偏微分方程式特性体の数理物理学的性質
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(2) . Ｖｏ ｌ ．２ ．ｌ ， Ｎｏ. ＧＡ１ 【ＵＧ冠１. Ａｕｇ ．１９５０. 偏微分方程式特性体の数理物理学的性質 奥. 田. ▲ 孝. 恵. 旭川分校数学研究室 ＥＩ ｉ ｉ て １ａｎｉ ｆｏｌ ｏ ０ｋｕｄａ： ０ｎ ｔｈｅ Ｐｒｏｐｅ ｔ ｔ ｔ ｒ ｌ ｉ ｅｒ ｓ ｃ製 ｙ ｏｆ Ｃｈａｒａｃ ｔ ー ｓ ｏｆ ｐａｒ ａｌ 工万ｆ ｒ ｉ ｉ ｌ 武ｑｕａ ｉ ｔｈｅｍａ Ｉ Ｐｈｙｓ ｅｒｅｎｔ ｉ ｔ ｔ ｏｎｓｉｎ Ｄ１ａ ａ ｃａ ｃ ｓ ．. 特性集合体の概念は偏微分方程 燕命を こ於て極めて重要. ら。. であり数理物難学に於てはこの様な集合体に沼ぅてだけ. 次に一次導函数の不連続性を考えるが一次導函数が不. 偏微分方程式の解の或る不連続性が起り得るという意義. 連続となる解ｕが連続な解の極限の場合と して次の様に. ‐（いる。 クーラ ソトの指針に従っ を有するため注目きキｔ てその概念の一躍を明かにし流体力学への一隙用を導き. 生ずることを仮定すれば、 Ｌ〔ｕ〕＝０ の解の一次導函数 の不連続 性が特性集合体に潰うてだけ現れ得る：ｕ は、. たい。. 凡て曲面 Ｍ： 。；＝０ の近傍で連続であって一様に有界な ２ 導函数 ｖｒ を有する解 ▽１ ， ．ｖ，……の列の一様な極限とせ. ８１ ， 二階準線型双曲型偏微分方. よ。 Ｍ を除いた凡ての開領域に於ける一次及び二次の 導函数は叉－ －様にｕの相醸 した導函数 に収徴するものと. 程式に於ける不連縫性. する。 一次及び二次の接線導函数は連続であるが、 極限 函数ｕは Ｍ に潜ぅて跳躍的不連続 （従って有界） な Ｍ. 二階準線型微分方程式を くり. Ｌ〔ｕ〕＋ Ｄ＝ ぎ臨にｕ， に十Ｄ＝ｏ. から放れ出 だ導函数を持つと しよう。. とする、 但し係数 ａ ｉ ｌにａ ｉ と量 Ｄ ｋ ．とは ｎ個の独立蔓数 ． ・ ・ 種えられた函 均’ ｉ －－農 のり ’ｘｎと量ｕ並 びに導 函数 ｕ. 証明、 座標饗燥２巧こより集合体 Ｍ を ｘ ，ＦＯ に蔓摸 し て考える。 も しも Ｍ が特性的でないとすれば、 Ｍ の一. 数とし. 点の適当に小さな近傍で. ２ｕ ６. . ａｍ （ｘ１ ，… …， ｘｎ‐１ ，０） キ ０. である。 ａｍ で割って ▽＝▽レ についての微分方程式を 次の形に書くことが出来る。. と略言巳する。. ）は紙数の都合上誰述を省略して 特性体の基本的性質１. ｔ ｌ－ー ｉ ｎ‐ ‐ ｌ 】－ｌ ｖ － ご ｃ ー ， － － ｊｖ←÷ ｋｖｎ ，十 三 ｃｍ昭， －＋ ｄ”▽”＋ 差 ｄ く 一 ま ｉ ｉ－１ ′ １ も てニー. 次の間から始める。 微分方程式 Ｌ〔ｕ〕＝０．の解ｕ が次の性質を具備 して. ｘｎ）＝０ は如何なる係件 （ｘ 存在するためには曲面 や ｌ ，…，. トｆ＝０ ナｅｖ‐. それからの微分方 程式を限界ｘ ー ーご 妻 と ｘｎ＝ …３ との間. を繍たさねばならないか；ｕ と一次導函数 ｕ ｉ ， 並びに. で積分 じこ. ｉ の凡ての内部導函数は曲面通過に 曲面上に於ける量 ｕ ′ 関し連続であって；？