三角関数 三角関数

工業数理基礎(J)［三角関数］1

三角関数 三角関数

三角関数 三角関数

年次 組 番・氏名 第 1 問 問 2 河川や海岸などの地形の計測や

建築物の高さを求めるために、三角比が利用でき る。図2に示すような建物の高さa [m]を求めよ う。なお、必要であれば次の値を用いよ。

√2 1.41 , √3 1.73

(1) 点Pから建物までの距離b [m]があらかじめ分 かっている場合を考えよう。点Pに望遠鏡と分度 器で構成される器機(セオドライトと呼ばれる)を

設置し、望遠鏡で建物頂部の点Oに照準を合わせることにより、水平線に対する角θ₁[°] を測定できる。点Pが地表から高さc [m]にあることに注意すれば、 ク と いう関係が得られる。

(2) 建物の前に障害物があり、距離bが直接測れない場合を考える。点Pと同じ高さで建物 上にある点Rとし、線分PR上に点Qをとる。点Pにおける角θ₁[°]と、点Qにおける角

θ₂[°]およびPQ間の距離d [m]を測定すれば、建物の高さaおよび建物までの距離bが得

られることを示そう。

直角三角形OQRに対して、次の式が得られる。

ケ

(1)で得られた関係と連立させると、建物の高さaと距離bが次のように求められる。

コ

tan tan , tan

tan tan

c =1.50m、d =8.50m、角θ₁=30°および角θ₂=45°のとき、建物の高さは サシ . ス m と得られる。

このような測量の仕組みは、さまざまな場面で用いられる。興味深い例として、地球の 公転軌道上に点Pおよび点Qをとり、地球から遠く離れた天体を点Oにとり、地球からそ の天体までの距離を17250光年と計測した報告がある。

【補足説明】サシ . ス の回答においては、分母を有理化したのち、与えられた近似値を用いて計算すること。

ク ～ コ (0) sinθ₁ (1) cosθ₁ (2) tanθ₁ (3) sinθ₂ (4) cosθ₂ (5) tanθ₂ (6) sinθ₁sinθ₂ (7) cosθ₁cosθ₂ (8) tanθ₁tanθ₂ (9) sinθ₁+sinθ₂ (a) cosθ₁+cosθ₂ (b) tanθ₁+tanθ₂

工業数理基礎(J)［三角関数］2

解説 r

y )θ

x

sinθ= y/r cosθ= x/r tanθ=y/x

sin30° 1/2 cos30° √3/2 tan30° 1/√3 sin45° 1/√2 cos45° 1/√2 tan45° 1

(1) 直角三角形OPRで距離PR(=b=x)と角度θ₁がわかっているとき、距離OR(=y)は三角関 数のtanで求めることができる。tanθ₁= y/x = OR/PRより、OR=PR tanθ₁=b tanθ₁で求めら れる。a = OR+cであるから、a = b tanθ₁+cとなる。 ク 2

(2) 距離QR=b－d、距離OR=a－cであるから、直角三角形OQRにおいて、tanθ₂= OR/QR

= (a－c)/(b－d)と求められる。 ケ 5

(1)で求めたOR=b tanθ₁(a－c =b tanθ₁)と連立させ、aとbについて変形すると次のよう になる。まず、bについて変形する。(結果は問題に示されている。)

tan tan

tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan

tan

tan tan tan

tan tan

これを(1)で求めたa－c =b tanθ₁に代入すると次のようにaが求められる。

tan

tan tan tan tan tan tan

tan tan コ 8

c =1.50m、d =8.50m、角θ₁=30°および角θ₂=45°のとき、建物の高さaを求める。

tan tan 30° 1

√3

√33 #分母の有理化$、 tan tan 45° 1 tan tan

tan tan に値を代入して計算する。√2 1.41 , √3 1.73 8.50

√%

% 1

1 ^√%_% 1.50 8.50 3 ^√%_%

3 &1 ^√%_%' 1.50 8.50 √3

3 √3 1.50 8.50 √3#3 √3$

#3 √3$#3 √3$ 1.50 8.50 3√3 3

9 3 1.50 8.50 3#√3 1$

6 1.50

工業数理基礎(J)［三角関数］3

8.50 √3 1

2 1.50 4.25 #√3 1$ 1.50 4.25 1.73 1 1.50 4.25 2.73 1.50 13.1025 サシ 13 ス 1