ユークリッド空間に於けるベクトル積

ユークリッド空間に於けるベクトル積

平成

21

年

12

月 小澤 徹

http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/index2.html

ユークリッド空間

R

ⁿに於ける

(n − 1)

個の元の成すベクトル積

(vector product, cross product)

に就いて纏めて置こう。以下

n ⩾ 3

とし

R

ⁿの元を

u =



  u

₁

.. . u

_n



 

の様に縦ベクトル表示する。(⃗

e

_j

; 1 ≤ j ≤ n)

を

R

ⁿの標準基底とすると

u ∈ R

ⁿは

u =

∑

n j=1

u

_j

⃗ e

_j

と表される。Rⁿに於けるスカラー積を

u · v (

=

∑

n j=1

u

_j

v

_j

)

とすると任意の

u ∈ R

ⁿは

u =

∑

n j=1

(u · ⃗ e

j

)⃗ e

j

と表される。

R

ⁿに於けるノルム（ユークリッド的距離）を

| u | = √

u · u

と表す。

１．ベクトル積の定義と基本的性質 

u

₁

, · · · , u

_n−1

∈ R

ⁿを与えられた

(n − 1)

個のベクトルとする。v

∈ R

ⁿに対し

n

個の縦ベク

トル

v, u

₁

, · · · , u

_n−1を左から順に並べて

n

次正方行列

(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

を考え、その行列式 を

φ(v)

とする：

φ(v) = det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

) = (i

_v

det)(u

₁

, · · · , u

_n−1

)

行列式の性質により

φ : R

ⁿ

∋ v 7→ φ(v) ∈ R

は線型となる。各

j

に対し

φ(⃗ e

_j

) ∈ R

であるか ら

u =

∑

n j=1

φ(⃗ e

j

)⃗ e

j が

R

ⁿの元として定まる。このとき任意の

v ∈ R

ⁿに対し

u · v =

∑

n j=1

φ(⃗ e

_j

)⃗ e

_j

· v =

∑

n j=1

φ(⃗ e

_j

)v

_j

= φ (

_n

∑

j=1

v

_j

⃗ e

_j

)

= φ(v )

となる。この様な

u

は

u

₁

, · · · , u

_n−1により一意的に定まる。実際もう一つの

u

^′

∈ R

ⁿが任意 の

v ∈ R

ⁿに対し

u

^′

· v = φ(v)

を満たしているものとすると

(u − u

^′

) · v = 0

となり

v = u − u

^′とする事により

u = u

^′が従う。

この

u

を

u

₁

, · · · , u

_n−1のベクトル積と謂い

u = u

₁

× · · · × u

_n−1と表す。

即ち

u

₁

× · · · × u

_n−1は任意の

v ∈ R

ⁿに対して

(u

₁

× · · · × u

_n−1

) · v = det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

なる唯一つのベクトルであり

φ(⃗ e

_j

) = det(⃗ e

_j

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

であるから

u

₁

× · · · × u

_n−1

=

∑

n j=1

det (⃗ e

_j

, u

₁

, · · · , u

_n−1

) ⃗ e

_j と表される。

定理１ 

u

₁

, · · · , u

_n−1

∈ R

ⁿに対して定まるベクトル積

u

₁

× · · · × u

_n−1は次の性質を満たす。

(1) (交代多重線型性)

 

R

ⁿ

× · · · × R

ⁿ

∋ (u

₁

, · · · , u

_n−1

) 7→ u

₁

× · · · × u

_n−1

∈ R

ⁿ は 交代

(n − 1)

重線型写像である。

(2) (

零ベクトル積の特徴付け

)

u

₁

× · · · × u

_n−1

= 0 ⇔ u

₁

, · · · , u

_n−1 は線型従属

u

₁

× · · · × u

_n−1

̸ = 0 ⇔ u

₁

, · · · , u

_n−1 は線型独立

(3) (ベクトル積の直交性)

 

u

₁

× · · · × u

_n−1

∈ (span(u

₁

, · · · u

_n−1

))

^⊥ 即ち

1 ⩽ j ⩽ n − 1

なる任意の

j

に対し

(u

₁

× · · · × u

_n−1

) · u

_j

= 0 (4) (

ベクトル積の長さ

)

| u

₁

× · · · × u

_n−1

|

²

= det(u

₁

× · · · × u

_n−1

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

= det



 

