著者 村田 安雄

期限無しオプションとしての投資決定 : Pindyckモ デルの解明

その他のタイトル Investment Decision as an Option without Expiration Date

著者 村田 安雄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 41

号 3

ページ 503‑518

発行年 1991‑09‑27

URL http://hdl.handle.net/10112/13873

論 文

期限無しオプションとしての投資決定

—Pindyck モデルの解明ー一

村 田

安 雄

1 .   序

村田 ( 1 9 9 1 ) は期限付きのオプションを援用して， 設備投資の機会費用を説明 し，また投資を直ちに行うべきか，待つべきかの判断基準を示した。そこでは 離散時間の価格変化モデルが用いられていた。それに対して，本稿では連続時 間の価格変動式を想定し， 満期の無いオプションの考え方によって， 設備投 資を最適に行うための判断基準を明らかにする。われわれは P i n d y c k ^{( 1 9 9 0 )}   の理論に多く依拠しているが，投資の予想収益の均衡式の導出については M c D o n a l d ‑ S i e g e l   ( 1 9 8 5 ) のアプローチに負っている。第 2 節は製品価格の変 動式を確立し，第 3節で投資プロジェクト価値の式を金融資産市場の均衡と関 連付ける。第 4節では投資オプション価格を投資予想収益に対して設定した場 合を考察する。第 5 節での投資予想収益の解を受けて，第 6 節で投資オプショ

ン価格を製品価格に対して設定した関数形が確定される。最後に第 7 節は数値 例による算定に当てられる。

2 .   製品価格の確率微分方程式

企業が或る製品を生産するための設備を新たに建設するという，設備投資を 計画するとき， その製品 1 単位の市場価格 P の将来の変動がその投資の実施

にとって重要である。

5 0 4   闊西大學「論綬論集』第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

い ま 第 t 時点における P の瞬時的期待変化率を町と記すと ( h は任意の短 時間を示す），それは

1  P(t+h)‑P(t) 

a p

h  [  E , P ( t )   ]  ⁽¹⁾  と定義される。ここに E t は第 t 時点での期待値を示す。 そして P の変化率 の分散を o p 2 と記すと，それは次のように定義される。

五｝品 [(P(t+; 盆 ^{P ( t )̲h} ザ ］ ⁽²⁾ 

(1) と (2) を充たす P の変動式は

P(t+h)‑P(t) =hap+apy(t)v'h  (3)  P ( t )  

と表される。ただし y ( t ) を期待値がゼロ， 分散が 1 の正規分布に従う確率変 数であると想定する。 (3) 式の両辺を h で除して， h をゼロヘ近づけると，

その極限での表現は dP  1 

d t   P  =ap +a  p y ( t )  ( d t ) 一 i ( 3 ' )   となり， ( 3 りの両辺に d t を乗じ， d z p = = y ( t ) v 西と置けば，下記の伊藤型確 率微分方程式が得られる。

dP  p 

‑ = a p d t + a p d Z p   ⁽⁴⁾  ここに d z p は期待値がゼロ，分散が d t の正規分布に従う確率変数である心

<Jp

は P の瞬時的変化率の標準偏差を意味する。

3 .   投 資 の 予 想 収 益 の 市 場 均 衡 式

ところで金融資産 ( f i n a n c i a la s s e t s ) の市場において， すべての資産を市場 価値に応じて組合せたボートフォリオをマーケット・ボートフォリオと呼び，

1) かくして Z p は標準ウィナー過程（あるいは標準ブラウン運動）に従う。 なお村田 ( 1 9 9 0 ) ,   p p .  6 7 3 ‑ 4 お よ び p p .6 8 2 ‑ 3 を参照。今後

(任意の i ) はすべて標準ウ

ィナー過程に従う確率変数と考える。

6 8  

期限無しオプションとしての投資決定（村田）

その瞬時的収益率を心と記そう。 Rmの期待値を < X m , その標準偏差を％と 表せば， その資本市場での任意の資産 S の瞬時的期待収益率 a ,は ， 市場均 衡において，

a,=r+~cov(R., Rm)  O m 2   となることが知られている

。 ここに

R.= 資産 S の瞬時的収益率， r= 安全資産の市場利子率，

c o v ( R . ,  Rm)~E[(R.-a,)(Rm-am)]

