求めよ．

19

世紀に極小曲面を求めるための道具として知られていたのは複素解析的な方法だけ であり，与える境界としては直線，円，多角形等だけしか扱うことができなかったので ある．

1832

_年，

1835

_年に

H.F.Scherk

_が

z = log _e

cos y cos x

を含む

5

つの新しい極小曲面の例を得た．

1855

年頃から極小曲面の研究は非常に盛んに なり，

O.Bonnet

_，

J.A.Serret

_，

B.Riemann

_，

K.Weierstrass

_，

A.Enneper

_，

H.A.Schwarz

他の数学者により，多くの新しい結果を得た．彼らは，極小曲面の例の構成，表現公式 の導出，与えられた直線や円や多角形を境界にもつ極小曲面の構成やその性質の研究な ど，多くの新しい結果が得られた．

Scherk

_{の極小曲面（左），}

Enneper

_{の極小曲面（右）}

¶

Questions propos´ ees, Ann. Math´ em. p. appl. 7 (1816)

たとえば，

Riemann

_{は，前述の問題}

(iii)

_{の研究から，現在}

Riemann

_{の極小曲面と} 呼ばれている曲面の族を発見した．なお，円の族によって構成される曲面（管状曲面と いう）で極小曲面であるものは，懸垂面と

Riemann

の極小曲面だけである．

Riemann

_{の極小曲面}

ところで，

Lagrange

の問題「与えられた閉曲線を境界にもつ曲面全体の中で面積最 小のものをみつけたい」についてはどうなったのであろう

? Riemann

_{は，空間内の特別} な等辺四辺形で張られる極小曲面の存在を証明することに成功し

(1865

_年頃

)

_{，さらに，}

Schwarz

は一般の空間四辺形で張られる面積最小曲面の存在証明に成功した

(1867

_年

)

_．

これらの証明はいずれも極小曲面を具体的に構成することによって与えられた．

Riemann

と

Schwarz

によって構成された極小曲面は，

(u, v)

_{平面上の関数}

x(u, v), y(u, v), z(u, v)

を成分とする点

(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

の集合として，次のように表される．

⎛

⎜ ⎝

x(u, v) y(u, v) z(u, v)

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

Re _w

w

0

1 2 (1 − g(ζ) ² )f (ζ) dζ Re _w

w

0

√ −1

2 (1 + g(ζ) ² )f (ζ) dζ Re _w

w

0

f(ζ)g(ζ) dζ

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

(3)

ただしここで，

w = (u, v) = u + √

− 1v

_であり

^∗

_，

w ₀

_は

(u, v)

_{平面上の定点である．}

f (w)

と

g(w)

_{は複素変数}

w = u + √

− 1v

_の関数

f (w) = (1 − 14w ⁴ + w ⁸ ) ^−1/2 , g(w) = w

で，

(3)

の右辺の積分は，複素積分である．

なお，この曲面を滑らかに拡張して得られる三重周期をもつ曲面は，

Schwarz D

_曲 面と呼ばれている．ダイヤモンドと同じ対称性をもち，ナノスケールやミクロスケール のソフトマターなどの自然現象にしばしば現れる曲面として，物理学，化学，工学その 他の分野の研究にもしばしば登場する．

(

_例

6.3.2

_参照．

)

∗

2

つの実数の組

(u, v)

_と複素数

u + √

−1v

を同一視する．

Schwarz D

_{曲面の基本領域}

(

_左図

)

と，それを拡張した三重周期極小曲面の一部

(

_右図

) (

図の出典：岡山大学・藤森祥一氏の

HP

http://www.fukuoka-edu.ac.jp/˜fujimori/min surf/index.html)

(3)

_は，

Enneper(1864

_年

)

_と

Weierstrass(1866

_年

)

によって独立に導き出され，

Weierstrass-Enneper

の表現公式と呼ばれている

(

_第

6

_{節で詳しく述べる}

)