 



u

1

· u

1

· · · · · u

1

· u

n−1

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

u

_n−1

· u

₁

· · · · · u

_n−1

· u

_n−1



 

 



即ち

(n − 1)

個のベクトルの成すベクトル積の長さは対応する

(n − 1)

次グラム行列の 行列式の根に等しい。

(5) (線型変換に関するベクトル積の変換則)

 

A ∈ M (n; R )

に対し

t

A((Au

₁

) × · · · × (Au

_n−1

)) = (det A)(u

₁

× · · · × u

_n−1

)

特に

A ∈ GL(n; R )

に対し

(Au

₁

) × · · · × (Au

_n−1

) = (det A)

^t

A

⁻¹

(u

₁

× · · · × u

_n−1

)

特に

A ∈ O(n; R )

ならば^t

AA = I

となるので上の等式は

(Au

₁

) × · · · × (Au

_n−1

) = (det A) A(u

₁

× · · · × u

_n−1

)

となり

det A

は

1

か

− 1

のどちらかの値を取る。

証明 

(1)

と

(2)

は等式

u

₁

× · · · × u

_n−1

=

∑

n j=1

det(⃗ e

_j

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)⃗ e

_j及び行列式の性質から 従う。

(3)

 

(u

₁

× · · · × u

_n−1

) · u

_j

= det(u

_j

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

より従う。

(4)

 

u

₀

= u

₁

× · · · × u

_n−1

, A = (u

₀

, u

₁

, · · · , u

_n−1

) ∈ M(n; R )

とすると

| u

₀

|

²

= u

₀

· u

₀

= det(u

₀

, u

₁

, · · · , u

_n−1

) = det A

であるから

| u

₀

|

⁴

= det A · det A = det

^t

A · det A = det

^t

AA

= det



 

 

t

u

₀

t

u

₁

.. .

t

u

_n−1



 

  [u

0

, u

1

, · · · , u

n−1

]

= det



 

 



t

u

₀

u

₀ ^t

u

₀

u

₁

· · ·

^t

u

₀

u

_n−1

t

u

₁

u

₀ ^t

u

₁

u

₁

· · ·

^t

u

₁

u

_n−1

.. . .. . .. .

t

u

_n−1

u

₀ ^t

u

_n−1

u

₁

· · ·

^t

u

_n−1

u

_n−1



 

 



= det



 

 



u

₀

· u

₀

0 · · · 0

0 u

₁

· u

₁

· · · u

₁

· u

_n−1

.. . .. . .. .

0 u

_n−1

· u

₁

· · · u

_n−1

· u

_n−1



 

 

 = | u

₀

|

²

det(u

_i

· u

_j

)

となり

(4)

が従う。

(5)

 

n

次正方行列

A = (a

_ij

)

の転置行列^t

A

を

(Au

₁

) × · · · × (Au

_n−1

) =

∑

n j=1

det(⃗ e

_j

, Au

₁

, · · · , Au

_n−1

) ⃗ e

_j の両辺に作用させると

t

A((Au

₁

) × · · · × (Au

_n−1

)) =

∑

n j=1

det(⃗ e

_j

, Au

₁

, · · · , Au

_n−1

)

^t

A ⃗ e

_j

=

∑

n j=1

det(⃗ e

_j

, Au

₁

, · · · , Au

_n−1

)

∑

n j=1

a

_ij

⃗ e

_i

=

∑

n i=1

(

_n

∑

j=1

a

_ij

det(⃗ e

_j

, Au

₁

, · · · , Au

_n−1

) )

⃗ e

_i

=

∑

n i=1

det(

∑

n j=1

a

_ij

⃗ e

_j

, Au

₁

, · · · , Au

_n−1

) ⃗ e

_i

=

∑

n i=1

det(A⃗ e

i

, Au

1

, · · · , Au

n−1

) ⃗ e

i

=

∑

n i=1

det(A(⃗ e

i

, u

1

, · · · , u

n−1

)) ⃗ e

i

=

∑

n i=1

(det A)(det(⃗ e

_i

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)) ⃗ e

_i

= (det A)u

₁

× · · · × u

_n−1 となり

(5)

が従う。

２．外積代数との関係

V

を実ベクトル空間、

V

^∗をその双対空間とする。

k ∈ Z

_≥0に対し

∧

k

V

^∗を

V

^k

= V ×· · ·× V

から

R

への交代多重線型写像全体の成すベクトル空間とする：

∧

0

V

^∗

= R

∧

1

V

^∗

= V

^∗

∧

k

V

^∗

= { ω : V × · · · × V → R ; ωは交代多重線型 } , k ⩾ 2.