である。また R , . の標準偏差を a , と記して，

A =  am →,  P s m  = c o v ( R . , R , , , )   a

a . a m

を定義すると， (5) 式は次のように書き換えられる。

a , = r + . . t p , m a ,  

(5) 

(6) 

(7) 

( 5 ' )   ここに iは「リスクの市場価格」と呼ばれ， P s mは R. と Rmの相関係数 を示す。 ( 5 ' ) 式の右辺第 2 項は資産 S の収益率 R , に対する総体的リスク ( e c o n o m y ‑ w i d e  r i s k )の調整を表しており，資本市場における投資家が平均的 に危険回避者である場合に入は正値をとり，危険中立ならば . . l = O となる。

そして P s mは通常は正値であり，総体的に投資家は危険回避的であるので，

S の収益率の金融リスク A P s m O sは正値をとると考えられる。

さて当面の設備投資が実現された時に，その設備より生産される製品の単価 Pから，その生産費用 C を差し引いた残額 (P‑c)の粗収益が毎時に得られる と予想されるが，実際に生産を行うのは P~c の状態においてであって， P<c の場合には生産されない。いま製品 1 単位の生産費

は一定と考えて， P は (4)式に従って変動するものとした場合に， この投資からの予想収益 V に 対する請求権 ( c l a i m )を，前述の金融資産の一種として資本市場においてポー

トフォリオに組み込むと想定する。この権利を喜んでポートフォリオに入れる 2) これはボートフォリオ理論において CAPM と呼ばれる式であり， 詳細については，

例えば久保田 ( 1 9 8 9 ) , 第 2 章を参照。

5 0 6   闊西大學「紐清論集」第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 ・ g 月 ）

投資家にとっては， 当該投資の瞬時的期待収益率幻は (5) または ( 5 ' )の 式で与えられなければなならい

。つまり

av=r+,lPvm

(8) 

こ こ に ％ は V の瞬時的収益率凡の標準偏差， P v m は Rv と Rm の相関係 数を示す。

設備を稼動して生産する場合にだけ毎時の V の増分 c a v ; a t ) は P ‑ c ( ; ; ; ; ; O ) に等しいことを考慮すると， V の変動は伊藤の公式によってつぎのようにな る％

dV=  (j(P‑c) +apPV'+‑op2 1  戸 V " ) d t + o p P V ' d z p (9)  2 

ただし V'=dV/dP, V"=d 叩 / d P 2 ,j=l  (巴幸の時）， j=O (P <c の時）であ る 。 (9) 式の両辺を Vで除すと，

dV 

V 

dt+avdz 。

に整理される。ここに下記の恒等関係が存在する。

a.=(j(P‑c) +apPV'+‑ap2 1  戸 V0)/V 2 

a0=apPV'/V  dz

d z p

( 1 0 )  

( l l a )  

( l l b )   ( l l c )   ( l l c ) から V と P の変化率は完全に相関していることが判明する

。従って Pvm=Ppm が成立する。

( l l a ) ,   ( l l b ) および Pvm=Ppm を市場均衡式 (8) へ代入して整理する と ，

3)  M c D o n a l d ‑ S i e g e l   ( 1 9 8 5 ) ,   p p .  3 3 7 ‑ 8 を参照。

4) 村田 ( 1 9 9 0 ) ,p .   6 8 3 ,   ( 1 6 * ) 式を適用して， a v ; a t = j ( P ‑ c ) を代入する。 なお V '

と V " は本来は偏微係数である。

5) dV と dP の相関係数を計算すると 1 になり，また dV/V と dP/P の相関係数も 1

に等しい。このことを最初に指摘したのは M e r t o n ( 1 9 7 4 ,  p .  4 5 1 ) である。

7 0  

抄 P2V0+(ap‑APpmClp)PV'‑rV+j(P‑c) =O  ( 1 2 )   となる。いま P の変化率 Rp と Rm の共分散と同じそれをもつ金融資産 S の 市場均衡での期待収益率 a , は ， (5) および ( 5 ' . )を考慮して，

