ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証

53

ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証

SomeFlawsontheHarrison‑StevensModel

小 林 孝 次

KojiKOBAYASHI

土 谷 幸 久

YukihisaTSUCHIYA

‑⊥り乙345￡U7ρ6﹂§︹もJSJρも﹂§ρも﹂

は じ め に

ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 概 要 カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル

ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル:Single‑StateMode1

ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル に お け る4つ の 状 態:Multi‑StateModel 検 証:貨 幣 乗 数 の 予 測 と あ る バ ス 会 社 の 売 上 収 入 の 予 測

お わ り に

§1は じ め に

予 期 せ ぬ 構 造 変 動 が 生 じ る と き,モ デ ル の 変 更 を 余 儀 な く さ せ る 場 合 が あ る.ベ イ ジ ア ン の 立 場 は,主 観 的 判 断 を 統 計 的 に 用 い,そ の よ う な 場 面 に 対 処 す る と い う も の で あ る.DeFinettiが,

い か な る 客 観 世 界 に も 主 観 は 入 り 込 む と述 べ て い る よ う に1),客 観 デ ー タ を 主 観 的 に 読 み 直 す と い う こ と は 多 々 あ る こ と で あ る.主 観 的 判 断 を 統 計 的 に 用 い る と は,情 報 に 基 づ い て 事 前 確 率 を 事 後 確 率 に 変 換 し用 い る と い う こ と で あ る.

さ て,本 稿 で 検 証 す る こ と は,上 記 の よ う な ベ イ ジ ア ン の 時 系 列 分 析 が 現 実 の 場 面 で 機 能 す る か 否 か と い う 点 で あ る.具 体 的 に は,ハ リ ソ ン と ス テ ィ ー一ブ ン ス[6]1971,[7]1976の モ デ ル を 取 り上 げ る.理 由 は,彼 ら の モ デ ル が ベ イ ジ ア ン 時 系 列 分 析 の 初 期 の 考 察 で あ り,そ の 後 多 く の 影 響 を 与 え た か ら で あ る.例 え ば,チ リ の ア ジ ェ ン デ 政 権 下 で 行 な わ れ た 国 家 サ イ バ ネ テ ィ ッ ク ス 的 実 験CyberSynプ ロ ジ ェ ク トは,ハ リ ソ ン と ス テ ィ ー ブ ン ス の1971年 の 論 文 に 基 づ く 最 初 の 実 験 だ っ た と い え よ う2).ま た,Bomhoff[2]1983,[3]1994は,ハ リ ソ ン と ス テ ィ ー ブ ン ス の4状 態 モ デ ル を6状 態 モ デ ル に 拡 張 し て 分 析 を 行 っ て い る.ま た,彼 ら の 論 文 は,Makrida‑

kis,WheelwrightandMcGee[9]1978やBernardoandSmith[1]1994を は じ め,ベ イ ジ ア ン 時 系 列 分 析 で は 必 ず 引 用 さ れ て い る か ら で あ る3).

1)DeFinetti[4]1990,p.26を 参 照 せ よ.

2)も っ と も クー デ タ ー に よ っ て1973年 に は 頓 挫 し て し ま い,効 果 の 程 は 定 か で は な い.

3)ま た 海 外 で は,ベ イ ジ ア ン が 多 い の も 事 実 で あ る.

54季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXXI,No.1・2・3・4

本 稿 の 論 点 は,以 下 の 通 り で あ る.ま ず,ベ イ ジ ア ン の 立 場 に 従 う な ら ば,ハ リソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル に お い て 毎 期 一 定 と さ れ て い る 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 は 改 定 し な け れ ば な ら な い とい う点 で あ る.次 に,そ れ が 可 能 で あ る な らば 改 定 を行 うべ き だ が,改 定 の 根 拠 な く改 定 を行 う な ら ば,ベ イ ジ ア ン の 考 え は 「相 当 に 主 観 的 」 に な ら ざ る を得 な い の で は な い か と い う点 で あ る.現 実 的 に,毎 期 改 定 を 行 う こ とは,そ の 根 拠 と い う点 で 不 可 能 で あ る.事 実,ハ リソ ン とス テ ィ ー ブ ン ス は 短 期 の 予 測 に 限 定 して い る た め,毎 期 改 定 す る こ と は 避 け て い る.そ こ で 本 稿 で は 彼 らの 提 示 す る一 定 の 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 に 従 っ て 分 析 し た 場 合 と,そ れ ら を無 視 し た ケ ー ス で あ る カ ル マ ン フ ィ ル タ ー の み で分 析 し た 場 合 を 比 較 す る.

結 果 は,カ ル マ ン フ ィ ル タ ー の み に よ る予 測 の 方 が 予 測 誤 差 は 小 さ か っ た.特 に,長 期 の 分 析 の 場 合,こ の 傾 向 が 強 ま る と考 え られ る.し た が っ て 彼 ら が 経 験 に 基 づ い て 与 え た と い う推 移 確 率 と基 本 分 散 比 を用 い る よ り も,一 様 の 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 を用 い る,す な わ ち カ ル マ ン フ ィ ル タ ー の み で 予 測 を行 う方 が 優 れ て い る とい え る.

以 下,ま ず,§2に お い て,彼 ら の モ デ ル の 概 要 を示 す.彼 ら の モ デ ル は カ ル マ ン フ ィ ル タ ー とベ イ ズ の 手 法,そ し て レ ジー ム 変 化 を 伴 う モ デ ル で 構 成 さ れ て い る4).そ こ で,§3で は カ ル マ ン フ ィ ル タ ー に つ い て 整 理 し,次 に §4で レ ジー ム 変 化 を 伴 わ な い,す な わ ち1つ の 状 態 の み で 彼 らの 基 本 モ デ ル を整 理 す る.な お,こ れ が カ ル マ ン フ ィ ル ター の み で行 う予 測 に 対 応 す る.

さ ら に そ れ を踏 ま え て §5に お い て,4つ の 状 態 へ の 変 化 を 考 慮 し,完 結 し た 彼 ら の モ デ ル を解 説 す る.そ の な か で 彼 ら の モ デ ル が 抱 え て い る 問 題 点 を 明 ら か に す る.そ し て 実 例 と し て §6で こ の モ デ ル を用 い た貨 幣 乗 数 の 予 測 お よ び あ るバ ス 会 社 の 売 上 収 入 の 予 測 を行 い,そ の検 証 結 果 を も と に §7で こ の モ デ ル の 問 題 点 に つ い て ま とめ る こ と に す る.

