き
35
The S c i e n c e R e p o r t s o f t h e Kanazawa U n i v e r s i t y
，Vo l . V I I
，N o . 2
，p p . 35‑39
，A u g u s t
，1 9 6 1 .
The Law o f t h e I t e r a t e d L o g a r i t h m s
By
Noboru MATSUYAMA andShigeru ' D A
託AH : A SHI*
C R e c e i v e d J a n u a
，y 1 0
，1 9 6 1 )
1 . I n t r o d u c t i o n . The purpose o f t h i s note i s t o prove t h e f o l l o w i n g Theorem. Let げ f
肘e a f 加加加 u
町m
叩u 1
江m
肌n 即削刷 1 犯叫凶 c t i
… 崎f > 戸 ' 2 ( ;悦 =1 and f o r some α>0
，
( 1 . 1 ) ( : f ( f ( t ) ‑ S . . ( t ) ) 2 d t J 九仰‑，，)
a s n →十∞， where S . . ( t ) d e n o t e s t h e n ‑ t h p a r t i a l sum o f t h e F o u r i e r s e r i e s o f f( t ) . Then i f a sequence o f p o s i t i v e i n t e g
巴r s {n " ， } s a t i s f i . e s
( 1 . 2)
毛 並 ミ4 [ l ogC(k+2)J
，" ' k
where c i s a p o s i t i v e number such t h a t
( 1 . 3 ) 2 α c> 1
，we have
，f o r almost a l l t
，( 1 . 4)
一一一一一 ‑ H~
Nf(n ，り=1. "
N‑+
、回12N l o g z N t . = ' 1
In [ l J M. Weiss proved t h a t t h e law o f t h e i t e r a t e d l o g a r i t h m s h o l d s f o r a l a c u n a r y t r i g o n o m e t r i c s e r i e s . However ( 1 . 4 ) does not hold even f o r t h e c a s e where f( t ) i s a t r i g o n o m e t r i c polynomial and {n " ， } s a t i s f i . e s t h e Hadamard's gap c o n d i t i o n .
2 . Some Lemma. For s i m p l i c i t y we put
( 2 . 1 )
OD 円Aπ ' ' t g
b v a︐
O
F LW
C ∞
2 h
¥︒
4ノ
fI
︐
vJ'd ︑ ︑
then we have
(2.1
うg " ， ( t ) = f( t ) ‑S v ‑ l
くの‑‑~
Clc o s 2 n l t l> l ‑ t i
where
( 2 . 1 '
つρ "，=[l ogC(k+2)J.
Lemma 1 . We have
，f o r almost a l l t
，l i m 1 . ! ! ， .
訂
(f
(n" ， t ) ‑S v ‑
.(n" ， t ) ) =0.
∞
vN " ' ' ‑ ; ; ; 1
保
D e p a r t m e n to f M a t h e m a t i c s Kanazawa U n i v e r s i t y .
N
，l ¥
在ATSUYAMAand S . TAKAHASI
王I 3 6
From (L 2 )
，we h
証ve I n t h
巴A w i l l denote an a b s o l u t e c o n s t a n t .
Proo
f.> 4 . Pk F 1
.1:+1 nk+l
十l
ー ミ
4
飽
k
( 2 . 2 )
(1図
1 )
，(1.2 ) and Hence {S!， ~(n"t) -S!，-， ( n "
t)}I s a system o f orthogonal f u n c t i o n s and
︐
ybv d
宮︑i1J︑111グ
¥ ノ
'T
b
( 孟 仰 の
‑S
!，‑，(1.
3 )
，we have
} 一 一 k 一 一 一 一 一 一 一
A一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一
く、0 04 c i
( ‑ = 1 Y 量一 (f(
t)‑‑S!，‑， (t)) 2
dt五三︑ ︑
BI Fg F
¥﹄ノ
27
u
' m
m
fL
k u
' ん
υ
円 ︑
¥ ︐ノ
ι ι
品す( Sf'l This i m p l i e s t h a t t h
巴 senes
(2
園3)
i s t h
己Fouriers e r i e s o f a square i n t e g r a b l e f u n c t i o n . Therefore by and a theorem o f A. N. Kolmogorov
，t h e s e r i e s ( 2 . 3 ) converges almost ev
巴rywher
巴l n
固Hencewe have
，f o r almost a l l t
，lim 一 三 二 宮 ! 1
!i. fS ~ ! ' l
t)‑S
f' ，，‑，
h
(nl'
t) )=0
00
Y N " ' ‑ ; ; ; ; 1 ¥ .
~，.， V"IC Y.J ~""hV"" " . / j ( 2 .
I n t h e same way we f o r almost a l l
ムip‑L全仏;
o Y N
，f;!1 ¥.=0
。¥J/
5)
For any i n t e g e r s k and k ' such t h a t 2 N < k くグ;孟 2 N
十wehave
1j f
h
C!
一 一
1
4' v
d
︑}
i ' ノ
u v
/ 払必
n
/(¥
︐ ︐
bw g
¥}
ノ
prb
i f n " I
/ 幻μ
I Cl
← ‑ ‑
dl(k ，
=1 nk
¥ 0 wher
巴i f o t h e r w i s e . by (
1. (L 呂nd(
1.3 )
，Hence we
A
一
N 一 伊し て 一 一
︑
BEg︐r¥Pノ
7 H
K
/t¥(A4)
弘(ふ1 (k
，k ' )
三三l
i t f o l l o w s t h a t f o r 2
N三m
く:m/ < 2
N十1同 T il..
