背理法の指導についての一考察
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(2) . ｌ ｊｕ ｙ ，１９７０. ｉ ｉｏｎ （Ｓｅｃｔ ｉ ｉｄｏ Ｕｎｉ ｏｎ 工 Ｃ） ｔ ｌｏｆ Ｈｏｋｋａ ｖｅｒ ｓ Ｊｏｕｒｎａ ｙ ｏｆＥｄｕｃａｔ. Ｖｏ ｌ ．Ｉ ，２１ Ｎｏ. 背理法の指導についての一考察 岡. 部. 勝. 幸. 北海道教育大学函館分校数学教室. Ｋａｔｓｕｙｕｋｉ ｏＫＡＢ配 ；. ｉｏｎａＩ ＬｏｇｉＣ ｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｒｒａｔ ｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｄｉｒｅｃｔ Ａ Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔ. ＳＩ 研 究 の 目 的 背理法は高校一年の教材 「数学と論証」 と言う一章で述 べられている． そこでは， 命題とその 対偶 が同値で ある事を背理法を使 っ て証明したり， また逆に， 命題とその対偶 が同値である事実 を使用して， 背理法を用いている． その後， 背理法を使用する若干の問題が挙げられているが， 更にその理解 を十分な らしめる為の一つの試 案を得る為に， 次のような調査を行なっ た， （ ａ ） 調査対象及び調 査月日 ３日， 土曜日， 午前９時より１時間， 工業高等専門 背理法について， 次のような質問を， ９月１ 学校， 工業化学科， 第４学年の生徒２５名， 及び１１月 ６ 日， 木曜日， 北海道教育大学函館分校の算 数教材受講の１年生５２名を対象に午後ｉ時より１時間行なっ た． ） 質問の内容 ① １ １）. 「背理法」 と言う言葉を知っているか？. ２） 叉 「背理法」 そのものを知っ ていれば， 簡単 に説明せよ，. ＝１ ）｛ｙ二言ゴギ テ ミ ｉ. ｉ） とｉ ｉ） は同値であるこ とを証明せよ. ２） １）の証明及び背 理法について気 づいた事を記せ． ｍ. ｒ矛盾」 とは？. ｗ. 虚数は数として認めるか？. その理由を記せ，. ｃ （ ） 調査の結果 工業高等 専門学校 Ｉ. ２. 知 ていると答えた者. １. 知らないと答えた者. ２４. Ｅ. Ｉ. ２つの箱Ａ， Ｂがある． 必ず一方にりん ごが入っている時Ｂに入って １ ｌ いなければＡに入っている， という論法 １. １９. － ６８ －. 答えない者 ｒ ６.
(3) . 第 ２１ 巻 第 １ 号. 北海道教育大学紀要 （第一部Ｃ）. ＝１ のとき明らかに ｘ２＝ｌ ｘ２キ１ の ｉ とき ｘキ±１ 従って ｘキｌｉ ）ｉ ） は同値. イ ーｘ. １５. 矛. ？”. 昭和４ ５年７月. ２＜１→－１＜×＜１ ｘ ｘ ， ２＞１→×＞１ ，ｘ＜－． ｉ ｉ これとｉ ） ）を合せれば同値であることが 分る．. その他. 日頃， 意識しないで使っている， 深く考えたことはない，. その， 他. ６. 盾 ３. ４. 