＝０ から放れ出た量 ｕ ｉの導函数、. ）－▽ ‐ （ｘーヂ‐ ）十 … ；。 ▽ｎイｘｌ ｆ． ’ 績１一１ ー ’ ｘｎ」’一Ｅ ，Ｅ ー . ＼をソに無関係な正の限界とす， を得る、 その際点々でノ ‐（いる。 故に るとき絶対値が ＡＥ より小なる式が表さ才Ｌ. 特に導函数ｕｗ は曲面の通過に関して 跳躍を持った不連 続を受けるものとする。. 固定された 可こ対 して. この曲面 Ｍ：①＝０ が特性集合体でなければならない. ）！＜△も ‐ Ｊ▽ ー ｌｒ”？× ーーｌｒＥ ー ー甑ｌｒ‐ ，ｘ １に）－▽ｎ ｘ. ことは特性体の基本的性質から明かである。 何となれば も しそうでないとすれば一方に於て我々の要求が二次導. ゞ （ｘｌｒ． ｎ一，一６ ）１≦△だ ． ｌｕｎ（ｘ，ｒ． ， ．…，ぷ）一ｕ ， ， ． ，ｘ. Ｍ から放れ出た一次導函数. 函数の異なった値－－即ち曲面 Ｍ の一方の側も しくは. 従って Ｅ→０ に対 して. 他の便りからの二次導函数の極根値が ；＝０ から生ずる奥. ｕｎ は我々の仮定に反 して跳躍を持ち得ないことふなる。. えられ塙初期帯を積分 瀞こ補修し得ることを示 している と二次導函数と叉凡て の高 のに、 他方に於て Ｍ に渦ぅ・. ′ｘ ｘ 故に Ｍ 上で ａ １ ‐ ｎ Ｉ － ｎ － ，…， ，０）＝０ が成立せねばなら Ｍ ない、 即ち ，は特性的でなければならない。 （証明柊）. ｎ の. 更に曲面 Ｍ が、 それに渦うてｕ が. 次導函数が一意に確定される様なことになるであろうか ６２. ，.
(3) . 第２巻 第１. ｕ＝Ｕや免α１ ，…，ｘｎ） ，. くは平面群 × ーＦｃ に饗模されると考えて差支えない。 微分方程式を. 合に曲面 の＝０ は特性集合体で なければならない、 但し Ｕは連続微分可能とする。 証明、 微分式 Ｌ〔ｕ〕にｕ＝ＵＦ ′ １ ｛Ｌ 〔や）Ｕ＋２１ａ を入れα（α－１）Ｕ平』 αａ ｉ臨 戦）＋αデー ｉ ｋ ２ α ４ Ｕ Ｌ Ｕ ０ －岬 〔 〕 と書き キ を乗じ 寧→ とすれば キ ｉ １｝. （５）. だけを含む式を総括 して Ｊ と表せば. 署 鋸蝉坪， 【＝ ｏ ｉ ，ｋ. Ｊ十ａｍｕ ｈｕｍ十ｂ ｕ ｕ ー ｍ十ｂ ー ー ． ｔ ， ，十２ １ ａ ー ， ー ．＝ｏ ｉニー. が生ずる。 次に や＝０ だけでなくて 全面数群 牛＝ｃ ｔ ｓ ｏｎ ． が特ヶ曲的. と後ろ。 曲面 × ，ＦＯ 叉は一般に曲面 ×ｎ＝ｃ に対 して横. と仮定すれば－－曲面 〒＝０ はこの様 な群 に包含される. 断微分の定義. と考え得る－－微分方程式の初項は なく なる。 それから １４を案じ 一 Ｌ〔ｕ〕にキ 、 や＝０ と置けば、 特性集合体 や『０ 上で Ｕ に対する憐件を表す関係式. ａｘｎ ａｘｉ ｌ ｔ －－一ニ ム ａ ｉ ｉ ｋ ｎ ーｋ ニａ ーヘ ＝ ー ｒ ｏｘ ｌ ｛＝ｌ. 