_{．なお，この} 公式の最も簡単な応用例は，

(3)

_に

f(w) = 2, g(w) = w

を代入して得られる曲面

x = u − u ³

3 + uv ² , y = − v + v ³

3 − u ² v, z = u ² − v ²

で，

Enneper

の極小曲面と呼ばれる．

さて，

Lagrange

の問題への解答を数学的に与えたのは，

19

世紀末までの時点では，

上述の

Riemann

_，

Schwarz

による，空間四辺形で張られる面積最小曲面の存在証明のみ

であった．一方，

19

世紀後半に，ベルギーの物理学者

Plateau

は，石鹸膜の実験を行う ことにより極小曲面の性質を調べた．このことにちなんで，与えられた枠で張られる極 小曲面について調べるという問題は

Plateau

問題と呼ばれるようになった．

1.2

_古典的

Plateau

_{問題の解の存在}

さて，

Plateau

問題についての第一の課題は，与えられた閉曲線で張られる極小曲面が

「存在するかどうか」であろう．このことを初めて数学的に証明したのは，

J.Douglas

_と

T.Rad´ o

_で，

1930

_{年のことであった．}

Lagrange

_{が問題を提出した}

1762

_年以来，

1930

_年 までずいぶん長くかかったのには，大きく分けて次のような

2

_{つの理由がある．}

(I)

具体的に解を表現することなしに，単に「解が存在する」ということだけを証明 するという非常に抽象的な概念が，

19

世紀までにはなかった．

(II)

_数学が

1762

_年から

1930

年までの間に発展し，有用な道具がそろってきた．

Douglas

_{はこの研究により，第}

1

_{回のフィールズ賞}

^∗

_{を受賞した．}

Douglas

_{の方法は，高} 次元空間内の曲面に対しても適用できるし，また，複数の閉曲線より成る枠を張る曲面 に対しても適用可能である．

∗

40

歳以下の極めて優れた数学上の研究業績をあげた者に授与される権威ある賞．

その後，

Courant ([1])

_は，

Douglas

の方法を改良し，より理解しやすい証明法を考 案した．ここでは

Courant

による証明の概要を述べよう．まず，基本的なアイデアを述 べる．

Γ

_を

3

_{次元ユークリッド空間}

R ³

_{内の閉曲線とする．}

Γ

_{を張る円板型曲面}

^†

_全体

S

を考え，その面積の最小値を

A ₀

_{とする．すると，}

S

に属する曲面の列

{ X _n } _n=1,2,···

で

n→∞ lim A(X _n ) = A ₀

となるものが存在する．

lim

n→∞ X _n

_を

X

_{とおけば，}

X

_の面積は

A ₀

_であ り，この

X

_は

Γ

を張る面積最小曲面となっている．故に，

X

_は

Γ

_{を張る円板型極小曲} 面である．この方法は最小化法と呼ばれ，変分問題（無限次元空間上の極値問題）の解 の存在証明の方法として基本的なものである．

この最小化法で難しい点は，極限

lim

n→∞ X _n

が存在するかどうかという点である．

Douglas-Courant

は，次のようにしてこの困難を克服した．

Γ

_{上に異なる}

3

_点

Q ₁ , Q ₂ , Q ₃

_をとる．

2

_{次元ユークリッド空間}

R ²

_の点

w = (u, v)

を複素数

u + √

− 1v

_{と見なすことにより，}

R ²

_{を複素平面}

C

_{と同一視する．}

R ² = C

_の 単位円

C = { (u, v) | u ² + v ² = 1 }

上に異なる

3

_点

P ₁ , P ₂ , P ₃

_をとる．

C

_{が囲む閉円板を}

B

_とする．

B = { (u, v) | u ² + v ² ≤ 1 }

である．

B

_から

R ³

_への

2

_{階連続的微分可能な写} 像で，

C

_を

Γ

_の上に

1

_対

1

_{に写すもの全体を}

S

とおく．

X ∈ S

に対し，

B

_から

B

_への 滑らかな全単射

ϕ

_との合成

X ˜ := X ◦ ϕ

をとる（つまり，曲面の形を変えないで，表示 の仕方のみ変える）ことにより，

(i) ˜ X(P _j ) = Q _j j = 1, 2, 3 (ii)

