F0 P( T, K) C ( TK, ) exp ( rt) < dk + 3 dk F K K # # 0 r K T P C S 0 0 F0= exp ( rt) S0T 0 F0

(1)

Hitotsubashi University Repository

Title

日経225株価指数のモデル・フリー・インプライド・ボラ

ティリティの計算方法に関して : ボラティリティ予測力

の観点から

Author(s)

山口, 圭子

Citation

一橋経済学, 3(1): 29-43

Issue Date

2008-07-20

Type

Departmental Bulletin Paper

Text Version publisher

URL

http://hdl.handle.net/10086/15950

Right

(2)

日経 225 株価指数のモデル・フリー・インプライ

ド・ボラティリティの計算方法に関して

∼ボラティリティ予測力の観点から∼

＊

山口圭子

†

１はじめに

オプションの理論価格の導出に用いられるブラック・ショールズ（BS）モデルではボラティリティを満期まで一定であると仮定するので、ボラティリティが変動する場合、BS モデルを用いて計算したインプライド・ボラティリティ（BSIV）にはバイアスが生じる。そこで、より弱い仮定（stochastic volatility（SV）

diﬀ usion model）の下で定義できるモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ

（MFIV）が提案され（Britten-Jones and Neuberger（2000））、近年注目を集め

ている１）。実際、シカゴ・オプション取引所（Chicago Board Options Exchange）

のボラティリティ・インデックス（VIX）では、S&P500 指数の MFIV が採用されている。この MFIV は理論的には以下の式で与えられる。 ( ) ( , ) ( , ) exp rT P T K_K dK C _KT K dK 2 F F 2 0 2 0 0 + 3 <

_#

F （1） ただし、r は無リスク金利で一定と仮定し、K は権利行使価格、T は残存期間、 P はプットオプション価格、C はコールオプション価格、S0 を時点 0 での原資産価格、F0=exp( )rT S0は満期 T をもつ時点 0 でのフォワード価格である。MFIV ＊本論文の作成にあたり一橋大学経済研究所渡部敏明教授、同大学大学院経済学研究科田中勝人教授に多岐にわたりご指導していただいた。また、査読者には、丁寧な査読のうえに不備な点のご指摘と有益なご意見をいただいた。ここに記して謝意を表す。本論文は一橋大学経済研究所 21 世紀 COE プログラム「社会科学の統計分析拠点構築」および文部科学省特別研究促進費「高頻度データを用いた日本の証券市場の計量分析」より助成を受けている。尚、本論文における責任は全て筆者に帰するものである。 † 一橋大学大学院経済学研究科博士課程

１） Jiang and Tian（2005）はジャンプを加えているが、ここでは簡単化のため、ジャンプはないものとして説明する。

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はプットもしくはコールのみでも計算できるが、いわゆる in-the-money でのオプションは流動性が低いので、通常、（1）式のように out-of-the-money のプットとコールを合わせて計算される（Nakamura and Shiratsuka（1999）を参照）。なお、ここではプット・コール・パリティが仮定されており、（1）式は現在から満期までのボラティリティに関するフォワード中立測度の下での期待値を表す。

実際には、市場で取引されている権利行使価格の数は限られているので、（1）式

は近似して計算しなければならない。Jiang and Tian（2007）は、VIX の計算方法では近似誤差が大きいことをシミュレーション実験により指摘し、Jiang and Tian （2005，2007）でより正確に計算する方法を提案している。具体的には、市場で観測されたオプション価格を BS 公式に代入することによりインプライド・ボラティリティ（IV）を逆算し、この IV をスプラインによって補間・外挿する。これら補間・外挿された IV の値を再び BS 公式に戻し、実際には市場で観測されていない権利行使価格に対応するオプション価格を求める。そうすることにより、（1）式の被積分関数の近似誤差をより小さくし、より正確に計算するという方法である。 MFIV の日本のデータへの適用例は少ないが Nishina et al.（2006）、Maghrebi （2007）が挙げられる。彼らは、日経 225 オプション価格から VIX の方法で MFIV を求めている。しかし、S&P500 指数に比べて利用できる権利行使価格の数が少ないので、Jiang and Tian（2007）の指摘の意義はより大きいように思わ