及び Ｍ 上で ｕｎ＝▽ の略記を用うれば. Ｌ′ 〔や〕Ｕ 十２又醐ｋＵ坪に＝０. ◎ Ｊ 軸ｍ▽－ ２ 帯 十ｂ，，にｏ. が生ずる。 時注射線の関係式. に移る。. 「 ｘ ｌ ｋやｋ ｉニ ー ａ ｋ＝Ｉ ａ. 集合体 Ｍ が特性的であれば、 その上で. Ｍが特性集合体であれば方程式 （６） は・ ｕの Ｍ から放. からこの膝件を直ちに 納. れ出た導函数▽に対する僻件を表す。. ＡＵ 一ｏ. ６）は Ｍ 上で Ｍ： 為，＝０ が特性集合体であるとき（. なる形に置くことが出来る、 但 し. の. Ａ＝Ｌ′ 〔や〕＝ｘａ －±ｂ ｋや決→ ｊ ｉ暇. Ｊ秘 帯 ＋』にｏ. をなる。 然るに. である。 よって. 特性肘線に滑う不遜総量の係数 Ｕ は線型同次常微分. △＝Ｌ′ 〔の ＝ 〆 ａ政？沫 十 ｉ ｋ＝ｌ ，. 方程式を満足する。. ぎ ｂや ｉ ｉ＝１. ３ ）Ｌ′ 〔キ 〕＝ｂｎ が や＝ｘ－ － は座標襲換に対 して不愛である。 に対 して成立するので‐一般に任意の特性集合体 や＝０ ）を に対して （７. この射線に渦うて Ａ をｓの興え られ た 函 数 と 見 な し ＼ ｓ＝０ に対 して Ｕ＝ Ｕｏ となるときは射線上で一般に Ｕ（） 一Ｕ‘. ａ ｎ＝０ であ － －. こ り義一は内部導函数である。 故キ. ａ. . の ４. ｉ １ ｎ－ ｎ－ － １ １－ｌ － 署 ａ ｕ ー感・ ー ｋ十 ぎ ｂ ｉｕ ｉ十ｃｕ十＆ ， ー ， ーｍ十２ ．署 ｌ ｉ ｌ ｉ ニ ヨ ｉ ヨ ｐ コ ニ ， ． ～ ｏ ｂ 十 ＝ ａ ｕ ｉ ｎｕｂ ． ｎｎ. 渓る形に書き、 或は集合体 Ｍ‘ ×に０ 上の内部導函数. Ｌ〔 １ １ 〕＝０ から ？＝０ に対 して特性体鱗件. ｎ ｏ・ ａ. 昭和２５年８月. となく キ＝０ 叉は曲面群 ヰにｃ を座標平面 × ，ＦＯ もし. （α＜○）. なる形で無限大になる ｕについての不連続曲面である場. （２）. ， ．. 整. 学. 号. 身ＥＡ （仙. ◎. 故に不連続量 Ｕ はそれが恒等的に零でないとき既知. Ｊ十２ 署 十Ａｖ－。. なる形に書くことが出来る、 その際. て樟わり零とはなり得ない。 の状態で特性射線に浩う ・. ▼ Ａ＝Ｌ′ 〔や〕 ＝．≧ ａ ； ｋ噛（十まｂｉ〒 ．ｉ も１ く. Ｓ２ ， 特性集合体に浩う微分方程式. は集合 体に浩ぅて 既知の式である。 この方程式（８）は特. と射線に浩う不運機の偉連. 性集合体 Ｍ に沼ぅて放れ出た導函数 ▽＝ｕｏ についての 一階線型常微分方程式を表し、 而も媒介愛数ｓで特性集. 懲達関係式く３）は種々の種類の不連続の張さに対 して. 合体 Ｍ を作る射線の各々に対して成立する。. 木愛である、 これを微分方程式. 今跳 躍量の関係式を次の様にして得る： 差 し当って放. （４） ！ａ ｔ ｌ＝０ ｉ ｉ ｋｕ ｋ十ーｂ ｉｕ ｉ十ｃ. れ出た導函数 ｕの＝▽ が跳躍 ＋. の予め奥えられた集合体 〒＝０ ， 特に特性集合体 に浩ぅ ての事 青を詳しく分析 して証明 しよう。 一般性を失うこ. （ｕや） ＝ （▽） ＝ ｋ ６３. ＊ ，.
