線形代数学
2 No.3 2005.10. 51.3 ベクトル空間の基底 担当：市原
ベクトル空間の基底
¶ ³
部分ベクトル空間
Wの
m本のベクトル
a1,a2, . . . ,amが次の性質を満たすとする：
(1) a1,a2, . . . ,am
は
1次独立である.
(2) W
のどんなベクトルも,
a1,a2, . . . ,amの
1次結合で表わすことができる.
このとき, ベクトル
a1,a2, . . . ,amは部分空間
Wの基底であるという．
µ ´
¶
注意
³基底を考えるときには, これらのベクトルの並べてある順序も込めて考えることに する. つまり,
a1,a2,a3, . . . ,amが一つの基底であるとき,
a2,a1,a3, . . . ,amは異 なった他の基底を表わしているとみなす.
µ ´
例題
5部分ベクトル空間
W =
x1 x2 x3
¯¯¯¯
¯¯¯¯ x1+x2−x3 = 0
を考える.
(1) W
の基底を一組もとめなさい.
(2) b1 =
1 2 3
,b2 =
2 1 3
も
Wの基底になっていることを示しなさい.
定理
1 (ベクトルの表示の一意性
)ベクトル空間（または部分空間）に基底が一 つ定められたとする．このときベクトルをこの基底の
1次結合で表わすとき, そ の表わし方はただ一通りである．
5
線形代数学
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問題 5 部分ベクトル空間V1=
x1
x2
x3
¯¯¯¯
¯¯¯¯ x1+x2+x3 = 0
の基底を一組もとめなさい.
問題 6 ベクトルd1 =
1 1
−1
, d2 =
1
−1
−3
が,
部分ベクトル空間V2 =
x1 x2
x3
¯¯¯¯
¯¯¯¯ 2x1=x2−x3
の基底になっていることを示しなさい.