れる２）

。そこで、何らかの方法により、VIX の計算法によるインプライド・ボラティリティ（IV-VIX）と Jiang and Tian（2005，2007）の計算法によるインプライド・ボラティリティ（IV-JT）を比較したい。

ボラティリティの推定値としては、オプション価格から逆算されるインプライド・ボラティリティ（IV）の他にも、日中リターンの２乗和で計算される Realized Volatility（RV）が知られている。Jiang and Tian（2005）では、S&P500 指数における RV の予測に関して、MFIV が BSIV と比べて追加的な情報を含んでいることを明らかにしている。そこで、本研究では、日経 225 オプション価格から

IV-２）後述の渡部（2007b）、山口（2007）では、Jiang and Tian（2005，2007）の方法で算出している。

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VIX と IV-JT をそれぞれ計算し、RV の予測力を比較した。具体的には、RV の長期記憶性と非対称性を考慮した ARFIMAX モデル（渡部・佐々木（2006）、渡部・山口（2007）を参照）に外生変数として IV-VIX と IV-JT を加えたモデルをそれぞれ用いた。その結果、IV-JT は IV-VIX と比較して、１期先の RV に対してより多くの追加的な情報を含んでいることが分かった。本論文は以下のような構成となっている。まず２節では、利用したデータについて述べ、IV-VIX、IV-JT、そして RV の計算方法について説明する。次に３節では、分析に使用する ARFIMAX モデルについて説明し、データからモデルのパラメータ推定を行い、予測パフォーマンスの比較を行った。最後に４節では、本論文をまとめるとともに今後の課題を述べる。

２ボラティリティの推定

2.1 利用したデータ RV、IV は日経 225 株価指数のティックデータと日経 225 株価指数オプションのティックデータを用いて、年末・年始を除く 1997 年 1 月 7 日から 2006 年 3 月 31 日まで（サンプルサイズは 2255）の日次データで算出した。まず、IV の計算に利用したデータについて説明する。満期に関しては、翌月が限月のものを用いた。日経 225 株価指数オプションの権利行使価格は 500 円ごとである。bid-ask bounce を避けるために、約定価格ではなく、bid と ask 価格の平均値を使用した。ティックデータは１分ごとに記入されている。MFIV を精密に算出するには権利行使価格の数がたくさん必要であり、14：00 から 15：00 の取引量が多いためこの時間帯のデータを取り出した。大阪証券取引所のオプション取引の終了時刻は 15：10 だが、東京証券取引所の現物取引の終了時刻は 15： 00 であるのに合わせて、15：00 以降のデータは用いない。各権利行使価格ごとに、同一時刻で bid と ask の両方揃っているものの中から、15：00 に一番近いものを使う。原資産の日経平均はオプションのデータと同一時刻のものを取り出した。また、無リスク金利には１ヵ月物譲渡性預金（CD）を用いた。次にRVについてであるが、日経225株価指数の５分ごとのリターンを利用した。データベースには３）9：01 から前場の終わりまでと 12：30 から後場の終わりまで

