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九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

Lax対とは何か? : 新しい可積分系を生成する方法

土田, 隆之

岡山光量子科学研

https://doi.org/10.15017/23397

出版情報:応用力学研究所研究集会報告. 22AO-S8 (13), pp.87-92, 2011-03. 九州大学応用力学研究所 バージョン:

権利関係:

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応用力学研究所研究集会報告No.22AO-S8

「非線形波動研究の新たな展開 現象とモデル化 —」(研究代表者 筧 三郎)

共催 九州大学グローバルCOEプログラム

「マス・フォア・インダストリ教育研究拠点」

Reports of RIAM Symposium No.22AO-S8

Development in Nonlinear Wave: Phenomena and Modeling Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,

Kasuga, Fukuoka, Japan, October 28 - 30, 2010 Co-organized by

Kyushu University Global COE Program

Education and Research Hub for Mathematics - for - Industry

Research Institute for Applied Mechanics Kyushu University

March, 2011 Article No. 13 (pp. 87 - 92)

Lax 対とは何か ? - 新しい可積分系を 生成する方法 -

土田 隆之( TSUCHIDA Takayuki

(Received 31 December 2010)

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Lax 対とは何か? — 新しい可積分系を生成する方法 —

岡山光量子科学研 土田 隆之 (TSUCHIDA Takayuki)

概 要 非線形シュレーディンガー方程式系を例にとり,Lax対の意味について考察する.これに より,一般に,Lax対を持つような可積分系は,Miura変換でつながったパートナーを持つことがわ かる.Lax対から定義される逆Miura写像を適用することで,既知の可積分系から,新しい可積分系 を生成することができる.紙数の制限,および原著論文[1]の著作権を考慮し,ここでは,具体的な 適用例には,(あまり)触れない.詳細な説明や,多様な具体例については,論文[1]を参照されたい.

1 はじめに

非線形可積分系の持つ重要な性質として,Lax対[2]の存在が挙げられる.実際,Lax対により 定まる補助線形問題(以下では,これをLax表示と呼ぶ)を解析することで,様々な情報を得るこ とができる.最初のLax対は,1960年代後半に,KdV方程式に対して与えられた[3].その発見 は,KdV方程式とmodified KdV方程式(或いは,その1-パラメーター変形であるGardner方程

式 [4, 5])をつなぐ,Miura変換と呼ばれる従属変数変換を「線形化」するというアイデアに基づ

くものであった [6, 7].しかし,その後,Lax対が非線形シュレーディンガー方程式 [8]や他の系 に対して,発見的手法で構成されるにつれ,Miura変換が最初のLax対の発見において決定的な 役割を果たしたことは,特殊な事例と見なされるようになってきた.

この講演の目的は,Lax対とMiura変換が表裏一体の関係にあることを示し,既知の可積分系 とそのLax対から,新しい可積分系を生成する系統的な手法を定式化することである.「Miura変 換」或いは「Miura写像」は,狭義には,modified KdV方程式の解をKdV方程式の解に写す変 換[6]を指すが,ここでは,より一般に「2つの可積分系をつなぐ,ある種の非自明な従属変数変 換」の意味で用いている.基本的なアイデアを,非線形シュレーディンガー方程式系 [8, 9]

iQt+Qxx2QRQ=O, (1.1a)

iRt−Rxx+ 2RQR=O, (1.1b)

を例にとり,ざっと説明しておく.添字のt,xは,偏微分を表すものとする.系(1.1)において,

QRを複素共役の関係にとると,一本の式,即ち非線形シュレーディンガー方程式に帰着す る.右辺に,0でなくOと書いたのは,スカラー変数に限らず,ベクトル変数や行列変数の場合 もO.K. [10]という意味である.系(1.1)のLax表示は,

"

Ψ1 Ψ2

#

x

=

"

−iζI Q R iζI

# "

Ψ1 Ψ2

#

, (1.2a)

"

Ψ1 Ψ2

#

t

=

"

−2iζ2I−iQR 2ζQ+ iQx 2ζRiRx 2iζ2I + iRQ

# "

Ψ1 Ψ2

#

, (1.2b)

で与えられる.ζは,スペクトルパラメーターと呼ばれる任意定数である.(1.2)の両立条件より,

(1.1)が得られる.(1.2)の右辺に現れる2つの正方行列が,Lax対である.Lax対を,ζの代わり に,微分演算子∂/∂x を用いて表す流儀もあるが,ここでは使わない.Q,Rが正方行列でない場 合,厳密には,異なるサイズの単位行列を区別する添字が必要だが,この講演では省略する.

