ベクトル空間
実数体
体：数の集合で四則がその中で行えるも
の 例）有理数全体、実数全体、複素数全体 Ｒ：実数体 Ｃ：複素数
ベクトル空間 体
（ベクトルの和） ｕ ＋ ｖ （ ｕ，ｖ ∈Ｖ），
（ベクトルのスカラー倍） ａ ｕ （ ｕ ∈ Ｖ， ａ∈Ｒ） Ｖ：Ｒ上のベクトル空
間
ベクトル空間の性質
（ ｕ，ｖ，ｗ ∈Ｖ， ａ，
ｂ ∈Ｒ）
（１） ｕ ＋ ｖ＝ｖ ＋ ｕ
（２）（ ｕ ＋ ｖ ）＋ ｗ ＝ ｕ ＋
（ ｖ ＋ ｗ ）
（３） ｕ ＋ ０＝０ ＋ ｕ＝ｕ となるベクトル ０ が 存在する （４）ａ（ｂ ｕ ）＝
（ａｂ） ｕ
（５）（ａ＋ｂ） ｕ ＝ ａ ｕ ＋ｂ ｕ
（６）ａ（ ｕ ＋ ｖ）＝ ａ ｕ ＋ａ ｖ
（７）１ ｕ ＝ ｕ
（８）０ ｕ ＝ ０
零ベクトル
ｕ ＋ ０＝０ ＋ ｕ＝ｕ （ ｕ
∈Ｖ）
ベクトル空間の例
（１）Ｒ
ｎ：実数を成分とするｎ次の列ベク トル全体 （２）Ｒ
ｎ：実数を成分とするｎ次の行ベク
トル全体 （３）Ｒ［ｘ］
ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の 多項式全体
（４）Ｃ（ａ，ｂ）：区間（ａ，ｂ）で連続な実
数値関数全体
ａ
1・ ・
ａ ・
n
Ｒ
ｎ＝ ａ＝ ａ
1,・・・ , ａ n∈Ｒ
（１）Ｒ
ｎ：実数を成分とするｎ次の列ベク トル全体
Ｒ
ｎ＝ { ａ＝ [ ａ
1ａ
2・・・ ａ n ] | ａ
1, ・・・ , ａ n∈Ｒ }
Ｒ }
（２）Ｒ
ｎ：実数を成分とするｎ次の行ベク トル全体
Ｒ［ｘ］
ｎ＝ { ａ
0x
n+ ａ
1x
n-1+ ・・・ + ａ
n| ａ
0,・・・ , ａ n∈Ｒ }
（３）Ｒ［ｘ］
ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の多項
式全体
部分空間
Ｗ：Ｖの部分空間
Ｗ：ベクトル空間Ｖの部分集合（Ｗ
⊆Ｖ） ＷがＶの和とスカラー倍を用いてベクトル空間 となる
定理４ . １ . １
ベクトル空間Ｖの部分集合ＷがＶの部 分空間
となる必要十分条件。
(i) 0 ∈ Ｗ
(ii) ｕ，ｖ ∈Ｗ ならば ｕ ＋ｖ∈Ｗ
(iii)
ｕ∈Ｗ，ｃ∈Ｒ ならば ｃｕ∈Ｗ
解空間
Ｗ＝｛ｘ∈Ｒ
ｎ｜Ａ ｘ ＝
０ ｝ （Ａ：ｍ × ｎ Ｗ：同次形の連立１次方程式 Ａ 行列） ｘ
＝ ０
の解空間
１次独立と１次従属
１次結合
ｖ ＝ｃ
1ｕ
1＋ｃ
2ｕ
2＋・・・＋ｃ
nｕ
n＝ Σ ｃ
iｕ
i（ ｃ
i∈ Ｒ）
i=1n
１次関係
Σ ｃ i ｕ i ＝ｃ
1ｕ
1＋ｃ
2ｕ
2＋・・・＋ｃ
nｕ
n＝０ （ｃ
i∈ Ｒ）
n i=1
１次独立
ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ
nが自明でない１次関 係を持たない ｃ
1＝ ｃ
2＝ ・・・＝ｃ
n＝
０ に限る
1 0 ･･ ･ 0 0 1 ･･ ･ 0 0 0 ･･ ･ 1 e
1= , e
2= , ・・・ , e
n=
ｃ
1e
1＋ｃ
2e
2＋・・・＋ｃ
ne
n＝０ とする と ｃ
1＝ ｃ
