回路に関する諸定理

山田 博仁

Electric Circuits

電気回路学

情報コース 4 セメ開講

回路に関する諸定理

1 ．教科書

　　 1) 大学課程 電気回路 (1) ( 第 3 版 ) 　大野 克郎、西哲　生 共著、オー 　　ム社2) 電気回路　 - 三相、過渡現象、線路 - 　喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝 　　※　倉書店2) は 12 月中頃から使用予定

2 ．成績評価

　　・ 講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う

　　・ 講義点 ( 約 30 点 ) は毎回講義時のレポート提出をもって認定する 　　・ 定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる

　　　 ( 再試は行なわないかも知れない ) 3. オフィスアワー

　　　随時 OK 、 2 号館 203 号室　 ( 事前に電話または E-mail により予約のこ 　　　と )E-mail による質問・相談も可

　　　 E-mail: [email protected] 、電話 ( 内線 ): 7101 4. 皆さんへの連絡および講義資料のダウンロード

　　　 Website 　　 http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

ガイダン ス

線形回路

実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似 的に線形素子として扱える場合を対象にしている

V = R^(I) I R^(I) I V

実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている ( 非線形素子 )

V = R I

しかし、電流がごく小さい範囲では、 R = 一定とみなせる ( 線形近似 )

R が線形素子なら、 R (I₁+I₂) = R I₁ + R I₂

R が線形でなければ、　　　　　　　であるR(I₁+I₂) (I₁ + I₂) ≠ R(I₁) I₁ + R(I₂) I₂

R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I₁ のみが流れている状 態と、 I₂ のみが流れている状態を重ね合わせると、 I₁ と I₂ が同時に 流れている状態に等価となる

つまり、 V と I は比例関係にない

つまり、 V と I は比例

( 重ね合わせ ) ( 重ね合わせ ) R

重ね合わせの

複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその

理

位置に存在するときの分布の総和に等しい。

E₁ Z₂

Z¹

Z4

Z₃

複数の電源を含む回路網 E₁

E₂ J₁

J₂

Z₂ Z¹

Z4

Z₃

J₁

Z₂ Z¹

Z4

Z₃

E₁ のみ存在

J₁ のみ存在

I I₁

I_n

V = V₁ + V₂ + + ‥ V_n I = I₁ + I₂ + + ‥ I_n

V V₁

V_n

その他の電 源は殺す

電圧源→短絡 電流源→開放

その他の電 源は殺す

重ね合わせの理の証

n 個の電圧源 E₁, E₂, , ‥ E_n が存在する線形回路網において、各閉路に電流

明

I₁, I₂, , ‥ I_n が流れていたとすれば、

) 1

2 (

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

 















 















































n nn n

n

n n

n I

I I

z z

z

z z

z

z z

z

E E E

) 2 ( 0

0

1 12 11

2 1

2 22

21

1 12

11 1

 















 















































n nn

n n

n n

I I I

z z

z

z z

z

z z

z E

次に E₁ のみが存在する場合の各閉路の電流を I₁₁, I₁₂, , ‥ I_1n とすれば、

次に E₂ のみが存在する場合の各閉路の電流を I₂₁, I₂₂, , ‥ I_2n とすれば、

) 3 ( 0

0

22 21 2

22 21

1 12

11

2 

















 















































n n

I I I

z z

z

z z

z

z z

z E

Z 行列は、

線形回路なので普 遍

インピーダンス (Z) 行列

重ね合わせの理の証 明

) 4 0 (

0

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

 















 















































nn n

n

nn n

n

n n

n I

I I

z z

z

z z

z

z z

z

E

さらに E_n のみが存在する場合の各閉路の電流を I_n1, I_n2, , ‥ I_nn とすれば、

) 5 0 (

0

0 0

0

0 ₂

1

2 22 21

1 12 11

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 2

1

 

 

















 





 



































































































































































nn n

n

n n

nn n

n

n n

n

n I

I I

I I I

I I I

z z

z

z z

z

z z

z

E E

E

E E E

(2), (3), ,(4)‥ 式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、

(5) 式と (1) 式とを比較すると、

) 6

2 (

1

2 22 21

1 12 11 2

1

 

 