§2ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 概 要

ハ リソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス は,多 くの モ デ ル が トレ ン ドの 変 化 や 一 時 的 な 変 化 に よ っ て そ の 予 測 効 率 が 著 し く低 下 して い る こ と に 着 目 し,経 済 時 系 列 デ ー タ の 変 化 に 対 して4つ の 状 態 を 想 定 し て,各 状 態 の 推 定 を行 い,そ れ ら を合 成 させ て 予 測 値 を得 よ う と試 み て い る.そ の 各 状 態 とは, 定 常,ス テ ップ の 変 化,勾 配 の 変 化 そ し て 一 時 的 な 変 化 の4つ の 状 態 で あ る(図2‑1を 参 照).

そ し て 各 状 態 の 推 定 にベ イ ジ ア ン ア プ ロ ー チ を用 い て 予 測 効 率 を 改 善 し よ う と して い る.

まず,彼 ら は 状 態 施 一1,2,3,4)が 生 じ る と予 想 され るt期 の 事 前 確 率 σ1壁、(t‑1期 の 事 後 確 率)を 与 え,各 状 態 の 推 定 値 に そ れ ら を 掛 け 合 わ せ る こ と に よ っ て,t期 の 予 測 値 を得 る と い

う 方 法 を考 え て い る.

次 に,t+1期 の 各 状 態 の 推 定 値 と事 前 確 率(t期 の 事 後 確 率)を 得 る た め に,t期 の そ れ ぞ れ の 状 態 を さ ら に4状 態 へ と展 開 させ,合 計16通 りの プ ロ セ ス を 想 定 す る.そ して そ れ ら を推 定 し, さ ら に そ れ ら を縮 約 す る こ と に よ っ てt+1期 の4状 態 の 推 定 値 と事 前 確 率(t期 の 事 後 確 率)

4)こ の 意 味 に お い て,最 近Hamilton[5]1994ら に よ っ て 研 究 が 行 わ れ て い る レ ジ ー ム 変 化 を 伴 う 時 系 列 モ デ ル の 原 型 と な る よ う な ナ イ ー ブ な モ デ ル で あ る.

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証 図2‑1ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ブ ン ス モ デ ル に お け る4つ の 状 態

定 常

55

ス テ ップ 変 化

勾 配の変化

一 時 的 な 変 化

を求 め る.す な わ ち,t期 に お い て 状 態 がZで あ り,か つt+1期 に 状 態 が ノに な る16通 り の プ ロ セ ス に お け るパ ラ メ ー タ と そ の 確 率p(i,j)を 求 め,そ れ ら を 用 い てt+1期 の 縮 約 さ れ た 各 状 態 の 推 定 値 と事 前 確 率 を 求 め て い る.な お,前 期 の あ る状 態 か ら 今 期 の 状 態 ブに 移 る推 移 確 率 πノ は 所 与 と し て い る5).

さ ら に ま た,升1期 の 各 状 態 の 推 定 値 と事 前 確 率 を 掛 け 合 わ せ る こ とに よ り 什1期 の 予 測 値 を 求 め て い く と い う方 法 を と っ て い る.こ こ で は 縮 約 し た4状 態 を 用 い て 予 測 値 を求 め て い る が, 当 然 の こ とで あ る が,16の プ ロ セ ス に そ れ ぞ れ が 生 じ う る確 率 を掛 け 合 わ せ る こ と に よ っ て も 同

じ予 測 値 が 得 られ る.

こ れ ら を ま とめ る と 図2‑2の よ う に な る.

さ て,こ こ で,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス の 基 本 モ デ ル を示 す と次 の よ う に な る.こ れ は §3 で 述 べ る カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル に な っ て い る.時 点tに お け る観 測 値 をdt,ト レ ン ドを 焼, 勾 配 をat,季 節 変 動 をStと す る と

5)Harrison‑Stevens[6]1971で は,状 態 ノの 生 じ る 確 率 を π1で 表 わ し て い る が,Harrison‑Stevens[7]

1976で はt‑1期 の 状 態Zを 与 え た 場 合 にt期 に あ る 状 態 ノ に な る 推 移 確 率 を π(i,.i)で表 わ し て い る.し か し, 簡 単 化 の た め に 本 稿 で は 乃 の 表 記 を用 い る.

Vol.XXXI,No.1.2.3.4

季刊 創 価 経 済 論 集

畏マ楠︻11︑芸+慧等囚11葺+ぜ〜マ〜

理自思串e霞H+楠

守H

結棄肉

蚤 暴

§

§牢或 翁 翁

卓 避

鍵_く這

u

罧軸霞HI楠

づロや1鉱ミヤト八レミ駁餌輔蔵L噂11窟網寵坐℃同,等囚11一,篶℃ヒこぜヒ

︑↑曹翌謙e響

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(駐亀((醍伺.[(噛蚕弩])≧"静鯉鰹蹄e轟椅 (樽虫温砿冊e綴H+輪)

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︹貝喰 (﹃H誌((N・粛.[(N蚕N・電]ΣN腰ξ

(祠・︻)鴨亀(︹H・恥囚︑[(昌踊儀駕恥儀])≧

褥虫喫黒和謎圃 (酬眺囚.[鋸Q︑鉱§])≧

栂虫温臨∵週▼罧尽

ざ憐鯉塾蛆⁝eぐ岨ヤ榔櫛紐盤‑︒︒腰辮鯉塾轄eぐ翠烈麗壇

禽憐鯉簿轄eぐ㌍燃ト外県区

配癬鯉塾隷eぐ紐製

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纈 樋 遡 額 萎 冬 冬 冬

56

廠}匪e鰹蹄・握椰ゆね鶏‑ー﹂罧F+萄.罧層.轟Fー鵠㌣N図

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証 表2‑1各 状 態 に お け る分 散 の 大 き さ

57

状 態 E VY Vs

定常 普通 小 小

ス テ ップ変 化 普通 大 小

勾配 の変化 普通 小 大

一 時 的 な変 化 大 小 小

dt=μ̀sご 十 ε6(ε 〜N(0,ー レrS)) μオー μ,̲1+β オ+Yt(γ 〜1V(0,τ ノ7))(2‑1) β置一at̲、+δ 亡(δ 〜1>(0,1!s))

と 表 わ さ れ る.