言葉の歴史的意味を ２つの事項が各々１ Ａ→ＢのときＢやＢ 述べ 「つじつまの合 わぬこと」 と答えた. 者. ４. づつについては成立 するが２つを相対的 に見た時は成立しな い時. １３. なる場合，. ３. Ｉ. 認 め る 者. 電気現象を説明 虚数も， その他 するとき虚数を 使って説明出来 るから. の数と同様， 徴 分， 積分， 方程 式など成り立つ から. ２. ３. ２＝ー１ ｉ ー１ は. Ｇａｕｓｓ. の座標. 表示が 実数だ 可能 から， ２. ６ ｘ十ｙ＝３ ， ｘ＝２ ，. Ｉ. ぞな. ３. 認 め な い 者. 虚数は平面上で 便宜上 理由なし. 表わされても空 間では表わされ な い．. ３. その他. ｙ＝１ とすれば成り 立つが ｙ＝２ とすれ ば矛盾する．. 競 家 ら ，. ２. Ｉ. ２. ３. 北海道教育大学函館分校 １ ）. 知 ってし、ると答えた者. １. 知らないと答えた者. ｆ. 解答なし. ３８. １. ５. １. ９. 条件を推論し逆説的に証 命題の逆も成り立 命題の逆も成り立 絶対答えになら Ａ→Ｂの時， そ ていき結論の 明する方法 つと仮定して推論 つと仮定して推論 ない場合をとり の対偶を使 て その他 っ 不合理を導い し矛盾が生じれば し矛盾が生じなけ 挙げて逆の答を Ａ→Ｂが正しい ２） て条件の正し 命題は正しいとす れば命題は正しい 出す方法 ことを示す方法 いことを示す る方法 とする方法 方法 １９. ２. ３. ２. ３. ２. ７. ２７. ４. ２. １. ３. ｉ ｉ Ａ＝ ）一ｉ ） Ｘ＝１のとき明らかｘ２＜１→－１＜×＜Ｉｉ ｉ ） はｉ ｉ ）である ｉ ）とｉ ） が同値 ２キ１とすれ ｛ ２＞１→×＞１ ｝しこｘ２＝１ ： ｘ ｘ ｘ＝１ Ｘ ための必要条件 でなければｘ＝１ その他 ， ２ Ｂ＝ ば ｉ ｘ キ１のとき ｉ ｘ＞ー１ ）はｉ ）である 以外のす べての ２＝１ ｘ＝ｌ ｏｒ ｘキ１ ｛ ｝×キ ±１ ｉ ： ｘ × これと ｉ ）ｉ ）を合 ための十分条件 数について成り ｉ ｘコ１とす ）Ａ亡Ｂ 走って ｘキ１ せれば同値である よ っ て ｉ ｉ）は 立つから ）ｉ １ ） もし ｉ ｉ ればｉ ）ＢＯ亡ＡＯ ）ｉ ）より矛ｉ ）は同値 ことが分る 同値 ｉ ａ →う ｌ 盾が生じる． ｉ ｉ→ｉｒ よ っ て×キ１ ｉ ｉ ｉ ）一 ）も同様 が成り立つ から Ｉ. ２ ）. ２. 矛. 証明は背理法である，. 盾 ２. ６. 言葉の歴史的意味を述べ. 「つじつまの合わぬこと」 と答えた者 ．. 場 器 藁 蜂 な 憲 ？ている・. ｛. 他 その，. ４. も の が 全謝ゑ剖 繋ご 違 義 家鱗 ！磨ｉ滋養. １６. １. １. 認 め る 者. １. １. １８. ２. その他 ５. 認 め な い 者. 理 由 な し堰塞羅ー漉 『 鞭泰彦す理由なし 素 １ 参隼 眺で ぞ跳 融毒 ２； －１ ｉ. ない. １９. 雪. ４. ２. １. ７. ４. 巨. ４. １. １. ２. ）調査における注意 個 調査の結果， 解答は多種多様でそ の意味を汲み取る事の出来ない説明も多いが なるべく原文 ，. － ６９ －.