2＝ ・・・＝
ｃ
n＝０ 基本ベクト
ル
Ｖ＝Ｒ［ｘ］
ｎとする。
1, x, ・・・ ,xn は一次独
立
定理４ . ２ . １
Ｖのベクトル ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ n が１次従属で
ある必要十分条件は、ｕ
1，ｕ
2，・・・，
ｕ n のうち少
なくとも１個のベクトルが他のｎ－１個の ベクトル
の１次結合で書けることである。
定理４ . ２ . ２
ｕ
1，ｕ
2，・・・，ｕ n が１次独立で
、 ｕ，ｕ
1， ｕ
2，・・・
ｕ n が１次従属ならば ｕ は ｕ
1， ｕ
2
，・・・ｕ
nの１次結合で書ける。
定理４ . ２ . ３
Ｖのベクトルの２つの組 ｖ
1， ｖ
2
，・・・，ｖ
nとｕ
1， ｕ
2，・・・，ｕ
mに対し
（１） ｖ 1 ， ｖ 2 ，・・・， ｖ n の各ベ クトルは、ｕ
1，ｕ
2，
・・・， ｕ
mの１次結合で書ける。
（２）ｎ＞ｍ
ならば ｖ 1 ， ｖ 2 ，・・・， ｖ n は１次従
属である。
定理４ . ２ . ４
ｕ
1，ｕ
2，・・・，ｕ
mが１次独立な ベクトルで、Ａが
ｍ × ｎ行列のとき
（ｕ
1， ｕ
2，・・・ ｕ
m）Ａ＝（ ０，
０，・・・，０ ） ならば Ａ＝ ０．
定理４ . ２ . ５
ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ
mは１次独立な ベクトルとする。
２つのｍ × ｎ行列Ａ，Ｂに対し
（ｕ
1，ｕ
2，・・・ｕ
m）Ａ＝ （ｕ 1 ，ｕ 2 ，・・・ｕ m ）Ｂ
ならば Ａ＝Ｂである。
ベクトルの １次独立な最大個
１次独立な最大個数 数
ｒ個の１次独立な集合∈ベクトルの集合 Ｘ Ｘのどのｒ個のベクトルも１次
従属 ｒ：集合Ｘのベクトルの１次独立な最大 定理４ . ３ 個数 . １
Ｖのベクトルの２つの組｛ ｖ
1， ｖ
2
，・・・，ｖ
n ｝，｛ｕ
1,ｕ
2，
・・・，ｕ
m ｝に対しｖ
1，ｖ
2，・・・，
ｖ n の各ベクトルが、
ｕ
1，ｕ
2，・・・，ｕ
mの１次結合で書ける ならば、
｛ ｖ 1 ， ｖ 2 ，・・・， ｖ n ｝の１次独立な最
｛ ｕ 大個数≦ 1 ， ｕ 2 ，・・・， ｕ m ｝の１次独立な
最大個数．
定理４ . ３ . ２
ｕ 1 ， ｕ 2 ，・・・， ｕ m の１次独立な最 大個数＝ｒ
⇔ ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ
mのなかにｒ個の１ 次独立なベクト
ルがあり、他のｍ－ｒ個のベクトルはこのｒ 個のベ
クトルの１次結合で書ける．
定理４ . ３ . ３
ｒａｎｋ（Ａ）＝Ａの列ベクトルの１次独立な 最大個数
＝Ａの行ベクトルの１次独立な最
大個数．
定理４ . ３ . ４
ｎ次正方行列について、次の３条件は同値で ある．
（１）Ａは正則行列である．
（２）Ａのｎ個の列ベクトルは１次独立である
．
（３）Ａのｎ個の行ベクトルは１次独立である
．
定理４ . ３ . ５
行列の簡約化は唯一通り決まる．