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の 1 分ごとの価格が記録されている。前場の終わりは 11：00、後場の終わりは 15：00 であるが、取引された時刻でなく日経 225 が計算され送信された時刻が記録されているので 11：00 や 15：00 を超える時刻が記録されていることが多い。ここでは 11：00 の価格には前場の終値を、15：00 には後場の終値を用いた。そして、前場の 9：01, 9：05, . . . , 11：00 と後場の 12：31, 12：35, . . . , 15：00 を５分ごとの価格として取り出し、その対数階差を 100 倍することにより５分ごとのリターンを計算した。 2.2 VIX による方法 2005 年 12 月 1 日を例にして説明する。まず、フォワード価格（F0）の計算に用 いる at-the-money 権利行使価格（K0）を選択する。コールオプション価格とプットオプション価格の差 ( , )C T K -P T K( , )の絶対値が最小になっているところを at-the-money 権利行使価格とする。表１は、限月が翌月のもの（１ヵ月もの）のオプションであり、15000 円で ( , )C T K -P T K( , )の絶対値が最小になっている。フォワード価格は以下の式より算出する。 ( ) ( ( , ) ( , )) exp F0=K0+ rT # C T K -P T K （2） 次に、計算に用いるオプション価格 Q を選択する。表２にあるように、K>K0 の場合はコールオプションを、K<K0の場合はプットオプションを用いる。 K=K0 のところでは、コールオプション価格とプットオプション価格の平均を用いる。以下の式から VIX を求めることができる。 ( ) T K K _{e Q K} T K F 2 1 ₁ i i T i M i r 2 2 1 0 0 2 = - -v D = < F

!

（3）ここで、権利行使価格は M 個あるとし、 , , , < K K K K K i i M i M 1 2 i K K M M 2 1 2 1 i 1 i 1 # = -= = D -+ -Z [ \ ]] ]] （4）３）日経 NEEDS ティックデータ

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である。

2.3 Jiang and Tian（2005，2007）による方法

市場で取引されている権利行使価格の数は限られているので、（1）式の無限積分の項は次式のように近似して計算しなければならない。 表１ At-the-money 権利行使価格（K0）権利行使価格 CALL価格( ( , ))C T K PUT 価格( ( , ))P T K C T K( , )-P( , )T K 12500 - 1.5 -13000 2030.0 2.5 2027.5 13500 1625.0 8.5 1616.5 14000 1080.0 27.5 1052.5 14500 690.0 92.5 597.5 15000 357.5 255.0 102.5 15500 147.5 572.5 − 425.0 16000 52.5 - -16500 17.5 1440.0 − 1422.5 17000 3.5 - -表２計算に用いるオプション 権利行使価格（K） オプション 価格（Q） 12500 PUT 1.50 13000 PUT 2.50 13500 PUT 8.50 14000 PUT 27.50 14500 PUT 92.50 15000 PUT と CALL の平均 306.25 15500 CALL 147.50 16000 CALL 52.50 16500 CALL 17.50 17000 CALL 3.50

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（5） ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) K P T K dK K C T K dK K P T K dK K C T K dK F F F F F F 2 0 2 L 2 2 U 0 0 0 0 . + 3 +

#

ただし <0 F FL, U<3である。図１は（5）式の被積分関数を図示したものである。被積分関数は正であるので負のバイアスが生ずる。また、被積分関数は下に凸であるので、離散近似することにより過大評価される。さらに、VIX の場合は、図 １にあるように F0 でなく K0 で平均をとっており、そのことからも誤差が出てく

る。Jiang and Tian（2007）は、VIX の計算方法はボラティリティが大きいときには切断誤差が大きく過小推定され、ボラティリティが小さいとき離散誤差が大きく過大推定されることを、シミュレーション実験により明らかにした。 Jiang and Tian（2005, 2007）はスプラインで外挿・補間することにより精密に計算することを提案した。図２は権利行使価格ごとの BSIV とそのスプライン

補間を図示したものである。被積分関数よりもスマイル関数（IV=f K( )）のほ

うが滑らかであるので、Jiang and Tian（2005, 2007）は一度 BSIV を計算しスマイル関数を補間してからオプション価格に戻している。以下では、その方法を順に説明する。いま、権利行使価格の異なるオプションが N 個利用できるとし、昇

(8)