. a , = r + A P p m C l p   .  ( 1 3 )   となることがわかる。この a , は P の期待変化率 a p より大きいと想定して，

l l e e e a , ‑ a p ( > O )   ( 1 4 )   と置くと， ( 1 2 ) 式は次のように書き換えられる。

‑u,2P2Vn +  1  (r‑o)PV'‑rV+  j(P‑c) =O 

2  ( 1 2 ' )  

( 1 2 ' ) 式が一つの「リスクのないポートフォリオ」をなしていることを以下 で説明しよう

。 それは投資プロジェクト価値 V(P) を買い持ち ( l o n g ) , 製品 の V ' 単位を空売りする ( s h o r t ) というポートフォリオで， その価値は V(P)

‑V'P であり，それの生む瞬時的収益は，

j(P‑c)dt‑8V'Pdt 

となる。ここに 8 V ' P d t は空売りポジションを保持するための支払い負担を意 味する。故に，このボートフォリオがもたらす瞬時的総収益は

dV‑V'dP+j(P‑c)dt‑6V'Pdt 

となり，この収益がリスク無しになるのは，これを r(V‑V'P)dt に同等と置 く場合であり，それは次式で表される 。

dV‑V'dP+j(P‑c)dt‑6V'Pdt=r(V‑V'P)dt  そして伊藤の公式によって，

dV=  (apPV'+‑op2P2V0)dt+opPV'dzp  1  2 

( 1 5 )  

( 1 6 )  

6) ( 1 2 ' ) 式は P i n d y c k( 1 9 9 0 ) の ( 1 5 ) 式 ( p . 2 6 )   と同じであり，彼は「リスクのな いボートフォリオ」としてこれを導出する。

7)  ( 1 5 ) 式は村田 ( 1 9 9 1 ) での ( 2 3 ) 式に対応する。従って r J I i   r‑ap に相当する

が, ( 1 4 ) ではこれにリスク調整 A P p m U p が加算されている。

S O B   繭西大學「継清論集」第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

を得て， ( 1 5 ) 式の中の dV へ ( 1 6 ) 式右辺を代入し， さらに dP へ (4) 式 の関係を代入すると， ( 1 5 ) 式のリスクのないポートフォリオは ( 1 2 ' ) 式に帰 着する。

4 .   投 資 オ プ シ ョ ン 価 格 (V の関数）

投資から予想される収益 V の市場均衡を表わす微分方程式 ( 1 2 ' ) が前節に おいて提示された。本節ではこの V を空売りして， それに対する投資オプシ ョンを買うという， リスクのないポートフォリオを組み，そのオプション価格

F の変動式を導出する。 このコール・オプションの権利行使が投資の実行を 意味するが，最も有利な状態にならない限り投資は実施されないので，その権 利行使には期限が付いていないと考えられる。従って F は V のみの関数で あり， V は ( 1 2 ' ) 式によって P に依存する。

当面の投資オプションの行使価格は投資の直接費用 I (一定と想定）であり，

そのオプション価格は

摩 max(O, V‑I)  ( 1 7 )   を充たさなければならない。そして V の確率的変動は ( 1 0 )式に従う。

いまこの I コール・オプションを F の価格で 1 単位だけ買い持ち， 投資プ ロジェクト価値を F " (=dF/  dV) 単位だけ V の価格で空売りするというポー

トフォリオを組むと，このポートフォリオの価値は

@==F‑ F "  V  ( 1 8 )   である。空売りに伴う支払い負担率を ( 1 4 )での 8に同じとすれば， このボ ートフォリオを保持することによる瞬時的総収益は

d @ ‑ l J F " V d t  

になる。そして市場での裁定 ( a r b i t r a g e )の可能性を除くためには， この総収 益が r @ d t に一致しなければならない。すなわち ( 1 8 ) を考慮して，次式が成 立する。

72 

dF‑F'dV‑3F'Vdt=r(F‑F'V)dt  ( 1 9 )   他方において V は ( 1 0 )式に従うので，伊藤の公式によって

dF=(a 。 VF+ ‑ a 1  v 2 V 2 F " ) d t + a .  VF  d z .  