(2‑1)で,実 際 に 観 測 さ れ る の はdtだ け で あ る.utとatは 直 接 知 る こ と は で き な い.し か し 焼 とatの 直 近 の 変 動 に 関 し て,な ん ら か の 見 通 し が 得 ら れ る こ と か ら,観 測 値dt,dt.、 … か ら 得 ら れ る 情 報 と 角 と β岩の 趨 勢 に 関 す る 情 報 を 確 率 分 布 で 表 現 し,そ れ ら を 予 測 に 反 映 さ せ る,と い う 方 法 を ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス は 採 用 し て い る.

い ま ε、,γ,,&は 互 い に 独 立 で あ り,そ れ ぞ れ 期 待 値0,分 散Ve,vy,VSを 持 つ 正 規 撹 乱 項 で あ る.(2‑1)に お い て,ε 孟は 観 測 値 の み に 影 響 を 与 え る 撹 乱 項 で あ り,yt,&は そ れ ぞ れ ス テ ッ プ の 変 化 と 勾 配 の 変 化 に 影 響 を 与 え る 撹 乱 項 で あ る.4状 態 に お け る そ れ ぞ れ の 撹 乱 項 に つ い て は,表2‑1の よ う な 前 提 を お い て い る.

こ こ で,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス で は,各 状 態 の 推 定 に 際 し て,は じ め に 事 前 確 率 の 初 期 値 と 推 移 確 率,そ し て 時 系 列 デ ー タ の 変 動 に 影 響 を 与 え る 上 記 の 分 散 に 対 し て あ る 一 定 の 値 を 与 え て い る.事 前 確 率 の 初 期 値 に つ い て は こ こ で は 各 状 態 に 対 し て 均 一 に 与 え る こ と に す る.こ れ と は 別 に,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル で はt期 に 状 態 ノへ と 推 移 す る 確 率 と し て 推 移 確 率 乃 を 考 え て い る.こ れ は 各 期 の 状 態 を さ ら に 各 々4状 態 へ 分 岐 さ せ る 際 に 用 い ら れ る 確 率 で あ り,t‑1期 に 状 態 ガで あ り,か つt期 に 状 態 ノ に な る 結 合 確 率 で あ る16の 状 態 に 対 す る 部 分 確 率p(z,a)の 導 出 に 決 定 的 な 役 割 を 持 っ て い る.ま た こ れ ら16の 部 分 確 率p(i i)か ら 次 期 の 事 前 確 率

が 導 出 さ れ る よ う に 組 み 立 て ら れ て い る.

さ ら に,時 系 列 デ ー タ の 変 動 に 影 響 を 与 え る 状 態 ブ の 上 記 の 分 散 に つ い て は,基 本 分 散YOに ウ エ イ トR。,RY,RSを 掛 け る 形 で 与 え て い る.す な わ ち

Vc.i)̲Rte)jToEE レタ)=・踏 ゴ)Vo(1‑2) 畷 の=踊 の レ6

と与 え る の で,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス は ウ エ イ トR。,R,,RSを 基 本 分 散 比 と 呼 ん で い る.

な お,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス で は,推 移 確 率 と 基 本 分 散 比 の 値 は 現 実 に 観 測 さ れ た 多 く の 時 系 列 デ ー タ に 基 づ い て,次 の よ う な 性 質 を 満 足 す る よ う に 決 め て い る.

(1)定 常(通 常 の 変 動)へ の 推 移 に は 大 き な 確 率 を 与 え る.

58 季刊 創 価 経 済 論 集 表2‑2推 移 確 率 と基 本 分 散 比

Voi.XXXI,No.1.2.3.4

状態(の 推移確率 基本分散 比

乃 R9) 砂) 瑠)

定 常(1) ^1'll 1 0 0

ス テ ップ 変化(2) 0,003 1 loa 0

勾 配 の変 化(3) ^{0,003 1 a 1}

一 時 的 な 変 化(4) _{0,094 101 a 0}

(2)一 時 的 な 変 化 へ の 推 移 確 率 に は,ス テ ッ プ 変 化 あ る い は 勾 配 の 変 化 へ の 推 移 確 率 よ り,少 な く と も10倍 以 上 の 大 き さ の 確 率 を 与 え る.

(3)ス テ ッ プ 変 化 へ の 推 移 確 率 は 小 さ く,基 本 分 散 比Rc2y)は 大 き い と仮 定 す る.

(4)勾 配 の 変 化 へ の 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 に は,(a)ス テ ップ 変 化 で のRczr)よ り勾 配 の 変 化 で のRs3)は 小 さ くRs3)〈Rc2y)で ス テ ッ プ 変 化 へ の 推 移 確 率 と 同 確 率,あ る い は(b)Rム3L Rczy)で ス テ ップ 変 化 よ り小 さ い 確 率 を与 え る.

(5)一 時 的 な 変 化 の 基 本 分 散 比.R(4s)は,他 の 状 態 の 基 本 分 散 比 の 和 よ り小 さ い と い う こ と は な い.

以 上 の 点 を考 慮 し て,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス で は 表2‑2の よ う な 数 値 を 提 示 し て い る.

こ こ で 問 題 とな る点 は,主 観 に 基 づ い て 定 数 を 与 え る これ らの 値,特 に,推 移 確 率 と基 本 分 散 比 の 値 が,§5で 詳 細 に 示 す よ う に,状 態 の 推 定 に 影 響 を 及 ぼ す こ とで あ る.第1に,彼 ら は 経 験 に 基 づ い て こ れ ら の値 を決 め て い るが,さ ま ざ ま な ケ ー ス に 対 し て これ ら に ど の よ う な 値 を 与 え るべ き か が 問 題 と な る.第2に ハ リソ ン ・ス テ ィー ブ ン ス モ デ ル で は,こ れ ら を毎 期 一 定 と し て 定 数 を 与 え て い る点 で あ る.こ の 第2の 点 に っ い て は,短 期 的 に は と もか く長 期 的 に は 予 測 に 対 して 大 き な 問 題 を生 じ させ る も の と思 わ れ る.