順にK1,...,KNとする。

まず、補間方法についてである。BS 公式を使って (v Ki)、i=1,...,Nを計算し、

natural cubic spline で補間して、IV の関数 ( )f K を求める。 ( )f K は滑らかなので

３次関数で十分である。

次に外挿方法についてである。外挿方法としては２通り提案されている。Jiang and

Tian（2005）では定数で近似、つまり、K<K0のところは ( )f K / v(K0)、KN<K

のところは ( )f K / v(KN)としている。それに対して、Jiang and Tian（2007）

では端においてスプラインに接するような１次関数を用いている。１次関数の傾きは一般には不明であり、ボラティリティが負になる可能性もあるので、ここでは定数で近似した。また、Jiang and Tian（2005、2007）ではシミュレーション

実験により、離散和の範囲をF0!3SDとれば十分であると示しているので、ここでもそれに従いK0>(F0-3SD)、KN<(F0+3SD)の場合は外挿を行う。ただし、 SD は原資産の標準偏差である。真の SD はわからないので、at-the-money の BSIV で代用した。最後に、積分を離散和で近似する。まず K を分割する。簡単化のため、h を正の整数とする。Kt0=F K0, t1,Kt-1は F0 に近い h で割り切れるものとする。それ以図１非積分関数

(9)

外は以下のようにした。 , , , . . . , , 3, . . . K F j j K F j j 2 3 2 j j 1 1 = + = = + = - -h h -t t hを小さくとることにより、積分のところの誤差を小さくできる。ここではh=50 とした。また、CEX( ,T Kt_j)_と_PEX_{( ,}_{T K}t_j₎_{をそれぞれ K}t でのコールとプットのオ_j プション価格とする。MFIV は以下の式より得られる。 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) exp rT K K P T K K P T K K K C T K K C T K 2 ₂ 2 > j j EX j j EX j j j j EX j j EX j j 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 + + + D D # -t t t t t t t t t t R T S SS R T S SS V X W WW V X W WW

*

4 !

!

ここで、 Kj=Kj-Kj 1 Dt t t -とする。 2.4 Realized Volatility 第 t 日の日中の n 個のリターンデータ( ,r rt t+1/n,...,rt+(n-1)/n)が与えられたとき、それらをすべて２乗して足し合わせた RVt rt i n/ i n 2 0 1 = + =

-!

（6） を第 t 日の Realized Volatility（RV）という。資産価格の対数値ln S t が( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln d S t ₌n t dt₊v t dW t （7） に従っているとする。ここで、W（t）はウイナー過程である。すると、第 t 日の 真のボラティリティは ( )s ds t t t 2₌ 1 2 v

_#

+ v （8）

(10)

で定義される。 （6）式で定義される RV は、n " 3とすると、v に確率収束するので、n が十t2 分大きいなら、RVtは真のボラティリティv の精度の高い推定量となる。ただし、t2 n を大きくすると RV に含まれるマイクロストラクチャーノイズ（非同時取引、 bid-ask bounce、無取引など）の影響が大きくなることが知られている。そこで、先行研究では 5 分ごとの価格を使って RV を計算しているものが多い。ここでも、５分ごとのリターンを用いた。 次に、夜間や昼休みの取り扱いについて説明を加える。第t日のボラティリティ をt- 日の終値から t 日の終値までのボラティリティと定義すると、t1 - 日の1 終値から t 日の始値までの間も考慮に入れなければならないが、その間は取引が ないので、5 分ごとのリターンを計算することができない。日本の株式市場では昼休みがあるので、その間も同様である。こうした夜間や昼休みのリターンは時間間隔が長いので、それらをそのまま 2 乗して加えるのは望ましくない。しかし、それらを無視すると、ボラティリティを過小評価してしまう。そこで、Hansen and Lunde（2005）は、夜間や昼休みのリターンの 2 乗を除いて RV を計算し（そ れを RV( ) toと表す）、それに日次リターン"R1,...,RT,の標本分散と RV( )toの標本平均との比率 ( ) c RV R R ( ) to t T t t T 1 1 2 = -= = r

!

