円周方向の分布ばねで支持された円環の一様外圧による構面内弾性座屈について

(1)

1

論　文】 UDC ：624

．

074 ：624

．

075

．

2 口本建築学会構造系論文報告集第397 号

・

1989 年 3 月

円周方向

の

_{分布}

_ば

ね

で

_支持

さ

れた

円環

の

一

_{様外圧}

に

よ

る

構

_面

内

_弾性

座屈

に

つ

い

て

正会員　日

置

興一

郎

＊　

1．

序　せん断力を伝える円筒状のラチス構造や薄肉シェルで支持された円環の_，外圧による座屈耐力を簡潔に表す

_式

を求める

。

　円環の座屈については，座屈後における作用荷重の方向性により

，

座屈荷重が異なることはよく知られている］L2h が_，円筒シェルでは

，

方向が変形後も法線方向の液圧を考えた解析結果が多くZ｝

−

5｝

_，

_{方向不変}_の_{外圧や} ，常に_中心方向に向く外圧を含めて

，

二層ラチスシェルや

H

形断面の円環では影響のありうる

，

せん断変形の影響を考慮した簡潔な結果は著者には見当らなかった

。

　円筒シェルやア

ー

チの座屈解析は

，

数値解法で非線形域まで詳しく解かれる方向にある6 ）

。

しかし_， _線_{形分}_岐現象に限っても

，

座屈荷重とモ

ー

ドを式の形で示す解析解は

，

非線形分岐座屈に対し

，

また設計上でも

，一

つの規準値として役立つと考えられる。　そこで本論では，構造物としては円周方向に支持する分布ばねで支えられ

_，

せん断変形を考慮した_弾性円環を考え_，荷重としては

，

座屈後に_{方向}を変えないもの

，

法線方向を維持するもの

，

常に中心を向くものの 3種の等分布外力を考えて

，

座屈解析を行う。　この_構造モデルは

，

異方性円筒シェルが両端で単純に支持され，外圧を受ける座屈において

，

円周方向の曲げモ

ー

メントと面外せん断力

，

および両端支持円板に力を伝える面内せん断力に関するひずみエ _ネルギ

ー

のみを考慮したものに当る

。

またここで取扱う荷重は

一

様分布外圧であるから

，

円環は座屈直前まで完全な円形であり

，

座屈は線形分岐現象である

。

したがってエネルギ

ー

理論による座屈現象の分析1L7 ）は行わず

，

解の誘導の_{簡単}な微小有限変位に対するつりあい式を用いる方法による

。

2．

記　号　　　 r ：環の半径　　　　 E∬ ：環の曲げ剛性　　　　 EA ：環の伸び剛性　　　　

GA ’

：環のせん断剛性　　　　

R

制が曲げと伸びの相関剛性図

一

1　形状の概念図 ‡ 大阪市立大学　教授

・

工博　（昭和 63 年 10 月 10日原稿受理1 　　　　 P

藩

，

際

曲・

ζ

ゲ

図

一

2要素の変位と外力の方向　　　　 RQ．：せん断と伸びの相関剛性

　　　　 RQ

” ：せん断と曲げの相関剛性　　　　　 c ：切線方向の分布支持ばね定数　　　　　w ：環の _{内向}き変位　　　 v ：環の切線方向変位　　　　　 φ：環の_横断面の回転変位　　　　　 ρ ：環の変形後の曲率半径

M ＝M

＊＋

M

：曲げモ

ー

メント　

N

；　N ホ_＋N _：_{軸力} 　

Q

；

Q

＊_十

Q

_：せ _ん_{断力} 　　　　　＊ _：分岐直前の応力を示す　　　　無印：分岐後の増加分を示す　　

D ＝d

／dθ ：θ に関する微分演算記号　　 p。

＝

諏：変形後も方向を変えない外圧　　ρb

＝

瓦

4

：変形後も法線方向に作用する外圧　　 p，

＝

π遮：変形後も中心方向に作用する外圧　　　　　

A

：荷重パラメ

ー

タ　

3、

仮　定　1 ）環は_完全な円形で

，

曲げ

，

せん断

，

伸びの剛性が

一

_様_な_{弾性}_体_{とする}

_。

2）荷重は完全に

一

様な内向きで

，

変形後の_作用方向については_，方向不変の Pa

，

_{変形後も法線方向}_{の ρ b} ，常に中心方向の _pcの

3

_種とする

。

　4

，

基礎方程式　4

．

1 つりあい式　形状と荷重の回転対称性から

，

座屈直前の形状は完全に円で

，

応力状態も

一

様であることから

，

座屈は対称分

一 104 一

(2)