§3カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル

(2‑1)の モ デ ル は カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル と な っ て い る の で,は じ め に,カ ル マ ン フ ィ ル タ ー に つ い て 整 理 し て お く こ と に す る.ま ず,

1:=黙 訟 欝 無}(3‑・)

と お く.こ こ で,yt,Vtは 観 測 デ ー タ,Btは 状 態 変 数,L,Mは 固 定 パ ラ メ ー タ ー,&,rtは 撹 乱 項 で あ る.さ ら に,

E(ε オ)=0,E(ε1)=W∀t

E(ὲε8)=0∀'≠ ∫

E(rt)=0,E(rt「 γ)=U∀t E(rtrs)=ob't$s

と す る.

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ス テ ィー ブ ン ス モ デ ル の 検 証59

な お,(2‑1)と(3‑1)の カ ル マ ン フ ィ ル タ ー 表 現 と の 対 応 は,(2‑Z)の 第1式 が 測 定 方 程 式 で あ り,第2式 と 第3式 が 遷 移 方 程 式 で あ り,

炉 踊 一[St,a],et‑[1:」,L‑[11

01et‑1‑[1:llレ ー1卦 乃一[;:]

と な っ て い る.

① 状 況 設 定

a.固 定 パ ラ メ ー タL,M,W,σ は 既 知

b.t‑1期 に お い て は,(yl,V1),(yz,VZ)…(yt.、,瑳 一1)な る デ ー タ よ り,et‑1の 更 新 さ れ た 値et.1と そ の 分 散 昂.、 が 与 え ら れ る.

こ の よ う な 状 況 よ り,

② 予 測:t‑1期 ま で の 情 報 で,etを 予 測 す る.こ の 値 をBt,t‑1と 表 わ し,こ の と き の 予 測 誤 差 の 分 散 を Σ 舌1ホ.1で表 わ す こ と に す る.

③ こ のet,t.、 を 用 い てytの 予 測 夕,1,.、を 行 う.

④ 更 新:新 し くt期 の デ ー タ(yt,Vt)が 利 用 可 能 に な っ た と き,予 測 に よ っ て 求 め て い たet の 推 定 値 θ蓄1卜1を更 新 す る.こ の 値 を8tと 表 わ し,こ の と き の 分 散 を Σ オで 表 わ す こ と に す る.

  ム

以 下,こ のetと 易 を用 い て ② 〜 ④ を繰 り返 す.こ の 基 本 と な る パ タ ー ン は 以 下 の よ う に 行 わ れ る.

① 初 期 設 定

ま ず,初 期 値 に 対 し て,以 下 を 仮 定 す る.

E(θ 。),var(θ 。)は 既 知,所 与 と し,そ れ ぞ れ θo,濁 で 表 わ す.ま た E(ε 亡6も)=0,E(rteo)=0∀t

②etの 予 測t‑1期 ま で の 情 報 の 下 で,etの 予 測 と 予 測 誤 差 の 評 価 を 行 う.

遷 移 方 程 式 よ りrt=0と お い て, et,t̲1=Lθ 卜1

を 得 る.こ の と き,Btの 予 測 誤 差 は

Bt‐Btit‑1=(LBt‑1十MI't)‐LBt‑1=L(Bt‑i‐et‑i)十MI't と な り,etの 予 測 誤 差 の 期 待 値 は0と な る.

一 方 ,etの 予 測 誤 差 の 分 散 は,

E[(etBtit̲1)(et一 θま1卜1)1]=」LE(θ 卜1‑Bt̲1)(et̲1‑et̲1γL■ 十ME(rt」rγ)M'

=LΣ 亡一L'十MUM'=tit‑1

と な る.

③ytの 予 測:② で 求 め たett、 を 用 い てytの 予 測 と 予 測 誤 差 の 評 価 を 行 う.

測 定 方 程 式 よ り εご=0と お い て, 夕云1オ̲1=瑳 θオ1オ̲1

を 得 る.こ の と き,ytの 予 測 誤 差 は,

(3‑2)

(3‑3)

(3‑4)

(3‑5)

60季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXXI,No.1・2・3・4

et=二vt一 夕舌1亡̲1==レ陰θ孟十Et‑『 匹 θ刮舌̲1=τ4(et‑Btit̲1)十 ε舌(3‑6) と な り,ytの 予 測 誤 差 の 期 待 値 は0と な る.

一 方 ,ytの 予 測 誤 差 の 分 散 は,

E(@θ の=E[(.Y一ytt‑1)(y一ytlt‑1)ノ]

=VtE[(et一 θ哲拷̲1)(et‑et,t̲1)つ レ『十E(ε 舌εを)=y}Σ61オ̲1Vt十W(3‑7) と な る.

④etの 更 新

t期 にyt,Vtと い う 新 し い 観 測 値 が 得 ら れ た と き に,ytと そ の 予 測 量 タォ1亡.、と の 差 を 利 用 し て,etの 推 定 量 の 改 善 を 行 う.

い ま,et,ytは,

et=et,t̲1十(et一 θ±1ご̲1)

yt=τ4θ 舌1ま̲1十[Vt(et‑ett̲1)十 ε亡]

と表 わ され る・ ここで それ ぞれの第 ・項 は予 測量 第2項 は予 醗 で ある・ したが つて[1:]

の期待値 と分散 は以下 で与 え られ る.

E[1:]一[劇 伽 じ:]一[趨:∴属ll渕(3‑8)

こ こ で,θ ψ とytに つ い て 正 規1生 を 仮 定 す る と,

とな る.

一 般 に

,2変 量 正 規 分 布

団 一N([1卦[6xx6yx

[乱]‑N([et,tVtBt∴1[慶:∴ばlll測)

6xv 6yy

に お い て,yの 条 件 つ きxの 分 布 は 次 の よ う に な る こ と が 知 ら れ て い る6).

ユ31y〜 ノ〉(μ 副y,σ 訟τly).