（9） を掛けるという方法を提案しており、この方法を採用する。ここで、 Rr は日次リ ターン"R1,...,RT,の標本平均を表す。日次リターンは日経 225 株価指数の日次変化率（%）であり、終値の対数階差を 100 倍して求めた。

３パラメータ推定と予測

3.1 モデル株式市場では株価が下がった日の翌日の方が株価が上がった日の翌日と比べてボラティリティがより上昇する傾向があり、また、前節で導入した RV はある種の長期記憶過程に従っていることが知られている。これら２つの現象と整合的なモデルとしては、ARFIMAX（Autoregressive Fractionally Integrated Moving

(11)

Average with exogenous variable）モデルがある。ここでは外生変数として Rt-1 を用いることにより、 (1 L)d ln(RV ) R D R (1 L) t 0 1 t 1 2 t 1 t 1 t - # -n -n - -n -- - -= +i f （10）と定式化することができる４）。ここで、n n n も未知パラメータである。L0, 1, 2 はラグ・オペレータであり、反転可能性 i < 1の制約をおく。また、 D-t-1は Rt-1$ 0であれば 0、Rt-1<0であれば１となるダミー変数である。そこで、 ( ) ln RVt の Rt-1を条件とする期待値は、 ( ) ( ) < , , ln E RV R R R R R 0 0 t t t t t t 1 0 1 1 1 0 1 2 1 1 $ = + + + n n n n n - - -- -7 A * （11）となる。そこで、n2> 0であれば、価格が上がった日の翌日よりも価格が下がった日の翌日の方がより RV が上昇する。渡部・佐々木（2006）は、将来のボラティリティを予測する上で、このモデルのパフォーマンスが高いことを示している。また（10）式にln IV( t-1)を外生変数に加えた ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln L RV R D R IV L 1 1 d t t t t t t 0 1 1 2 1 1 1 - - - - -= + n n n o i f - -- - -# - （12）

というモデルも考える。ここで、IV としては、Jiang and Tian（2005，2007）の方法（以下、JT）によるものと VIX の２つの場合を考える。それぞれ、 ARFIMAX-JT、ARFIMAX-VIX と表す。 3.2 推定結果サンプル期間は大発会・大納会を除く、1997 年 1 月 7 日から 2006 年 3 月 31 日までである（リターンと IV は 0 期目としてその前営業日から用いた）。（9）式の c の値は 1.757 であった。４）最初の 1200 期の標本を使って、SIC によって ARFIMAX（ , ,p d q ）モデルの次数選択を行っ た結果、p=0,q= が選択された。1

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表３から表５は、最初の 1200 期のデータによる推定結果である。いずれの場合も、 d は有意に 0 より大きく、長期記憶性があることがわかる。また、有意に 0.5 より 小さいとはいえないので、定常とも非定常とも言えない。表３ではn n いずれ1, 2 も有意に正であり、価格が上がった日の翌日よりも価格が下がった日の翌日の方がより RV が上昇することがわかる。それに対して、表４、表５では、いずれも , 1 2 n n は有意ではない。さらに、表４ではoも有意でない。 3.3 予測１期先の RV の予測値は次のように計算した。まず、１期から 1200 期までの標本を使ってパラメータを Beran（1995）の近似最尤法（approximate maximum likelihood method）によって推定し，その下で 1201 期の RV の予測値 RV%1201を計算する。次に、2 期から 1201 期のまでの標本を使って同様にパラメータを推定し、 その下で 1202 期の RV の予測値 RV%1202を計算する。以上を繰り返すことにより、各モデルについて 1055 個の RV の１期先予測値$%RV1201,...,%RV1205.を計算した。 表３ ARFIMAX（0, d, 1） d i n n1 n2 推定値 0.4982 − 0.2213 0.9209 0.0326 0.0679 標準誤差 0.0604 0.0769 0.2216 0.0178 0.0169 表４ ARFIMAX（0, d, 1）+ JT d i n n1 n2 o 推定値 0.4620 − 0.1378 0.9037 0.0057 0.0043 0.1246 標準誤差 0.0578 0.0783 0.2364 0.0143 0.0163 0.0933 表５ ARFIMAX（0, d, 1）+ VIX d i n n1 n2 o 推定値 0.4627 − 0.1405 0.8482 0.0050 0.0047 0.1926 標準誤差 0.0580 0.0788 0.2371 0.0142 0.0159 0.0931

