計算での注意 : 文字式で計算し 数値計算は最後にする 文字にはそれぞれ意味がある 質量 ss 力 foc 加速度 cclion 速度 loci など 質点 : 大きさの無視できる物体 質量をもつ 自身の周りの回転運動は考えない 例えばコマは その位置を変える事なく回転運動し その運動エネルギーを持

全文

(1)

質点の力学

目次 速度・加速度の定義 2 微分・積分を用いた、位置・速度・加速度 5 慣性の法則、運動の法則、作用反作用の法則 8 力のつりあいの基本 10 水平面での物体のつりあい・運動 16 複数の物体が関与する、静止・運動状態 24 斜面での物体の運動 34 速度に比例する抵抗を受ける物体の運動 45 滑車のある運動 47 2 次元の運動 50 運動量と力積 55 力学的エネルギー 67 微積分を使った力学的エネルギーの簡単な扱い 91 力学的エネルギーの、ベクトルと微積分を使った説明 95 水平面での回転運動 103 円錐振り子 109 2 次元の極座標表示での、速度と加速度の求め方 110 単振動・ばねにつながった物体の運動 114 連成振動 145 単振り子・重力下での円運動 152 質点系の力学の総合問題 165 注意:このファイルの著作権は、室蘭工業大学 矢野隆治にあります。ファイルの内容を紙に印刷した 後、鉛筆・ボールペンなどで書き込みしてもかまいません。しかし、著者の許諾なく、ファイルの内容 そのものに対して勝手に書き換え・改変する事は、しないでください。また、間違い・ミスプリントな どが見つかった場合は、著者(矢野隆治)まで連絡をお願いします。

(2)

計算での注意:文字式で計算し、数値計算は最後にする。文字にはそれぞれ意味がある。質量(mass)、 力(force)、加速度(acceleration)、速度(velocity)など。 質点:大きさの無視できる物体。質量をもつ。自身の周りの回転運動は考えない。(例えばコマは、そ の位置を変える事なく回転運動し、その運動エネルギーを持つが、この事を無視する。) ベクトルの説明:向きと大きさを持つ。位置(変位)、速度、加速度、力は、ベクトル量。 スカラ―の説明:向き(方向)は持たないが、大きさをもつ。 速さや長さなど。 速度と速さの違い:速さは大きさ(例 10m/s)であり、速度は大きさと向き(例:東向き)を持つベクトル。 速度・加速度の定義 時間間隔

t

での物体の移動距離(位置の変化)

x

=

x

(

t

+

t

)

x

(

t

)

で、平均の速度

v

を定義する。

t

x

v

=

時刻

t

での速度

v

は、

t

を十分短くした時の値で定義する:

t

x

t

v

t

∆ 0

lim

)

(

=

。 時間間隔

t

での物体の速度変化(速度変化)

v

=

v

(

t

+

t

)

v

(

t

)

で、平均の加速度

a

を定義する:

t

v

a

=

。 時刻

t

での加速度

a

(t

)

は、

t

を十分短くした時の値で定義する:

t

v

t

a

t

lim

0

)

(

=

。 直線上の運動:加速度

a

と速度

v

、および位置

x

との関係 簡単な、直線上の運動を考えます。 等加速度運動

v

:

速度、

a

:

加速度(高校物理では、

a

=一定の簡単な場合のみを扱う。例外:振動) at v t v a t v t v = = = − − ) 0 ( ) ( 0 ) 0 ( ) ( 一定

(

),

(

0

)

0

v

v

t

v

v

=

=

の置き換えで

v

=

v

0

+

at

を得る。 等速運動は

a

=

0

なので、

v =

v

0である。一般には、ある時刻

t

における速度、加速度の定義は、 t t v t t v t a t t x t t x t v t t

∆ ∆ ) ( ) ( lim ) ( , ) ( ) ( lim ) ( 0 0 r r r r r r + − = − + = → →   等速度運動の時の位置の変化は、速度×時間=移動距離 である。 0

v

v =

=一定なら、

x

=

x

(

t

)

=

x

0

+

v

0

t

v t 面積=移動距離

(3)

等加速度運動での位置の変化 加速度

a

>

0

の時は、下左図の四角形+三角形の面積が、移動距離になる。 2 0 0 0 0

2

1

2

1

at

t

v

x

t

at

t

v

x

x

=

+

+

=

+

+

0

<

a

の時は、四角形から三角部分を取り去ると考えよう(下右の図)。その面積が移動距離になる。 2 0 0 0 0 2 1 | | 2 1 at t v x t t a t v x x= + − ⋅ = + + 例題 1 等加速度運動 電車が A 駅を出発し、

0

.

30

(

m/s

2

)

の加速度で速さを増し、

50

(

s

)

経過した時加速をやめて、その時の速 さで

60

(

s

)

だけ進んだ。その後一定の割合で時間

30

(

s

)

だけ減速し、B 駅で停止した。 (1) A 駅から B 駅に着くまでの時間と速さの関係をグラフに書け。 (2) 初めの 50 秒間に進んだ距離を求めよ。 (3) 最後の 30 秒間の加速度はいくらか? (4) 出発してちょうど 60 秒経った時の、電車と A 駅との距離を求めよ。 (5) A 駅と B 駅との距離を求めよ。 解説と解答 電車の運動では、0~50 秒までは、等加速度運動で速さが増加する。50~50+60 秒では、一定の速さで 進む。50+60~50+60+30 秒では、一定の加速度で速さが遅くなり、速さ=ゼロで B 駅に到着している 事を理解しよう。 (1) 出発時の加速度 2 1

=

0

.