1

(4)

補助線形問題(1.2)の解として,Ψ1が可逆であるものを考え,P := Ψ2Ψ−11 とおく.(1.2)は,P に対する一対のRiccati方程式 [11],

Px =R+ 2iζP−P QP, (1.3a)

Pt= 2ζRiRx+ 4iζ2P+ iRQP + iP QR2ζP QP iP QxP, (1.3b) に書き直される.(1.3a)より,Rを,R=−2iζP +Px+P QP と表すことができる.これを,(1.1a) と(1.3b)に代入することで,(Q,P)について閉じた方程式系,

iQt+Qxx+ 4iζQP Q2QPxQ−2QP QP Q=O, (1.4a) iPt−Pxx4iζP QP 2P QxP+ 2P QP QP =O, (1.4b) が得られる.逆に,(Q, P)が(1.4)を満たすとき,R:=−2iζP +Px+P QP とおけば,(Q, R)は,

確かに(1.1)を満たす.(1.4)は,一種の微分型非線形シュレーディンガー方程式系であり,Ablowitz–

Ramani–Segur [12]とGerdjikov–Ivanov [13]により調べられている.系(1.4)を単独で扱う限りに おいては,パラメーターζは,ガリレイ変換により0に置くことができるため,本質的ではない.

非線形シュレーディンガー方程式系(1.1)とLax表示(1.2)からスタートして,Gerdjikov–Ivanov 系(1.4)及び,(1.4)から(1.1)へのMiura写像を導出することができた.換言すれば,非線形シュ レーディンガー方程式系(1.1)に対して,逆Miura変換を作用させて,Gerdjikov–Ivanov系(1.4) を得たことになる.この手続きは,(1.4)という系の存在を,前もって知らなかったとしても,可 能だという点が,非常に重要である.つまり,Lax表示の空間部分(1.2a)は,Miura写像の定義 式を「線形化」したものであり,Lax表示全体は,両立条件として非線形シュレーディンガー方程

式系(1.1)を導出するだけでなく,逆Miura写像を(1.1)に作用させることも可能としている.

Gerdjikov–Ivanov系(1.4)を単独で扱う場合には,本質的でないパラメーターζも,(1.4)を(1.1) とペアで扱う場合には,重要な役割を果たす.例えば,(1.4)の保存則

i

∂ttr(QP) +

∂xtr£

QxP −QPx(QP)2¤

= 0 (1.5)

から,(1.1)の無限個の保存則を生成することができる.実際,(1.3a)より,Pを(2iζ)−1の冪級数 P =−R

2iζ Rx

(2iζ)2 −Rxx−RQR (2iζ)3 +· · ·

の形に書くことができるので,これを(1.5)に代入し,(2iζ)−1の異なる冪の係数をすべて0と置 くことで,非線形シュレーディンガー方程式系(1.1)の無限個の保存則が得られる.これにより,

Wadati–Sanuki–Konno [14] (Haberman [15]も参照)によって編み出された「保存則の計算法」の 本来の意味が明らかとなり,保存則の母関数の正体もわかったことになる.更に,Miura写像を 定義する式 R=−2iζP +Px+P QP を,得られた(1.1)の保存則に代入することで,Gerdjikov–

Ivanov系(1.4)の無限個の保存則も得ることができる.また,Lax表示(1.2)に対して,逆散乱法 を適用すれば,非線形シュレーディンガー方程式系(1.1)とGerdjikov–Ivanov系(1.4)を「まとめ て」解くことも可能である.