2  ^{( 2 0 )}  

が得られる。ただし F ' ' = 研 F / d V Z である。 ( 2 0 )式を ( 1 9 ) 式の dF へ，また ( 1 0 )式の dV を ( 1 9 )式へ代入して整理すれば，次の微分方程式が導出さ れる。

ーが 1  V 2 F u+  ( r ‑ l J )  VF'‑rF=O  2 

( 2 1 ) の方程式はオプションの性質によって，

F ( O )   =0 

F( 戸） =  Vl'-J(~O)

( 2 1 )  

( 2 2 a )   ( 2 2 b )   の境界条件を充たさなければならない。ここに V * は投資を実行する最適時の V を示す。さらにいわゆる「なめらかな継ぎ合わせ」 ( s m o o t h ‑ p a s t i n g ) の条件 として

F'(V*)=l 

が追加される

。 ( 2 2 ) の諸条件の下に ( 2 1 ) 式の解を求めよう。

F(V)=a0( 詞）

とおき， ( 2 1 )式へ代入すると，次の特性方程式が得られる。

¢(ど）＝—ど c,-1) が +(r-5),-r=O 1  2 

そして境界条件 ( 2 2 b ) へ ( 2 3 ) を代入すると，

a=  ( V *  ‑ I )   I  (VI')~

が求められる。また ( 2 2 c ) より 呟 ( V * ) t = 戸

を得て，これに ( 2 4 ) を考慮して整理すれば，

( 2 2 c )  

( 2 3 )  

( 2 4 )  

8) Merton ( 1 9 7 3 ) ,  p .   1 7 1 にこの条件が導出されている。 なお村田 ( 1 9 9 0 )p .   6 7 8 を

参照。

510  隅西大學「継清論集」第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

戸 ^ど I

ど ー 1 ^{( 2 5 )}  

が導出される。そして V*は Iょり大きいので， ( 2 5 ) によってどは 1 より 大きくならなければならない。いま r t > ( , ) において ,=1 と置けば，

r/>(l)=‑o<O 

となる。従って特性根のうちで 1 より大きなどの存在がわかり，そのどは

,=̲!̲‑己 _{2  a . 2}   + [ ( l _{2  a} ‑ 己 _{0 2}   y ^卓 _{a . 2}   1 J ^{( 2 6 )}  

となる。かくしてどが決まり，これを ( 2 5 )へ代入して戸が，さらに ( 2 4 ) によって aが，確定する。

5 .   投資予想収益の解

V は ( 1 2 ' ) 式に従って P に依存するので， F(V) は最終形としては P 関 数として表現されることになろう。いま

G(P) ==F(V(P))  ( 2 7 )   と記すと， 形式的には G は合成関数であるが， ( 1 2 ' ) 式は独自の境界条件を 充たすように V を決め， G はそれに矛盾しない形で P について解かれなけ ればならないので， 実質的に複合オプション (compoundo p t i o n ) の一種と考 えられる

まず ( 1 2 ' ) 式を解こう。そのため V(P)  =bP(>O) 

と置いて，これを ( 1 2 ' ) に対応する斉次式へ代入すると，次の特性方程式が得 ら れ ，

< p ( x )  = a p 2 が一 (ap2‑2(r‑o))x‑2r=O 特性根は下記の通りになる

。

( 2 8 )  

9) 満 期 日 付 き の 複 合 オ プ シ ョ ン の 一 般 形 は Geske( 1 9 7 9 ) に説明されており， われわ れ の 場 合 は Geske のモデルから満期日を取り除いた特殊形である。

7 4  

x,=/l+v 炉+ 2 r / u p 2 C > l )   ( 2 9 a )   X2=fl‑y 炉+ 2 r / u p 2(<O)  ( 2 9 b )  

1  r‑8  ただし P==‑‑ ₂ 

a 戸

そして j=l の時の ( 1 2 ' ) 式の特解は次のように求まる。

p 

V = ‑ ‑ ‑

8  r 

(4)式の両辺に P を乗じた式 dP=apPdt+apPdzp 

( 3 0 )  

( 4 ' )   において P=O と置くと， dP もゼロとなり， P はゼロであり続けるので，生 産は行われない。従って

V ( O )  =O  ( 3 1 a )  

が境界条件の一つである。

( 1 2 ' ) の一般解は ( 3 1 a ) の条件に矛盾しないように決められなければなら ないので， ( 2 9 a ) , ( 2 9 b ) および ( 3 0 ) を考慮に入れると，その一般解は

