代数学 1 No.4 2006. 5.10
1.4 空間図形とベクトル 担当：市原
空間ベクトルの外積
¶ ³
2 つの 3 次元ベクトル a =
a
1a
2a
3
と b =
b
1b
2b
3
に対し,
a × b =
a
2b
3− a
3b
2a
3b
1− a
1b
3a
1b
2− a
2b
1
で得られるベクトルを, a と b の外積 (または, 外積ベクトル) といい, a × b で表す.
µ ´
注意:
· 外積は 3 次元ベクトル同士の場合にのみ定義される.
· 外積は, 内積とは異なり, 数でなくベクトルである .
定理 4 (外積ベクトルの性質) 外積ベクトル a × b の向きは次をみたす:
a ⊥ (a × b), b ⊥ (a × b), かつ, a, b, a × b の順で右手系
a × b の長さ | a × b | は, a と b を隣り合う 2 辺とする平行四辺形の面積に等しい.
(a と b の張る平行四辺形という)
定理 5 (図形のベクトル方程式)
図形上の点 X に対し, ベクトル x = −→
OX が必ず満たす関係式を, その空間図形を 表すベクトル方程式という.
主な図形のベクトル方程式は以下の通り.
直線: 点 P を通り, ベクトル a に平行な直線は x = p + ta, (t は実数) で表される.
ここで, p = −→
OP. この a を, その直線の方向ベクトルという.
平面: 点 P を通り, ベクトル n に垂直な平面は n · (x − p) = 0 で表される. ここ で, p = −→
OP. この n を, その平面の法線ベクトルという．
円: 平面上で点 P を中心とし, 半径 r の円は | x − p | = r で表される. ここで, p = −→
OP.
球面: 空間内で点 P を中心とし, 半径 r の球面の式は | x − p | = r で表される．こ こで, p = −→
OP.
4
代数学 1 No.4 2006. 5.10
1.4 空間図形とベクトル 担当：市原
問題 8 ベクトル
a =
2
−
1 4
, b =
0 3 5
, c =
1
−
4 2
に対して,
以下の外積を求めなさい.
(1) a
×b
(2) b
×c
(3) c
×a
(4) b
×a
問題 9
a =
1 5 0
,b =
3
−1
1
が張る平行四辺形の面積を求めなさい.
問題 10
a = (
−2
3 )
と
,
点P(4,
−5)
について,
以下の問いに答えなさい.
(1)
点P
を通り, a
を方向ベクトルとする直線`を表すベクトル方程式を書きなさい.
(2)
点P
を中心とする，半径2
の円を表すベクトル方程式を書きなさい.
問題 11