30

m/s

a

、B 駅到着時の加速度

a

2とする。 0~50sでは、最初の速度=ゼロでの等加速度運動である。よって速度

v

は、

v

=

0

+

a

1

t

=

0

.

30

×

t

(

m

)

。 50 秒後の速度は、

v

50

=

0

.

30

×

50

=

15

(

m/s

)

になる。 50~50+60 秒では、等速度運動で

v

=

15

(

m/s

2

)

である。 50+60~50+60+30 秒では、30 秒掛けて減速し、速度がゼロになる。よって

)

m/s

(

50

.

0

30

/

15

0

30

2 2 2 50

+

a

=

a

=

=

v

。 速度は

v

=

v

50

+

a

2

(

t

110

)

=

15

0

.

50

×

(

t

110

)

(

m/s

)

で与えられる。 (2) 0~50 秒で、距離 2

/

2

0

.

15

2

(

m

)

1

t

t

a

x

=

=

となる。よって 50 秒での距離は、

)

m/s

(

10

8

.

3

)

m

(

10

75

.

3

50

15

.

0

×

2

=

×

2

=

×

2 2

=

x

である。 (3) (1)で説明したように、減速時の加速度

a

2は、30 秒で停止したので、 v v0 at t 面積=移動距離 面積=移動距離 v v0 |a|t t 取り除く

(4)

)

m/s

(

50

.

0

15

30

0

2 2 2

×

+

=

=

a

a

となる。 (4) 出発して 60 秒後の距離は、

x

=

3

.

8

×

10

2

(

m

)

+

15

×

10

=

5

.

3

×

10

2

m

となる。 (5) それぞれの区間での移動距離を求める。 0~50 秒で、距離 2

/

2

0

.

15

2

(

m

)

1

t

t

a

x

=

=

よって、50 秒での距離

x

=

0

.

15

×

50

2

=

3

.

75

×

10

2

(

m

)

=

3

.

8

×

10

2

(

m

)

50~50+60 秒では、等速運動なので、移動距離

x

= v

×

60

=

15

×

60

=

9

.

0

×

10

2

(

m

)

50+60~50+60+30 秒での移動距離は、等加速度運動(減速)なので、 ) m ( 10 25 . 2 10 25 . 2 10 5 . 4 2 / 30 ) 50 . 0 ( 30 15 2 / 30 30 2 2 2 2 2 2 × = × − × = × − + × = × + × =    a v x よって A-B の距離は、

=

3

.

8

×

10

2

+

9

.

0

×

10

2

+

2

.

25

×

10

2

=

15

.

05

×

10

2

(

m

)

AB

x

例題 2 等加速度直線運動の列車 一定の加速度で、一得戦場を走る長さ

L

の列車の先端部 分が在る点

Q

(踏み切り)を通過する時の速度は

v

1、 最後部が点

Q

を通過する時の速度は

v

2であった。列車 の真ん中が点

Q

を通過するときの速度を求めよ。 解説と解答 等速直線運動と解釈して、問題を解く。列車の先端と最後部での速度に違いがあった。これは、列車が 等加速度運動を行い、距離

L

進む間に速度が変わったという事を意味する。加速度を

a

、距離

L

進むの にかかる時間を

t

Lとすると、

a

0

として次の式が成り立つ。          + = − = + − = → = + − = − + − →       =       − + − ⋅ − = →     = + + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ) )( ( 2 1 ) )( ( 2 1 ] ) ( ) ( 2 [ 2 1 2 1 2 1 v v L a v v t v v v v L a L v v v v a v v v v v a L a v v a a v v v a v v t L at t v at v v L L L L L    加速度

a

と時間

t

Lを用いて、v1tL/2+atL2/2/2=L/2となる時間

t

L/2

0

<

t

L/2

<

t

L)を求める。

a

v

aL

v

t

a

v

a

L

a

v

t

a

v

a

L

a

v

t

a

L

t

a

v

t

L

at

t

v

L

at

t

v

L L L L L L L L L 2 1 1 2 / 2 1 1 2 / 2 1 2 1 2 / 2 / 1 2 2 / 2 2 / 2 / 1 2 2 / 2 / 1

/

2

2

(

2

)

(

)

2

1

+

+

=

+

±

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

 

これより、電車の真ん中での速度を

v

L/2とすれば、以下のように求まる。

2

)

)(

(

2

1

12 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 / 1 2 /

v

v

v

L

v

v

v

v

L

v

aL

a

v

aL

v

a

v

at

v

v

L

=

+

L

=

+

+

+

=

+

=

+

+

=

+

。 注意:

a

<

0

の場合、電車の真ん中が点

Q

を最初に通過する時間と、電車が逆戻りして再び通過する時 間が得られる。 v1 v2

(5)

微分・積分を用いた、位置・速度・加速度 単純な、1次元の直線運動を考える。時刻

t

における位置が

x

(t

)

で与えられるとする。すると時刻

t

か ら時刻

t

+

t

の間での、位置

x

(t

)

からの位置の移動(変位)

x

(t

)

は、

)

(

)

(

)

(

t

x

t

t

x

t

x

=

+

で与えられる。一方、速度

v

(t

)