V(P)=b1 戸 (P<c の時） ( 3 2 a )   p 

V ( P )  =  b2P"• + ‑ ‑ ‑ a  r  ^{（ 摩 c の時） ( 3 2 b )}   になる

。 ( 3 2 b ) 式において P が無限大になれば， V は p a ‑ 1 ‑ c r ‑ 1 に接近

し，それは

肛 V=炉P臼—ce―'1)dt ^{( 3 1 b )}  

の境界条件を充たす。ここに 8 と r はそれぞれ P と

の時間割引率である。

さらに V が P=c において連続的に微分可能であるためには， ( 3 2 a ) と ( 3 2 b ) の V ( c ) が同一値で，またそれらの導関数に P=c と置いた値が相等 しくなければならない。すなわち境界条件として

1 0 )  < p ( l )  =  ‑ 8 ,   < p ( O )  =‑r, r p " > o を考慮する。

11) もし (32a) 式の右辺へ b2P'• を加えると， x 2 < 0 のため， ( 3 1 a ) 条件に矛盾する。

512  闊西大學「継清論集」第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ） b1が1=b2が•+cca-1-rー1)

b の c " 1 ‑ 1 = b 2 x ぷ . ‑ 1 + 0

1

( 3 1 c )   ( 3 1 d )   が成立しなければならない。 これらを b 1 と b 2について解けば， 次のように なる。

b 1  = ( i J ‑ r 泊 +r炉 1 r i J ( 功 一 X 2 ) b 2   =  ^{( i J ‑ r ) ふ +r}

1-"•

r i J ( x 1 一 X 2 )

( 3 3 a )  

( 3 3 b )   以上で V(P)の解の形は確定し，これを受け継いで G(P)の形を求めよう。

6 .   投資オプション価格 (Pの関数）

( 2 7 ) で定義された G(P) は ( 1 7 ) の投資オプション価格 F の原理の支配 を受けるので，

G(P)~max(O, V(P) ‑I )   ( 1 7 ' )   が充たされなければならない。そして P は ( 4 ' ) 式に従うので，伊藤の公式に

よって，

.  dG =  (apPG'+ — 1  ap2P2Gu)dt+apPG'dzp 2 

となる。この両辺を G で除すと，下記のように整理される。

dG =a8dt+a8dz _G  、

ここに次の恒等関係が成立している。

a8=(apPG'+‑ap2PGu)/G  1  2 

a8=apPG'/G  d z 8 = d z , ,  

( 3 4 )  

( 3 5 a )   ( 3 5 b )   ( 3 5 c )   ( 3 5 c ) から G と Pの変化率は完全に相関していることがわかり，従って

=Ppm

が成立する。

ところで G(P) は金融資産としての V(P) に対するコール・オプションの

7 6  

価格であり，それ自体がまた資産価値とみなされるので，資本市場において次 の均衡式が妥当する。

ag=r+APgmUg  ( 3 6 )  

( 3 6 ) 式へ ( 3 5 a ) と ( 3 5 b ) を代入し， P g m を P p 軍で代替してから，両辺 に G を乗ずると，

― 1  ‑ a p 2 P 2 G "  +apPG'=rG+AP がが r p P G ' 2 

を得る。この式の右辺第 2 項に ( 1 3 ) の関係式を考慮して整理した後， ( 1 4 ) の 8 を用いると，

‑ap2P2G" +  1  (r‑8)PG'‑rG=O  2 

が導出される。

( 3 7 ) の微分方程式は ( 2 2 a ) ・ ( 2 2 b ) と同様に G ( O )  =0 

G(P") =  V(P*) ‑ I  (邸）

( 3 7 )  

( 3 8 a )   ( 3 8 b )   の境界条件を充たさなければならない。 ここに P* は投資を実行する最適な 製品価格を示す。さらに「なめらかな継ぎ合わせ」条件

G ' ( P * )  =  V ' ( P * )   が追加の境界条件である。

いま ( 3 7 ) 式の解を求めるために，

G(P) =aP= 

( 3 8 c )  