∂ X ˜

∂u =

∂ X ˜

∂v

, ∂ X ˜

∂u · ∂ X ˜

∂v = 0

をみたすようにできる

^∗

．故に，

S

に属する写像

X ˜

_で

(i), (ii)

をみたすもの全体の成す集 合を

S ˜

とおくと，

S ˜

もまた，

Γ

を張る円板型曲面全体の集合となっている．さて今，

S ˜

に属する曲面

X

_の面積

A(X)

_{の成す集合}

{ A(X) | X ∈ S} ˜

は非負の最小値

A ₀

_をもつ．

このとき，曲面の一助変数族

X _n = (x ¹ _n , x ² _n , x ³ _n ) ∈ S ˜ , (n = 1, 2, 3, · · · ),

_{で，面積が}

A ₀

†円板から

R

³への滑らかな写像によって与えられる曲面．

∗条件

(ii)

が成り立つとき，

(u, v)

_は曲面

X ˜

の等温パラメータであるという．

に収束する，すなわち

lim

n→∞ A(X _n ) = A ₀

なるものが存在する．条件

(ii)

_{を使うと，}

A(X _n ) =

B

∂X _n

∂u × ∂X _n

∂v

dudv =

B

∂X _n

∂u ·

∂X _n

∂v

dudv

= 1 2

B

∂X _n

∂u ² +

∂X _n

∂v ²

dudv

= 1 2

3 k=1

B

∂x ^k _n

∂u ₂

+ ∂x ^k _n

∂v ₂

dudv

= 1 2

3 k=1

D(x ^k _n )

となる．ただし，一般に

B

_上の

2

階連続的微分可能な関数

h

_に対し，

D(h) :=

B

∂h

∂u ₂

+ ∂h

∂v ₂

dudv

とおく．

D(h)

_は

h

_の

Dirichlet

積分と呼ばれる．さて，

y _n ^k

_を，

x ^k _n

_{と同じ境界値をもち}

B

で調和，すなわち

∂ ² y _n ^k

∂u ² + ∂ ² y _n ^k

∂v ² = 0

をみたす関数とし，

Y _n = (y _n ¹ , y ² _n , y ³ _n )

_とおく．

Y _n ∈ S ˜

である．同じ境界値をもつ関数の 中で調和関数が

Dirichlet

積分の最小値を与えることが知られているので，

A(X _n ) = 1 2

3 k=1

D(x ^k _n ) ≥ 1 2

3 k=1

D(y ^k _n ) = 1 2

B

∂Y _n

∂u ² +

∂Y _n

∂v ²

dudv

≥

B

∂Y _n

∂u ·

∂Y _n

∂v

dudv ≥

B

∂Y _n

∂u × ∂Y _n

∂v

dudv = A(Y _n )

が成り立つ．

(

ここで，最初の不等式は「相加平均

≥

相乗平均」よりわかる．

)

_故に，

A ₀ = lim

n→∞ A(X _n ) ≥ lim

n→∞ A(Y _n ) ≥ A ₀

よって，

n→∞ lim A(Y _n ) = A ₀

である．また，

Y _n

_が条件

(i)

_{を満たすことから，}

Y _n

_の境界値

{ Y _n | C } n

が同程度連続であ ることが示されるから，

Y _n | C

の極限

ψ := lim

n→∞ Y _n | C

が存在することがわかる．さらに，

B

_{での調和関数は}

B

_の境界

C

上の値のみで決まることから，

ψ : C → R ³

_{を境界値にも} ち

B

_{で調和な写像を}

Y : B → R ³

_{とおくと，}

Y = lim

n→∞ Y _n , A(Y ) = A ₀

_{であることがわ} かる．この

Y

_は

Γ

を張る「円板型曲面」の中で面積最小であり，したがって，

Γ

_を張る 極小曲面である．

注意

1.2.1.

