反 復 購 入 と デ ィ ス カ ウ ン トに つ い て

$T

〈研 究 ノ ー ト〉

反 復 購 入 と デ ィ ス カ ウ ン トに つ い て

PriceNegotiationandRepeatedPurchase

高 橋 一 郎(1) IchiroTAKAHASHI

1.は じ め に 2.モ デ ル の 構 造 3.価 格 の 決 定

4 階0 ハ0

買手 に よる購入頻 度の決定 動学 モデル と均 衡の特徴づ け む す び

は じ め に

私 た ち が,商 品 や サ ー ビス を 購 入 す る と き繰 り返 し,お 店 に通 う こ とに よ り,お 店 の 得 意 客 と な り,通 常 の客 が 得 られ な い サ ー ビス や デ ィス カ ウ ソ トが 与 え られ る とい うこ とが 日常 生 活 で よ く見 受 け られ る.こ の こ とが また,お 客 が お 店 に 固 定 化 す る傾 向 を 強 め る.こ の よ うな 売 手 と買 手 の 関係 は,社 会 的,心 理 的側 面 か ら説 明す る こ と も可 能 で あ ろ うが,そ こに 何 らか の 経 済 合 理 性 が 貫 い て い な け れ ば,永 続 性,普 遍 性 の あ る もの と は な らな い で あ ろ う.本 小論 は,常 連 客 の もつ お 店 に と っ て の資 産 価 値 とい う側 面 に 焦 点 を あ て て,上 記 の よ うな,売 手 と買 手 のい わ ば 互 い に 引 き寄 せ 合 う力 を経 済 合 理 性 の上 か ら説 明 し よ う とす る も の で あ る.

異 な った タ イ プ の 買 手 は,1回 当 り,1単 位 の商 品(サ ー ビス)を 購 入 す るが,単 位 期 間 内 に どの く らい 頻 繁 に 購 入す るか は客 自身 の タ イ プ と,そ の お 店 の 与>Z.るサ ー ビス や,オ ッ フ ァーす る価 格 に依 存 す る と考 え られ る.サ ー ビス が 良 い ほ ど,ま た 価 格 が 安 い ほ ど,他 の売 手 か らの購 入 を 控 え る こ とに よ り,あ る い は,総 消 費 量 を 増 加 させ る こ とに よ り,そ の 売 手 か ら購 入 す る 回 数 を 増 や す で あ ろ う.

他 方,お 店 に と っ て は,客 が どれ くらい 頻 繁 に購 入 す るか が わ か っ て い る 時 に は,上 得 意 の 買 手 ほ ど大 事 に して,固 定 客 に し よ う とい う誘 因 が 働 くで あ ろ う.上 得 意 とい うの は,い わ ば 売 手 に と って は,将 来 と も利 益 を 生 む 資 産 価 値 の あ る存 在 とみ て 差 しつ か}な い か ら で あ る.店 に ど れ くらい の頻 度 で 客 が く るか は,ラ ン ダ ム な 要 素 に も依 存 す る.従 っ て も し,上 得 意 ほ ど サ ー ビ スや デ ィス カ ウ ン トを 得 る こ とが 可 能 な らば,そ うで な い 買 手 も上 得 意 に み て も らい た い とい う (1)池 田貞 雄 教 授 に は貴 重 な 示 唆 と コ メ ソ トを 頂 戴 した こ とに 感 謝 しま す.ま た,馬 場 善 久 助 教 授 は じめ

本 学 情 報 科 学 研 究 所 で の セ ミナ ー参 加 者 の 有 益 な コメ ン トに 感 謝 しま す.

82季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XVINo.1 誘 因 が 働 く に 違 い な い.

本 小 論 は,売 手 と買 手 の 取 引 頻 度 と 売 買 価 格 の 同 時 決 定 モ デ ル を 提 示 す る.(サ ー ビ ス の 提 供 は,デ ィス カ ウ ソ トの オ ッ フ ァ ー とみ な す 。)こ の 問 題 に 対 し て は,二 つ の ア ブmチ が 考 え ら れ る.ひ と つ は,'大 量 に 買 う客 に 安 価 な 価 格 を オ ッ フ ァ ー す る こ と に よ り,顧 客 に よ り多 く購 買 さ せ る 誘 因 を 与 え よ う とす るNonlinearPricingの ア ブmチ で あ る 。(例 え ぽSpence(1977), HarrisandRaviv(1981),K.Roberts(1979)を 参 照 さ れ た い)も うひ とつ は,買 手 の もつ 資 産 価 格 に 焦 点 を 合 わ せ る ア プ ロ ー チ で あ る.売 手 と の マ ッ チ ソ グ の レ ベ ル の 高 い 上 得 意 客 は,売 手 に と っ て 大 き い 資 産 価 値 が あ る か ら,通 常 の 客 が 得 られ な い 有 利 な 価 格 や 良 質 の サ ー ビ ス が 与