と置くと， ( 3 7 ) 式の特性方程式は ( 2 8 ) と同じになり，従って ( 2 9 a ) と ( 2 9 b ) の示す特性根が得られる，故に P が P* より小さい時の G(P) は ， ( 3 2 a ) の V ( P ) と同様に， ( 3 8 a ) 条件に矛盾しないようにしなければならな い。かくして ( 1 7 ' ) も考慮して G の一般解は次のように表される。

G(P) =aP=1  (P< 戸の時） ( 3 9 a )  

G(P)=V(P)‑l  (応戸の時） ( 3 9 b )  

7 7  

5 1 4   園西大學『綬清論集』第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

P* は投資が実行される最適な Pを示すので， P=P*の時には ( 3 2 b ) の V(P) が成立する。すなわち

V(P*)  =あ (P*)X• +‑‑王＿ P* 

o  r 

これを ( 3 8 b ) の条件へ代入すると， ( 3 9 a ) も考慮して，

P* 

a ( P * ) x ,   =bz(P*Y• +― a  ‑‑‑I  r  となる。また ( 3 8 c ) の条件から同様にして，

a 功 (P*)

= b 2 X 2 ( P * ) x , ‑ J  +a‑1 

( 4 0 a )  

( 4 0 b )   が得られる。 ( 4 0 a ) と ( 4 0 b ) の両式より P*の決定式が導出され， 下記の通

りになる。

b 2 (

X2)(P*)X2+(

l ) l i ‑ 1 P *=x1 ( c r ‑ 1  +  I )   ( 4 1 )   ( 3 3 b ) の b 2を代入すると， ( 4 1 )式はつぎのように整理できる。

X1;l[Ei:  ー （ り ） x,]=ゲ＋判1 — (fit] ^{( 4 1 ' )}  

( 2 9 a ) と ( 2 9 b ) によってお1 > 1 , x2<0 であるので， ( 4 1 ' ) 式を充たす P*

は

より大きいことがわかる。次節では数値例を用いて P*の値， G(P) の 値などを求めよう。

7 .   投資オプション価格の数値計算

現実的なパラメータ値を想定して，基本型としては

r=O. 0 6 ,   i J = O .  0 4 ,   c=lO  ( 4 2 )   の組合わせを考える 1 2 ) 。これに基づいて G(P) の経路や投資決定に最適な価格 P*を決定するが， 最初に a pの値を 0.20.275 の範囲内の 4 つの値に設定 して， ( 2 9 ) の 功 と 功 ， お よ び ( 3 3 ) の b , と b 2 を計算する。その結果が 1 2 )   ( 1 3 ) と ( 1 4 ) の両式より r‑o=ap‑APpmGp の 関 係 を 知 る 。 従 っ て ( 4 2 ) の場合 に ， 価 格 の 期 待 変 化 率 a p を 0 . 0 3 と 仮 定 す れ ば ， 金 融 リ ス ク A P p m G p は 0 . 0 1 にな る 。

78 

表 1 に示されている。

表 1 と

の値 ( ( 4 2 ) の場合）

U p   I 

0 . 2   1 .  7 3 2   ‑1. 7 3 2   2 . 1 1 0   0 . 2 2 5   1 .  6 4 8   ‑1.438  2 . 6 9 5   0 . 2 5   1 .  5 5 7   ‑1. 2 1 7   3 . 3 2 8   0 . 2 7 5   1 .  5 1 7   ‑1.046  4 . 0 0 0  

表 2

と

の値 ( ( 4 3 ) の場合）

C 1 p   I 

0 . 2   2 . 0 0 0   ‑2.000  0 . 6 2 5   0 . 2 2 5   1 .  8 8 6   ‑1.676  0 . 8 6 4   0 . 2 5   1 .  7 9 0   ‑1.430  1 . 1 3 9   0 . 2 7 5   1 .  7 0 9   ‑1.238  1 .  4 4 7   表 3 P* 値 ( ( 4 2 ) の場合）

~I ^{8 0 0   4 0 0   2 0 0}  

0 . 2   9 1 .  3 6   5 3 . 3 1   3 4 . 0 1   0 . 2 5   1 0 5 . 2 1   6 1 . 0 4   3 8 . 4 9   表 4

P* 値 ( ( 4 3 ) の場合）

8 0 0   4 0 0   2 0 0   0 . 2   1 1 0 .  9 6   6 2 . 8 7   3 8 . 6 7   0 . 2 5   1 2 5 . 5 6   7 0 . 9 5   4 3 . 3 3  

