確率過程 に付随す るファジー過程

確率過程 に付随す るファジー過程

大

黒

The Fuzzy Process AssOciated、 _vith a Stocastic Process

Shigeru OHKURO

abstract

ヽ ヽ

、 ア

Ⅵ

、 ve can introduce the ne郡′concept Of the fuzzy prOcesses associated with them.  Thus the theory of stocastic processes is essentialy connected with that of fuzzy prOcesses

Key vords: fuzzy process, stocastic process, BrO郡

〆

dependent rnembership functiOn

茂

1.̀ま じ め に

従来良 く知 られているように ,確 率論 とファ ジー理論 とは直接の関連 はない もの と考 えられ てきた

しか し ,こ の論文で示す ように ,こ の 様 な捉 え方 は正 し くない。実 は両者 の間 には密 接 な理論的関係が存在す るのである。次の節で は ,最 も簡 単 な定常確率過程 で あ るガ ウス過 程め ,即 ち 1次 元 ブラウン運動 の基本解 の復習 か ら始 めよう。

今

任 意 の 部 分 集 合

対 し て χ と 2v(χ _;ナ )と の対 の集合

・

)を 定 義 す る

F、^,(サ

)=(χ ∈

_)),(V⊂ R) こ こで ,知

)は

0≦ 吻

)≡

^)力 ≦

で ある。これ によ り

>0及 び

任意 に固定 した とき,F、′

)は ^{χ を要素 とし}

)を 帰 属度 関数 とす る

合 とな る。その意 味 は

χ にあった ブ ラウ ン粒子が チ秒後 に集合

Vの

中 に移 動 す る

散 す る

い う意 味 の

Fuzzy集

合 で あ る。言 い換 える と ,帰 属度 関数

%v(χ

)の 値 は,チ =0で χ にあった ブ ラウ ン 粒 子 が時刻 サ=サ >0で

拡散 す る度合 い

散 す る程度

示 す。 その値 が 0に _{近 けれ ば}

に拡散 す る度合 いが小 さ く ,逆 に 1に 近 けれ ば

Vに

拡散 す る度合 いが大 きい。 ここで は χ=χ

と χ=χ2と を

較 してい る。

物

)は 別 の見方 も可能 で あ る。即 ち,サ

>0及 び χ を任 意 に固定 した とき ,F、 ^・

)の 代 わ りに ,対 の集合

2.プ

ラウン運動の基本解

プ ラ ウ ン運 動 の基 本 解 は拡 散 方程 式 の解

y(チ

与 えられ る

Щ犠〕 =鋳 ∝

正 T)

(チ>0,一

∞ <χ _,ノ

Xy(チ

と ン

平成 7年

受理

八戸工業大学

情報 システムエ学研究所

助教授

‑31‑

八戸工業大学情報 システムエ学研究所紀要   ^{第 8巻}

G(χ

R,物

)),(χ ∈

を定義 す る。 C(χ

)は Vを 要 素 と し ,知

チ )を 帰属度 関数 とす る Fuzzy集 _{合 とな る。その}

意 味 は

・

)の もの と同 じで あ る。なぜ な ら,帰 属度 関数 が共通 だか らで あ る。 ただ し ,こ ^こで

は V=Vlと V=V2を

較 して い る点 が 異 な っ てい る。

時 間 に依 存 した帰 属 度 関数 η

)を 持 つ

Fuzzy集 _合

・

)と G(χ

)を フ ァジー過 程

呼 ば う。

3.拡 散方程式の初期値問題の解及び半群

良 く知 られ てい る様 に 0,拡 _{散 方程 式}

∂ %   ∂ 2%

∂チ     ∂ χ

の解 は ,初 期値

夕

)=/(χ

に よって

2(チ ,χ

)=(し ^{「 y)(χ}

≡ I[ア

チ >0

で与 え られ る。積分 で定義 されたオペ レー ター 硯 は次 の半群 の性質 を持 つ。

こ ア と ・

s=醗 十 S(サ ,S>0)

基 本 解 は次 の様 に

算 子 の 固 有 値 を 用 いて固有 関数 で展開出来 る。

y(サ_{,χ ,ノ}

)=Σ ^{9 材}

L2(R))

Aら =ん 先  A≡ 手

上の性質 は ,Aが 楕円型偏微分作用素の場合 ま で拡張 され る事が知 られている。。従 つて,フ ァ ジー過程の概念 は ,単 に第 2節 で述べた場合 に 止 まらず ,よ リー般 の確率過程 に対 して も重要 な概念 となるだろう。

4.フ

:数

第 2節 で述 べた フ ァジー過程 の ,時 間 に依存 した帰属度 関数 物

)の 具 体 的 な数値 を求 め るの は容 易で ある。例 えば G(χ

)に ^{つ いて}

は次 の ようにな る。

タ タ

=2,サ

2[2,刻

=2,チ

物

=2,チ

従 って ,サ =0で χ =2に あ った粒子 が時刻 チ =1

>0で [1,4],[‑2,2],[0,2]に 拡散 す る度合 い は ,此 の順 に大 きい事 が分 か る。

5。

結論及び展望

最 も簡単 な定常確率過程 で あるガウス過程

即 ち

元 ブラウン運動の基本解 を用いて ,時

間 に依存 した帰 属 度 関数 を導入 し ,凸

)と G(χ

)の 二 つの ファジー集合 を定義 した。そ の意味 は ,拡 散する度合いを与 えるものである。

我々の方法 は ,拡 散方程式の

_算子 を ,楕 円型偏微分作用素 に置 き換 えて も同様 に 成立す る。従 って ,ブ ラウン運動の場合 に限 ら ず ,よ リー般の定常確率過程 に対 して Fuzzy過 程 が考 え られ るので あ る。従 って ,確 率論 と Fuzzy理 論 とは偏微分方程式 を仲介 として密 接な関係があると言い得 る。

Fuzzy集 _合,F、

_)と G(χ

)の 線形性 や 凸 性 を調べ る必要がある。また ,各 種の Fuzzy集 合 を合成 して ,新 しい Fuzzy集 _{合 を導入 し} ,量 子力学の観測の理論 な ど ,非 線形問題への応用 が重要であろう

参 考 文 献

1)西 田 。 竹 田 :フ ァジィ集合 とその応用

北 出 版

2)伊 藤   清 :確 率論

波書店

)(1966).

3)伊 藤清三 :偏 _{微分方程式} ,培 風館

4)大 黒   ^茂 :Hidden random variable model

― ‑ 32 ‑―

確率過程 に付随するファジー過程

for wave―

本数学会 1986 年度秋期総合分科会

用数学 )講 演アブス ト ラク ト

8(1986).

5)大

黒

茂 :確率過程に付随するファジィ過程

計測 自動制御学会東北支部第 154回 研究集会 資料 15牛 5,平 成 7年

,八 戸工業高等 専門学校

6) K Yoshida:Functional Analysis,Springer, TOkyO(1969).

7)大黒茂

:確

,日

1995年

(応用数学

)講

21‑

4(1995)。

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