1
"，/'¥~ ‑m)
2 j I(k
，k
つ三五 百 fij一 五
kl>k 1
¥1f ; 4 (
付J : (
急g "
仙 の)dt=
From t h e above
AN2 By t h e well known d e v i c e o f D . Mencho 妊 ， we h a v ε
j ; 2 2 r E L H l 託 子 A N g M
川必S i n c e 2 α c> 1
，we have
The L a U J 01 t h e I t e r a t e d L o g a r i t h m s 37
手
f;J2NH(寸 子
hSNg M t 日 ) 〕 d t く∞，
and t h i s i m p l i e s
，f o r almost a l l t
，JKJ5HJ子 kSAr
品
(n"の=0 Hence we have
，f o r almost a l l t
，( 2 . 6 ) lim 1 N
一二2J g
，，(nk t)=0.
∞
Y H
f;;!1( 2 . 4 )
，( 2 . 5 ) and ( 2 . 6 ) prove t h e lemma.
3 . Fundamental I n e q u a l i t i e s . we p u t ， f o r k
=1 ， 2 ， ・
︐
rbJU
¥Pノ
ι ' h v
' m
n ffL
2"
p
c u
p ‑ J
一 一
2k
' o and k B ' % =
:Eb~.
Then we have
，f o r a l l k ~ N
，tJ.k
1/~ ろ も
( 3 . 1 ) 1
S[.!.， (nk t) 1三 211ct!40bZPKY4(2fω
Lemma 2 . Let A . be a p o s i t i v e numb
巴rand 1 be any i n e r v a l i n [0
，1 ] such t h a t ろ
も
1(2μN〉A 4 ÷
， ( 3 . 2 )
(3.2
う lf￨〉 7 7
t h e n ， f o r any i l 1 t e r v a l 1 c O l 1 t a i n e d i n [0 ， 1 ] ， we have
ω 1 ~L exp
(ザ(円))豆fJEEP(A21Sh(nht
〉)dt
寸 111叫(平日
wher 巴ザ i sa c o n s t a n t s a t i s f y i n g
( 3 . 4 ) 0 三 五 平 三 五 1 2 À.1)~~
Proo f . Th
巴p r o o fi s based on t h e i n e q u a l i t y : Ilog (l+Z+ ー ド) ‑z I ~ 2 1 Z
13
，We have ， by (3.1) ， ( 3 . 2 ) and t h e above i n e q a l i t y ，
f o r 1 z 1
く1 / 3 .
(3.5) exp 0
S! ， ‑ . (nk t
))口 (1+).S， ， ‑ ! (nk t
)+-~ S~ ρ% かがパり， 1 2 and
，by ( 3 . 1 )
，N
( 3 . 5
う 訂1Qk(t) 1 三 三 2 2 J I . )
S[.!.，(nk t
) 13 二 三 ) . 2
B' j . ， . (2 5 / 2 A . f1~2)
~1 k~l
N . MATSUYAMA and S . TAKAHASI
江3 8
川 )=(1 十与~，)刊の
N ow i f we w r i t e
t)+す
̲ ; ' 2
1
十A S
I'.. 6 )
t h e n の i st h
巴sumo f nor
トc o n s t a n tterms and we have
九(t)=d j ( k ) C O S 2
。
主川
2
!J.!'I2J
1 d
j(的
1:孟A and
，by (3.2)
，1 1 7
(y豆 云
i心2
三三 十1
画一 手 j玩A
十t ‑
(3.6")
N
i
}2 h~ 、P
.N(t)= [ ! 1 I I
+ニ豆こ空+T
ω )，P u t t i n g
( 3 .
7)︑ ︑
aE
HF
‑
H h 一 一
2A一
+寸l
rFEE
目 ︑
︑
i t i s seen t h a t
p b i ~ ~.~ ¥ ) ~. I . ) . 2
bi ¥1
十よE L
十九(t)H
十え(1 十 ~--:L )TI(t)=
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11
べ目﹄t¥
¥tJノ︐Tzb
︐ ︐
l
︑ ︑
( 3
固7
つ十会~ II
( 1
十呉k
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d t I < ̲ ̲ 6 ̲ ̲ : "
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S i n c e
lfzffICOB whereO<lj<2ρfor
jくkand 1
孟( 3 . 8 )
Therefore i
fwe put
f P
.N(t)d t = 1 1 1 :
/f
!，(
1
十A τ 2 叫 ) )+R
.N'we have
，by ( 3 . ( 3
園8)
ヲ( 3 . and (3.2
う〔
O A ( 1 + f p + T ?
の) d t I
!豆丘(
1 ‑ ト 」 子 ) { 孟 l
Z
+ ¥ J T
似t I }
2 j
f dl(叫i J J A ( 1
ぺ引はとう「Z ( 1 +
学+吉1 1 d
j (i)1 )
十2idzml)
The La ω 01 t h e I t e r a t e d L o g a r i t h m s
正去五
( 1 寸ベ判長{孟( 4 } ‑
了)(芸)ケ十)豆上UA(IJF)Hence we have (3.9) and
，by ( 3 . 2 )
(3.9
うf PN〔t 〉 dt4‑T 31fi N
互い+， ( f b A 3 1 I ￨ / A 2 2 ‑‑2 3(2)
ん)
j ¥￨IIR/
」1 1 1 I l ( N A E砧fi. . < 4
b ， i
IPN(t〕dt47211 十 2~)孟7 向日1-
2
- tJ1
439
From ( 3 . 5 )
，( 3 . 5
う，(3.9) and (3.10) we o b t a i n t h e second h a l f o f ( 3 . 3 ) and from ( 3 . 5
ラコ(3.5
，つ(3.9) and ( 3 . 1 0 ' ) t h e f i r s t h a l f o f ( 3 . 3 ) .
This lemma corresponds t o t h e Lemma 1 o f [1 J . Using t h i s lemma and t h e f a c t t h a t
月 一