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Giot and Laurent（2003）、Koopman et al.（2005）、渡部・佐々木（2006）等 の先行研究に従い、正規分布を仮定する。 t- 期における t 期の RV の予測値1 RV % t t-1は対数正規分布の性質より以下のとおりである５）。 ( ( ) I ) ( ( ) I ) exp ln ln RV E RV Var RV 2 1 t t-1= < t t-1 + t t-1 F % （13）ここで、E( (ln RVt) It-1),Var( (ln RVt) It-1)はそれぞれ t- 期における1 ln RV( ) の期待値と分散を表す。ボラティリティの真の値は観測できないので、これまで代理変数としてリターンの２乗を用いることが多かった（渡部（2000）2.3.3 節参照）。しかし、RV はボラティリティの精度の高い推定量であるため、Andersen and Bollerslev（1998）以降、ボラティリティの予測精度を比較する場合には、ボラティリティの真の値の代理変数にも RV を使うようになってきており、ここでもそれに従った。ボラティリティ予測のパフォーマンスを測る指標には、先行研究に従い、以下の RMSE（root mean squared error）、RMSPE（root mean squared parcentage error）、MAE（mean absolute error）、MAPE（mean absolute parcentage error）を用いる。 RMSE ( ) P MAE MAPE RV RMS E RV RV RV RV RV 10551 10551 10551 10551 t t t t t t t t t t t t t t t t t t 1 2 2 1201 2255 1 2 2 1201 2255 1 2 1201 2255 1 2 1201 2255 = -= -= -= -v v v v -= -= -= -= t t t t d n

!

表６に計算結果をまとめた。渡部・山口（2006）では、RV の ARFIMAX モデルに説明変数として BSIV を加えると、むしろ予測精度が低下するという結果が示されているが、ここでは逆で、指標に関わらず IV を入れたほうが予測パフォー５）対数正規分布には再生性がないので、先行研究でも簡単化のため１期先予測のみ行われている。

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マンスが改善するという結果が得られた。また、すべての指標で、JT は VIX よりも予測パフォーマンスが上回っており、１期先の RV に対してより多くの追加的な情報を含んでいることが分かった。

４まとめ

本稿では、日経 225 株価指数 RV を ARFIMAX モデルでモデル化し、それに外生変数として VIX の方法による IV と Jiang and Tian（2005，2007）の方法による IV を加えて、予測パフォーマンスを比較した。その結果、Jiang and Tian（2005， 2007）の方法による IV は VIX の方法による IV と比較して、１期先の RV に対してより多くの追加的な情報を含んでいることが分かった。このことは、Jiang and Tian（2007）が VIX の計算方法では近似誤差が大きいと指摘したことと整合的である。 RV の計算方法に関しては、マイクロストラクチャー・ノイズによるバイアスを修正法がいろいろと研究されている。例えば、Zhang et al.（2005）、Zhang （2006）の方法は、異なる時間間隔のリターンを用いて RV を計算し、それらの加重平均をとるというものである。RV の計算方法の違いに対して、予測比較の結果がロバストかどうか確かめることは今後の課題である。［参考文献］

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表６予測

RMSE RMSPE MAE MAPE

ARFIMAX（0,d,1） 0.8604 0.5946 0.5771 0.4322

ARFIMAX（0,d,1）+ JT 0.8382 0.5881 0.5596 0.4226

(15)

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