こ こ で,μ 姫=翫 十6xy(甜(y一 μア)

‑1

σπly=6xx‑6xyの ッ の:x

(3‑9)

し た が っ て,Btの 更 新 はt期 のytが 得 ら れ た と き の 条 件 つ き θ,の 分 布 と し て 与 え ら れ,次 の よ う に な る.

Btlyt〜1>(et,.Σ ∂(3‑10) た だ し,

Bt=et,t‑」.十 ・Σ7オ匡 一1Vt[Vt・ Σ7≠拷一1Vt十W]‑1(yt‐Vtett̲1)(3‑11)

6)例 え ば,岩 田[8]1983,pp.331‑333を 参 照 せ よ.

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証61

」Σ7オ=.Σ7引ご̲1‑.Σ4オ̲1Vt[玩27≠1オ̲11レ7十W]‑1玩 Σ̀匡̲1(3‑12)

§4ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル=Single‑StateModel

4つ の 状 態 を 考 慮 せ ず に1つ の 状 態 だ け で 上 記 の カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル に 基 づ き,ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 基 本 モ デ ル を 解 説 す る.

ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス の 基 本 モ デ ル は,具 体 的 に は 以 下 の よ う な 手 順 で 行 わ れ る.こ こ で dtの'期 以 前 の 系 列 をdot)で 表 わ す こ と に す る.

① 初 期 設 定 と し て,

事 前 分 布,(μ 舌.、,at‑、1威t‑、))〜N([〃zt‑、,ろ オー、],島 一、)=N(の 舌.、)[4‑A]

が 与 え ら れ て い る と す る.こ こ で, E(μ ご̲1)=ηz亡̲1(4‑1)

E(at̲1)=bt̲1(4‑2)

と お く.上 式 に お い て 分 散 は,

島 一[zノ μμ,t‑1Z♪ μβ,t‑i Zノμβ,t‑1Zノ ββ,t‑1](4‑3)

で 表 わ す こ と に す る.但 し,0μ μ,H‑E(μH‑mt‑1)2,隔H=E(μ 飼 一mt̲、)(βf‑一bt‑1), 四ββ,、一、=E(βH一 ろ舌一1)2で あ る.こ れ ら を ま と め て,

の ト 、一 伽 、.、,bt‑、,v。u,t‑、,隔,.、,0β 彫.、}

と お く.ま た,dのi撹 乱 項 ε の 分 散 す な わ ち(dtμ ∂ の 分 散 をVs,μ の 撹 乱 項 の 分 散 す な わ ち (μオ1μt‑i,β ∂ の 分 散 をVy,β の 撹 乱 項 の 分 散 す な わ ち(β オ1βt‑、)の 分 散 をVSと す る.そ し て, こ れ ら が 既 知 で あ る こ と を 前 提 と す る.ま た,各 期 毎 に 正 規 分 布 す る こ と を 前 提 と す る.

②t‑1期 ま で の 情 報 を 用 い てetの 予 測 を 行 う.具 体 的 に は(ut,β 、1碗 一、))の 期 待 値 と 分 散 を 求 め る.こ こ で の 分 布 は

(μ,,atldct̲、))〜1>([Y12t̲、+bt‑、,bt̲、],Σ オ1̲̀、) と な る.す な わ ち,

'

17雄 一1=rnt̲1十bt‑I atit‑、=ろ ト 、

で あ る.こ こ で 分 散 共 分 散 行 列 を

恥 一「二it

12::見:::1

で 表 わ す こ と に す る.こ の と き(3‑4)よ り,

￡一 一L釦+MUM'̲[li][競:=:;鼠 」 閲+[ll]「VyO

OVS][1011]

で あ る か ら,個 々 の 要 素 は,

フ!ll,t=zノ μμ,t̲1十2zノ μβ,オ̲1十vaa,t‑1十Vy十 「レrS

4

一4( 54(

(4‑6)

62季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXI,No.1・2.3.4

r、2,t="μ 彫 一、+"β β,t‑、+Vs rzz,t=vaR,t‐r‑1‑Vs

と な る.

③ 測 定 値 の 予 測(副 碗.1))を 行 う.予 測 値 は

orオ1オ̲1==(rnt‑1一 トbt‑1)St(4‑7)

と な る7).し た が っ てdtの 予 測 誤 差 は

et==dt‑o憂 匡̲1(4‑8)

で あ り,そ の 分 散 に つ い て は,E(ete't)=y}Σ 鴇.、V't+Wよ り

T/et=StYl1,t十 「レ奄(4‑9) と な る.

④ 更 新 を 行 う.角 と β,の 更 新 さ れ た 値 角 と β亡は 以 下 の よ う に 求 ま る.す な わ ち,(3‑11)よ り,

A〜 〜 〜 〜

et=ett1+Σ 弗 一1レ γ[y}Σ 配̲1レ 『十W]‑1(yt‑VtBtit‑1)で あ る か ら,

命 一 〃3卜1十bt‑1十Yl1,tSt/Vee・et r

at=bt̲、+r、2,tst/τ ノ乙ド θオ と な る.こ の と き 分 散 共 分 散 行 列 を

島 一[肱::vua,t vQa,t と お く.い ま,(3‑12)よ り,

ΣF.Σ オIH一 Σ61オ ー1y『[ylΣ 配 一1Vt十W]‑lylΣ 置1オー1

で あ る か ら,個 々 の 要 素 は,Al,t=StYli,ノ%,,A2,t=∫ 〃12,4%tと お く と,

Zクμμ,t=r,1,t‑StYi,t/Uet==rll,t‑Ai,tvet v。 β,t=Yl2,t‑StY11,tria,t/vec=Yla,一Al,tA2,tUet 勿β",t=Yz2,t‑StYi2,t/Vet‑r2z,t‑Az,tVee と 表 わ さ れ る.

こ の よ う に し て 事 後 分 布 は

(μ 渉,atdot))〜1V([ρ オ,Qt],≦1∂=1>((Z)∂

11{mt‑1,bt.1,刀 μμ,t,抄 μβ,t,vaa,t;Ve,Vy,VS}

と な る.