α

₁

, · · · , α

_k

∈ V

^∗

, k ∈ Z

>0に対し

α

₁

∧ · · · ∧ α

_k

∈ ∧

_k

V

^∗が

(α

1

∧ · · · ∧ α

k

)(v

1

, · · · , v

k

) = det(α

i

(v

j

))

で定まる。以下

V

は有限次元とする。n

= dim V

とし

(e

₁

, · · · , e

_n

)

を

V

の一つの基底とす る。1

⩽ i ⩽ n

に対し

e

^∗_i を

e

^∗_i

(e

_j

) = δ

_ijで定まる

V

^∗の元とする。(e^∗₁

, · · · , e

^∗_n

)

は

V

^∗ の基底を 成す。実際、任意の

α ∈ V

^∗は

v =

∑

n j=1

v

_j

e

_j

∈ V

に対し

α(v) = α(

∑

n j=1

v

j

e

j

) =

∑

n j=1

v

j

α(e

j

) ∈ R

なる値を持つが

v

_i

= e

^∗_i

(v) ∈ R

なので

α(v) =

∑

n j=1

e

^∗_j

(v)α(e

_j

) = (

_n

∑

j=1

α(e

_j

)e

^∗_j

)

(v )

とも表される。vは任意であったので

α =

∑

n j=1

α(e

_j

)e

^∗_j

と表される。即ち

(e

^∗₁

, · · · , e

^∗_n

)

は

V

^∗の生成系である。(e^∗₁

, · · · , e

^∗_n

)

が線型独立であることは、

その任意の線型結合に対し各

e

_j上での値を取る事によって示される。1

⩽ k ⩽ n

なる

k

を一 つ与えるとき

1 ⩽ i

₁

< · · · < i

_k

⩽ n

なる組

(i

₁

, · · · , i

_k

)

は

(

_n

k

)

個存在する。

(e

^∗_i1

∧ · · · ∧ e

^∗_i

k

; 1 ⩽ i

₁

< · · · < i

_k

⩽ n)

は

∧

k

V

^∗の基底を成す。実際、任意の

α ∈ ∧

k

V

^∗は

u

1

, · · · , u

k

∈ V

を

u

i

=

∑

n j=1

( e

^∗_j

(u

i

) ) e

j を 表しておくと次の等式

α(u

₁

, · · · , u

_k

) = α (

_n

∑

j1=1

e

^∗_j

1

(u

₁

)e

_j1

, · · · ,

∑

n jk=1

e

^∗_j

k

(u

_k

)e

_jk

)

=

∑

n j1=1

· · ·

∑

n j_k=1

e

^∗_j1

(u

1

) · · · e

^∗_jk

(u

k

)α(e

j1

, · · · , e

j_k

)

= ∑

ℓ1<···<ℓk

∑

σ∈Sk

e

^∗_σ(ℓ

1)

(u

₁

) · · · e

^∗_σ(ℓ

k)

(u

_k

)α(e

_σ(ℓ1)

, · · · , e

_σ(ℓk)

)

= ∑

ℓ1<···<ℓ_k

∑

σ∈S_k

sgn(σ)e

^∗_σ(ℓ1)

(u

₁

) · · · e

^∗_σ(ℓ

k)

(u

_k

)α(e

_ℓ1

, · · · , e

_ℓk

)

= ∑

ℓ1<···<ℓk

det(e

^∗_ℓi

(u

_j

))α(e

_ℓi

, · · · , e

_ℓk

)

= ∑

ℓ1<···<ℓk

(e

^∗_ℓ1

∧ · · · ∧ e

^∗_ℓ

k

)(u

₁

, · · · , u

_k

)α(e

_ℓ1

, · · · , e

_ℓk

)

=

( ∑

ℓ1<···<ℓk

α(e

_ℓ1

, · · · , e

_ℓk

)e

^∗_ℓ

1

∧ · · · ∧ e

^∗_ℓ

k

)

(u

₁

, · · · , u

_k

)