(4) . ｌ ｖｏ ，２１ ＮＱ １. ｉ ｉ ｌｏ ｉｄｏ Ｕｎｉ ｉ ｆ Ｈｏｋｋａ ｔ ｔ ｏｎ Ｉ Ｃ） ｏｎ （ｓｅｃｔ ｊｏｕｒｎａ ｖｅｒ ｓ ｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａ. ｌ Ｊｕ ｙ ，１９７０. のまま記すように努めた． しかし多少の表現の相違は同じ項目に入れた． ｅ （ ） 調査結果の注目点 ている． １ ． 殆どの者が 「背理法」 と言う言葉を知っ 来ない者が可成りいる ２ ． ． 「背理法」 を説明出 がいる， して解いた者 特に集合を利用 １ ） は 問題□の ３ ， ． しないで使 っ ている． 深く考えた事はない」 と言う惑想があ ４ ， 問題亘の２）は， 「日頃意識 . ５． 「矛 盾」 に つ い て は， そ の 意 味 を 大 約 把 握 し て い る と 思 わ れ る． し か しな お， あい ま い さ が 残 る，. 多くの意見に分れている， 工専の生徒は実際的な物と結びつけ ６ ， 虚数の実在については， て考え， 教育大の学生は概念的な取り扱いをしているのは対称的である， 言葉， 概念共にあいまいさが残る． そして問題口の１）のような実際 ７ ． 問題全部を通じて， 的な問題は殆 どの者が出来ていない。. 以上の点に注目して， 次のような観方をしよ うと思う． ． １ ） 背理法は数学のみならず， 一般的な思考 （我々の生活における） においても到る所使用 （ さ れ る の だ か ら，. こ の 論 法 を 自 由 に， か つ で き る だ け 厳 密 に 使 用 で き る よ う に， ま た そ. の論法の根底は何処に有るのか （即ち，. 「命題とその対偶 が同値であること」 と 「背理. 法を使用すること」 の関係を明らかにする．） を指導する， ） 背理法及びこの 論法の根底を考察すれば， 如何にしても 「矛盾」 とか 「不合理」 と言う （ ２ 言葉は避け られないが， これらの意味を確かなものにする． 矛盾と言う事 から 「虚数の実在性等」 が言及 （それほ ど厳密ではないが） できないか，. 圏 従っ て， ここで は以上３点について， 生徒にできる限り親しみやすく， またある程度厳密に取 り扱えるか， その取り扱い方を見い出 す事が研究の目的である． Ｓ２ 背. 理. 法. １ 命題とその対偶が同値であることの証明の考察と排中律 普通， 教科書では， 「命題とその対偶 が同値であること」 の証明に大体次のような二種類の説 明がなされている． 以下Ａ， Ｂを命題Ｘ， 耳をその否定命題とする， ａ ） Ａ → Ｂ を 正 し い と す る． そ の 時 Ｂ 一 貫 は 正 しく な い も の と す れ ば， Ｂ 一 Ａ と な る， す る （. とＡ→Ｂよ り貫 一Ｂとなり不合理である． 従って宮一貫は正しい， （ ｂ ） Ａ→Ｂを集合の立場で表わせば， Ａ Ｅ Ｂである， これを図示すれば耳一Ａであることが 解 る．. ａ ） ）いずれにしても， 命題とその対偶の同値性と背理法との 関係はぼかされている， 従っ て， （ （ ｂ １ ）に沿うような指導を行なう， それには次のような例を与える． ここでは目的（ 「Ｋは犬である」 と言う命題をＡ， 「Ｋは動物である」 と言う命題をＢとする． １ ） Ａ・÷→ Ｂ （Ｋ は 大 な らば， Ｋ は 動 物 で ある） （. １ 官÷一 貫 （Ｋは動物でなければ， Ｋは犬ではない．） ２ （ ÷ ２ ）が推論できるで あろうか． 証明してみよう． １ ）÷÷ （ ２ ）は同値であろうか。（ １ さて（ ）と（ ２ １ １ （ ）÷→（. 「Ｋは 動 物 で な い」 と す る，. Ｋは必ず 「犬」 か 「犬でない」 かのいずれか一方， そして一方の － ７０ －.