§5ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル に お け る4つ の 状 態=

ハ リ ソ ン ・ ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 特 徴 は,前 述 し た よ う に,

(4‑」.0) (4‑‑11)

(4‑12)

[4‑B]

Multi‑StateModel

4つ の 状 態 の 組 み 合 わ せ に よ っ て 事 態 が 推 移 す る と こ ろ に あ り,こ こ で は,前 節 の 議 論 が 拡 張 さ れ る.分 析 に 際 し て は,定 常 7)季 節 性Stは 本 来 デー タ と して考 え られ る もの で あ る.し か し,ハ リソ ン とス テ ィー ブ ン ス は,こ れ を1と し

て 扱 い,無 視 して い る.

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証63

(通 常 の 変 動)を 状 態1,ス テ ッ プ 変 化 を 状 態2,勾 配 変 化 を 状 態3,一 時 的 変 化 を 状 態4と す る.ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル が ベ イ ジ ア ン と 呼 ば れ る ゆ え ん は,こ の4つ の 状 態 に 推 移 す る 場 面 で,事 前 事 後 分 布 を 考 え る 点 と カ ル マ ン フ ィ ル タ ー を 用 い る 点 で あ る.

① 初 期 状 態 と し て,t‑1期 の 状 態Zに お い て

ρ!勉1=麟al

擁a1=ろ(Z)t‑、

鉱 一隠=灘 二]

(5‑1) (5‑2)

(5‑3)

で あ る と す る.な お,t‑1期 に 状 態 がZで あ る 確 率 を 事 前 確 率 と し て σ鮎 で 表 わ す(σ 鮎 の 初 期 値 は 所 与:ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル で は4状 態 を 扱 う の で,こ こ で は(0.25,0.25,

0.25,0.25)と す る).

こ こ で の鮎 でt‑1期 に 状 態 がZで あ る と き の 分 布 の パ ラ メ ー タ を 表 わ す と,の12、={rnti)1,

∂1ρ・,vau,t.・,〃融.1、,轟IH;T(i),yP,Vcly)}と な る.事 前 に 各 分 布 は 既 知 で あ り,こ れ ら を 合 成 し て 全 体 の 分 布 が 決 定 さ れ る.す な わ ち,

べ

(μ6̲、,β 卜11dt‑z)〜 Σ σ1塑、・N(の1遊 、)[5‑A]

Z=1

で あ る8).た だ し φ2、 はt‑1と い う 添 え 字 の 通 り事 前 確 率 で あ り,[5‑‑A]は 事 前 分 布 で あ る.

こ こ で,t‑1期 の 状 態S孟.i‑Zよ り'期 の 状 態st=;へ の 推 移,更 新 を 考 え る.

② ま ず,各 状 態 のt期 に つ い て の μ と β の 予 測 は,

8)一 般 に 状 態 変 数 がst=ブ に あ る と き,観 測 さ れ た 変ytが 正 規 母 集 団N(μ ブ,26.;)か ら 抽 出 さ れ る と す る と, 観 測 さ れ た 変ytの 状 態 変Stの 条 件 つ き確 率 密 度 関 数 は

ノ(囲&=ノ;μ あ6;)一 詰 の ・xp{}㌘)2/.‑1,2…N と な る.

一 方,状 態 変Stが ノ を と る 無 条 件 確 率 を の で 表 わ す と

Pr(S'Fノ;μ 、,26j)=σ7と な る.こ こ で,Pr(A∩B)=PrG41B)Pr(B)よ り, P・(yt,St;μ ゴ,26;)一 濃

の ・xp「(拳 壽 角)2}

し た が っ て,い ま1>=4と し てytの 無 条 件 確 率 密 度 関 数 を考 え る と,ノ に つ い て 和 を と る こ と に よ り

4

ノ(yt;μ1,μ2,μ3,f14,6i,6z,6a,6a)=ΣPr(yt,St;μ,,σ 多)

j=1

一 論 ・xp{一 撃)}+漁 ・xp{一(yt一 μ2 262)}

+毒 ・xp{一(yt一 μ326s)}+毒 ・xp{一(券 壽 μ)}

と な る.

こ れ よ りYtの 期 待 値 と 分 散 は 次 の よ う に な る.

E(yt)‑4,μ 、+q,μ,+9、 μ、+q、 μ、

V(yc)‑Q1{61+(μrE(yt))2}+q、{262+(μ,‑E( .vt})2}

+q、{263+(μ,‑E(yt))2}+q、{σ 多+(μ 、‑E( .vt))2}

こ の 分 散 の 導 出 の 詳 細 に つ い て は,宇 野[11]を 参 照 せ よ.

64季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XXXI,No.1・2・3・4 メ7薪辺1=ηz〜 勉1十bti〜i(5‑4)

βΣ1…身1=ろ521(5‑5)

と な る.次 に こ れ ら の 分 散 共 分 散 行 列 を

恥[;擁 壌:](5‑6)

で 表 わ す こ と に す る.こ こ で 爵1幽 一 五 蕩a、L'+Mσ ω ルτ'と お く こ と に よ り,(5‑6)の 各 要 素 は 次 の よ う に 与 え ら れ る.

rii;t)=zノ 五弦 オ̲1一ト22ノ瓦盆オ̲1‑1‑z握寂オ̲1一ト「レ〜〜ゴ)十1レ誉ゴ) Yi2,'t)‑o鱗 一1十 轟1オ ー1十Vs')

γ猛2=麗 島 一1十 鴨 の

③ 以 上 の 手 順 に よ り,各 状 態 の 予 測 値 は o弄弁〆〜1=(rnti)1十 ろ9〜1)St(5‑7) と な る.

こ こ で 各 状 態 の 誤 差 は,

eti)=dt‑(〃zla1十 ∂21)St(5‑8) で あ り9),さ ら に 予 測 誤 差 の 分 散 は

%〆 げ)==∫舞γffノぎ)十「レT(je)(5‑9) と な る.

④ 更 新 さ れ た 値 と そ の 分 散 共 分 散 行 列 は

ρ〜ゴヴ);"z〜 く≧1十 ∂Σ壁1十Yii,'t)St/1/'(z,.iea)'etZ)(5‑10) β〜ゴ'ゴ)=bti?1一トYi2,'t)St/〕謄 ま『'の'εΣの(5‑11)

2卿 一[諺欝](5‑・2)

と な る.