(4) . ＶＯ Ｉ ．２ ．Ｉ ， Ｎｏ. Ａｕｇ ．１９５０. １ ＧＡＫＵＧＲ ÷ＲＩ ＧＡ ▲. Ｒｍ を前進する波面 ｔ＝↓（ｘ 時間蔓数としｘ‐ 寡聞・ １ ，…， ｘｍ）とそれを切る線に対隙させることによって説明され る。 前節（９）の示すことは： この様な進行波面上に或る. を受けるとし、 ａｌ に沿うて函数ｕが連続 且つｕの接線 導函数 （内部導函数） も連続とする。 こ の跳躍度１ ｛を媒 介奨数ｓなる Ｍ 上の射線に沿うて追求し、 方程式 （６） ）を Ｍ の異なった二面上の二点 ） ｐ十 ‐ で書いて減じ、 ，１ Ｐ Ｐ Ｍ 一 らす と とを の 点 にず ｐ十 － 。 それから Ｍ を再. ）の考えてい る様な不連続 瞬間に一点で解 ｕ（ｘ・ ，…，ｘｍ ，ｔ が存するときは、 この不連続の度合が上記の法則（９）に. び ｘ。＝０ なる形で考え係件 ２如 ＝０ とＪ が連続的に Ｍ. よって初期点を通る射線に渦うて博わる。 叉曲面 ↓＝０. を通ることを考慮すれば Ａ ＝ｂｎニ ー 《〒 〕 」. 上で時間 ｔ＝０ に対して小部分で既にｕの一次導函数が. について. の高次の跳躍だけが存するという様なときには、 不連続 ′れを通る射線東に浩ぅて明 瞭に限られた部分 の部分はそ. （９）. 不連続である か、 さもなければこの初期曲面上で導函数. ２ 誓 十Ａ ＩＦ Ｏ. として継続するであろう。 所謂影の限界の現象が表され. を得る。 即ち跳躍陵 ｋ は射線に潜うて（３）の. る。. Ｕ と同 じ法則 で 樽 わ. ′. ‐. ８４ ， 連立微分方程式の特性体と流体力璽への膿用. る。 それが少くとも一. 数理物理学の多くの問題は一階連立微分方程式に関す. 点で零でなければ射線. るものであるが前迦の特性体の概念が殆 ど同様に当ては. に潰ぅて如何なる点で. まる。 今独立愛数 ×・←，均ー； 求める函数 ｕ・ ，…，ｕｍ な. も零とはなり得なし・ 。. る連立微分方程式を. 、 ｕ. の一次導函数が速. （ｌｏ）. 緋 轍秘こＭを通過し、 一. 次導函数の内部微分に. 呂 Ｌｉｋ〔ｕｋ〕＝ｇｉ・ . （に ｌｒ”…，１ ｎ） . と書く、 但 し. よって得られる二次導. 函数も連続的にＭを通 過するとすれば、 二次. と略言巳してある。 そのとき特性体は ④＝０ につＬゞて偏微. 豊函数の跳躍が二次の. 分方程式. 放れ出た導函数の跳躍 ａ 謡ａ醇．… … … ．きｌ ギー ｛ ｌ ， ，. ｋ ； 窺やや） ＝ （Ｖや）. によって定められる。 特性集合体 〒＝０ が特性集合体の 群 や＝ｃ に一般性を失うことなく含まれると仮定され｝. （ＩＤ. ば又と ，の跳躍量 （ｕｗ） に対して樽達関係式 （９） が成立 するＱ － この証明には先づ特性集合体を曲面 均Ｆ 畔こ髪形され ると考え、 方程式 ６●から出発 してこれを 均，で微分し、 上記の老慮を反榎すれば出来る。 