から考えれば、時刻

t

から時刻

t

+

t

の間で物体の速度の変化が十分無 視できるなら、変位

x

(t

)

は、

t

t

v

t

x

(

)

=

(

)

で与えられる。両者は等しく、 t t x t t x t v t t v t x t t x

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + − = ⋅ → = + − が成り立つ。

t→0の極限を考えると、 dt t dx t t x t t x t v t ) ( ) ( ) ( lim ) ( 0 = − + = →

∆ 。 つまり、位置の移動

x

(

t

)

の時間微分が速度

v

(

t

)

になる。 加速度

a

(t

)

についても、同様の考えをしよう。時刻

t

における速度が

v

(t

)

で与えられるとする。する と時刻

t

から時刻

t

+

t

の間の速度変化

v

(t

)

は、

)

(

)

(

)

(

t

v

t

t

v

t

v

=

+

で与えられる。一方、速度

a

(t

)

から考えれば、時刻

t

から時刻

t

+

t

の間で物体の加速度の変化が十分 無視できるなら、速度の変化

v

(t

)

は、

t

t

a

t

v

(

)

=

(

)

で与えられる。両者は等しく、 t t v t t v t a t t a t v t t v

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + − = ⋅ → = + − が成り立つ。

t→0の極限を考えると、 dt t dv t t v t t v t a t ) ( ) ( ) ( lim ) ( 0 ∆ = − ∆ + = → ∆ 。 つまり、速度

v

(

t

)

の時間微分が加速度

a

(

t

)

になる。 これらの結果に対して、微分の逆(積分)を考えれば、次の式が成り立つ。

=

+

+

=

x

t

v

t

dt

v

t

v

t

a

t

dt

t

x

0 0

(

'

)

,'

(

)

(

0

)

(

'

)

'

)

0

(

)

(

 

加速度が一定の値

a

を持つ場合で計算してみよう。 初速度

v

0で時間

t

経過後の速度を

v

とすると、

at

v

t

a

v

adt

v

t

v

=

+

t

=

0

+

=

0

+

0 0

'

(

0

)

)

(

位置(変位)

x

は、初期値を

x

0として、 t t+t x+x x

(6)

2 0 0 0 0 0 0 0

2

1

'

)

'

(

'

)

'

(

)

(

t

x

v

t

dt

x

v

at

dt

x

v

t

at

x

=

+

t

=

+

t

+

=

+

+

をえる。一定の加速度での、速度と変位に関する公式が得られた。 微分・積分による考え方-2 1次元の直線運動を考える。位置の移動(変位)が

x

(t

)

で与えられるとする。すると時刻

t

から時刻

t

t

+

の間に移動した距離

x

(t

)

は、

)

(

)

(

)

(

t

x

t

t

x

t

x

=

+

で与えられる。一方、速度

v

(t

)

から考えれば、時刻

t

から時刻

t

+

t

の間での、速度の最小値と最大値 をvmin(t),vMax(t)とすれば、位置

x

(t

)

からの変位

x

(t

)

は、 t t v t x t t vmin()⋅

<

( )< ()Max

で与えられる。この不等式を

t

で割ると

)

(

)

(

)

(

)

(

min

v

t

t

t

x

t

t

x

t

v

<

Max

+

<

が成り立つ。

t→0の極限を考えると、

v

min

(

t

)

=

v

Max

(

t

)

となるはずなので、 dt t dx t t x t t x t v t ) ( ) ( ) ( lim ) ( 0 = − + = →

∆ 。 つまり、変位

x

(

t

)

の時間微分が速度

v

(

t

)

になる。速度

v

(

t

)

と加速度

a

(

t

)

の関係も同様である。 微分の逆を考えれば、加速度

a

(t

)

も含め、次の式が成り立つ。

=

+

+

=

x

t

v

t

dt

v

t

v

t

a

t

dt

t

x

0 0

(

'

)

,'

(

)

(

0

)

(

'

)

'

)

0

(

)

(

 

速度、加速度などの定義 t t v t t v t t t t v t t v t a t t x t t x t t t t x t t x t v ∆ − ∆ + = − ∆ + − ∆ + = ∆ − ∆ + = − ∆ + − ∆ + = → → → → → → → → → → ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 加速度: 速度: 移動距離(位置の変位)と速度の関係

=

+

=

+

=

+

=



+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

=

+

+

=

→ → → → − = → → → → → → → → → → → → → → → → → → 1 0 1 0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

)

1

(

(

)

)

1

(

(

)

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0 1 1 0 0 1 t t t t n k

dt

t

v

t

x

t

x

dt

t

v

t

t

k

t

v

t

x

t

n

t

x

t

t

t

t

n

t

t

t

n

t

v

t

n

t

x

t

n

t

x

t

t

t

v

t

t

x

t

t

x

t

t

v

t

x

t

t

x

t

t

v

t

x

t

t

x

t

t

x

t

t

x

t

v

    

注意:v(t)=(v1(t),v2(t)) → とすれば、

v

(t

)

→ の時間積分は、

(7)

=

=

→ 1 0 1 0 1 0 1 0

)

(

,

)

(

(

))

(

),

(

(

)

(

1 2 1 2 t t t t t t t t

dt

t

v

dt

t

v

dt

t

v

t

v

dt

t

v

のようになる。 加速度と速度の関係 t t a t v t t v t t v t t v a

+ = + = → → → → → → ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 速度の変化量も同様にして求まる。