2 方法:Lax表示からMiura写像へ

前節では,非線形シュレーディンガー方程式系(1.1)を例にとって概説したが,この方法は,(1 + 1)- 次元における2成分の偏微分方程式系に限らず,多様なクラスの可積分系に対して適用可能であ る.適用条件は,大まかには「Lax表示の空間部分が,元の系の従属変数に関してultralocalであ

(5)

ること」である.そのような場合には,元の系に「Miura変換を通して埋め込まれている」修正 系を特定することができる.これは制約としては十分に緩く,多成分系,(2 + 1)-次元方程式,微 差分方程式,偏差分方程式など,既知の可積分系の大半に対して,この方法を問題なく適用する ことができる.

一般論を述べるが,ここでは,説明をわかりやすくするため,行列型のLax対を持つような,

(1 + 1)-次元の連続時空における発展方程式系を考える.Lax対U, V と固有関数ベクトルψ を,

成分まで明示した形で書いておく:

 Ψ1

... Ψl



x

=



U11 · · · U1l ... . .. ...

Ul1 · · · Ul l



 Ψ1

... Ψl

, (2.1a)

 Ψ1

... Ψl



t

=



V11 · · · V1l ... . .. ...

Vl1 · · · Vl l



 Ψ1

... Ψl

. (2.1b)

ここで,lは,2以上の自然数である.空間部分のLax行列Uに含まれる,関数として独立な従属 変数全体の集合を,{q1, q2, . . . , qN}と表す.Lax対U,V は,スペクトルパラメーターζに依存し ており,(2.1)の両立条件ψxt=ψtx より,可積分な偏微分方程式系,

tqi =fi(q1, q2, . . . , qN), i= 1,2, . . . , N, (2.2) が得られるものとする.Lax行列Uが,従属変数についてultralocalであることを仮定しよう.つ まり,Uは,qj,x,qj,xx等を含まないものとする.

Lax表示の空間部分(2.1a)より,ΨiΨ−1j に対する結合型Riccati方程式系,

³ ΨiΨ−1j

´

x =Uij +UiiΨiΨ−1j ΨiΨ−1j Ujj+ X

k(6=i,j)

UikΨkΨ−1j

ΨiΨ−1j X

k(6=j)

UjkΨkΨ−1j , 1≤i6=j≤l, (2.3)

が得られる.異なる成分間の比 ΨiΨ−1j , i6=j が,すべて独立なわけではないことに注意してお く.実際,適切に,(l1)個の ΨiΨ−1j (1≤i6=j≤l) を選んでおけば,他の ΨiΨ−1j は,これ ら (l1)個の量とその逆数を用いた,積の形に書くことができる.基底を成すこれらの ΨiΨ−1j を,{p1, p2, . . . , pl−1}と書く.典型的には,pj := Ψj+1Ψ−11 ,或いは,pj := Ψj+1Ψ−1j と置けばよ い.従って,(2.3)は,{p1, p2, . . . , pl−1},それらのxに関する一階微分,{q1, q2, . . . , qN} を含む (l1)本の式にまとめることができる.これは,仮定により,qj に関してultralocalである.つ まり,(2.3)より,N 個の変数qj に対する,(通常は)代数的な(l1)本の方程式系を得る.

Lax表示の時間部分(2.1b)から,ΨiΨ−1j に対する,もう1つの結合型Riccati方程式系,

³ ΨiΨ−1j

´

t=Vij+ViiΨiΨ−1j ΨiΨ−1j Vjj+ X

k(6=i,j)

VikΨkΨ−1j

ΨiΨ−1j X

k(6=j)

VjkΨkΨ−1j , 1≤i6=j≤l, (2.4)

が得られる.空間部分と同様にして,(2.4)から(l1)本の式を取り出し,それらを{p1, p2, . . . , pl−1} に対する時間発展方程式として,まとめることができる.これら (l1)本の式は,qj について ultralocalではなく,時間部分のLax行列V を通して,qj の偏微分にも依存している.

これで,(逆)Miura写像を構成するために必要な,3つの材料がすべて揃ったことになる:

3

(6)

(i) 元の従属変数 {q1, q2, . . . , qN} に対するN 本の時間発展方程式(2.2),

(ii) (2.3)から得られた,{q1, q2, . . . , qN}に対する(l1)本の代数方程式系(係数は{p1, p2, . . . , pl−1} やそれらのx-微分を含む),

(iii) (2.4)から得られた,新しい従属変数{p1, p2, . . . , pl−1}に対する(l1)本の時間発展方程式 ({q1, q2, . . . , qN} やそれらの偏微分を含む).

