【学位論文審査の要旨】
１ 研究の目的
近年，システムの大規模化・複雑化が急速に進む一方で，システムの設計・運用・解析・
制御に対する一層の高効率化・高信頼化・高機能化が求められており，高い最適性と実行 可能性を有する解を決定可能な「実用的な最適化」の必要性が高まっている。
数理最適化手法（数理計画法）に基づく最適化においては，最適化対象の実システムを 物理モデル，あるいは獲得可能なデータを用いた数理モデルのように，目的と制約をモデ ルとして表現することが前提となる。さらに，数理最適化手法は目的関数の解析的情報（勾
配やHesse行列など）や性質（凸性や変数間依存性など）を用いるため，微分可能性・連続
性など，モデリングのクラスを規定する。このため，モデルと実システムの乖離が大きく なることが多く，得られた解の最適性や実行可能性が十分ではないなどの課題が指摘され てきた。
一方，メタヒューリスティクス（発見的最適化手法）に基づく最適化においては，モデ ルを必要とせず，決定変数情報と評価値情報のみを用いた直接探索が可能である。メタヒ ューリスティクスは得られる解の最適性の理論的保証がないなどの課題を持ちつつも，近 年のコンピュータの計算能力の飛躍的向上やモデリング・シミュレーション技術の急速な 発展を背景に，実用的な最適化の枠組みである「ブラックボックス最適化」における最適 化手法として，高い最適性と実行可能性を有する解の探索が可能なことが検証されてきた。
ブラックボックス最適化においては，決定変数情報と評価値情報しか得られないため，
数理最適化手法のような目的関数の解析的情報を用いる最適化アルゴリズムの適用が困難，
あるいは不可能である。今後の最適化を取り巻く環境の変化や問題構造の一層の多様化に 対して，ブラックボックス最適化が実用的な最適化の枠組みとしてさらに発展するために は，直接探索の機能を維持しつつ，問題構造の多様性に対する高いロバスト性と適応性を 有するメタヒューリスティクスの構築が最も重要な課題の一つとなっている。
上述の背景を踏まえ，本研究ではメタヒューリスティクスの探索性能におけるロバスト 性をアルゴリズムの構造的な不変性として，適応性をアルゴリズムの機能的な柔軟性とし て特徴付けた上で，探索空間あるいは目的関数の変換不変性の観点からロバスト性を，ア ルゴリズムが有するパラメータの適応的調整機能の観点から適応性を実現するという戦略 に立脚することで，変換不変性とパラメータ調整に基づくメタヒューリスティクスの汎用 解析・設計論の構築を目的としている。
２ 研究の方法と結果
本論文では，(1)メタヒューリスティクスの探索構造の解析，(2)不変性に基づくメタヒュ ーリスティクスの解析とロバスト化，(3)パラメータ調整に基づくメタヒューリスティクス の解析と適応化，および(4)不変性を有するメタヒューリスティクスのフレームワークの構 築，に関する研究を行っており，それぞれの研究の方法と結果は以下の通りである。
(1) メタヒューリスティクスの探索構造の解析
メタヒューリスティクスの探索構造が近傍生成と探索点の更新から構成されること に立脚し，メタヒューリスティクスの更新則を探索履歴と探索点の写像として定義し た。さらに，更新則の定義，あるいは多様化・集中化の観点から，多岐にわたる各種 メタヒューリスティクスの構造を詳細に解析し，近傍生成則の演算形式を系統的に分 類した。解析結果に基づき，メタヒューリスティクスが多点探索かつ確率的な直接探 索法という特徴を最大限に活かした探索構造を有していることを明らかにした。
(2) 不変性に基づくメタヒューリスティクスの解析とロバスト化
先行研究では，各種メタヒューリスティクスの不変性の有無を実験的・理論的に示し たケースが限定的であることを指摘し，数学的証明を通じて各種メタヒューリスティ クスの不変性の有無を網羅的・理論的に明らかにした。さらに，不変性を付加する先 行研究のアプローチは，更新則の演算形式毎に分類されることを指摘すると同時に，
アプローチの中でも共分散行列に基づく基底変換や超球表面上の一様乱数を用いて 新たなメタヒューリスティクスを構築し，これらが回転不変性，あるいはアフィン変 換不変性を具備することを理論的に証明した。さらに，数値実験を通じてロバスト性 が向上すると同時に，全般的な探索性能も平均的に向上することを確認した。
(3) パラメータ調整に基づくメタヒューリスティクスの解析と適応化