}ら れ る と い う点 に 着 目す る の で あ る.こ の 現 象 の モ デ ル 化 に も 様 々 な ア プ ロ ー チ が 考}ら れ る が,こ の ノ ー トで は,売 手 と 買 手 間 の 結 び つ き と い う側 面 に 焦 点 を 合 わ せ る た め に,価 格 は 協 方 ゲ ー ム の 解(ナ ッ シ ュ 交 渉 解)と し て 求 ま る とす る(2),交 渉 は 文 字 通 り,実 際 に 行 な わ れ る と仮 定 し て も よ い し,買 手 の 実 績 に 応 じ た,両 者 共 に 納 得 し う る 現 実 的 な 価 格 と い う も の を 定 式 化 し た の が 交 渉 解 と考 え て も 差 し つ か え な い.い ず れ に し て も,買 手 が 大 口 で し か も,少 数 な 企 業 間 取 引 で は,取 引 条 件 は 一 般 に 話 し 合 い で 決 ま る か ら,こ の 定 式 化 は,か な り現 実 妥 当 性 が あ る と 思 わ れ る.買 手 の 価 格 に 対 す る 交 渉 力 は,お 客 の お 店 に と っ て の 資 産 価 値 の 大 小 に 依 存 す る.一 方,売 手 は 買 手 の 累 積 購 入 回 数 の デ ー タ を も っ て お り,そ こ か ら 客 の も つ 資 産 価 値 を 推 測 し,こ れ を も と に オ ッ フ ァ ー す る 価 格 を 決 定 す る.

2.モ デ ル の 構 造

y,の 期 首 に過 去 の通 算 平 均 購 入 回 数 を も とに,売 手 と買 手 は 価 格 を 交 渉 し,そ の 期 の 価 格 ρnを 決 定す る.通 算 平 均 購 入 回 数 は,買 手 の交 渉 力 を 表 わ し て い る と解 釈 で き る.買 手 は,こ

うし て 求 ま った ρ。 に基 き,今 期 の購 入 回 叡 の期 待 値 λ・ を決 定 す る.実 際 の購 入 回 数 の 実 現 値 は,ρnや タ イ プ以 外 の 要 素 に 依 存 す る で あ ろ う.例 え ぽ,買 手 が 小 売 店 の場 合 いつ も よ り多 い 注 文 が 入 っ た とか,天 候 が 良 か った な どで あ る.こ の よ うな ラ ン ダ ム な 要 素 を 考 慮 す るた め に,

ボ ア ソ ソ分 布 を仮 定 した.さ て,λnの 決 定 に 際 して,消 費 者 は,将 来 の オ ッフ ァー され る価 格 が 今 期 の購 入 頻 度 に よ り影 響 され ない と仮 定 す る.実 際 に は,今 期 の購 買 は実 績 と な り交 渉 力 に 影 響 す る の で あ る が,将 来 価 格 は 現 在 価 格 と同 じ と予 想 す る ナ イ ー ブ な 買 手 を仮 定 した.こ れ は 分 析 を 容 易 に す る他 に,次 の よ うな 理 由 に よ る.前 述 した よ うに,NonlinearPricingの モ デ ル で は,ま さ に,買 手 に よ り多 く買 わ せ る 誘 因 を 与 え る た め に,購 入 数 量 に依 存 した 価 格 ス ケ ジ ュ ー ル を オ ッフ ァーす る の で あ るが,本 ノ ー トは そ の よ うな誘 因 創 出 の効 果 と は別 に,交 渉 力 に よ り 差 別 価 格 が と られ る とい う状 況 に 焦 点 を 絞 りた い か らで あ る.

(2)そ の他 に,売 手 の 利 潤 最 大 化 か ら説 明す るモ デル も 構 築 可 能 で あ る.