が得られるので

α = ∑

1⩽i1<···<i_k⩽n

α(e

i1

, · · · , e

i_k

)e

^∗_i1

∧ · · · ∧ e

^∗_ik と表される。即ち

(e

^∗_i1

∧· · ·∧ e

^∗_ik

; 1 ⩽ i

1

< · · · < i

k

⩽ n)

は

∧

k

V

^∗の生成系である。更にこれが 線型独立であることは、その任意の線型結合に対し

1 ⩽ j

₁

< · · · < j

_k

⩽ n

なる各

(j

₁

, · · · , j

_k

)

について

(e

_j1

, · · · , e

_jk

)

上での値を取る事によって示される。

以上により

0 ⩽ k ⩽ n

なる

k

に対し

dim ∧

k

V

^∗

= ( n

k )

であり、その基底は

(e

^∗_i1

∧ · · · ∧ e

^∗_ik

; 1 ⩽ i

₁

< · · · < i

_k

⩽ n)

で与えられる事が証明された。

特に

k = n − 1

の場合

dim ∧

_n−1

V

^∗

= n

であり任意の

α ∈ ∧

_n−1

V

^∗は

α =

∑

n j=1

α(e

₁

,

j

· · · ˇ , e

_n

)e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n と表される。また、k

= n

の場合

dim ∧

n

V

^∗

= 1

であり任意の

α ∈ ∧

n

V

^∗は

α = α(e

₁

, · · · , e

_n

)e

^∗₁

∧ · · · ∧ e

^∗_n と表される。

さて

∧

_k

V

^∗が

V

と同じ次元

n

を持つ場合は

k = 1

及び

k = n − 1

即ち

V

^∗及び

∧

_n−1

V

^∗に 限られる。そこで

V

と

V

^∗及び

∧

_n−1

V

^∗との関係に就いて考えよう。

先ず

n

次元ベクトル空間

V

が内積

·

を持つ場合を考えよう。v

∈ V

に対し

♭

₁

v ∈ V

^∗ が

(♭

₁

v )u = v · u, u ∈ V

で定まる。u, v

∈ V, a ∈ R

に対し

(♭

₁

(u + v))w = (u + v) · w = u · w + v · w = (♭

₁

u)w + (♭

₁

v)w

= (♭

1

u + ♭

2

v)w,

(♭

₁

(au))w = (au) · w = a(u · w) = a((♭

₁

u)w) = (a(♭

₁

u))w

が任意の

w ∈ V

に対し成立つので

♭

₁

: V ∋ v 7→ ♭

₁

v ∈ V

^∗は線型写像となる。任意の

α ∈ V

^∗ は

V

の

·

に関する正規直交系

(e

₁

, · · · , e

_n

)

を取れば

v =

∑

n j=1

α(e

_j

)e

_j

なる

v ∈ V

により

α = ♭

₁

(v)

と表されるので

♭

₁は全射であり

♭

₁

(v) = 0 ⇔ v · u = 0 ∀ u ∈ V ⇔ v = 0

より

♭

₁は単射である。よって

♭

₁

: V → V

^∗は線型同型を与える。

さて内積を持つ

n

次元ベクトル空間

V

として

R

ⁿの場合を考えよう。v

∈ R

ⁿ

= V

に対し

♭

_n−1

v ∈ ∧

n−1

V

^∗が

♭

_n−1

v = i

_v

det

即ち

(♭

_n−1

v)(u

₁

, · · · , u

_n−1

) = (i

_v

det)(u

₁

, · · · , u

_n−1

) = det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

で定まる。

R

ⁿの標準基底を

(⃗ e

₁

, · · · , ⃗ e

_n

)

とし

v =

∑

n j=1

v

_j

⃗ e

_jと表すと

(♭

_n−1

v)(⃗ e

₁

,

j

· · · ˇ , ⃗ e

_n

) = det(v, ⃗ e

₁

j

· · · ˇ , ⃗ e

_n

)

=

∑

n j=1

v

_j

det(⃗ e

_j

, ⃗ e

₁

, · · · ˇ

^j

, ⃗ e

_n

)

= v

_j

det(⃗ e

_j

, ⃗ e

₁

,

j

· · · ˇ , ⃗ e

_n

)

= ( − 1)

^j−1

v

_j

det(⃗ e

₁

, · · · , ⃗ e

_n

) = ( − 1)