=

+

=

+

=

+

=



+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

→ → − = → → → → → → → → → → → → 1 0 1 0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

)

1

(

(

)

)

1

(

(

)

(

)

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

0 1 1 0 0 1 t t t t n k

dt

t

a

t

v

t

v

dt

t

a

t

t

k

t

a

t

v

t

n

t

v

t

t

t

t

n

t

t

t

n

t

a

t

n

t

v

t

n

t

v

t

t

t

a

t

t

v

t

t

v

t

t

a

t

v

t

t

v

r

r

横軸を時刻

t

、縦軸を速度

v

(t

)

にとり、速度

v

(t

)

の時間依存のグラフを書く。

t

=

0

の軸、

v

(t

)

t

軸、 および

t =

t

とで囲まれた部分の面積を

S

(t

)

とする。時刻

t

t

t

+

の垂線および

t

軸、速度

v

(t

)

の曲線で囲まれた部分の 面積を

S

(t

)

とすると、

S

(t

)

は黄色の長方形の部分に相当 するので、

t

t

v

t

S

t

t

S

t

S

=

+

(

)

(

)

(

)

(

)

が成り立つ。よって、囲まれた部分の面積は、移動距離をあ らわす。また、

)

(

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

)

(

)

(

0

t

v

t

t

S

t

t

S

t

v

t

t

S

t

t

S

t

t

S

t

=

+

+

=

→ ∆ となるので、移動距離(正確には、変位)の単位時間当たりの変化量は、速度を表す。 0 t t+t S(t) S(t) v(t)

(8)

物体の運動を考えるにあたり、次の 3 つの法則を認める。 慣性の法則: 物体に力が働かない時、物体は一定速度で動き続ける(向きや速さの変化なし)か、静止し続ける。も し物体がこのような状態(等速運動か静止状態)から変化したなら、物体に対して何らかの力が加わっ たと解釈する。このような物体の運動を式で表したものが、次の運動の法則である。 運動の法則: 物体に力が働く時、物体には、加速度が生じる。加速度の大きさは、物体の質量

m

に反比例し、力の大 きさに比例する。また、加速度の向きは、力の向きと同じ方向である。→

F

:物体に加わる力(ベクトル)、 →

a

:物体の加速度(ベクトル)とすれば、→

F

=

m

a

の関係が成り立つ。力の単位は[N(ニュート ン)]=[kg][m/s2]。質量は[kg]、加速度は[m/s2]で表す。この単位系を、MKS 単位系という。 物体 A について、具体的に

F

=

m

a

の関係式を導くことを、物体 A の運動方程式を立てるという。 物体 A の運動方程式を立てる際、物体 A に働く力(の和)を考え、その力で、物体 A に加速度が生じ る事に注意しよう。物体 A が物体 B を押す力は、物体 A の運動方程式では、考慮する必要は無い。 運動方程式はベクトルで表わされるので、適当な成分に分けて運動を考えることが出来る。 作用・反作用の法則: 物体 A が物体 B に力を及ぼす時、B から同じ大きさで向きが反対の力が A に加わる。物体 A,B が静止 しても動いていても、成り立つ。この法則は、重要である。物体どうしが接する場所には、一般に力(大 きさがゼロの場合を含め)が働くからである。物体同士が接触している場合、互いに押し合う場合や、 互いに引っ張り合う場合がある。 例えば、ビルの壁を素手で殴る場合を考えよう。軽く素手で殴るなら、手は痛くない。しかし、力い っぱいに殴ろうとすれば、誰でも躊躇してしまう。なぜなら、経験から、力いっぱいに壁を殴ろうもの なら、手がすごく痛い事を知っているから。小さな力を加えれば、小さな力で壁から押し返され、大き な力を壁に加えると、大きな力で壁から押し返される。これは、作用・反作用に他ならない。 <運動方程式を立てるときの注意点> ある物体の運動方程式を記述する時には、その物体に働く力をすべて数え上げ、力の向きを考慮して運 動方程式を立てます。その際、以下のような事柄に注意してください。1~6 の手順は、物体がどのよう な運動をしていようと、運動方程式を立てる時、考えなくてはならない、重要な手順である。 1 全ての物体(物体が接している床、斜面も含む)に働く力を数え上げる。 物体 A の運動方程式を立てるとしよう。物体 A は周囲から力を受けるだけでなく、周りの物体に対 して力を加えているかもしれない。また、複数の物体が関係する運動では、お互いに及ぼしあう力を 見逃す可能性がある。1 つの物体の運動を知りたい場合でも、すべての物体に働く力を、図に書いて みよう。 2 物体 A が周囲から受ける力と、まわりの物体に対して加える力を区別する。 物体 A の運動方程式を立てるに当たり、考慮すべき力は、物体 A に働く力だけです。それ以外の力 は考慮しない。

(9)