Augustエ986高 橋 一 郎:反 復 購 入 と デ ィ ス カ ウ ソ トに つ い て $3

3.価 格 の 決 定

商 品 を 単 位 期 間 内 に ど れ く ら い 頻 繁 に 購 入 す る か は,買 手 の タ イ プ θ に 依 存 す る が,交 渉 に 際 し て,両 者 が 共 通 に 認 識 し て い る商 品 の 固 有 の 価 値 は,θ に 影 響 さ れ ず に 一 定 で あ る と す る.

(こ れ は1に ノ ー マ ラ ィ ズ す る.)"期 に お け る購 入 回 数xnは,パ ラ メ ー タ λ.の ボ ア ソ ソ分 布 に 従 う と仮 定 す る.こ の と き に は,次 回 の 購 入 力°t期 以 内 に 起 こ る と い う事 象 は,今 回 の 購 入 時 点 に 独 立 に,パ ラ メ ー タ1/λnの 指 数 分 布 に 従 う.デ ィ ス カ ウ ソ トフ ァ ク タmは 売 手 と 買 手 に

共翫 棚 後の ・円はedt円 とする・次回購入時の ・円は ∫凶 露 一 ∴ 円に ホ目当す る.ま た,両 者 と もに 危 険 に 対 して 中 立 的 で あ る と仮 定 す る.売 手 と買 手 は過 去 の平 均 購 入 回 数 瓦 ≡麦塾 に もとついて,次 のような想定のもとに騰 絞 渉す る涜 瓢 ナイーブな予想

を も っ て い る.つ ま り,今 後,Xnを パ ラ メ ー タ とす る ポ ア ソン分 布 に 従 って(λ=Xnと し て) 買 手 は 購 入 す る と予 想 す る,つ ま り,過 去 の 実 績 の高 い 客 は,今 後 も,良 い 顧 客 で あ り続 け る だ ろ う と予 想 す る.よ り賢明 な 売 手 は過 去 の オ ッフ ァー した 価 格 の数 列{ρ 。}と購 入 回 数{Xn}か

ら,ベ イ ズ ・ル ー ル に 従 っ て 買 手 の タ イ プ θ を 推 定 し,そ れ に基 い た 価 格 交 渉 を す る だ ろ うが, 一 般 の商 取 引 で は こ こで 仮 定 した ナ イ ー ブな 期 待 が 妥 当 す る 場 合 が 多 い と思 わ れ る

.

交 渉 が 成 立 した と きの 利 得 は,両 者 共 に 今 回 の 取 引 か ら得 られ る利 得 と ナ イ ー ブに 予 想 され た 次 回 以 降 の利 得 の期 待 現在 価 値 か らな るが,Threatpointに 対 応 す る利 得 は,売 手 と買 手 に よ っ て 異 な る.交 渉 が 決 裂 す る と,売 手 は この 顧 客 を 永 久 に 失 うと考 え るか ら,今 回 も次 回 以 降 も利 得 は ゼ ロで あ る.買 手 に とっ て は,外 生 的 に 与 え られ たN回 は,他 の 売 手 か らq円 で購 入 し,そ の 後 は,現 在 の 売 手 が オ ッフ ァ ー して い る価 格 と 同 じ有 利 な 価 格 を 新 しい 売 手 か ら も提示 さ れ る

λ と仮 定 す る

.限 界 生 産 費 は 一 定 でCと し,期 待 将 来 価 格 を グ と表 わ す.δ ≡ λ と定 義 す る 十σ

と,売 手 の 利 得 の期 待 現在 価 値 は,(ρ 一 の+(v一 の Σ δ占で あ り,買 手 の利 得 の期 待 現 在 価 値

t=1

は,1‑p+(1一 ρつ Σ δ孟 で あ る.ま た,買 手 のThreatpointに 対 応 す る 利 得 は,(1‑q)(1+δ

c=i

+δ2+…+δN)+(1一 ρう Σ δε で あ る.従 っ て,交 渉 に よ り決 定 す る 価 格 力 は,

t=1

Max(p‑c+(ρ ￠‑C)Σ δり(q一 ρ+(￠ ρつ(δ+…+δN))(1)

pt=1

の 解 ρ(ρε)か ら,カ ⑫ り 漏ρ と し て 求 ま る.こ こ で,将 来 価 格 を 交 渉 に よ っ て 決 定 す る の で は な い こ と に 注 意 さ れ た い.そ の よ う な バ イ ソ デ ィ ン グ ・コ ソ トラ ク トは 考 慮 に 入 れ て い な い .さ てA 以 上 の よ う に し て 求 ま る ナ ッ シ ュ交 渉 解 ρ*=p(λ,d,N)に つ い て,次 の 命 題 が 成 立 す る .