(5) . 第 ２１ 巻. 第１号. 北海道教育大学紀要 （第一部Ｃ）. 昭和４５年７月. みが成立する， もし 「犬」 とすれば｛ １ ）から 「Ｋは動物」 でなければならない これはＫが 「動物 ． でない」 ならば 「動物」 だと言う不合理が生じる． 従って 「Ｋは犬 でない」 と言う事になる 即 ． ２ ）である， ち（ ２ ｝÷→（ （ １ ） 「Ｋは犬である」 として（ １ ‐一（ ２ ）‐ １と同様の推論を行なえばよい． 以上で（ １ ２ ）と（ ）は同値となっ たわけであるが， しかし今の証明の中で我々がすでに次の事を 認 め ていると言う事 を生徒に注意する． 即ち， 「Ｋが動物でなければ 犬か犬でないかのい ずれか一 ， 方， そして一方のみが成立する」 「動物であっ て， かつ動物でないものは存在しない」 と言う事. である． この事を排中律と 言う， 明瞭すぎて 一般には誰も疑いはしないが 証明は不可能 で か ， ， つ証明以前の一つの規約と見なし得るも のである ． 次に， この排中律を説明す る為， 次のように集合の立場から図式で指導するのがよいと思う ． 条件Ａ， Ｂに適するものの集合を， それぞれ 同じくＡ Ｂで表わす ＡとＸを合せたものを全 ， ， ， 平面とする， その時ＡｎＪＸ＝≠ （図形での共通 部分がないと言う意 味） が排中 律を意味する こ ． ｉ れは決して図 （Ｆ ｇ ．１）の如く， 共通部分 （斜線の 部分） があるようにはならないことである， Ｆｉｇ．１. 次に命題の立場でのＡ一Ｂは集合の立場で言えば Ａ Ｅ Ｂ となり これを図示すれば Ｆ ｉ ｇ ， ．２と. な る．. Ｆｉｇ ．２. ？； ；粥皆 斧） Ａ（ Ｂ. Ａ. ～. . 排中律を認 めれば， Ａと五 で平面の点全部を含み， かつＡ以外の 集合はＡと共通 部分を持たな い （Ａｎ五＝の） から， 図より解るように盲信Ａとなる これを命題の立場で言えば Ｂ一貫 で ． ， ある， 若し， 排中律を認 めないとすると， Ｆｉ ｇ ，３のような事もあっ て， 必ずしもＢＥＡとはなら な い， 即 ち， 耳 一Ａ と は 一 般 に な ら な い の で あ る ，. － ７１ －.
(6) . ｉｏｎ Ｉ Ｃ） ｉｏｎ （Ｓｅｃ ｉ ｔ ｉｖｅｒ ｔ ｉｄｏ Ｕｎ ｔ ｌｏ ｆ Ｈｏｋｋａ ｓ Ｊ ｙ ｏｆ Ｂｄｕｃａ ｏｕｒｎａ. ＶＯ １ ，１ ，２１ Ｎｏ. ｊｕｌ ｙ ，１９７０. Ｆｉｇ ，３. Ｂ. 口. 矛. 盾. 一般に矛盾 と言う言葉は， 余りにも不用 意に使われ過ぎているきらい がある． （表参照） 即ち 不合理なもの （不合 理は一般社会通念に理解され度い） を矛盾と言っ ているが， この意味を 確か なものにするため， 生徒には次 のような説明を与える，「矛盾とは， 排中律に反することを言う」 即ち， Ａを仮定して推論を進めて行き， 結論として五が出ると， これを 矛盾と言う． これは一つ のものを 「犬でありかつ， 犬ではない」 と断定する事で ある． しかし排中律を認 めない社会では. これ叉不都合はないであろう （我々から見ると一寸変に見えるかも知れない が） この社会では証 明法のみ 考えて背 理法が使用出来ない世界であり， 我々の知識は大 巾に狭められるだろうと言う ２ ）は達せられた と思う． 事は， 推則できるであろう． 以上 で目的｛ 皿. 背 理 法. １ ）を完遂さす為， 「命題とそ 排中律及び 矛盾の意味が確かなものになったと 思う． 従っ て目的（ の対偶 が同値であること」 と 「背理法の使用」 との関係を明 らかにする． まず， 対偶 とはＡ一Ｂに対して百一五なるものを言う． 従っ て単なる形式にすぎない事を明確 １の結果より 「命題とその対偶が同値であること」 はＡ→Ｂと排中律の二つ にしておく． 次に１１ の事実か ら得られる事実であり， 「背理法」 はＡ→Ｂと排中律の２つの事実から得られる論法で ある， と言う事 ができ る． Ｓ３ 虚数の実在性についての言及 虚数は二次方程式を常に解けるようにする為に， 全く苦しま ぎれにできた数であり， それは実 際に役に立たないものと思われていた． しかしこれが実在のものであると言う事は， 複素数がベ クトルを表わし， 力， 速度等を表現できる事から明らかである． （表参照） 叉一方虚数を含む互に 矛盾のない 数の公理系を構成し得ることか らも， その実在を 認めてもかまわない． （表参照） 以上で目的 圏は達せられる と思う，. － ７２ －.
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