実は，この「面積最小曲面」は「分岐点」と呼ばれるある種の特異点を持つ

かも知れない．これが「分岐点のない滑らかな曲面」であることは，

R. Osserman (1970)

による「本質的な分岐点がないことの証明」を経て，

R. D. Gulliver II (1973)

_による

「曲面の表示の仕方からくる特異点がないことの証明」により完全に証明された．

1.3

_古典的

Plateau

_{問題の解の一意性}

さて，存在することはわかった．次に基本的な課題の

1

_つは，「

1

_{つの枠を与えたとき，}

その枠で張られる極小曲面は

1

種類だけだろうか？ 」という問題である．閉曲線

Γ

_に 対して，それで張られる極小曲面

(

_解と呼ぶ

)

の一意性は一般には成立しない

(

_下図

)

_し，

解の個数が有限であるかどうかすら自明ではない

(

_下図

)

．実際，この課題は現在でもま だ完全には解決されていない．「完全な解決」が何を意味するかといことすら明らかでな いであろう．

2

種類の極小曲面を張る閉曲線の例

(

_上段

)

_と

3

種類の極小曲面を張る閉曲線の例

(

_下段

)

モンスター曲線：無限個の極小曲面を張る閉曲線

「

1

種類だけ 」なのか，もっとたくさんあるのか，ということは，極小曲面の性質 について調べる時に大変重要になってくる．「解の一意性」について知られている結果で 基本的なものをあげる．

定理

1.3.1.

_{平面内の単純閉曲線}

^∗

，平面閉曲線に十分近い単純閉曲線は，コンパクト極 小曲面をただ

1

_{つしか張らない．}

(

_下図　右

)

定理

1.3.2 (T. Rad´ o, 1933).

_閉曲線

Γ

_{が平面内の凸閉曲線に}

1

_対

1

_{に直交射影}

(

_また は，中心射影

)

_{されるならば，}

Γ

で張られるコンパクト極小曲面はただ

1

_{つしかない．}

(

_上図　左

)

定理

1.3.3 (J. C. C. Nitsche, 1973).

_閉曲線

Γ

_の全曲率

=

Γ

k ds

_が

4π

_{よりも小さい} ならば，

Γ

で張られる円板型極小曲面はただ

1

_{つしかない．}

ここで，閉曲線

Γ

の全曲率とは，接線の向きの，長さに対する変化率

(

_{曲率と呼ば} れる

)

_を

Γ

上で積分したものである．たとえば，半径

r

の円については，この円上のど の点においても曲率は

1/r

_{であり，全曲率は}

2π

である．より一般に，平面内の凸閉曲 線の全曲率は

2π

_{である．上の}

3

_{つの定理は，}「比較的単純な閉曲線は，極小曲面を

1

_つ しか張らない」ことを示している．

全曲率が約

6π

_{の閉曲線の例}

1.4

解の安定性（面積極小か否か）

さて，面積汎関数

A

_の微分が

0

となるような曲面が極小曲面であった．ここで，実数値 関数の極大極小問題を思い出してみよう．たとえば，

R

_{上で定義された関数}

f (x) = x ³

について，

f (0) = 0

_{であるが，}

f

_は

x = 0

において極大値も極小値も取らない．つま り，

x = 0

_は

f

の変曲点である．同様に，面積汎関数

A

_{の微分が曲面}

X

_において

0

_で あっても

X

が面積極小とは限らない．極小曲面

X

が面積極小となっているとき，

X

_は 安定であると言う

^∗

．つまり，境界を動かさずに曲面を少し変形させた時に面積が最小に なっているような曲面を，安定な極小曲面と呼ぶのである．たとえば，安定でない極小 曲面の形をした石鹸膜が現れたとしても，一瞬の後には安定な極小曲面へと形を変えて