 





































































nn n n

n n

n I

I I

I I I

I I I

I I I

即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。

重ね合わせの

例題 8.1

理

I₁ R

I E 7

1 1 

R I E

21

2 2   I

I₂

I₃ 7

4

3

I   J

3 2

1 I I

I

I   

重ね合わせの理

E₁ のみ

E₂ のみ

J のみ

I 例題 8.2

重ね合わせの 理

E₁ のみ

1 1

1 R

I  E

E₂ のみ

I₂

I₁

1 2

2 R

I   E

J のみ

I₃

J I₃ 

3 2

1 I I

I

I   

重ね合わせの理

演習問題 (8.1)

重ね合わせの 理

I

I₁ E₁ のみ

R I E

4

1 1 

I₂

重ね合わせの

E₂ のみ

理

R I₂  E²

I₃

I₂

J のみ

3 4 I   J

双対性

電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして 現れる。例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそ れに当たり、このような対応関係にある概念は双対といわれる。

ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧 と電流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するよう な電気回路があるとき、このような 2 つの回路を互に双対回路という。

電圧　 V 電流　 I

インピーダンス　 Zアドミタンス　 Y 抵抗　 R コンダンタンス　 G インダクタンス　キャパシタンス　L C

電圧源　 E 電流源　 J リアクタンス　 Xサセプタンス　 B

直列接続

閉路 カットセット 短絡

Y 型接続

並列接続 開放

 型接続

キルヒホッフ の第 1 法則 キルヒホッフ

の第 2 法則

双対関係にある素子などの例 双対関係にある概念の例

双対回路

双対回路の作り

双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グ

方

ラフの枝とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えれ ばよい。

E Z

原グラフ 双対なグラフ

原回路 双対回路

1

2

J Y

2’

1’

電源など、極性のある素子の扱い (a) 電圧源　→　電流源

　原回路で点 p を囲んで時計回 りに電圧が上昇 ( 降下 ) する電圧 源なら、新回路では点 p の方向 ( 点 p から出る方向 ) に電流を流 す電流源になる

E p

E J p

q

q

p

双対回路の作り 方

E₁ Z₁

Z₂ E₂

Z₃

以下の回路と双対な回路を求めよ

J L C G

(b) 電流源　→　電圧源

　原回路で点 p を囲んで時計回 りに ( 反時計回りに ) 電流を流す 電流源なら、新回路では点 p の 方向に電圧が上昇 ( 降下 ) する電 圧源になる

J p J E (c) ダイオード　→　ダイオード

　原回路で点 p を囲んで時計回り に順方向 ( 逆方向 ) のダイオード なら、新回路では p の向きに順 方向 ( 逆方向 ) のダイオードとな る

p

双対回路の作り 方

E₁

J₂

1 2

3 4

J₁

E₂ 原回路の電源 E₁ が

閉路 3 と同じ向き なので、節点 3 に 向かうように J₁=E/K を入れる

原回路の電源 J₂ が閉路 2 と同じ向 きなので、節点 2 に向かうように E₂=K J₂ を入れる

逆回路

R2

D

R3

R1

L1

2 2

R

K D

L K

 2

3 2

R K

1 2

R K

1 2

1 L

D  K 逆回路の作り方

逆回路とは

2 つの二端子回路があり、そのインピーダン スを Z₁, Z₂ とするとき、その積が周波数  に関係なく Z₁ Z₂ =K² となるならば、二つの 回路は K に関して互いに逆回路であるとい う。

Z₁ Z₂

逆回路 ¹

2

2 Z

Z  K

D=1/C

ただし、 D =1/C

演習問題 (8.2)

逆回路

L1 D₁

R1 R₂

1 2

R K

2 2

R K

1 2

1 L

D  K

1 2

1 D

L  K K に関しての逆回路を求めよ

上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z₁ Z₂ =K² の関係を 満たしていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路 が存在する

逆回路

演習問題 (8.2) の解答

逆回路

2 2

2 L

D  K

2 2

2 D

L  K

R K²

3 2

3 L

D  K ⁴

2

4 D

L  K

1 2

1 L

D  K

2 2

2 D

L  K

3 2

3 D

L  K

2 2

2 L

D  K

3 2

3 L

D  K

1 2

1 D

L  K

4 2

4 L

D  K K に関しての逆回路は、

定抵抗回路

インピーダンスが  に依存しない二端子回路

Z R²

Z R

R

Z R

R R

R

Z R²

Z Z

R²

Z

Z Z

R²

Z R²

R 下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、 には依存しない定抵抗回路

定抵抗回路

演習問題 (8.4)

