式と計算

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第２学年数学科学習指導案指導者 ○○ ○○ １単元式の計算２指導観 ○ 文字のよさは、文字を用いることによって、いろいろな数量の関係や法則を簡潔、明瞭にしかも一般的に表現できることである。さらに、文字式に表現することで形式的に処理でき、新たな数量の関係を見いだすことができる。生徒は、第１学年で、数量を文字式で表したり、簡単な１次式を計算したりできるようになっている。第２学年では、第１学年で習得した１次式の四則計算の技能をさらに高め、目的に応じて式を変形することができるようにする。また、事象の中に数量の関係を見出し、文字を使って説明できることを理解する。さらにそれらの学習を通して、文字を用いて数量の関係を式に表したり、式の意味を読み取ったりする能力を養う。文字を使った説明は、後に学習する図形の証明で演繹的な推論の仕方を身につけていくことにつながる。さらに、ここではある事柄が成り立つことを一般的に説明できる文字式のよさを実感させることができる。このように、本単元は、文字を用いて数量の関係を捉え説明できることを理解し、文字を用いて式に表現したり、式の意味を読み取ったりする能力を養うために重要であると考える。 ○ 本学級の生徒は、事前のアンケートからは、８割程度の生徒が文字式に関して自分なりに理解できていると感じており、文字に対する苦手意識はないと思われる。しかし、レディネステストでは、第１学年の計算問題の正答率は高くなく、（６ｘ－９）÷（－３）の正答率は33.3％であった。また、「1本 a円のジュースと、1個８０円のパンをいくつか買うときに、３(a＋８０)がどんな数量を表しているのか」を記述する問題で、「ジュースとパン1つづつをセットにした３セット分の代金」と解答できた生徒は、4.8％しかいなかった。また、碁石の数を表した式から、どのような考え方でつくられた式かを読み取る問題で、具体的な数字で表された式については、６割程度の正答率があったのに対し、文字式で表された式については、正答率が２割程度に下がった。これらのことから、文字式の意味を十分に読み取ることができない実態が明らかになった。 ○ 指導に当たっては、まず、１次式の四則計算では、計算技能の確実な定着を図る。そのために、学び直しの機会を設定する。例えば、１次式の加法・減法の計算の場面では、まず第１学年で学習した（３ｘ－２）－（２ｘ＋５）の計算を振り返えらせる。そして、（３ｘ－２ｙ）－（２ｘ＋５ｙ）の計算が、第１学年の加法・減法と同じように「ｘとｙは一つにまとめられない」という同類項についての理解が深まるようにする。また、毎時間評価テストを行い到達度を把握し、できない生徒に対しては繰り返し学習により定着を図る。さらに、多項式の加減と単項式の乗除の後に習熟の程度に応じた学習の時間を設け、理解の遅れた生徒の補充をする。その際、多項式の加減については、連立二元一次方程式を解くのに必要な程度の式が計算できるように配慮する。次に、文字式を使った説明では、文字を用いた式を使って一般的に説明することの必要性や意味を理解させたい。そのために、具体的な事象の中から成り立つ関係を帰納的・類推的に予想させる。その関係が、いつでも成り立つことを一般的に説明するにはどうしたらよいかを生徒が考えるような揺さぶりの発問を行う。またここでは、数量の関係を文字式を使って表したり、式の意味を読み取ったりする能力を養う。そこで、これまでの文字式を使って説明する活動に重きを置いた指導から、表された式からその式の意味を読み取る活動に重点を変えて授業づくりをする。具体的には、数量の関係を説明する問題の扱い方を少し変え、文字式の意味を読み取り説明する活動を位置づけた授業を単元末に設定する。最後に、目的に応じた式の変形では、関係を表す式を変形することの意味やよさを実感させたい。そのために、式を変形して数量を求める場面で、まず、式を変形せずに数量を求めさせ、その後に、求める文字について変形し数量を求めさせる。その２つの方法を比較させることで、変形して数量を求めることの意味やよさを理解させる。また、変形する等式も、三角形の面積の公式など意味のある式を扱い、いたずらに複雑な式で無目的に変形の技術を向上させるような問題はさける。