3 力の方向を考える。 力の向きが図に正しく書けないと、物体の運動(加速度、速度、力の大きさなど)を正しく求める 事ができない。 4 力の方向は、どちらが正方向でどちらが負方向なのか決める。 物体が動く方向(予め、加速度が正の値を持つと予想した向き)を力の正の向きとするのが、考え やすい。 5 1 つの物体ごとに運動方程式を立てる。 全ての物体の加速度が同じわけではない。一般に、物体ごとに運動方程式を立てる必要がある。こ れにより、物体の数だけ運動方程式が出る。 6 力を 2 つの方向に分け、運動方程式を立てるのが便利な場合がある。 力はベクトルであるから、複数の方向に分ける事が出来る。力の方向を 2 つに分ける事が出来る場 合、それぞれの方向で運動方程式を立てる。斜面を滑る物体の問題では、斜面と水平・垂直の 2 つ の方向に分ける。重力のある場合のボール投げでは、重力の働く方向と、それに対して垂直方向の 2 つに分ける。このように分ける事で、運動方程式を解く事が簡単になる。 2,3 次元の物体の運動(直線運動でない)の場合、運動方程式

F

=

m

a

のベクトルの性質を利用す る。ベクトルは分解できる。そこで、たとえば 2 次元の物体の運動の場合、力および加速度のベク トルを次のように水平方向と鉛直方向の 2 つの方向に分けよう。

)

,

(

),

,

(

F

x

F

y

a

a

x

a

y

F

=

=

r

こうすれば、運動方程式

F

=

m

a

は、以下の 2 つの式に分解される。 y y x x ma F ma F = = 。 運動方程式はベクトルで記述されている。よって、物体が水平面上を動く場合や斜面を滑る場合な どでは、物体が動く方向とそれに対して垂直方向の、2 つ方向に分けて考えてよい。 今、下の図において、赤色が着目している物体から周りの物体に加える力で、青色が着目してい る物体が周囲の物体などから受ける力としよう。着目している物体の運動方程式では、青色の力だ けを考えればよい。 物体で働く力をすべて書く 物体に加わる力だけを考える

(10)

1)力のつりあいの基本 (1)床の上の、静止している物体 -力のつりあい- 質量

m

(kg)の物体には、重力による力

mg

(物体中央、赤い矢印)が下向きに働 く。物体

m

は、大きさ

F

の力(物体下からの下向きの緑矢印)で床を押す(作用)。 その反作用として、床は、大きさ

N

で物体を押し返す(床から上向きの青矢印)。 この力

N

を垂直抗力という。

N

(垂直抗力)は、物体が床を押す力

F

(作用)に対する反作用として生じる。作用・反作用の関 係にあるので、

N =

F

の関係が成り立つ(向きが逆で大きさが等しい)。力の作用・反作用の関係は、 物体の運動の如何(静止・移動)にかかわらず、成り立つ。 垂直方向の物体の力のつりあいは、運動方程式を用いると、上向きを+にとり、加速度

a

として

ma

mg

N

=

となる。物体が静止しているので、加速度

a

=

0

であり、

N =

mg

が求まる。また、

N ,

F

は作用・反作 用の関係にあるので、

N =

F

である。これより、物体が床を押す力

F

は、

mg

N

F

=

=

と求まる。 (2)2 つの物体が重なった状態での力のつりあい では、複数の物体が重なっている時、物体同士に働く力の大きさ、物体 と床との力はどのようになっているのだろうか? 2 つ重なっている場合(右図)を考える。質量

m

1

, m

2の物体が、水平な 平面上に重なっている。その時の力関係を求める。 2 つの物体には、重力によりそれぞれ

m

1

g

,

m

2

g

の大きさの力(赤い矢印) が、図の下向きに働く。物体

m

1が物体

m

2を押す力(作用)を

F

1とすると、物体

m

2が物体

m

1を大きさ 1

N

で押し返す(反作用)。

N

1を垂直抗力という。 物体

m

2も同様に、床を押す。物体

m

2が床を押す力(作用)を

F

2とすると、床が物体

m

2を大きさ

N

2 で押し返す(反作用)。この力は、床から物体

m

2に加わる垂直抗力である。 運動方程式は、上向きを+にとり、

m

1

, m

2の加速度をそれぞれ

a

1

, a

2とすると、 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1

:

:

a

m

g

m

F

N

m

a

m

g

m

N

m

=

=

となる。また、作用・反作用の関係で、

N

1

=

F

1

,

N

2

=

F

2が成り立つ。物体は、重なったままで動かな いなら、

a

1

= a

2

=

0

であるので、

+

=

+

=

=

=

=

=

g

m

m

g

m

F

N

g

m

F

N

g

m

F

N

g

m

N

)

(

)

(

0

0

2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 となる。 ここで、重要な点。質量

m

2の物体に働く垂直抗力

N

2

m

2

g

、物体

m

2が床を押す力

N

2

m

2

g

であ る。幾つかの物体が重なっていると、複数の物体の質量に対応した力(重力による力)で床を押す。す なわち、床と接する物体の質量だけではなく、重なった全ての物体の質量に対応した重力で床を押す。 また、その反作用で床が物体を押し返す力の大きさは、重なった全ての物体の質量に相当した力として の垂直抗力になる。 mg N F

m

NFNF

m

2

m

g

m

2

g

(11)

例題 1 物体に力を加える場合のつりあい 質量

m

の物体が、水平な床の上にある。質量

m

の物体を大きさ

F

0の力で鉛直上向きに引く場合、下 向きに押す場合の2つの場合で、物体

m

が水平面から押される垂直抗力の大きさを求めよ。 解説と解答 鉛直方向の力だけを考える。物体

m

には重力による力

mg

が働く。物体

m

が床を押す(作用)力

F

に 対する反作用として、床が物体を押す力(垂直抗力)