定理４ . ３ . ６
Ｖのベクトル ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ
mは１ 次独立とする．
ベクトル ｖ
1， ｖ
2，・・・， ｖ
n がｍ × ｎ行 列Ａを用いて
（ｖ
1，ｖ
2，・・・，ｖ n ）＝（ｕ
1，ｕ
2
，・・・， ｕ
m）Ａ と書けているとする．
（１） ｖ
1， ｖ
2，・・・， ｖ n と Ａの列ベ クトル ａ
1, ａ
2, ・・・ , ａ
nには同じ１次関係が成り立つ．
（２） ｍ＝ｎ のとき
ｖ
1， ｖ
2，・・・， ｖ
nが１次独立 ⇔
Ａが正則行列．
ベクトル空間の基と次元
ベクトル空間のベクトル ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ n がＶを生成する
Ｖのすべてのベクトルが ｕ
1， ｕ
2，・・・
，ｕ
nの１次結合で表される ベクトル空間の基
ベクトル空間Ｖのベクトルの組｛ ｕ
1， ｕ
2
，・・・， ｕ n ｝が次の２つの条件をみたす。
（１） ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ n は １次独立である。
（２）ｕ
1，ｕ
2，・・・，ｕ n は
Ｖを生成する
＝ a
1e
1＋ a
2e
2＋・・・
＋ a
ne
n･･ ･
a
1a
2a
n{e
1, e
2, ・・・ , e
n} Ｒ
ｎの標準 基
1 0 ･･ ･ 0 0 1 ･･ ･ 0 0 0 ･･ ･ 1
e
1= , e
2= , ・・・ , e
n=
基本ベクト ル
{1, x, ・・・ ,xn } Ｒ［ｘ］
ｎ
の標準基
定理４ . ４ . １
ベクトル空間Ｖの基に含まれるベクトルの 個数
は、基の取り方によらず一定である。
ベクトル空間の次元 ｄｉｍ（Ｖ）：Ｖ
の次元 Ｖの１組の基を構成するベクトルの個 数 （Ｖが零空間ー＞ｄｉｍ
（Ｖ）＝０）
定理４ . ４ . ２
ベクトル空間Ｖが有限次元である必要十分条 件はＶのベクトルの１次独立な最大個数が有限 であることである。このとき
ｄｉｍ（Ｖ）＝（Ｖのベクトルの１次独立な
最大個数）
基本解
同次形の連立１次方程式の解空間の１組の基 解空間の次元
Ｗ：Ａ ｘ ＝０の解空
間 ｄｉｍ（Ｗ）＝基本解の個 数
定理４ . ４ . ３
同次形の連立１次方程式 Ａ ｘ ＝０ の解空 間
Ｗ＝｛ｘ∈ Ｒ
n｜Ａ ｘ ＝０｝ Ａ：
ｍ × ｎ行列
の次元は次のように表される。
ｄｉｍ（Ｗ）＝ｎ－ｒａｎｋ（Ａ）
＝変数のうち任意に取れる個
数
ベクトルの集合で生成される部分空間
Ｗ＝｛ｃ
1ｕ
1＋ｃ
2ｕ
2＋・・・＋
ｃ
tｕ
t｜ｃ
i∈ Ｒ｝
ベクトル空間Ｖのベクトルで ｕ
1， ｕ
2
，・・・，ｕ
tの１次結合全体のなす集合
はＶの部分空間である。
＜ｕ
1，ｕ
2，・・・
， ｕ
t＞
R： ｕ
1， ｕ
2，・・・
，ｕ
tで生成
されるＶの部分空間 定理４ . ４ . ４
ｄｉｍ（＜ ｕ
1， ｕ
2，・・・， ｕ
t＞
R）＝
ｕ
1，ｕ
2，・・・，ｕ
tの１ 次独立な最大個数