その際量. ◆ 渡 そ‐ ‐. が連続的に Ｍ を通過し ａ，ｍ＝Ｏ. がｘＩ Ｉド１； ｘ ー ， につ ，…， ｘ １ いて恒等的に成立することを 注意する必要がある. 。. この様な不連続性が先ず高次導函数に現れるとき、 全 く同一の跳躍関係形式が同一の証明法で高次導函数の跳 躍度に対して成立し； 前節で速べた様な不連続性を有す るｕそのものについて もそこの仮定の下で叉同一形式の 跳躍度を持つことが示される。. い ｒ ！ ａ孟子 ん ．… … … ，ムａ ｇ ， ，ドー. どａ一宇. ｒａ 表寵 ぎもぎ．… … … ム ， ｍ ．. ニ０. を膜件として補足する。 解 １ １ － の一次導函数の跳躍的不 連続を、 その他の量の連続性を仮定して、 ；＝０ から放 れ出た導函数の一意性が成立 しない・ ことから （ＩＤ の僻 件の下に得る。 叉導函数を初め其の他の量の連続の仮定の下に解－ １ １の Ｉ Ｌ ＩＦ Ｕドメ （ｋ＝１ ，…， ｍ） α＜０ ， Ｕ は連続微分可能 という様な不連続性を成立させるためにも （＝） は必要 である。 何となれば ＳＩ に於ける如く （ＩＤ） の左辺に ｕに＝Ｕｋ字 を代入し ． １ １ １ ＝ １ Ｉ 〔Ｕｋ〕 ＋ α〆而Ｉ Ｊ ＵｋＬｔ ず Ｚ Ｌｎ ｋ〔靴〕＝ｇ ｔ （. Ｓ３ ， 特性体の物理蝦的解離 特性体と特性射線との直観的意味は ｘ，Ｆ ｘ，ｎ十・ ＝ｔ を. 署ａ ２程. . . １－α を乗じて ？＝０ とすれば これに 〒 ６４ ．. ・.
(5) . ・. 第・２ 巻 第 １ 号 （１２）. ぎ Ｕｋ工硫 斡 リ ニＯ Ｉ ｋ－ ・. 昭和２５年８月. 学. くｉ＝１ ，…，，ｍ）. 或は ′ ｇ Ｏ （ｔ ｖ十ｕｘｖ十ｖｙ 豆一ｐ（ｘｖ 十ｙＹ）＝。. で輿えられる。′ 比 山：ｄｘ 敬 によって輿えられる射. が出る。 然るに （１ー） の行列式の各列に Ｕｋ 等を乗 じて ） は成立す ） の左辺であるから （ｌｉ 総和したものは （１２. 線即ち複特性体は不連続に対して博播遮度即ち射線速度. ることムなる。. を表 し、 この特性体の偏微分方程式に属するモソヂュの 錐面のモンヂュの方程式は. 特性体及び特性関係の概念は高階微分方程式及び連立 微分方程式に関しても拡張し得るが今形式的議論を避け て非線型問題に対する例として平面 に於ける圧縮性流体 の流体力学に於ける連立微分方程式を考える。 ） ） 速度成分を ｕ（ｘ ， 流体の密度を ，ｙ ，ｔ ， ▽（ｘ ，ｙ ，ｔ ′ ０ ） ｐ（ｘ ，ｙ ， ｐ（ｐ） を ｐ（ｐ）＞ ，ｔ. なる圧力函数とすれば準. ２ ２十（害 ▽） （誓－ｕ） 「 ヒメ ーは萱塗と称せら ／ヤデ となる。 善響学或は流体力学では； れ、 この方程式は流れに対する不連続博播の相対速度が 音速に等 しいことを示している。. 線型のオイ ラーの運動方程式は. 』 客 １ 玉 三 覧豊 奏 善 員 ，. 輿えられたｕとｖとについて例え ば原点 ｘこｙ＝ｔ＝０ に頂点を持つ，ｘ ，ｙ －空間の特性微分方程式のモソヂュ. の錐面は方程式. ２ （ テーｕ）十（チー▽）もげ＠. と な る。 