命 題1警 くα 警 〈 ∂カ*o,aN〉・ で あ る.

証 明 附 録Aを 参照 さ れ た い.

命 題1は,頻 繁 に 購 入す る 買 手 ほ ど交 渉 力 が 強 く,従 って 有 利 な価 格 が 得 られ る こ とを示 す, また,将 来 を 割 引 い て考 え る ほ ど,薪 しい 売 手 か ら上 得 意 と認 め られ る期 間 が 長 くか か る ほ ど価

84

^Vci.XVINo.

ρ

λ

図1

格 が 高 く決 ま る こ と を 示 し て い る.図1は,σ1<62の と き に ρ*を λの 関 数 と し て 表 わ した も の で あ る.

4.買 手 に よる購入 頻度 の決 定

タ イ プ θ の 買 手 は,"期 の 価 格 を 所 与 と し て,n期 の 期 待 購 入 頻 度 ム を 決 定 す る.前 述 し た よ う な 理 由 で 買 手 は 今 期 の 価 格 が 永 久 に 続 く と想 定 し,特 に λ。 の 将 来 価 格 に 与 え る 影 響 を 無 視 す る も の と す る か ら,結 局,今 期 の 期 待 効 用 を 最 大 に す る よ うに ム を 選 ぶ.購 入 回kと 価 格

力 に 依 存 す る 買 手 の 効 用 は, u(k,B)‑pk

の よ う に 分 離 可 能 で,uk>0,uok>0,ukk<0,ue>0と 仮 定 す る(3)・ θ は 売 手 と 買 手 の マ ッチ ン グ の レ ベ ル と 解 釈 で き る.買 手 は ρ を 所 与 と し て 次 の 問 題 を 解 く・

Max嵐[u(k,8)‑pk]げ ・÷(2)

〈2)の値 が 正 で な い と き は λ*=0を 選 ぶ と仮 定 す る.以 上 の 想 定 の 下 で は(2)の 解 λ*=λ(θ・ρ)は 微 分 可 能 で,次 の 命 題 が 成 立 す る.

命題2籍>o,除 く・・

証 明 附 録Bを 参 照 さ れ た い

eh>θ 呂と し て,以 上 の 関 係 を 図2に 示 す.

(3)uek>0と い う こ とは,あ る売 手 とマ ヅチ ン グの レベ ル の 高 い 買 手 は,ラ ソダ ム な 要 因が な い と きY't..

は,そ の売 手 か らよ り多 く購 入 す る とい うこ とを 意 味 す る.

August1986高 橋 一一郎:反 復 購 入 と デ ィ ス カ ウ ソ トに つ い て

P

g5

λ

5.動 学 モデ ル と均 衡 の特 徴づ け

さ て,N,θ,6よ び,λ@=0)=λ 。を 両 者 に 既 知 の パ ラ メ ー タ と し て,売 手 が λ。を 観 察 で き る と き の 動 学 モ デ ル を 考 え よ う。 こ れ ら の パ ラ メ ー タ を 省 略 し て,動 学 シ ス テ ム は ρ。=9(λ 洞), λ。=h(n)と い う2つ の 方 程 式 で 書 き表 わ す こ と が で き る.

こ こ で,え 。+、.f(λ。)≡h(g(λ 。))の 傾 き と9(・)とh(・)の 傾 き の 関 係 を 調 べ よ う.今,4λ

〉 響 と仮 定 す る.こ の こ と 昭 禰 一 ・/(dh/dp)で あ るか ら・(姻(dh/dp)<1す な

わ ち,4λ 。/4λ。.1<1を 意 味 す る.逆 も 真 で あ る か ら,!'(λ)ii≡1は9'(λ)i≧ 乃一1ノ(λ)に よ る こ と が わ か る.