表 1 との比較のため， ( 4 2 ) の組合せの代わりに，

r=O. 0 8 ,   o=O. 0 6 ,   c=lO 

b2 

1 6 4 5 . 8   1 0 0 1 .  5 

6 9 9 . 7   5 3 6 . 0  

b2 

2 0 8 3 . 3   1 1 7 2 .  6 

7 6 9 . 7   5 6 0 . 1  

1 0 0   2 3 . 9 7   2 6 . 6 6  

1 0 0   2 6 . 2 8   2 9 . 0 7  

( 4 3 )   と置いた場合に，同様の計算をした結根を表 2 に掲げる。表 2 での

は表 1 でのそれより小さいが，他の係数はすべて表 2 の方が大きい。 また U p の上昇 につれて，

は増大するが，その他の係数は絶対値で見ると減少している。

つぎに ( 4 2 ) と ( 4 3 ) の両方において P* の値を特に 1 1 p = 0 . 2 , Q.25 に対

して算定するが， ( 4 1 ) 式は I の値を所与とするので， I =800,  4 0 0 ,   2 0 0 ,   100 

5 1 6   闊西大學『網清論集」第 4 1 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

のそれぞれについて P*値を算定した。その結果は表 3 と表 4 に掲載されて いる。全般的に ( 4 2 ) の場合よりも ( 4 3 ) の場合の方が，投資決定価格 P*の 値が大きくなっていることは両表から明白である。このことは，利子率の上昇 が投資の実現をより困難にするという，いわゆるケインジアン投資理論に整合 する。また表 2 と表 3 の各表において G pの増加は P*値を上昇させ，投資の 直接費用 I の 減 少 は P*値を低下させることが明らかである。

以下においては ( 4 2 ) の基本的な場合について，投資オフ゜ション価値 G(P) を算定しよう。

いま Gp=0.2, /=800を ( 4 2 ) に追加想定した場合に G(P) の値を ( 3 9 ) の両式によって計算しよう。 この場合にパラメータ aの値は ( 4 0 a ) または ( 4 0 b )式へ P*=91.3 6を代入して求められ，それは a=O.5 2 9 5 となる。従 って 9 1 .3 6以下の P については， ( 3 9 a )式によって

G(P) =O. 5 2 9 5 ? 1 ・ 7 3 2   ( 4 4 a )   と算定される。また 9 1 .3 6以上の P については， ( 3 9 b ) 式へ ( 3 2 b ) 式を考 慮した次式

G(P) =1645. g p ‑ i . 7 3 2 +   p  1 0  

0 . 0 4   0 . 0 6   8 0 0   ( 4 4 b )   によって計算される。これらの計算結果は表 5 にまとめられており，またそれ を図に描いたものが図 1 に示されている。

最後に 1=400の場合に， そ の 他 の パ タ メ ー タ 値 は 表 5 と同じにして，

G  ( P ) を計算した結果は表 6 に掲載されている。そしてそれを図示したものが 図 2 である。なおこの場合には， a=O.7 8 4 2になっている。

表 5 G(P)値 ( f = 8 0 0 ,   a  p = O .  2 ,   ( 4 2 )の場合）

p  1  1 0   2 0   3 0   4 0   5 0   6 0   7 0   s o   9 1 .  3 6   1 0 0   1 1 0   G ( P ) I  2 8 . 6   9 4 . 9   1 9 1 . 5   3 1 5 . 2   4 6 4 . 0   6 3 6 . 2   8 3 1 . 0   1 0 4 7 . 2   1 3 1 8 . 0   1 5 3 3 . 9   1 7 8 3 . 8  

〔備考〕 G(P)=O. 5 2 9 5 P 1 , 7 3 2   (P=1091. 3 6について）

G ( P ) = 1 6 4 5 .  3 P ‑ 1 ・ 7 3 5 + 2 5 P ‑ 9 6 6 .  7 ( P = 9 1 .  36110について）