こ こ で,o爾1=班2‑.411多 の2レ琶〜・ゴ) 晦 ジ=Yi2:'t)‑All丑 の.411〜)レ 卵) 蝿;{」r22:t)‑A差1書 の2%1・ ゴ) で あ り,ま た

.4{〜)=StYii;t)/レ 沓1財) .41z〆)=StYiz,'t)/UcZ,」et) で あ る.

以 上 の 結 果 を ま と め る とt‑1期 の 状 態St.1=ガ よ りt期 の 状 態st=;へ の 推 移,更 新 に よ る 16通 り の 事 後 分 布 は

9)2夢 ゴ)=!ム ーor9畢辺1=01≠一(zpz〜く≧1一トゐ5三〜1).S+=P{i}

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久1ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー一ブ ン ス モ デ ル の 検 証65 (μ汐),β1切ldt,St=j,St̲1=Z}〜N([ρ を訂),β 〜劫],.￡ 〜4ブ))‑N(φ ≦幼)[5‑B1]

の1萄)二 伽 〜笹、,bra)t‑、,〃餓 ト 、,翻 舌一、,轟!オ ー1;必 の,騰 ゴ),yチ ゴ)}

と な る10).

こ こ で,彼 ら の モ デ ル の 問 題 点 と し て,必 の,噂},yチ の が 時 間tに 依 存 し な い す べ て の 期 に お い て 一 定 の 値 と し て 与 え ら れ て い る 点 は 注 意 す べ き で あ る.

⑤ 展 開:部 分 確 率

ま ずt期 に 状 態stが ブ に 移 る 確 率 を 推 移 確 率 乃 に よ っ て 表 わ す.次 にt‑1期 の 状 態S尻 が Zで あ り,か つt期 の 状 態stが ブ に な る 結 合 確 率 を 本 稿 で は 部 分 確 率 と 呼 び,そ れ をpl翻 で 表 わ す が,こ れ は ベ イ ズ の 定 理 の 応 用 よ り,次 の よ う に 求 め ら れ る.な お,こ こ で は,4状 態 を 扱

う の で,そ れ ら は16通 り あ る.

.ρ1ゴ・の二Pr(St=ノ,st̲1==ゴloを の)

=kPr(dtlst=ノ ,&̲1=Z,dot̲1))Pr(st=ノ[S亡̲1=Z,滅 亡̲1))Pr(St‑1=ゴ1滅 卜1))

(5‑13) こ こ で,k=1/Pr@1碗 一1))で あ る.第2項Pr(01貝st=ノ,Sご̲1=Z,d(t‑i))は 尤 度 関 数Lを 用 い て,

酬 踊&…4㈲ 一2 π爺exp[一{dt‑s鐸 遡r

と 表 わ さ れ る.ま た 第3項Pr(St=71st̲1=i,d(t̲1))は 推 移 確 率 乃 を 表 し て お り,第4項Pr (St.、 一 刻 晦.1))は,σ 鮎 す な わ ちt‑1期 の 事 後 確 率 で あ る11).

こ の よ う に し て(5‑13)に よ っ て4つ の 状 態 は,16の 状 態 へ 展 開 さ れ る.具 体 的 に は,部 分 確 率 ρ1切 は,

pti,.i・㏄2

π振 、exp[一2誰 ・]× 乃 × σ12・(5‑・4)

とい う形 で 近 似 的 に 求 め ら れ る.

こ こ で,(5‑14)の 第1項 の 計 算 に お い て,各 期 に お い て 一 定 の(.ie),VS'),砂 のが 用 い ら れ て い る こ と,ま た 同 様 に 第2項 乃 に つ い て もす べ て の 期 に お い て 一 定 の 値 が 与 え ら れ て い る 点, こ れ ら は 新 た に得 ら れ る情 報 を利 用 して 分 布 を 改 善 し て い くベ イ ジ ア ン ア プ ロー チ と し て は 問 題 が 残 る で あ ろ う と思 わ れ る.

よ っ て,上 記 の[5‑B1]に お け るt‑1期 に 状 態Zに あ り,か つt期 に は 状 態 ノに な る と い う 16の 状 態 の 分 布 に そ の 確 率 を掛 け 合 わせ る こ とに よ っ て,合 成 さ れ た(完 結 し た)事 後 分 布 は 次 の よ う に 表 わ さ れ る.

44

(μ亡,β ピ14∂ 〜 Σ Σp卿 ノ〉(の 鮒))[5‑B2]

i=1j=1

10)の1胡 ・={β1劫,属 切,〃 爾1,θ 乖留,θ 綴);照'),Vs'),v'r)}で あ る が,(5‑10)〜(5‑12)よ り の ≦z,.i)={甥la1,bì'i,溢 弦H,轟 恥 一、1,擁 擁̲1;レ 慧'),1ノ'(J)s,巧')}と な る.

11)こ れ は ま たt期 の 事 前 確 率 σPを 表 わ し て い る.

66季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXI,No.1・2・3・4

⑥ 縮 約

4

t期 の 事 後 確 率 は,部 分 確 率 の 和 と し て σP=Σ 諺 ゴ)(ノ=1,2,3,4)で 得 ら れ,こ れ が ま た 次

i=1

の 期 間t+1期 の 事 前 確 率 と な る.同 様 に,16通 りに 展 開 さ れ た す べ て の パ ラ メー タ も ま た4通 りに 縮 約 さ れ る.

こ こ で ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス は,縮 約 の 方 法 と し て 以 下 の 方 法 を用 い て い る.す な わ ち, t期 に お け る状 態 ブに つ い て,

4

glの=Lipti,.7)(5‑15)L=L 4

あ ゴ)=Σ ρ1ゴ'の∂卿/σ1ゴ)(5‑16) ぽ罰1

4ナ

≦1シ)=Σp卿[∠ ≦)(i,,it)一ト 〈Btz・')一 農 の)(∂1劫 一 廃 の)!]/φ')(5‑17)

L=1

で あ る12).(5‑16)は

4

4

辞Lゐ1の=Σ ρ1劫 辞4)/σ1ゴ)(5‑19) ガ=1

さ ら に(5‑17)は,

"餓f=Σp鯉[轟4 デ1+(ρ 卿 一mt'))2]/σ1の(5‑20)

ガ=1 4

蝿1ご=Σpl劫[酬)+(β1劫Z=1 一 ∂1の)2]/σ1ゴ)(5‑21)

4

vi'R,t=Σp汐)[鍼 留+(μ 卿 一z鰺))(β 〜ゴ'の一 ∂1ゴ))]/glの(5‑22)

2=1

で あ る.