4を 差 分 の オ ペ レ ー タ ー,つ ま りdv(k)≡v(k+1)‑v(k)と す れ ば,一 階 の 条 件 は,E(4u(k, θ))=カ で 表 わ せ る が,こ れ とdE(du(k,θ))/ぬ=E(42u(k,の)〈0よ り,ρ →0の と き は λ→ 。。

は 明 ら か で あ ろ う.ま た,limuk(k,の が 十 分 大 き け れ ば,pが か な り大 き く て も,双 ρ)は プ

k→0+

ラ ス の 値 を と る.こ こ で,limuk(k,θ)は 十 分 大 き く,従 っ てh((q+c)/2)>0が 成 り 立 っ と 仮

k→0+

定 す る.

さ て,λ=0の と き に は δ=0で あ る か ら,(A‑2)よ り ρ ニ(q+C)/2で あ る.更 に,N6よ

バ バ

り小 さ い 正 の 数 λ が 存 在 し て,dZg/4λ2の 符 号 は λ一 λ の 符 号 と 同 じ こ と が 示 せ る.ま た,λ → 。。 の と き に は δ→1で あ る か ら(A‑2)よ り ρ→Cで あ る こ と も わ か る.ρ はC以 下 に は な ら な

い か ら,λ の 上 限 はh(の で あ る.以 上 の 考 察 か ら,9(λ)とh(ρ)は 図3の よ う に な る こ と が わ か る.

ig'(・)【 はCが 増 加 す る ほ ど減 少 す る か ら,Cが 十 分 大 き け れ ば,.f(λ)=λ は ユ ニ ー ク な 解 (g(・)とh(・)の 交 点 で λ*と 表 わ す.ま た こ の 点 に 対 応 す る ρ を ρ*で 表 わ す.)を も ち,

86

P

0 * ÷ ρ 9

季刊 創 価 経 済 論 集

λ*

λ

Vo1.XV工No.1

図3

し か もf'(λ)<1で あ る と い え る.以 下 の 分 析 で は,以 上 の 条 件 が 成 立 し て い る と 仮 定 す る.

さ て 売 手 は%期 末 に 過 去 の 購 入 デ ー タ を 平 均 し てXnを 求 め,こ れ を も と に 買 手 と の 交 渉 に よ っ て,n+1期 に 適 用 さ れ る 価 格 ρ。+・を カ。.・=9(Xn)で 決 定 し,こ れ をn+1期 の 期 首 に ア ナ ウ ソ ス す る.買 手 は こ れ を み て,λ 。+・=戻 ρ。+・)に よ り,n+1期 の 購 入 回 数Xnの 分 布 を 決 定 す る.す な わ ち,Xnか ら,λ 。+・=∫(X。)≡≡h(g(Xn))でn+1期 に お け る 購 入 回 数Xn+、 の 分 布 が 求 ま る の で あ る.こ のXn+・ に よ り,X。+・=CnXn+X。+・)/@+1)で 次 期 の 平 均 購 入 回 数 が 求 ま る.Takahashi(1986)の 命 題 に よ り,n→ 。。 の と き,E(Xn一 λ*)2→0で,従 っ て ま たX.が λ*に 確 率 収 束 す る こ と が わ か る 。

簡 単 な 陰 関 数 の 定 理 に よ り,が,λ*は θ,び お よ びNの 連 続 微 分 可 能 な 関 数 と し て 表 わ せ,

カ

が@

λ

August1986

.高 橋 一 郎:反 復 購 入 と デ ィス カ ウ ン トに つ い て87 次 の 命 題 が 示 せ る.

1命 題3艦<q器>0 ,誓<o,讐>0.霧>o,1芳<o,

証 明 省 略.

今,θ を 平 均 的 タ イ プ と し て,買 手 の タ イ プ に か か わ ら ず 単 一 価 格 ρ*(θ)を オ ッ フ ァ ー す る 売 手 と タ イ プ θ の 顧 客 にp*(θ)を オ ッ フ ァ ー す る売 手 と を 比 較 し て み よ う、 上 得 意 客ek>θ に 対 し て,前 者 の 売 手 はB点 を,後 者 はC点 を 選 ぶ.(図4参 照)明 ら か に,価 格 の 差 別 化 に よ っ て 上 得 意 客 は,単 一 価 格 を オ ヅ フ ァ ー さ れ る 場 合 よ り,差 別 価 格 戦 略 を 採 用 し て い る 売 手 か ら の 購 入 を よ り頻 繁 に 行 な い.こ の 売 手 と の 結 び つ き が 強 ま っ て い る こ と が わ か る.