N

が生じ、物体

m

を押し返す。また物体には、

F

0 の大きさの力が加わっている。鉛直方向上向き を(+)にとれば、符号を含めてその力は、上 向きに引くときは

+

F

0、下向きに押すときは、 0

F

となる。 鉛直方向の運動方程式は、物体

m

の加速度 を

a

として、垂直上方向を正(+)にとり、

ma

mg

F

N

+

(

±

2

)

=

。 となる。ここで

±

の符号は、先ほど説明したとおり。また、作用・反作用の関係から、

N =

F

が成り立 つ。さて、物体

m

が動かないので、

a

=

0

から、

)

(

F

0

mg

N

=

+

±

を得る。物体を上に引く場合、物体

m

が床を押す 力

F

=

N

=

mg

F

0であり、物体

m

に掛かる重力 による力

mg

よりも小さな値になっている。一方、 物体を押す場合、

F

=

N

=

mg

+

F

0となり、物体

m

だけの場合と較べて大きな力で床を押す。 例題 2 質量

m

1

, m

2の物体が、水平な平面上に重なっている。また、質量

m

1の 物体は、大きさ

F

0の力で鉛直下方向に押されている。その時、床が質量

m

2 の物体をおす垂直抗力、および質量

m

1

, m

2の物体が互いに押し合う力の大 きさを求めよ。 解説と解答 最初に、質量

m

1の物体に働く力を考えよう。質量

m

1の物体には、重力 による力

m

1

g

が鉛直下方向に働く。また問題設定から、質量

m

1の物体に は鉛直下向きに

F

0の力が働く。さらに、質量

m

1

, m

2の物体同士が接して いるので、質量

m

1の物体が質量

m

2の物体を押す。その力を

F

1とする。 力

F

1に対する反作用として、質量

m

2の物体が質量

m

1の物体を押し返す。 その大きさを

N

1とする。作用・反作用の関係から、

F =

1

N

1である。 続いて、質量

m

2の物体に働く力を考えよう。まず質量

m

2の物体には、重力による力

m

2

g

が鉛直下方 向に働く。また、質量

m

1の物体から鉛直下向きに

F

1の力で押され、その反作用として、質量

m

2の物体 F0 床 N mg F F0 床 N mg 物体に加わる力だけ F0 床 N mg F F0 床 N mg 物体に加わる力だけ

m

NFN

m

2

m

g

m

2

g

F0 F

m

m

2 F0

(12)

は、質量

m

1の物体を大きさ

N

1の力で鉛直上向きに押し返す。さらに、質量

m

2の物体は水平面と接して いるので、質量

m

2の物体が水平面を鉛直下方向に押し(その力の大きさを

F

2とする)、水平面から大き さ

N

2の力で鉛直上方向に押し返される。

N

2は、物体

m

2に対する垂直抗力である。作用・反作用の関 係から、

F =

2

N

2である。 以上で、2つの物体に働く力が分かった。そこで、運動方程式を立てる。運動方程式は、上向きを+ にとり、

m

1

, m

2の加速度をそれぞれ

a

1

, a

2とすると、 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 1 1

:

:

a

m

g

m

F

N

m

a

m

F

g

m

N

m

=

=

となる。また、作用・反作用の関係で、

N

1

=

F

1

,

N

2

=

F

2が成り立つ。物体が、互いに重なったままで 動かないなら、

a

1

= a

2

=

0

であるので、    + + = + = + = = →    = − − = − − 0 2 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 ) ( ) ( 0 0 F g m m g m F N F g m F N g m F N F g m N となる。質量

m

1の物体を力

F

0で押す影響は、物体

m

2に対する垂直抗力の大きさに跳ね返っている。 例題 3 エレベーターでの運動 エレベーターにばね式体重計をのせ、その上に質量

m

(

kg

)

の人が乗る。エレベーターが上向きに大き さ

a

(

m/s

2

)

の加速度で上昇している時、体重計はいくらの体重(見かけの重さ)を示すか?なお、重力 加速度を

g

(

m/s

2

)

として、質量

M

(

kg

)

の人が動かない平面にある体重計に乗った時、体重計には

)

m/s

kg

(

2

Mg

の大きさの力が加わるので、体重計は

M

(

kg

)

を示す。 解説と解答 人が体重計を押す力を

F

とし、体重計が人を押しかえす力を

N

とすれば、 作用・反作用の関係で、

F =

N

が成り立つ。エレベーターの加速度を

a

と すれば、上向きを(+)にとり、人の運動方程式は、

)

(

g

a

m

N

ma

mg

N

=

=

+

見かけの重さは、力

N

g

で割った値なので、 g a g m +

(

kg

)

である。 例題 4 自分をロープで引き上げる 図のように、質量

m

(

kg

)

の人が、質量

M

(

kg

)

の台の上に載っている。 台は水平な床の上にある。台につけられた質量の無視できるロープは、 滑車を介して人が手で持っている。滑車とロープとの摩擦を無視する。 重力加速度を

g

(

m/s

2

)

として、以下の問いに答えよ。 (1) 人がロープを下向きに大きさ

T

(

N

)

の力で引くとき、台が人を押す 力を求めよ。 (2) (1)の時、水平面が台を押す力を求めよ。 mg N F

(13)