∗自己交差をもたない閉曲線．

∗厳密な定義は第

1.4

節で与える

しまう．その意味で，物理的に実現される極小曲面は安定なものだけであると言ってよ い．したがって，極小曲面のうちで安定なものとそうでない

(

_不安定な

)

_{ものとを区別す} ることは自然である．この問題について，知られている結果を述べよう．

同じ枠を張る

2

_{種類の極小曲面}

(

_懸垂曲面

)

_．

左は安定

(

_面積極小

)

_{．右は不安定}

(

_{面積極小ではない}

)

_．

今，極小曲面

X

_上の点

P

_に対し，

P

における単位法ベクトルを

ν(P )

_とする．

ν(P )

は空間

R ³

_内の長さ

1

のベクトルだから，それを平行移動して始点が

R ³

_{の原点と一致} するようにすれば，終点は原点中心の単位球面

S ²

上の点となる．この点を

G(p)

_とお こう．すると，

G

_{は極小曲面}

X

_から

S ²

への写像を与える．この写像を

X

_の

Gauss

写像という．

p X

ν(p)

→

G(p)

S

²

定理

1.4.1 (J. L. Barbosa-M. do Carmo, 1976).

コンパクトで向き付け可能な極小曲

面

X

_の

Gauss

_{写像の像の面積が}

2π

_{よりも小さいならば，}

X

_{は安定である．}

単位球面

S ²

_{全体の面積は}

4π

であることに注意しよう．定理

1.4.1

_{から，極小曲面} の法線方向の変化があまり大きくなければ安定であることがわかる．したがって，極小 曲面の十分小さい部分は安定である．

一方，任意の数

a ∈ (2π, 4π)

_に対し，

Gauss

写像の像の面積がちょうど

a

_であるよ うな不安定な極小曲面が存在する．では，

Gauss

写像の像の面積がちょうど

2π

_である ような極小曲面は，安定か不安定かどちらであろうか

?



M. Koiso (1984)

_{は，このよう} な極小曲面が安定であるか否かを

(

_{特別な場合を除き}

)

決定した．この結果を用いること により，たとえば，ぎりぎり面積極小でない極小曲面の具体例を無限にたくさん構成す ることができる．下図の曲面は，それ自身は面積極小でないが，その一部

(

_{どの部分で} も，どんなに小さな部分でもよい

)

を削り取れば面積極小である，という意味でぎりぎ り面積極小でない極小曲面である．

x = u cos v + 1

4 u ² cos(2v ) − 1

3 u ³ cos(3v) − 1

8 u ⁴ cos(4v)

y = − u sin v − 1

4 u ² sin(2v) − 1

3 u ³ sin(3v) − 1

8 u ⁴ sin(4v) z = u ² cos(2v ) + 1

3 u ³ cos(3v) 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π

ぎりぎり不安定な極小曲面

(M. Koiso, 1984)

この極小曲面の

Gauss

_{写像は半球面の上への}

1

_対

1

_{写像であるので，定理}

1.4.1

_によ り，その任意の真部分集合は面積極小である．一方，この曲面全体については，面積汎 関数の

2

_{階微分（第}

2

_{変分という）は}

0

_{であり，第}

3

_変分が

0

でないような曲面の変形 の方向があるので，面積極小ではない．第

3

変分の計算及び具体例の構成には，上述の

Weierstrass-Enneper

_{の表現公式}

(3)

_{が用いられる．}

1.5

_{安定な極小曲面の個数}

3

_{次元ユークリッド空間}

R ³

_{内の単純閉曲線}

Γ

_に対し，

Γ

で張られる円板型極小曲面が一 意的であるための十分条件のいくつかを第

1.3

節で紹介した．また，解が

2

_{つ以上ある} 例，

3

つ以上ある例も紹介した．では，解が

2

つ以上ある場合に，解の個数が境界

Γ

_の 性質を用いて表せるであろうか

?