^j−1

v

_j となるから

♭

_n−1

v =

∑

n j=1

((♭

_n−1

v)(⃗ e

₁

,

j

· · · ˇ , ⃗ e

_n

))e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

=

∑

n j=1

( − 1)

^j−1

v

_j

(e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

)

と表される。(e^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

; 1 ⩽ j ⩽ n)

は

∧

n−1

( R

ⁿ

)

^∗の基底なので

♭

_n−1

: R

ⁿ

→ ∧

n−1

( R

ⁿ

)

^∗ は線型同型である事が従う。

定理２（ベクトル積と外積との関係） 任意の

u

₁

, · · · , u

_n−1

∈ R

ⁿに対し

∧

n−1

( R

ⁿ

)

^∗に於ける次の等式が成立つ：

♭

_n−1

(u

₁

× · · · × u

_n−1

) = (♭

₁

u

₁

) ∧ · · · ∧ (♭

₁

u

_n−1

)

（証明）

♭

_n−1

v =

∑

n j=1

( − 1)

^j−1

v

_j

(e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

)

に於いて

v = u

₁

× · · · × u

_n−1とすると

v

の第

j

成分は

v

_j

= ⃗ e

_j

· v = ⃗ e

_j

· (u

₁

× · · · × u

_n−1

) = det(⃗ e

_j

, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

= ( − 1)

^j−1

det(u

₁

, · · · , ⃗ e

_j

, · · · , u

_n−1

)

= ( − 1)

^j−1

det



 

 

u

₁₁

u

₂₁

· · · u

_n−1,1

u

₁₂

u

₂₂

· · · u

_n−1,2

.. . .. . .. . u

_1n

u

_2n

· · · u

_n−1,n



 

 

^{< j}

j

ˇ

= ( − 1)

^j−1

det



 

 

u

₁₁

u

₁₂

· · · u

_1n

u

₂₁

u

₂₂

· · · u

_2n

.. . .. . .. . u

_n−1,1

u

_n−1,2

· · · u

_n−1,n



 

 

j

ˇ

= ( − 1)

^j−1

det



 

 

u

₁

· ⃗ e

₁

u

₁

· ⃗ e

₂

· · · u

₁

· ⃗ e

_n

u

₂

· ⃗ e

₁

u

₂

· ⃗ e

₂

· · · u

₂

· ⃗ e

_n

.. . .. . .. .

u

_n−1

· ⃗ e

₁

u

_n−1

· ⃗ e

₂

· · · u

_n−1

· ⃗ e

_n



 

 

= ( − 1)

^j−1

((♭

₁

u

₁

) ∧ · · · ∧ (♭

₁

u

_n−1

))(⃗ e

₁

, · · · ˇ

^j

, ⃗ e

_n

)

故に

♭

n−1

(u

1

× · · · × u

n−1

)

=

∑

n j=1

( − 1)

^j−1

(u

₁

× · · · × u

_n−1

)

_j

(e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

)

=

∑

n j=1

(

((♭

1

u

1

) ∧ · · · ∧ (♭

1

u

n−1

))(⃗ e

1

,

j

· · · ˇ , ⃗ e

n

) )

(e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

)

= (♭

1

u

1

) ∧ · · · ∧ (♭

1

u

n−1

)

３．超平面の面積要素と法線ベクトル

n

次元実ベクトル空間

V

の二つの基底

(e

₁

, · · · , e

_n

)

と

(e

^′₁

, · · · , e

^′_n

)

は同じ向きにあるとは

(e

^′₁

, · · · , e

^′_n

) = (e

₁

, · · · , e

_n

)P

なる

P ∈ GL(n; R )

をとるとき

det P > 0

である事を謂い、反対 の向きにあるとは

det P < 0

である事を謂う。これにより

V

の基底は二つのクラスに分けら れる。この二つのクラスの各々を

V

の向きと謂う。V が向き付けられているとは、その二つ のうち一つを指定する事と定義される。

R

ⁿの基底

(e

₁

, · · · , e

_n

)

は標準基底

(⃗ e

₁

, · · · , ⃗ e

_n

)

と同 じ向きにあるとき正の向きと謂い、反対の向きにあるとき負の向きであると謂う。

命題 

u

1

, · · · , u

n−1

∈ R

ⁿは線型独立であるとすると次の

(i)-(iii)