(ii)を,{q1, q2, . . . , qN}のうちmin(l1, N)個のqjについて解き,残ったqj{p1, p2, . . . , pl−1} のうち min(l1, N)個のpjを使って書き表す.これらの表現が,元の系(i)へのMiura写像を定 義する.対応する修正系は,(i)と(iii)から,Miura写像の定義式に登場する変数に対する,計N 本の発展方程式を取り出し,その中に含まれる不要な変数を,(ii)を使って消去することで得られ る.(ii)と(iii)は,Lax対U,V を通して,スペクトルパラメーターζに依存しているため,この ようにして構成されるMiura写像と修正系も,ζを任意パラメーターとして含むことになる.

実際には,l−1とN の大小関係によって,(ii)の解き方に違いが生じてくる.l−1RN それ ぞれの場合について,手短にまとめると,以下のようになる:

l−1> N の場合(Lax対が,元の系の従属変数に関して「疎」である)

(ii)を解く際に,{p1, p2, . . . , pl−1} の中から,基底となるN 個の pj を見出す必要がある.

pj の添字を適当に付けかえれば,Miura写像は,

(p1, p2, . . . , pN)7→(q1, q2, . . . , qN) と書ける.従って,従属変数が,すべて入れ替わることになる.

l−1 =N の場合 Miura写像は,

(p1, p2, . . . , pl−1)7→(q1, q2, . . . , qN)

で与えられ,従属変数の組全体が,完全に入れ替わることになる.最も簡単な l= 2,N = 1 の場合,これは,Chenによる方法[11]と等価である(Kruskal [4]も参照).

l−1< N の場合(Lax対が,元の系の従属変数に関して「密」である)

(ii)を,{q1, q2, . . . , qN}のうち(l1)個のqj について解き,{p1, p2, . . . , pl−1} と置き換え ることになる.qj の添字を適当に付けかえれば,Miura写像は,

(q1, q2, . . . , qN−l+1, p1, p2, . . . , pl−1)7→(q1, q2, . . . , qN)

と書かれる.一般に,どの qj を置き換えるかという選択には任意性があり,修正系が本質 的に1つとは限らないことに注意する.この場合が,3通りの中で,最も面白いと思われる.

3 離散系の場合: Ablowitz–Ladik格子

前節までは,連続系の場合をみてきた.離散系の場合に,この方法がどのように適用されるか を,Ablowitz–Ladik格子[16]を例にとってみてみよう.Ablowitz–Ladik格子 [16]は,通常,非 線形シュレーディンガー方程式系(1.1)の可積分性を保った空間離散化を指すが,ここでは,2つ の非自明な時間発展の重ね合わせであることがわかるように,パラメーターa,bを含む一般形,

Qn,t−aQn+1+bQn−1+ (a−b)Qn+aQn+1RnQn−bQnRnQn−1 =O, (3.1a) Rn,t−bRn+1+aRn−1+ (b−a)Rn+bRn+1QnRn−aRnQnRn−1 =O, (3.1b)

(7)

で考える.系(3.1)のLax表示は,

"

Ψ1,n+1 Ψ2,n+1

#

=

"

ζI Qn Rn 1ζI

# "

Ψ1,n Ψ2,n

#

, (3.2a)

"

Ψ1,n Ψ2,n

#

t

=

"

21)aI−aQnRn−1 ζaQn+ζbQn−1 ζaRn−1+ bζRn

³1 ζ2 1

´

bI−bRnQn−1

# "

Ψ1,n Ψ2,n

#

, (3.2b)

で与えられる.Pn:= Ψ2,nΨ−11,n とおくと,Lax表示(3.2) は,Pnに対する離散Riccati方程式と 連続Riccati方程式,

Rn=ζPn+11

ζPn+Pn+1QnPn, (3.3a)

Pn,t=ζaRn−1+ b

ζRn21)aPn+ µ1

ζ2 1

bPn

−bRnQn−1Pn+aPnQnRn−1 b

ζPnQn−1Pn−ζaPnQnPn, (3.3b) に書き直される.(3.3a)が,Miura写像(Qn, Pn)7→(Qn, Rn)を定義している.実際,(3.3a)を使 えば,(3.1a)と(3.3b)からRn,Rn−1を消去できて,(Qn, Pn)について閉じた微差分方程式系[17],