頃× ，ｐ が奥えら ，ｙ ，▽ ，ｔ）＝０ をそれに渦うて ｕ. 特性体係件は 〒＝０ につい れる様な初期集合体とせよ。， て. ＋ Ｅぬけ Ｘ ▽もも. 擁. Ｆやｘ. 』； ；」. ｆギｙ ，. で輿えられている。 この錐面を平面 ｔ＝１ で切れば切り ′ なる円で ２十（ｙ－▽〆＝ｐ 口は （ｘＭｕ） 、 この円が原点 ′ か ｕｇ十 ｇ Ｘ＝ｙ＝０ を囲むか否かによって即ち ｕ 十で２くｐ ′ に従ってこの錐面は ｔ－軸を含むか含まないかで ▽２＞ｐ. 【十ｕ竿ｘ＋▽牛ｙ や. ある。 さて定常の場合の状態を考えよう と思うのである が、 これは ｔ に関する導函数を凡て零と置けば得られる. 即ち ′ ２ ２ Ｄ＝〆（吸 十ｔ １ やｘ十▽やゞ）｛（軟 十ｕ＠×十Ｖやｙ戸一ｐ（やＸ 十牛ｙ）｝. ことは明かである。 考えているモソヂュの錐面のうちで. ＝０ であって や＝０ に遭うて Ｄキ０ならばこの初期集合. 遠. 体に浩ぅて初期値から ｕ，▽，ｐ の凡ての導函数、 特に外 向き導函数 ｕり，ｖの ｐ や が一意確定となり Ｄ＝０ ならば. . 〒＝０ は特性体となる。牛＝ｔ一↓（ｘ ，ｙ） と置いて出来る. Ｘ ，ｙ‐ 平面の相 当曲線群 ，ｔ「 塞間の特性曲面或は ｘ ，ｙ 動 ） は流体運 の際起り得 べき不連続集合体或 ｔゴレ（ｘ ，ｙ 、. ≦／／. は波面である。 Ｄ＝０ は ′↓２十↓２ ２ーＰ Ｘ ｙ）｝＝０ ， ｐ １ーｕしｘ一▽↓ｙ）｛（１一ｍシｘ－▽少ｙ）. 或は曲面 ’ｋｘ，ｙ，ｔ）＝０ の法線の方向余弦を ｔｖ ，ｘｖ ，ｙｖ. 超暑速と下書速のときの特性難面 ヱ 唯 鞍 ＝０ である様な、 即ち ｘ ，ｙ－平面に垂直－－ｔ軸を 含む接平面の様な ものが問題でそれと錐面との接触直線. を用いて ′ ヨノ｝；。 リー１ ） （ｘ 十ｙｖ ｌｘ，十ｖｙｖ） ｐｈ▽十ｕｘｖ十▽ｙ 〆（ｔ ｖ十ｔ 総. と書ける。 故に特性体として先ず １ 鋭 十１ ？ｘ ＋ ▽恥 ＝ ○. が定常の場合の両特性方向を輿える。 故にｔ軸が錐面の. コキｒが善遠／マ÷より大 外にあるとき、 即ち流速／ｉｉ ．. 或は ｔ ｖ 十 ｕｘｖ 十 ｖｙｖ ＝ ０. なる場合に、 而もそのときに限って ｔ一触を通るモソヂ ュの錐面への両接平面が実で異なるから二特性方向が奥. によって輿えられる形成体を得る。 この射線の ｘ， ｙ－ 平面上への射影は流覗きであり、 三次元 ｘ ，ｙｔ－寡聞の射. 線自身は 寿一ｕ ，芸芹. ・. ー. えられるので ある。. . ｖで表され、 従って流速と同 時. この定常の場合については近似的な量を附加すること によって容易に実験 し得る、 速度ｕがｘ軸に平行な一定 速度 Ｕと微小量◎だけ異なり、 密度ｐも一定の密度Ｐと. に流隊きを表す。 特性体の後者の形は 〒＝０ 上で. 僅かに ｏ だけ異なるものとする。 叉 ） ， 部数小な量とす. ′ ２ーｐ ２ （〒 十や （や と十ｕ軟 十▽やｙ） ｙ）＝○ ６５.