ロバスト性の観点から，変換不変性とパラメータ調整則の関係性を指摘し，パラメー タ調整則の不変性を新たに定義した。さらに，理論的な不変性の観点と，適応的な調 整機能の観点からパラメータ調整則の設計手法を構築し，相似変換不変性を補完する 適応型Cuckoo Searchと回転不変性を有する適応型Particle Swarm Optimization
（PSO）を構築した。さらに，数値実験を通じて，ロバスト性の維持・向上および全 般的な探索性能の平均的な向上を確認した。特に，回転不変性を有する適応型 PSO はこの分野で最も性能の高い手法の一つである Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy（CMA-ES）よりも優れた性能を有することも確認した。
(4) 不変性を有するメタヒューリスティクスのフレームワークの構築
既存のアルゴリズムに変換不変性を付加するアプローチとは逆に，アフィン変換不変 性が保証されるアルゴリズムの「フレームワーク」を提示し，そのフレームワーク内 で自由にアルゴリズムを設計する方法を提案した。また，このフレームワークが課す 条件を満たせば，アフィン変換不変性の具備が保証される変換不変性定理を与えた。
さらに，PSO に着想を得たアルゴリズムを設計し，数値実験を通じて，高いロバス ト性，あるいはPSOと同等の最適化能力を具備することを確認した。
３ 審査の結果
本研究は，変換不変性とパラメータ調整に基づき，問題構造の多様性に対する高いロバ スト性と適応性を有するメタヒューリスティクスの構築を行っている。メタヒューリステ
ィクスのロバスト化と適応化を目的とした研究はこれまでにも行われているが，数値実験 に基づく発見的な解析・設計に留まっている，あるいは理論的な方法でも一部の手法・不 変性に限定され，理論的かつ汎用性の高い解析方法と設計論の構築が大きな課題となって いた。
これに対して本研究は，メタヒューリスティクスの探索構造の解析，不変性とパラメー タ調整に基づくロバスト化と適応化，さらには不変性を保証するメタヒューリスティクス のフレームワークの構築に関する一連の研究を理論的な解析に基づいて行い，汎用性の高 い設計論を構築している。理論的かつ汎用的な方法に立脚し，有機的に体系付けられたこ れらの一連の汎用解析・設計論が本研究の主要な学術的な成果である。
本研究の学術的な新規性と有用性は以下のように要約できる。
① メタヒューリスティクスにおけるロバスト性をアルゴリズムの構造的な不変性とし て，適応性をアルゴリズムの機能的な柔軟性として捉えたこと
② メタヒューリスティクスのロバスト化と適応化を独立に位置づけるのではなく，ロバ スト化と適応化の戦略を融合した同時設計の観点からアルゴリズムを構築したこと
③ 変換不変性が保証されるアルゴリズムのフレームワークを提案し，そのフレームワー クに基づく汎用性の高いメタヒューリスティクスの設計論を構築したこと
④ ベンチマーク問題を用いた詳細な数値実験を通じて，新たに構築した手法のロバスト 性・適応性・探索性能の向上を定量的に評価し，さらに構築した手法がこの分野の最 も優れた手法の一つであるCMA-ESよりも優れていることを検証したこと
以上，本論文の成果は，(1)メタヒューリスティクスの探索構造の解析，(2)不変性に基づ くメタヒューリスティクスの解析とロバスト化，(3)パラメータ調整に基づくメタヒューリ スティクスの解析と適応化，および(4)不変性を有するメタヒューリスティクスのフレーム ワークの構築，を実現したものである。これらは，多岐にわたる既存のメタヒューリステ ィクスのロバスト化・適応化の実現を可能とした点，アナロジーに拠らない新たなメタヒ ューリスティクスの開発を可能とした点，コンピュータの計算能力の飛躍的向上やモデリ ング・シミュレーション技術の急速な発展を踏まえた新たな実用的な最適化の枠組みの構 築に理論的かつ汎用的な設計基盤を与えた点などにおいて，工学的意義が大きい。また，
本学位論文の大部分は，既に国内および国際会議において発表されるとともに，関連学会 の学術雑誌に論文として掲載され，高い評価を得ている。
以上のことから，本論文は博士（工学）の学位を授与するに十分に値するものと判定した。
４ 最終試験の結果
審査委員全員による筆答および口頭の試験を実施した。また，2020年8月1日に公開の 論文発表会を開催して，学内外からの出席者を得て多角的な討論を行った。これらの結果 を総合的に考慮し，慎重に審査した結果，合格と判定した。