(3) 人が台ごと水平面から浮き上がるためには、人がロープをある大きさの力(

T

0とする)よりも大 きな力で引く必要がある。その大きさ

T

0を求めよ。 (4) 人が台ごと水平面から浮き上がるためには、人と台の質量の間に、ある関係式が成立しなければな らない。その関係式を求めよ。ただし、人は台の上に乗っている だけで、乗っている人の靴が台に固定されていない(人が上にジ ャンプすると、人と台が離れる)とする。 解説と解答 人、台、水平面に加わる力は、問題の絵を簡略化して書くと、右図 のようになる。ここで

F

1

, N

1は、それぞれ、人が台を押す力、その反 作用として台が人を押し返す垂直抗力である。また

F

2

, N

2は、それぞ れ、台が水平面を押す力、その反作用として水平面が台を押し返す垂 直抗力である。ここでは、人がロープを引く力、台がロープを引く力 は書いていない。 人がロープを引くと、その反作用としてロープが人を同じ大きさの力で引く。ロープが台を引くと、 その反作用で台がロープを引く。ロープの質量が無視できるなら、ロープの両端の張力は同じになる。 よって、図のような力と向きになる。ロープの力は、人も上向きに引くし、台に対しても上向きに引く。 さて、それぞれの運動方程式は、上向きを(+)にとり、人、台の加速度を

a ,

m

a

M とすれば、以下の ようになる。また、作用反作用の関係で

F

1

=

N

1

,

F

2

=

N

2が成り立つ。

=

+

=

+

M m

Ma

N

Mg

F

T

ma

N

mg

T

2 1 1 人、台の加速度

a

m

,

a

M

=

0

として、

F =

1

N

1の関係も使用して、

+

=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

+

=

=

+

T

g

m

M

Mg

T

mg

T

Mg

F

T

N

T

mg

N

Ma

N

Mg

F

T

ma

N

mg

T

M m

2

)

(

)

(

0

0

1 2 1 2 1 1 これより、(1)の答えは

N

1

=

mg

T

。(2)の答えは、

N

2

=

(

M

+

m

)

g

2

T

。 (3) 台が人ごと上がるためには、「水平面が台を押す垂直抗力

N

2

=

0

となる時のロープを引く力」より も大きな力でロープをひけばよい。台が水平面から離れる直前(

N

2

=

0

)でのロープを引く力が

T

0で ある。

g

m

M

T

T

T

g

m

M

F

N

N

(

)

2

1

0

2

)

(

0

2 2 0 2

=

=

=

+

=

=

=

+

。 よって、 (M m)g 2 1 + よりも大きな力でロープを引けばよい。 (4) 人がロープを引く場合、その力の最大値は、ロープに人が宙吊りにぶら下がった時にロープを引く 力である、自身の体重

mg

である。よって、仮に人が台を押す力

F

1

=

0

(人と台が接触するだけで、力 を互いに及ぼさない状態)としても、台ごと人が上がるためには、少なくとも

M

m

g

m

M

mg

>

(

+

)

>

2

1

を満足しなければならない。この式は、人が台よりも軽ければ、人がロープにぶら下がったとしても、 mg N1 F1 N2 F2 T T Mg

(14)

台が上に上がらないという、当たり前の事を言っている。 補足:もし人の履いている靴が台に固定されてあり、かつ人の腕力が十分あれば、仮に

m <

M

でも人 は台ごと上向きに上がる事が出来る。

T ≤

mg

の場合はすでに考察したので、人と台が互いに固定され た状態で、

m <

M

かつ

T >

mg

の場合を考察しよう。先の解説の図で、文字

F ↔

1

N

1の入れ替えをし、 力の釣り合いを議論(右図)しよう。

F

1は人が台を上向きに引く力、

N

1は台 が人を下向きに引く力とする。なお、図で人・台がロープを引く力の矢印は少 略した。 運動方程式から、人、台の加速度

a

m

,

a

M

=

0

とし、

F =

1

N

1の関係も用い、      − + = + − − − = + − − = − = →    = = + − + = = − − T g m M Mg mg T T Mg F T N mg T N Ma N Mg F T ma N mg T M m 2 ) ( ) ( 0 0 1 2 1 2 1 1    となる。台が水平面から離れる直前の条件

N

2

=

0

から、

g

m

M

T

T

g

m

M

N

(

)

2

1

0

2

)

(

2

=

+

=

=

+

をえる。

T

をいくらでも大きく出来るなら、

T

=

(

M

+

m

)

g

/

2

にする事は可能。 (3) ばねの伸縮による力 ばねを伸ばしたり縮めたりすると、力がいる。ばねを伸ばせば伸ばすほど、力が必要だ。また、長さ を短くしようとして、ばねがどこかに飛んでいったりすることもある。このように、ばねの長さを変え ようとすると、それに応じて、ばねに力を加えなくてはいけない。 ばねを、摩擦のない滑らかな水平面上に力を加えずに置く。そ の時のばねの長さを、自然長という。ばねを自然長から長さ

x

(

m

)

伸ばす(縮める)のに必要な力の大きさ

f

(

N

)

は、ばね定数を

)