6.む す び

以 上 の 分 析 で,価 格 が 交 渉 で 求 ま る と き に は,マ ッ チ ソ グ の レ ベ ル の 高 い 買 手 ほ ど,交 渉 力 が 強 く,従 っ て 良 い 取 引 条 件 を オ ッ フ ァ ー さ れ,そ れ が ま た ∴ 買 手 が こ の 売 手 に よ、り強 く結 び つ く こ と が 示 さ れ た.上 得 意 客 を つ な ぎ と め て お くた め に,優 遇 的 な 取 引 条 件 を オ ッ フ ァ ー す る と い

う命 題 を,売 手 の 利 潤 極 大 化 の 行 動 か ら導 くモ デ ル も 近 く発 表 の 予 定 で あ る.こ の 場 合 に も,買 手 が ナ イ ー ブ で 取 引 回 数 が 価 格 に 影 響 を 与 え な い と 想 定 し て い る と い う仮 定 が,通 常 のNonlin‑

earPricingの モ デ ル と 異 な る こ と を 際 立 た せ る た め に 必 要 で あ ろ う.

附 録A

(1)の 目的 関 数 を ρ に つ い て 徴 分 し て,が=ρ と お く と ρ*の 必 要 条 件 は,

N

(1)Σ δ一(ρ 一C)Σ δ孟=0.

a=oe=o

(A‑1)を 整 理 す る と 1一 δN+1(

q‐c)十c.

ρ*=2 一 δN+1

明 らか に 等 〉・ で あ る ・

次 に ρ*を δN+1で 徴 分 す る と,

離 、e[2一 飼,(9一 の 〉・

で あ る か ら,∂p*/∂N>0で あ る.

ま た,単 純 な 計 算 か ら

筈 一 一(1>+1)δ ヱ〉(q[2一 δN+1コ]‑C2)<o.

が 求 ま る.dδ/繊=び/(λ 十 の2で あ る か ら,∂ カ/∂λ<0.

(A‑1)

CA‑2)

CA‑3)

88季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XVINo.1 附 録B

(2)の 目 的 関 数 をv(λ.ρ,θ)と 定 義 し て,λ に 関 し て 徴 分 す る と,期 待 効 用 極 大 化 の 必 要 条 件 は,

F(λ.ρ,θ)≡ …Σ 珈(k,e) I k!

k=〇

二 階 の 条 件 が 常 に 成 立 す る こ と はu(・)が 凹 関 数 で あ る こ とか ら示 す こ と が で き る.

∂F/∂ρ は 明 らか に 一1だ か ら,二 階 の 条 件 よ り ∂λ*/∂φ<0が 求 ま る . (B‑2)を θ で 偏 徴 分 し た も の,

蕃 一k=0∂(du(k,Bae))θ 讃

は,∂Zu/∂eak>0よ り,正 で あ る.従 っ て,∂ λ*/∂θ>0が 成 り 立 つ . F(λ,ρ,θ)≡ 蔑%(k,B)(ん 一 λ差 λ λ距一1一 ρ 一<o .(B‑・)

u(1,の 一 班0,θ)〉 ρ で あ れ ば,λ*>0で(B‑1)は 等 号 で 成 り立 つ .島(λ)… ≡θ一λ λゑ/k!と お く と,

め    

忍 私 ① 司 で あ る か ら ・k=0・ ま た,明 ら か に 礁 λ)の 符 号 をま ん一 λ の 符 号 と 一 致

す る.(B‑1)は ま た,次 の よ う に も 書 き 表 わ せ る.

。 。eask

(B‑2)

(B‑3)

参 考 文 献

Harris,M.,andRaviv,A.1981,"ATheoryofMonopolyPricingSchemeswithDemandUnce‑

rtainty."

AynericanEconomicReview71:347‑69.

Roberts,K.1979."WelafreConsiderationsofNonlinearPricing ."

Econoynic ,journal89:66‑83.

Spence,M.1977."NonlinearPricesandWelfare ."

JournalofPublicEconomics.Vol.8:1‑X8

Takahashi,1.1986."OntheConvergenceofanErrorCorrectionTypeStochasticProcess ."

IISMimeo86‑1,SokaUniversity.

(経 済 学 部 助 教 授)

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