この問いに対する解答を筆者は知らない．次の有限性 定理を知っているだけである．

定理

1.5.1 (M. Koiso, 1983). R ³

の凸領域の境界上にある滑らかな単純閉曲線は，安定 で自己交差をもたない円板型極小曲面を高々有限個しか張らない．

定理

1.5.1

証明の方針は次のとおりである．

Γ

を定理の仮定を満たす閉曲線とし，

Γ

で張られる安定で自己交差をもたない円板型極小曲面全体を

S 0

とする．

S 0

がコンパク トであることと，

S 0

の各点が孤立点であることが示せる．このことより，

S 0

が有限集 合であることがわかる．

次の問いに対する解答は，一般にはまだ得られていない．

問

1.5.1.

_{解の個数が境界}

Γ

の性質を用いて表せるか

?

1.6

平均曲率一定曲面に対する

Plateau

_問題

与えられた枠で張られる平均曲率一定曲面について調べるという問題も，自然で興味深 い．この問題は，平均曲率一定曲面に対する

Plateau

問題と呼ばれる．以下では，平均 曲率一定曲面

(surface with constant mean curvature)

_を，

CMC

_{曲面と略記する．ま} た，平均曲率が一定で

H

_の曲面を

CMC-H

_{曲面と書く．}

CMC

_{曲面に対する}

Plateau

問題の解の存在と一意性については，極小曲面の場合と は異なる状況がある．まず，存在については次のことが知られている．

Γ

_を半径

R

_の閉 球に含まれる単純閉曲線とする．このとき，

| H | ≤ 1/R

_{なる任意の実数}

H

_に対し，

Γ

_で 張られる円板型

CMC-H

曲面が存在する．解の一意性については，一般には成立しない．

実際，

| H | < 1/R

_ならば，

Γ

_{で張られる円板型}

CMC-H

_{曲面は少なくとも}

2

_{つ存在する．}

たとえば，

Γ ₀

を単位円としよう．すると，

| H | < 1

_{なる任意の実数}

H

_に対し，

Γ ₀

_で 張られる半径

1/ | H |

の球面帽子

^∗

が

2

_{つ存在する．これらは}

CMC- | H |

である．また，

Γ ₀

で張られる

CMC-1

_{曲面は，半径}

1

の半球面のみである．さらに，

| H | > 1

_なる実数

H

に対しては，

Γ ₀

_{で張られる円板型}

CMC-H

_{曲面は存在しない．}

同一の円で張られる

3

_{つの球面帽子}

ところで，円

Γ ₀

で張られる極小曲面は，

Γ ₀

が囲む円板だけである．

Γ ₀

_{で張られる}

CMC

曲面は球面帽子だけであろうと予想するのは自然だが，実際はそうではない．

3

_以 上の任意の整数

g

_を種数

^†

にもつ解が存在する．しかしながら，比較的単純な解は球面帽 子に限ることが知られている．中でも次の

2

つの結果は基本的である．

定理

1.6.1 (M. Koiso, 1986). Γ ₀

_を

R ³

_{内の単位円とし，}

Γ ₀

_{を含む平面を}

Π

_とする．

X

_は

Γ ₀

で張られるコンパクトで自己交差をもたない

CMC-H

_曲面

(H = 0)

_とする．

もしも

X

_が

Π

_における

Γ ₀

の外部と交わらないならば，

X

_{は球面帽子である．}

定理

1.6.2 (L. Al´ıas-R. Lopez-B. Palmer, 1999).