以 上 の よ う し て 今 期 の 縮 約 さ れ た 事 後 分 布 に よ る合 成 され た事 後 分 布 は,4

(μ♂,βJdt)〜 Σ41ゴ)・N(の1ブ))[5‑B3]

j=1

た だ し,φ1の={麟 の,bt",瑠,t,翻,,J)va,t;γ ぎ'〉,Vc」〉,y夕)}

と な る.そ し て こ れ が 次 期 の 事 前 分 布 と な る.す な わ ち,こ れ を 用 い て ① 〜 ⑥ が 繰 り 返 さ れ,進 ん で い く.こ の よ'う に 展 開 と合 成 そ し て 縮 約 を 繰 り 返 す と す る の が,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス

モ デ ル の 特 徴 で あ る.こ の 過 程 を 図 解 し た も の が 前 述 の 図2‑2で あ る.

§6検 証=貨 幣 乗 数 の 予 測 と あ る バ ス 会 社 の 売 上 収 入 の 予 測

こ こ で,上 述 の ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル を 用 い て 予 測 を 行 い,う え で 指 摘 し た 問 題 点 を 検 証 し て み る こ と に す る.

12)注8を 参 照 せ よ.

March2002小 林 孝 次/土 谷 幸 久:ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル の 検 証67 a)貨 幣 乗 数 の 予 測

ま ず は,マ ネ ー サ プ ラ イ/マ ネ タ リー ベ ー ス と し て 計 算 し た 貨 幣 乗 数 の デ ー タ を 用 い る.期 間 は1970年 第1半 期 か ら1998年 第1四 半 期 ま で で あ る.

な お,本 稿 で 用 い ら れ た デ ー タ お よ び そ の 出 所 は 以 下 の 通 り で あ る.

マ ネ ー サ プ ラ イlM2+CD,平 均 残 高,日 本 銀 行 『経 済 統 計 月 報 』,E‑viewsのX11に よ り 季 節 調 整 済 み.

マ ネ タ リ ー べ 一 ス:平 均 残 高,日 本 銀 行 『経 済 統 計 月 報 』,E‑viewsのX11に よ り 季 節 調 整 済 み.

こ う し て 季 節 調 整 済 み デ ー タ を 用 い る こ と に よ り,こ こ で は ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス モ デ ル に お い て,毎 期 の デ ー タ と し て 与 え な け れ ば な ら な いStをSt‑1と お い て 処 理 し た.な お,初

期 値 と して は す べ て のZに つ い 繍 一 ・幡 一 ・・識 一[1011

01」 とす る ・

は じめ に,ハ リソ ン ・ス テ ィー ブ ン ス に よ っ て 提 示 さ れ た 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 を 用 い て 貨 幣 乗 数 の 予 測 を し た と こ ろ,結 果 は 図5‑1の よ うに な り,こ の と き予 測 の 平 均 平 方 誤 差 は0.3456で あ っ た.

この モ デ ル の 利 点 は カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル に よ る予 測 に加 え て 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 に 予 測 者 の 主 観 を反 映 させ る こ とが で き る点 に あ る.し か し そ こ に は モ デ ル の 性 質 か ら し て 当 然 恣 意 性 が 入 る し,ま た そ れ ら の 適 切 な 値 を得 る こ とに 困 難 が 伴 な う.そ こ で,そ う し た 主 観 を あ え て 取 り除 き,各 状 態 へ の 推 移 確 率 を均 一 に し,ま た 基 本 分 散 比 もす べ て1に 固 定 し て 計 測 を し て み た.こ れ は 基 本 的 に は カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル だ け で 行 う予 測 で あ り,§4で 示 し たSingle StateMode1に 等 し い.こ の 予 測 結 果 は 図5‑2の 通 りで あ る.予 測 の 平 均 平 方 誤 差 は0.1224と な っ た13).以 上 に よ り,両 者 を 比 較 す る と,カ ル マ ン フ ィ ル タ ー だ け で 行 う予 測 の 方 が 結 果 的 に 良 い 予 測 を して い る こ と を示 し て い る.

b)あ るバ ス 会 社 の 売 上 収 入 の 予 測

次 に あ るバ ス会 社 の 売 上 収 入 に つ い て,ハ リ ソ ン ・ス テ ィ ー ブ ン ス に よ っ て 提 示 され た 推 移 確 率 と基 本 分 散 比 を用 い た 予 測 と カ ル マ ン フ ィ ル タ ー モ デ ル だ け で 行 う 予 測 を し て み た.期 間 は 1960年2月 か ら1972年2月 ま で で あ る.デ ー タ は 季 節 性 を 除 くた め に 対 前 年 同 月 比 変 化 率 に し て あ る.な お,デ ー タ の 出 所 は,土 谷[10]2001で あ る.

113)ハリソ ン

・ス テ ィー ブ ン ス の ケ ー ス に は各 基 本 分 散 比 に さ らに の ウ ェー トを乗 じ,カ ル マ ン フ ィ ル ター101 モ デ ル に は罐 本 分 散 比 に!3の ウ ェ ー トを乗 じて 澗 者 の分 散 が で き る だ け共 通 に な る よ う灘 を して あ る.

1 前 者 で は各 状 態 の分 散 比 の合 計 が 最 大 の もの で101と な

っ て い る.そ こ で の ウ ェー トを 掛 け た 場 合,定100 常 や 勾 配 の変 化 の よ うに分 散 比 の合 計 が1よ り小 さ くな る状 態 が あ る.一 方,後 者 の 場 合 は,分 散 比 の 合 計 は す べ て の状 態 に お い て ユ とな る.そ れ で も前 者 よ り後 者 の 方 が 予 測 の 平 均 平 方 誤 差 は 小 さ く,予 測 の 精 度 は 高 くな っ て い る.