(6) . Ｉ ＶＯ ．２ ，Ｉ ， Ｎｏ. ＧＡＫＵＧＢＩ. る：. Ａｕｇ ．１９５０. を得、 それから消去によって二微分方程式 ｕ＝ Ｕ＋◎ ，. ▽＝｝ ， ，. ＰＦＰ十α. 更に微分方程式に於て の ， ，） ，ぴ とその導函数との積と高 次の幕を省略しても流体の運動が 十分綿密に表されるも. のと見なすと最初の連立方程式は定数係数の連立線型微 分方程式. （１一ｋも） ぷｘ ＋ ） づｙ ＝ ０ ２）びＸｘ 十 ｄ ＝ ０ １一ｋ ． （ ｙ ｙ. が得られる。 この方程式は ｋ〉ｉ 即ち Ｕ〉’ ／÷司÷なると き双曲型とな り、 特性体は ×－ 軸 に 対 し て ｉｓ ｉ ｎα１ ＝. １‐ 守 なる角αで像・てぃる直線でぁる。 原逮 Ｕ の壁に平行な牛塞間の液体或は気体の運動を考え、 壁の 一区間 ＡＢ にそこで速度の小さな垂直成分） ，を惹き超す. で置きかえられる。 直ちに所謂 「渦流定理」 を表す関係. 小粗度或は小隆起を設けることによってこの例を物理的. 式. に実現することが出来る。 この運動が近似された連立微 分方程式で表されるという仮定の下に、 この粗度はその とき壁に対 して角α どけ傾いて ＡＢ で壁に突き当 ．る二個. 即ち. （ Ｕ ｘｙ ＝） ， ｘｘ のｙ 一 ） 、 Ｘ ＝ ｆ（ｙ）. 並びに別な連立方程式. の平行帯に沿う流域に於て持続される。 言主 １ ． Ｒ， Ｃｏｕｒａｎｔ ＆ Ｄ． Ｈｉ ｌｂｅｒ ー ｔ： Ｄ１ ｔｈｏｄｅｎ ｄｅｒ・ ｔ ｅ ・ ｎａ ｅ‐ ｉｋ ｉ ｔ ｓ ｃｈｅｎ ｐｈｉ ｓ ｒ ｒ ｍａ ， ，２ Ｂｄ．１９３７ ．の 第 二 章 Ｓ Ｉ～３ ，Ｅ ＳＩづ 第五章 Ｓｉ， ２．１肘 Ｓ３ ．； 第六章 ＳＩ～３に愛 し. く特に第六章 ＳＩ 、て ． に二階準線型の場合がょく書） あ る。 . 同署第六章 Ｓー の２ ． 参照。 （ー９５０ ） ．１１ ． ．２４. 粘流 助 走距 離 の 理論的考 察 沢. 田. 士. 孝. 旭川分校物理学研究室 Ｔａｋａ ー ｉ ｓａｗａｄａ； Ｔｈｅ Ｔー ｉ ． ＣｏｎＳ ｉ ｄｅｒａ ｉ ｌ ８ ｔ ｔ ｉ ｌ ｅ。ｒｅ ｃａ ｏｎ ｏｆｔｈｅ Ｔａｘｉ ｌ ｌ ｌ １ ｇ Ｌｅ ｇｔｈ 。ｒ Ｌａｍｉｎａｒ Ｅ． ｏｗ. 景－０ ，鵬. ｌ ， 考 察 の 目 的. ０５７５ の 代 り に ０ １２５ 然 る に Ｎｉｋｕｒａｄ・ｅの 実 験 に よ る と ０ ， ，. 円管申そ こ粘性流体を流すとき、 管の入口より一定の隔 ｉ ｉ ｌ 離だけ流諌÷た后、 Ｐｏ ｌ ｓ ｅ の法則で示される如き速度 ｅ ｌ ｌ 分布の暦流が完成する。 この距離を縦流助走距離 （ｄｉ ｅ. となるという。 筆者はこ の理論値と実験値の相異の来る 理由を次の節. Ｌ１ ｉ ｎｇｅ ｄｅｒｌ ｌ ａｍｉ ｌ ｌ ａｒｅｎ Ａｎ ｔ ａｕｆ ｓ ｃｋｅ） と名付ける。 今 ｅ ｒ ｌ Ｒｅｙｎｏ ｄｓ 数を Ｒ で示すと Ｒ＝. ２ｐ Ｙｄ. （２）. で明にし度い。 ２ ， 本. （１）. 論. 第１図に於いて Ａ は流体が殆 ど静止してゐると見倣. である。 こふでｐは流体の密度、ｒ は管の半径、 霞ま平 ｌ ） ば粘流助走距 」 ｌ ｉ ｌ ｌ 均速度、－ ｒ ．は粘性係数 である。 Ｓｃ ｌ ｅ. される点、 Ｂ は管の入口であって、 流体は平均速度ｄで 管中を「様に流れてゐる点、 Ｃ は施物線速度分布の完成. 離 広 と Ｒ との間 に次の関係あることを理論的に見出し. した点で・計算の結果によると、中心の速度・ ｕ ｏは ｕｎ＝２ｄ である。 Ｃ から Ｄ 迄の間では流線の襲化はない。 Ａ，Ｂ，. た： ６６.
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