Qn,t−aQn+1+bQn−1+ (a−b)Qn+aQn+1 µ

ζPn+1 1 ζPn

Qn

−bQn µ

ζPn+1 1 ζPn

Qn−1+aQn+1Pn+1QnPnQn−bQnPn+1QnPnQn−1=O,

Pn,t−bPn+1+aPn−1+ (b−a)Pn−bPn+1 µ1

ζQn−ζQn−1

Pn +aPn

µ1

ζQn−ζQn−1

Pn−1+bPn+1QnPnQn−1Pn−aPnQnPnQn−1Pn−1=O,

を得る.これは,a=−b= i とおけば,Gerdjikov–Ivanov系(1.4)の可積分性を保った空間離散 化を与える(2つのζは同一ではないが,簡単な置き換えで対応づけが可能).

4 おわりに

この講演では,Lax表示を持つ可積分系が与えられた場合に,Miura変換でその系に写されるよ うな新しい可積分系を見出す方法を考案した [1].この方法では,元の系の従属変数の一部と,線 形問題の解ベクトルの成分間の比を合わせて作った,新しい従属変数の組が,閉じた系を満たす ことがわかる.このような観点は,逆に,Miura変換が先にわかっていた(と思った)場合,「Lax 対とは一体何なのか? どこから出て来たものか?」という素朴な疑問に対し,1つの初等的な解 答を与えることができる.Miura変換は,Lax表示の空間部分のみから決定されるため,それぞれ が無限個の可換な時間発展から成る,2つの可積分階層全体をつなぐ変換になっている.(1 + 1)- 次元の系においては,Lax表示にスペクトルパラメーターが入っていることが,系の可積分性を 保証する.従って,この方法で構成されるMiura変換および修正系は,スペクトルパラメーター を任意パラメーターとして含む.スペクトルパラメーターに依らない(と思っていた)元の系の従 属変数と,スペクトルパラメーターに依存する線形問題の解を,混ぜてしまうところに,この方 法の意外性と面白さがある.一般に,このパラメーターは,元の系の属する可積分階層を不変に 保つ変換群と対応しており,修正系の属する可積分階層の変形パラメーターと見ることもできる.

5

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参考文献

[1] T. Tsuchida: Systematic method of generating new integrable systems via inverse Miura maps(2010), http://arxiv.org/abs/1012.2458よりダウンロード可能.

[2] P. D. Lax: Commun. Pure Appl. Math. 21(1968) 467.

[3] C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal and R. M. Miura: Phys. Rev. Lett. 19(1967) 1095.

[4] M. D. Kruskal: “Nonlinear Wave Motion” edited by A. C. Newell (AMS Lectures in Applied Math. 15, 1974) p. 61.

[5] R. M. Miura: SIAM Rev. 18(1976) 412.

[6] R. M. Miura: J. Math. Phys. 9 (1968) 1202.

[7] R. M. Miura, C. S. Gardner and M. D. Kruskal: J. Math. Phys. 9 (1968) 1204.

[8] V. E. Zakharov and A. B. Shabat: Sov. Phys.–JETP 34(1972) 62.

[9] M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell and H. Segur: Phys. Rev. Lett. 31(1973) 125.

[10] V. E. Zakharov and A. B. Shabat: Funct. Anal. Appl.8 (1974) 226.

[11] H.-H. Chen: Phys. Rev. Lett. 33(1974) 925.

[12] M. J. Ablowitz, A. Ramani and H. Segur: J. Math. Phys.21 (1980) 1006.

[13] V. S. Gerdjikov and M. I. Ivanov: Bulg. J. Phys. 10(1983) 130 [in Russian].

[14] M. Wadati, H. Sanuki and K. Konno: Prog. Theor. Phys. 53(1975) 419.

[15] R. Haberman: J. Math. Phys.18 (1977) 1137.

[16] M. J. Ablowitz and J. F. Ladik: J. Math. Phys. 17(1976) 1011.

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