_{円で張られる円板型}

CMC-H

_曲面

(H = 0)

であって安定なものは，球面帽子に限る．

∗球面の部分集合を球面帽子と呼ぶ．

†種数

g

_{の解とは，円板に}

g

個の把手を付けたものの表面を滑らかに変形させてできる曲面であって，

Γ

₀を境界にもつものである．自己交差してもよい．

Figure 1: Delaunay

_曲面

(

_{平均曲率一定回転面}

)

．左から，球面，円柱，懸垂曲面，

un- duloid

_，

nodoid

_．

1.7

_一般化

上では，主として，

3

次元ユークリッド空間内の

1

つの単純閉曲線で張られる極小曲面 について述べた．この問題の一般化として，次のような問題が考えられる．

[1]

境界条件や空間を一般化する．

(i) 2

つ以上の単純閉曲線で張られる極小曲面について調べる．

(ii)

_一般の

n

次元ユークリッド空間や一般の

Riemann

多様体内の曲面や超曲面につ いて調べる．

[2]

_{汎関数を一般化する．}

(i)

_「面積

+

重力エネルギー」の臨界点について調べる．

(ii)

「非等方的表面エネルギー」

(

曲面の各点で，法線の向きに依存するエネルギー 密度を考え，その曲面全体での和

(

_積分

)

をエネルギー汎関数とする

)

_{の臨界点について} 調べる．

(iii) (i), (ii)

以外にも，自然現象と密接に関連するさまざまな汎関数が考えられる．

(iv)

「曲面が囲む体積を保つ変分にたいする」上述の汎関数の臨界点について調べ る．たとえば，「曲面が囲む体積を保つ変分に対する面積の臨界点」は平均曲率一定曲面 である．

2

_{平面曲線の曲率}

この節では，平面曲線の曲率の定義を与え，「平面曲線はその曲がり具合によって形が決 定する」ことをみる．標準的な事柄であるので，この節及び次節を飛ばして，第

4

_節に 進んでいただいてもよい．

ベクトルは通常縦ベクトル

p

q

を意味するが，面積の節約のために横ベクトル

(p, q)

で代用することも多い．内積の記号は

,

を用いる．

平面曲線

γ(s) = (x(s), y(s))

_が

| γ (s) | ≡ 1

_{を満たすとき， 弧長表示 されていると} いう．このとき，

a ≤ s ≤ b

_{間の長さは}

_b

a

x (s) ² + y (s) ² ds = _b

a | γ (s) | ds = _b

a

ds = b − a

となる．（それが弧長表示といわれる理由．）このとき

γ (s) = (x (s), y (s))

_{は単位ベクト} ルで，その方向角

θ(s)

_を用いて

γ (s) = (cos θ(s), sin θ(s))

と表示される．方向角の微 分

θ (s)

_を曲線

γ(s)

_の

(

_符号付き

)

_曲率

κ(s)

_という．

γ (s) =

− sin θ(s) · θ (s) cos θ(s) · θ (s)

= θ (s)

− sin θ(s) cos θ(s)

であるから，

| κ(s) | = | γ (s) |

がなりたつ．

問

2.0.1.

_半径

r

_{の円の曲率を求めよ．}

補題

2.0.1.

平面曲線の曲率は平行移動と回転

(

_{行列式が正の直交変換}

)

_{で不変である．}

直線に関する対称変換では

− 1

_{倍される．}

Proof.

平行移動では

θ

は変わらない．正の回転では

θ

は定数だけ変化する．直線に関

する対称変換では

c − θ(s)

が新しい方向角となる．

このように，曲率は合同変換で不変な量である．もっと強く，曲率は曲線を特徴づけ る量であることがわかる．

定理

2.0.1. a ≤ s ≤ b

上定義され，弧長表示された

2

_つの曲線

γ ₁ (s), γ ₂ (s)

_{を考える．}

もし，

γ ₁

_が

γ ₂

_{に正の合同変換}

(

_{平行移動と回転の合成}

)

_{で重なり合えば，}

γ ₁

_と

γ ₂

_の曲 率は等しい．逆に，

γ ₁

_と

γ ₂

_{の曲率が等しければ}

2

つの曲線はある正の合同変換で重な り合う．

Proof.