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３単元の目標 ○ 文字式を用いた一般的な説明に関心を持ち、数量の関係を文字を使って表したり式の意味を読み取ったりしようとする。 ○ 文字式を用いた式で数量の関係をとらえ説明できることを理解できる。 ○ 多項式の加法・減法、単項式の乗法・除法、及び１次式の四則計算ができる。 ○ 単項式、多項式、次数、同類項の意味と１次式の計算の仕方を理解できる。４評価規準関心・態度見方・考え方表現・処理知識・理解 ①事象の中にある数量の ①文字式を用いた式で数 ① 同類項をまとめこと ① 単項式と多項式、次関係を見出し、文字を用量の関係をとらえ説明でができる。数の意味を理解できる。いた式で表そうとする。きることを理解できる。 ② 簡単な多項式の加法 ② 同類項の意味とまと ②事象の中にある数量の ②数量の関係を予測し、や減法ができる。め方を理解できる。関係を表した式の意味を文字を用いて一般的に説 ③ 単項式どうしの乗法読み取ろうとする。明しようとする。や除法ができる。 ③式を変形することで処 ④ 多項式に数をかける理が簡単になることを理計算ができる解できる。 ⑤ 文字に数値を代入し ④事象の中にある数量の式の値を求めることが関係を表した式の意味をできる。読み取る事ができる。 ⑥ 目的に応じて、簡単な式を変形することができる。５指導と評価の計画 (１４時間) 節学習活動・内容指導上の留意点評価方法１１具体的な事象の中の数量を文字 ○生徒の表した文字式を多項式と単項知① 小テスト式で表す。式に分けて比較させ、多項式、単項式、次数の意味を理解させる。２同類項の意味を理解し、分配法 ○第１学年で学習した文字の項と定数知② 小テスト則を使って同類項をまとめる。項を別々にまとめることと比較しなが表① ら、同類項のまとめ方を理解させる。３多項式の加法と減法を計算す ○第１学年の１次式の加法と減法と比表② る。較しながら、多項式の加法、減法の計小テスト算の仕方を理解させる。４自分で課題を持って加法減法の ○習熟の程度に応じて課題を設定し、表② 計算をする。連立方程式を解くのに必要な程度の数小テスト式の計算に習熟させる。５単項式の乗法を計算する。 ○具体的な事象を例に挙げ、文字式の表③ 乗法の仕方を説明する。小テスト６単項式の除法を計算する。 ○第１学年で学習した逆数をかけるこ表③ とを提示してそれをお手本に計算する小テストことを徹底する。８整式に数をかけるなどの四則の ○第１学年で学習した分配法則を提示表③ 混じった計算ができる。し計算の仕方を理解させる。小テスト７自分で課題を持って四則の混じ ○いたずらに複雑な計算練習にならな表④ った計算をする。いように留意する。小テスト９文字の値を代入し式の値を求め ○式を簡単にしてから代入すると簡単表⑤ ることができる。に計算できることを実感させる。小テスト

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２１いろいろな数量の関係を文字を ○ある命題を説明する場面で、数量の関① ノート記述用いて説明する。関係を帰納や類推によって発見的に捉見② 小テストえ、一般的に説明することの必要性と意味を理解させる。２等式を目的に応じて変形する。 ○目的意識がもてるように具体的な事表⑥ 小テスト象の中で式の変形をする。見③ ３１カレンダーに含まれる数の法則 ○式の意味を読み取る方法とその手順関② 学習プリンを式から読み取る。を理解するために、読み取りモデルをト作成する。２真ん中の数をｘとして、ｘを対 ○式の意味を読み取るてだてとして、見④ 学習プリン称の中心に並ぶ数がｘの個数倍に構造に着目したヒントの提示をする。トなることを説明したり、真ん中の【本時】数をｘとして説明した式の意味を読み取ったりする。３対称性をともに、新たにカレン ○読み取る意欲を向上させるために問見④ 学習プリンダーの数の法則を証明したり読み題づくりによる友達の表した文字式をト取ったりする。提示する。６本時 (1) 指導観前時は、時間の始めに既習の「連続する３つの数の和が、３の倍数になる」ことを説明させた。その後、ｘ＋（ｘ＋１）＋（ｘ＋２）＋（ｘ＋３）＋（ｘ＋４）＝５（ｘ＋２）の説明の式だけを見て、「カレンダーの横に５つ並んだ数の和が、５の倍数になる」ことを読み取る活動をさせた。その際、カレンダーのある数をｘとして、ｘ＋１、ｘ＋２、ｘ＋３、ｘ＋４がカレンダーのどの数になるのかを生徒とのやりとりをしながらカレンダーに示していき、５つの数の並びを明らかにした。こうして、文字式で表された事象を明らかにしたものを以降文字式の意味を読み取るときのお手本とするために「読み取りモデル」として教師がまとめている。また、最初の式と最後の式に「何は－どうなる」という命題の意味が含まれることを押さえた。最後に「読み取りモデル」（図１）にならって、他の式を教師が見つけた法則として提示し、式の意味を読み取らせる活動を行っている。本時は、同じカレンダーの問題を使って、真ん中の数をｘとした説明の式から、「何は－どうなる」ことを説明した式かを読み取る活動をする。まん中の数をｘとして、ｘを対称の中心として点対称に並ぶ数がｘの個数倍になっていることを見つけ出す活動をする。初めに横に並んだ３つ数の和が３の倍数になることをまん中の数をｘとして説明を考えさせる。次に、「縦に並ぶ３つの数の和は、３の倍数になる」ことを説明した式だけを提示し、前時と同じように「読み取りモデル」にならって、命題を読み取らせる活動を行う。その際に、読み取りができない生徒に対して、「ｘを９とすると、ｘ＋１はどの数になりますか」と構造に着目したヒントを出しながら、図の中に印を入れさせ式の意味を読み取りらせる。このとき、それでも読み取りがすすまない生徒に対しては、ｘを９としたり、ｘを１２としたりしてｘの数を変えていくつかの場合の具体的な数を考えさせることで、生徒自身にその構造に気づかせるように留意する。最後に、３つ並ぶいろいろな数の和が、全てまん中の３倍になっていることを明らかにした後、それらを１つに図示し、ｘを中心に点対称になっていることに気づかせていきたい。 (2) 主眼真ん中の数をｘとしてカレンダーの中に潜む法則を説明したり、読み取ったりできる。図１読み取りモデル