8 0  

表 6 G(P)値 ( f = 4 0 0 ,   a  p=O. 2 ,   ( 4 2 ) の場合）

P I   j s t 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 妬 5 0 G  ( P )   1 2 .  7 4 2 .  3 8 5 .  4 1 4 0 .  5 2 0 6 .  9 2 8 3 .  7 3 7 0 .  5 4 6 6 .  9 5 7 2 .  5 6 8 7 . 1  

p    I I 認 . 3 1 6 0   65  7 0   7 5   8 0   G(P)  7 6 7 .  8 9 3 4 .  7 1 0 5 9 .  5 1 1 8 4 .  4 1 3 0 9 .  3 1 4 3 4 .  2 

〔備考〕 G(P) =  0 .  7 8 4 2 P 1 ・ 7 3 2   (P=  553. 3 1 について）

G ( P ) = 1 6 4 5 . s P ‑ 1 ‑ 7 3 2 + 2 5 P ‑ 5 6 6 .  7 (P=53.31 80 について）

G ( P * )   1 3 1 8  

1 0 0 0  

5 0 0  

゜

10  (=c)  3 0   5 0   7 0  

p 

91.36(=P り 1 1 0

図 1 G(P) の経路 ( 1 = 8 0 0 , O p = O .  2 ,   ( 4 2 ) の場合）

5 1 8   闊西大學「継清論集」第 1 4 巻第 3 号 ( 1 9 9 1 年 9 月 ）

1 2 0 0   1 1 0 0   1 0 0 0   9 0 0   8 0 0   7 0 0   6 0 0   5 0 0   4 0 0   3 0 0   2 0 0   1 0 0  

゜

I ' 1 . 1 . 1 . 1 . 1 ・ ' ̲ ←

. 1 . 1 . 1 . 1

・ り

r p  

G 

p  5 

図 2

1 0   2 0   3 0   4 0   5 3 . 3 l ( = P . * )   6 5   7 0   G(P) の経路 ( ! = 4 0 0 , O p = O .  0 2 ,   ( 4 2 ) の場合）

引 用 文 献

[  1  ]  G e s k e ,  R . ,  "The V a l u a t i o n  o f  Compound O p t i o n s , "  J o u r n a l  of  F :   切 a n c i a lE c o ‑ n o m i c s ,  7 ( 1 9 7 9 ) ,  p p .  6 3 ‑ 8 1 .  

[2] 久保田敬一，『ボートフォリオ理論』， 日本経済評論社， 1 9 8 9 年 。

[  3  J  M c D o n a l d ,  R .  L .  and D .  R .  S i e g e l ,  " I n v e s t m e n t  and t h e  V a l u a t i o n  o f  Firms  When There i s   an O p t i o n  t o  Shut Down," I n t e r n a t i o n a l  E c o n o m i c   Rev 如，

2 6 ( 1 9 8 5 ) ,  p p .  3 3 1 ‑ 3 4 9 .  

[  4  J  M e r t o n ,  R .  C . ,   "Theory o f  R a t i o n a l   O p t i o n  P r i c i n g , "  B e l l  J o u r n a l  of E c o n ‑ o m i c s  a 叫 ManagementS c i

c e ,4 ( 1 9 7 3 ) ,  p p .  1 4 1 ‑ 1 8 3 .  

[  5  J  M e r t o n ,  R .  C . ,   "On t h e  P r i c i n g  o f  C o r p o r a t e  Debt :  The R i s k  S t r u c t u r e  o f   I n t e r e s t  R a t e s , "  J o u r n a l  of F i n a n c e ,  2 9 ( 1 9 7 4 ) ,  p p .  4 4 9 ‑ 4 7 0 .  

[6]村田安雄，「為替レート変動と企業の生産・価格・参入・退出」， 関西大学「経済論 集 』 ， 4 0 ( 1 9 9 0 ) ,p p .  6 5 9 ‑ 6 8 6 .  

[7]村田安雄，「オプション価格と投資の機会費用」，

p p .  5 3 ‑ 7 4 .  

[  8] P i n d y c k ,   R . ,  " I r r e v e r s i b i l i t y ,  U n c e r t a i n t y ,  and I n v e s t m e n t , "  NEER Working  P a p e r . ,  N o .  3 3 0 7 ( 1 9 9 0 ) .  

関西大学「経済論集』， 4 1 ( 1 9 9 1 ) ,  

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