を満たす

v ∈ R

ⁿが唯一つ

存在する：

(i) | v | = 1

(ii)

任意の

j

に対し

v · u

_j

= 0

(iii) (v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

は正の向きの基底を成す。

（証明） 

u

1

, · · · , u

n−1は線型独立なので

| u

1

× · · · × u

n−1

| ̸ = 0

となる。そこで

v = u

₁

× · · · × u

_n−1

/ | u

₁

× · · · × u

_n−1

|

とすれば

(i),(ii)

はベクトル積の基本性質から従い

(iii)

は

det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

) = | u

₁

× · · · × u

_n−1

| > 0

から従う。

dim(span { u

j

; 1 ⩽ j ⩽ n − 1 } )

^⊥

= 1

であるから

(i)(ii)

を満たす

v

は

±

の符号を除いて一意的

に定まり

(iii)

によりその符号のどちらかが定まる。これより一意性が従う。

定理３ 

V

を

R

ⁿの向き付けられた

(n − 1)

次元部分空間とし、それ自身を内積空間と考える。

(1)

次を満たす

ω ∈ ∧

_n−1

V

^∗が唯一つ存在する：

V

の任意の正の向きの正規直交基底

(u

₁

, · · · , u

_n−1

)

に対し

ω(u

₁

, · · · , u

_n−1

) = 1 (2)

次を満たす

v ∈ R

ⁿが唯一つ存在する：

V

の任意の正の向きの正規直交基底

(u

₁

, · · · , u

_n−1

)

に対し

(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

は

R

ⁿの正 の向きの正規直交基底となる。

(3) (1)

の

ω ∈ ∧

_n−1

V

^∗と

(2)

の

v ∈ R

ⁿは次の関係を満たす：

ω = i

v

det

これにより

v

と

ω

とは一対一に対応する。v

=

∑

n j=1

v

_j

⃗ e

_j

∈ R

ⁿに対して

ω

は

ω =

∑

n j=1

( − 1)

^j−1

v

_j

(e

^∗₁

∧ · · · ∧ ˇ

^j

e

^∗_n

)

と表され

ω ∈ ∧

_n−1

V

^∗に対して

v ∈ R

ⁿは

v =

∑

n j=1

( − 1)

^j−1

(ω(⃗ e

₁

,

j

· · · ˇ , ⃗ e

_n

)) ⃗ e

_j と表される。

証明 

(1)

 

(v

₁

, · · · , v

_n−1

)

を

V

の正の向きの正規直交基底の一つとし

v = v

1

× · · · × v

n−1

/ | v

1

× · · · × v

n−1

| , ω = i

v

det

と置く。このとき

ω ∈ ∧

n−1

V

^∗であり任意の正の向きの正規直交基底

(u

₁

, · · · , u

_n−1

)

に対し

(u

₁

, · · · , u

_n−1

) = (v

₁

, · · · , v

_n−1

)P

なる

P ∈ O(n − 1; R )

を取ると

det P = 1, v · u

_j

= 0(1 ⩽

∀ j ⩽ n − 1)

であるから

(det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

))

²

= det



 

 



 

 

t

v

t

u

₁

.. .

t

u

_n−1



 

  [v, u

₁

, · · · , u

_n−1

]



 

 

= | v |

²

det(u

_i

· u

_j

) = 1

となる。(v, v1

, · · · , v

_n−1

)

を

(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

)

に変換する

n

次正方行列の行列式は

1

となるか ら

(v, u

1

, · · · , u

n−1

)

は正の向きを与える。従って

1 = det(v, u

₁

, · · · , u

_n−1

) = (i

_v

det)(u

₁

, · · · , u

_n−1

) = ω(u

₁

, · · · , u

_n−1

)

一意性は

dim ∧

n−1

V

^∗

= 1

である事と向きの指定より従う。

(2)

 

(v

₁

, · · · , v

_n−1

)

を

V

の正の向きの正規直交系の一つとし

v = v

₁

× · · · × v

_n−1

/ | v

₁

× · · · × v

_n−1

|

とすれば良い。

(3)

これ迄の議論から得られる。

参考文献： 杉浦光夫、解析入門

II、東京大学出版会

スピバック、多変数解析学、東京図書

R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Springer

J. J. Duistermaat and J. A. Kolk, Multidimensional Real Analysis, Cambridge