前半は上の補題で示した．逆を示す．

γ ₁

_と

γ ₂

に平行移動と回転を施しても曲率

は変わらないから，

γ ₁ (a) = γ ₂ (a) = (0, 0), γ ₁ (a) = γ ₂ (a) = (1, 0)

_{であると仮定してよ} い．そのとき，曲率が等しいことから

θ ₁ (s) ≡ θ ₂ (s)

_{であり，また}

θ ₁ (a) = θ ₂ (a) = 0

_で あるから

θ ₁ (s) ≡ θ ₂ (s)

となる．よって，任意の

s

_において

γ ₁ (s) = _s

a

cos θ ₁ (s) cos θ ₁ (s)

ds = _s

a

cos θ ₂ (s) cos θ ₂ (s)

ds = γ ₂ (s)

問

2.0.2.

曲率が定数となる曲線は円または直線であることを示せ．

問

2.0.3.

_長さ

L

_の閉曲線

γ(s)

γ(L) = γ(0), γ (L) = γ (0)

について，その曲率の積 分

_L

0

κ(s) ds

_は

2π

の整数倍であることを示せ．この整数を閉曲線の 回転数 という．

また，回転数が

0

となる曲線の具体例を与えよ．

次に，弧長表示されていない曲線

γ(t)

の曲率についての公式を与えておく．定義域 上の各点

t

_で，

γ (t) = 0

であることを仮定する．（そのような曲線を正則曲線 という．）

γ

の弧長表示を考えて，曲率の定義を使うことにより，

κ = | γ | ⁻³ γ × γ , e ₃ , | κ | = | γ | ⁻³ | γ × γ | .

が示せる．ただしここで，

×

は

R ²

_を

R ³ = R ² × R

に自然に埋め込んだときの外積で あり，

e ₃ := (0, 0, 1)

_である．

問

2.0.4.

_放物線

: y = x ²

_{および楕円}

: x ² /a ² + y ² /b ² = 1

について曲率の最大と最小を 求めよ．

問

2.0.5.

_螺線

: (x, y) = e ^t (cos t, sin t)

_と

(x, y) = t(cos t, sin t)

について曲率を求めよ．

t → ∞

のときに曲率はどうなるか．

3 R ³

_{内の曲面の曲率}

この節では曲面の曲がり具合を記述する量として第

1,

_第

2

基本形式を導入し，曲面の曲 率を定義する．この節も，前節に続き標準的な事柄であるので飛ばして，第

4

_節に進ん でいただいてもよい．

式を短くするために，添え字を多用し，

Einstein

_の規約

: x ⁱ y _i :=

i x ⁱ y _i

_{を用いる．}

すなわち，上下に

1

つずつ同じ添字がある時には，和を表す記号

が書かれていなくて も，和をとるものとする．

また，

δ _i ^j :=

1, i = j

0, i = j δ _ij :=

1, i = j 0, i = j

とおく

(

_{クロネッカーのデルタ}

)

_．

R ²

_の閉領域

D

_から

R ³

_への

C ^∞

_級写像

(

何回でも偏微分可能な写像

)

X : D → R ³ , X(u) = (x ¹ (u), x ² (u), x ³ (u)), u = (u ¹ , u ² ) ∈ D

が「はめ込み」であるとは，

∂X/∂u ¹ , ∂X/∂u ²

_が

D

_の各点で

1

_次独立

(

_つまり，

D

_の各 点

u

_に対し，

u

_{の小さい近傍}

U

_{をとれば，}

X

_の

U

_への制限

X | U : U → X(U) ⊂ R ³

_は 滑らかな全単射

)

_{である時をいう．}

X

_{の単位法ベクトル場}

(Gauss

_写像

) ν : D → S ²

_は 次で与えられる．

ν = X ₁ × X ₂ / | X ₁ × X ₂ | , X _j := ∂X/∂u ^j (4)