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(3) 展開学習活動指導上の留意点１前時の横に３つ並んだ数の和の説明のほかの解き方を考える。 ○前時の横に並んだ３つの数の和の説明の式を (1) 前時を想起する。見せ、ほかに説明の仕方はないかを問い、真ん (2) 真ん中の数をｘとしたときの説明を考える。中をｘとして説明はできないか問いかけ、説明（ｘ－１）＋ｘ＋（ｘ＋１）をノートにさせる。＝ｘ－１＋ｘ＋ｘ＋１ ○真ん中の数をｘとしたときの証明を、簡単に＝３ｘ説明しまとめる。２めあてを知る。めあてｘにするものを変えて、カレンダーの法則を見つけよう！３問題１を解く。【問題１】右の式は、図のカレンダーのある事柄を説明 (ｘ－７)＋ｘ＋(ｘ＋７) した式です。｢何が｣｢どうなる｣ことを説明した＝ｘ－７＋ｘ＋ｘ＋７式かを読み取り答えましょう。＝３ｘ (1) 自分で、問題1を解く。 ○まず、生徒に３分ほど考えさせ、その後全体ｱ)「何が」の式を読み取る。で読み取りを進める。・「縦に並んだ３つの数の和」 ○教師がカレンダーの中に仮のｘを示して、そｲ)「どうなる」の式を読み取る。れを基準にｘ－７、ｘ＋７がどれになるかを問・「真ん中の数の３倍になる」いかけ、文字で表された３つの式が、縦に並ぶ (2) 読み取った意味をモデルに習ってまとめる。３つの数であることをカレンダーに表された図４問題２を解く。で確認する。【問題２】右の式は、図のカレンダーのある事柄を説明 (ｘ－６)＋ｘ＋(ｘ＋６) した式です。｢何が｣｢どうなる｣ことを説明した＝ｘ－６＋ｘ＋ｘ＋６式かを読み取り答えましょう。＝３ｘ (1) 問題を解く。 ○問題１と同じようにすすめる。ｱ)｢何が｣の式を書きだし、式を読み取る。 ○カレンダーの中に式を示しながら、式の関係・｢斜めに並んだ３つの数の和｣を読み取らせる。ｲ)｢どうする｣の式を書きだし、式を読み取る。・「真ん中の数の３倍になる」 (2) 読み取った意味をモデルに習ってまとめる。 ○＜法則＞の表現として、「斜めに並んだ…」の表現が、的確であるかどうかを活動５のような並びとの区別をさせるために、図で確認する。５問題３を解く。 ○同じ斜めでも、右下がりの斜めでも同じことがいえるかを問い、生徒にその説明をさせる。【問題３】１２３４５６７右の図の○で示したような斜めに並んだカレンダーの８９ 10 11 12 13 14 ３つの数の和は、真ん中の数の３倍になります。このこ 15 16 17 18 19 20 21 とを文字式を使って説明しましょう。 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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(1) 問題を解く。 ○問題１、問題２が解けなかった生徒は、問題斜めに並んだ３つの数をｘ－８、ｘ、ｘ＋８と３の説明の式、おくと、（ｘ－８）＋ｘ＋（ｘ＋８）３つの数の和は、＝ｘ－８＋ｘ＋ｘ＋８（ｘ－８）＋ｘ＋（ｘ＋８）＝３ｘ＝ｘ－８＋ｘ＋ｘ＋８から、「何は－どうなる」ことを説明した式な＝３ｘのか式の意味を読み取る問題に換え、問題を解ｘは整数なので、３ｘはｘの３倍となる。く。よって、斜めに並んだ３つの数の和は、真ん中の数の３倍になる。６今日のまとめをする。 (1) ３つの数の和のきまりを考える。 ○３つの数に関する規則をカレンダーの中にか・問題１・２と３つの数の規則をカレンダーの中き込ませ、気づいたことをまとめさせる。に書き入れる。１２３４５６７ ①横に並ぶ３つの数の和は、真ん中の数の３倍。８９ 10 11 12 13 14 ②縦に並ぶ３つの数の和は、真ん中の数の３倍。 15 16 17 18 19 20 21 ③斜めに並ぶ３つの数の和は、真ん中の数の３倍。 22 23 24 25 26 27 28 ＜法則＞ 29 30 31 点対称に並ぶ３つの数の和は、真ん中の３倍 (2) どうしてそうなるのかを考える。 ○教師が、考えた法則が式のどこから分かるか・必ずｘ以外の２つの数の和は、符号を変えた数を問いかけ、説明の式の第１式を見るとｘの両の２つの数の和になるのでちょうど定数項が打ち脇の数の定数項が、符号を変えた数になってい消しあう。ることに気づかせる。