u u ! ! () () = () p !"#$%& p p rt K = = = r & = & u K "#$% U "#$% U () () !"#$%& p p rt , () Q p , Q + t + 2 () t Q K () {} Q ! u T ! () T () p p , + Q () u p , u Q () () p Q u () Q dsQ () dsQ ()

(1)

平成23年度高専-長岡技科大（機械系）教員交流研究集会研究情報交換会予稿集

N−17

三次元異材接合体に対する境界要素法を用いた特異応力場解析

星和久（機械創造工学専攻）、古口日出男（機械情報・制御工学大講座）

1. 緒言

現在，接着による接合は，小型化が求められる携帯電子機器，気密軽量化が求められる構造部材，美観性が求められる車体外装など様々な場面で用いられている．しかし，接合界面が外力や熱変形によって剥離し，接合部材が破損することがある．この原因として接合界面端に発生する特異応力場が考えられる．異材接合体における接合界面端部には，材料定数の違いから，弾性論的には応力が無限大に発散する特異応力場が発生する．ここでは応力が発散するため応力値のみでの単純な強度評価ができない．一般的に，特異応力場内の応力σijは，応力特異点からの距離

r

に対して近似的に式

(1)

で表されることが知られている．

!ij=Kijr^!"

(1)

ここで

K

ijは特異場の強さ，λは特異性のオーダである．

本研究では，この二つのパラメータを用いて異材接合体の特異応力場の解析を行う．特異性オーダは有限要素法を用いた固有値解析により求め，さらに境界要素法を用いた応力解析による応力分布を式(1)で当てはめることで，特異場の強さを求め，引張せん断荷重下の重ね合わせ継手における，接着層の材料定数が特異応力場に及ぼす影響について検討する．

2. 解析モデル

本研究では，

JIS-K6850

にある引張せん断接着強さ試験で用いられる試験片を解析モデルとした．その形状を図１に示す．同寸法の

2

平板の被着体が，重ね合わさる形で接着剤により接合される．この両端をつかみ，引張荷重を加えることで，接合部には引張せん断荷重が加わる．

10

^-6

mm

の最小要素とし，総要素数は

6903，総

節点数は

20717

である．被着体のヤング率は

E

₁

=100GPa

，

ポアソン比はν1

=0.30

で固定し，接着層は

E

2

=0.01~50GPa

の範囲で変化させて解析を行った．

Fig.1 Analysis model of adhesive joint

3. 境界要素法による応力解析

3-1 三次元境界要素法一般に応力解析には有限要素法を用いることが多い．しかし，特異応力場など応力値の変化が顕著になる箇所ではより微小な要素を用いる必要があるため，本研究では，境界のみの要素分割でよく，

さらに高精度に解析できる境界要素法を用いる．

三次元弾性体内における任意の点の変位は，式(2)の

Somigliana

の境界積分方程式で求めることができる．

u

_j

( ) p

⁼

&

_S_"#^Uij

( )

p,Q

^t

j

( ) Q

^!^Tij

( )

p,Q

^u

j

( ) Q

_$%

^{ds Q} ( ) ⁽²⁾

ここで，pは領域の内点，Qは境界上のソース点，Uijおよび

T

ijは変位と作用力の基本解，

t

iと

u

iは作用力ベクトルと変位ベクトルである．また内点のひずみは式

(3)

Hooke

則に代入した式(4)によって求められる．

!ij

( ) p

⁼^!uk,k

( ) p

^!ij+2µ

{

ui,j

( )

p ⁺^uj,i

( )

p

} (4)

基本解は

Rongved

の二相体の解を用いることで，材料界

面の要素分割が不要となり，より高精度に解析ができる．

3-2解析結果解析結果については，応力特異点が原点，

界面がθ=90^o

, 0

^o≦φ≦90^oとなる極座標系を設定し．剥離に強く影響すると考えられる界面上の垂直応力σθθのみを示す．図

2

はθ=90^o，φ =45^oにおける

r

に対するσ_θθの分布である．σθθは特異応力場では両対数グラフ上で直線的に分布する．また

E

₂

/E

₁の増加とともに高い値となっていることがわかる．

Fig.2 Stress distribution of σ

_θθ

against r and E

2

/E

1

4.

特異応力場の強さ

三次元異材接合体における特異応力場は，これまでの研究から式

(5)

のように表せることがわかっている．

!_""

r

t

! "# $

%&

=

K

1""

r

t

! "# $

%&

'#

+

K

2""

(5)

ここで，

K

1θθは特異応力場の強さであり，特異点からの距離

r

は接着層の厚さ

t

で無次元化してある．

図

2

に示した応力分布を式

(5)

/E

₁

10 100 1000

Stress , MPa

0.0001 0.001 0.01

r / t

E₂ / E₁ 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0002 0.0001 Curve fit

2 3 4 5 6 78

10

2

K, MPa

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ E₂ / E₁

K₁ 15.3(E₂/E₁)^0.29 6.32(E₂/E₁)^0.11

u u ! ! () () = () p !"#$%& p p rt K = = = r & = & u K "#$% U "#$% U () () !"#$%& p p rt , () Q p , Q + t + 2 () t Q K () {} Q ! u T ! () T () p p , + Q () u p , u Q () () p Q u () Q dsQ () dsQ ()

N−17

r

(1)

(1)

K

JIS-K6850

2

,

,

1kN

,

1/2

10

mm

6903，総

20717

E

=100GPa

=0.30

E

=0.01~50GPa

Fig.1 Analysis model of adhesive joint

Somigliana

u

( ) p

&

( )

t

( ) Q

( )

u

( ) Q

ds Q ( ) (2)

T

t

u

(3)

( )

&

( )

t

( ) Q

( )

u

( ) Q

ds Q ( ) (3)

U

T

Hooke

( ) p

( ) p

{

( )

( )

} (4)

Rongved

, 0

2

r

E

/E

Fig.2 Stress distribution of σ

against r and E

/E

4.

(5)

r

t

! "# $

%&

K

r

t

! "# $

%&

K

(5)

K

r

^t

^u

^{ds Q} ( ) ⁽²⁾

^t

^u

^{ds Q} ( ) ⁽³⁾