R1

L C

R2

この式が、周波数  の値に関係なく成立するためには、分母と分子 の各項の係数の比が R₀ に等しくなければならない

0 2

1 R R

R  

従って、 R₀² C

L 

0 1

2 1 2

2

2 1 2

1 2

1 2

) (

) ) (

( R

R R

CR L

j LCR

R R LR

LR j

R

Z LCR 















 







  インピーダンス

つまり、 ⁰

1 2 1 2

1 2 1

2 2

1 ( )

R R R R R

CR L

R R L LCR

R

LCR  



 

演習問題 (8.6)

定抵抗回路

Z R₀²

Z R₀²

Z

Z R0

E

I₁+I₂

I₁+I₂ I₁

I₁ I₂

I₂

V

I₁- I₂

) 1

2 (

2 0

1 I E 

Z

ZI  R 

0 )

( ₂

2 0 1

2 1

0    I 

Z ZI R

I I

R ( ) ( ) ₂ 0

2 0 0

1

0    I 

Z R R

I Z R

) 2

(



 



 



 

























 0

)

( ²

1 2

0 0

0

2

0 E

I I z

R R Z

R

Z Z R



 



































 



 





) 0 (

) (

) (

) (

1

0

2 0 2

0 0

0 2 0 2

0 0

2

1 E

Z Z

R Z

R Z

R R Z

Z R R Z

R R I Z

I

Z R I E

 

0

1 R Z

E R

I Z

 

0 0 2

0 2

1 R

I E I  

相反定理

Black Box E_p

I_q

p q E_q’

I_p’

E

_p

I

_p

’ = E

_q

’I

_{q の関係が成り立つ時} 相反回路

Black Box

J_pV_p’ V_qJ_q’

J

_p

V

_p

’ = J

_q

’ V

_{q の関係が成り立つ時} 相反回路

相反定理の証 明

線 形 回 路 網 E₁

E₂

E_n

I₁

I₂

I_n ² (1)

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

 















 















































n nn n

n

n n

n I

I I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

E E E

線形回路網において、各閉路に電圧源 E₁, E₂, ‥, E_n があるとき、各閉路の電流を I₁, I₂, ‥, I_n とすると、

また、各閉路に電圧源 E₁’, E₂’, ‥, E_n’ があるとき、

各閉路の電流を I₁’, I₂’, ‥, I_n’ とすると、

) 2

2 (

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

 















 















































' I

' I

' I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

' E

' E

' E

n nn n

n

n n

n

線 形 回 路 網 E₁’

I₁’

I₂’ I_n’ E₂’

E_n’

回路が線形ならば、 Z 行列は電流値に依らず普遍。

また、回路網が相反回路なら、 Z_jk = Z_kj が成り立つ。

つまり、 Z 行列は対称行列となる。

相反定理の証 明





















































































nn n

n

n n

n t

nn n

n

n n t

n t

n t

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

I I I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

I I I

E E E



































2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 2

1

(1) 式から、転置行列の公式および Z 行列が対称行列であることを用いて、

上式の両辺に対して右から

















' I

' I

' I

n



2 1

を作用させると、



















































































' I

' I

' I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

I I I

' I

' I

' I

E E E

n nn n

n

n n

n t

n n

t























2 1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 2

1 2

1

相反定理の証 明



































































' E

' E

' E

I I I

' I

' I

' I

E E E

n n

t

n n

t









2 1 2

1 2

1 2

1

(2) 式の関係より、

   



































' E

' E

' E I

I I '

I ' I

' I E E

E

n n

n

n  

  ²

1

2 1 2

1

2 1

つまり、

従って、 E1I1'  E2I2' EnIn'  E1'I1 E2'I2  En'In

この特別の場合として、 p 番目の端子対にのみ電圧源 E_p を接続し、それ 以外の端子対を短絡 (E_p≠0 = 0) した時、 q 番目の端子に電流 I_q が流れたとす る。次に q 番目の端子対にのみ電圧源 E_q’ を接続し、それ以外の端子対を 短絡 (E’_q≠0 = 0) した時、 p 番目の端子に電流 I_p’ が流れたとすると、 E_pI_p’

= E_q’I_q となる。