N/m

(

k

として、

f =

kx

で与えられる。ばねには、このような性 質があると考えよう。もしばねをあまり長く伸ばすと、伸びきってしまい、元に戻らなくなる場合もあ るが、そのような事が起こらないとして、ここでは考える。また、ばねには質量があるが、質量=ゼロ として問題を扱うことが、よくある。 例題 重力とばねによる力の釣り合い 天井と床の距離を、

l +

1

l

2とする。自然長での長さ

l

1ばね定数

k

1のばね、 および自然長での長さ

l

2ばね定数

k

2の 2 つのばねを、質量

m

の大きさの無 視できる質点を介してつなぐ。なお、ばねは横方向にたるんだり傾いたり せず、垂直方向にだけ伸び縮みするものとする。また、ばねの質量は無視 する。この時、ばねの伸びを求めよ。 解説と解答 質量

m

の質点は、長さ

l

1のばねを伸ばし、長さ

l

2のばねを縮める。長さ

l

1のばねの伸び(長さ

l

2のば mg F1 N1 N2 F2 T T Mg x fx m k1 l1+x l2 - x k2 l1+12

(15)

ねの縮み)を

x

とする。この時、長さ

l

1のばねは縮もうとし、長さ

l

2のばねは伸びようとする。いずれ も、自然長の長さになろうと、ばねの長さが変化しようとする。 さて、長さ

l

1のばねが

x

伸びると、ばねは天井および質点を、

x

k

f

=

1 の力で引く(青色の矢印)。一方長さ

l

2のばねは

x

縮むので、 質点および床を、

f

=

k

2

x

の力で押す(青色の矢印)。緑色の矢印は、 質点がばねに加える力である。右図には、ばねと天井、ばねと床の 間に働く力も記入してある。それぞれ、作用・反作用の関係で、同 じ大きさとなる。ばねの位置と力の位置は、わざとずらしてある。 さて、質量

m

の物体の運動(実際は、静止状態)を考えよう。質 点の上方向を(+)方向にとり、物体の加速度を

a

とすれば、質点の 運動方程式は右の拡大図を参照して、

ma

x

k

mg

x

k

x

k

f

x

k

f

ma

f

mg

f

=

+

=

=

=

+

2 1 2 1

,

'

'

と な る 。 質 点 は 静 止 し て い る の で 、 加 速 度

a

=

0

。 よ っ て 、 0 2 1xmg+k x=ma= k より、

x

として、以下の値を得る。 2 1 k k mg x + = 。 l1+x l2 - x f’=k2x mg f=k1x mg

(16)

2)水平面での物体のつりあい・運動 (1)摩擦のない水平面での運動 水平方向/ 右向きに力 F がかかる(例えば、糸で引っ張る)場合 右向きを正に取り、力

F

が働くので、水平方向の運動方程式は

m

F

a

ma

F

=

x

x

=

となる。 垂直方向/ 重力

mg

が働く。また、物体

m

が床を押す(作用)力

f

に対する反作用として、床が物体 を押す力(垂直抗力)

N

が物体

m

に働く。もし物体が床の上に載ったまま(上下運動なし)なら、物 体に働く重力による力

mg

と垂直抗力

N

はつりあう:

N =

mg

。 力の釣り合いの関係式(

N =

mg

)を運動方程式から導びこう。上向きを力の正の方向にすると、 運動方程式:

N

mg

=

ma

y 物体は上下方向には移動しない⇒速度=ゼロ(速度の時間変化なし)⇒加速度

a

y=ゼロとなり、

mg =

N

が導かれる。物体に働く力の和(符号を含めての足し算)はゼロとなる。 さて、物体の

t

=

0

での速度(初速度)

v

(

0

)

=

v

0、位置

x

(

0

)

とする。微積分を用いると、時刻

t

での 速度

v

(t

)

および変位

x

(t

)

は、以下の式で与えられる。 2 0 0 0 0 0 0 0

2

'

'

'

)

'

(

)

0

(

)

(

,

'

'

)

'

(

)

(

t

m

F

t

v

dt

t

m

F

v

dt

t

v

x

t

x

t

m

F

dt

m

F

dt

t

a

v

t

v

t t t t x

=

+

+

=

=

=

=

=

(2)摩擦のある水平面での力のつりあい・運動 物体

m

と水平面の間に摩擦力が働く場合 摩擦力の考え方 i)物体が静止している場合 垂直方向では、物体

m

が床を押す(作用)力

F

'

に対する反作用として、床が物体を押す力(垂直抗 力)

N

が生じ、物体

m

を押す。 水平方向では、物体

m

を引く力

F

に対抗して、物体と床の間で摩擦力

f

が生じる。静止摩擦力

f

は、 力

F

の方向と逆向き(邪魔する向き)に働く(より正確には、物体が動こうとする方向と反対方向に静 止摩擦力が加わる)。なお、床にも、物体

m

に働く摩擦力

f

と同じ大きさの力が逆向き(図の紫色の矢 印)に働く。 さて、静止摩擦力

f

には、

N

f

µ

µ

:静止摩擦係数、定数と見なす) の関係が成り立つ。

f

=

µ

N

の時の力

f

を、最大静止摩擦力という。 この関係式は、実験的に得られたものであり、これ以降では、摩擦が 生じる物体同士では、常にこの関係式が成り立つとして、静止摩擦力を扱う事にする。 注意)物体

m

が押されたり、引っ張られたりしない(

F

=

0

)と、

f

=

0

である。また、物体

m

が動き 出すためには、

F

>

µ

N

(最大摩擦力)が必要である。もし、力の大きさがある大きさ

F

0より少しで

f

F

m

N

F’

mg

F

N

mg

f

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