岐である

。

そこで_，座屈後の微小有限変位状態に対してつりあい式を立てる

。

　変形前のつ _{りあ}い_式は式（1 ）となる

。

　　　N ＊

＝−

_r （Pa十Pb十ρc）　　　 M ＊

＝

₀

・

……tt・

一

…………

_{（1 ）} 　　　

Q

＊

ニ

₀

変形後のつ _{りあ}い式を

，

微分記号として

D −・

d

／

d

θを用い _，変形後の切線方向

，

法線方向と

，

回転に_対して立てる

。

｝

・

N

−

9 −

・v ＋

＠… ）・

穿

・・一・

÷

・

袴

・・a＋・・＋・・

一

・

DM −

rQ

＝

0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2 ）　ここで

，

ρは変形後の曲率半径で，式（3）で表される

。

｝

一

_÷

_・

_÷

_（

_D2

_{＋・}_〉_・

…・

・

………・

……・

・

_（_・_）

式（1 ），（3）を式（2）に代入し

，

座屈後の変位あるいは応力の 2乗以上の高次微小項を無視すると，座屈後変位の零次項は

，

座屈直前のつりあい条件式（1）で消えて_， _{座屈}_後変位の線形項だけが残り

，

式（4）を得る。

÷

［

マ

矧

1

・

÷

「

i

_部

畿

・・

i

］

1 −

i

・

…

tt・

・

…

　〔4）　

4．

2　ひずみ

一

変位関係式

断面力

N

，

Q

，　

M

に，積が仕事をする意味で対応するひずみを ε

，

γ

，

x とすると

，

仮想仕事の原理から得られる「つりあい _方程式の行列が定数係数の微分表示の場合

，

応力と外力に対応する，微小変形と微小変位の関係式の行列は

，

っ _{りあ}い式の行列の奇数回微分項の符号を変えての_{転置行列}である」という定理s ）から_，式〔4）より

，

ひずみと変位の _{関係式}は式（5）となる

。

i

−

｝

［

1 爵

1

講

…… ……・

一

_… 　4

．

3　断面カ

ー

ひずみ関係式（弾性則）　環の_弾性則を式（6 ）で与える。

1 一

隱

鞍

］

i

−

…… ・・

_… ここで

，

_{線形弾性則}より，添字の交換が成立し

，

円環の性質から

，RMN＝RNM

は

，

式（7）で与えられる

。

RMN＝RNH＝EI

／r

・

…

r・

・

…

r−・

・

一・

・

…

　（7 ｝　4

，

4

　変位に関する微分方程式　基礎方程式（4 ）（

5

）（

6

）から

，

ひずみと断面力を消去すると

，

変位に関する方程式（

8

＞を得る

。

［

− DlO

−

₁

−

_DO Or

− D

］

隰

縮

］

臑］

迂

_∵

ゆ

聯

噛

i

］

1

−

i

・

9・

・

…

tS・

・

…

　（

8

｝式

_（8

）を整理すると，式（9）となる

。

［

li

lii

lii

］

1 −

i

−

一

…

_… ここで，行列［ん」を

，

Fourier級数展開時の sin と cos の分離性を考慮し

，

式（10 ）のように二分する

。

［Awユ

＝

［B‘」］十［c‘」］

・

………・

・

……・

・

…

（lo）

，

ここに，

BI1＝− EAD

！十

GA ’

十 r2c

−

rPa

Blt

；（EA 十GA

’

）D

−

r（Pa十Pc）

D

B21＝一

（

EA

十

G

∬ ）D

Bl3＝B

コ1

＝− RN

”

D2

十 rGA

’

Bz

：＝

− GA ’

D2

十

EA

十 r〔Pa十Pb十

Pc

｝（

Di

十1）

B2sニーB32；一

（

R

柵十rGA

’

）

D

B33

＝−

E∬

D2

十r！

GA ’

C

，，

；

O 　　 Ci2

＝

C21

＝− RQ

〜（

D2

十1）　　 C13

＝−

C肌

＝

〔ReM

−

rRQN）

D

C13”

　Cs：

＝− RQ

．

D2−

rRQN

5．

座屈荷重とモ

ー

ドの算出 5

．

1 _方法

・

…………・

…

_（11）

…・

・

…・

・

……

_（

₁₂

_）　座屈時の_荷重型の大きさの比例関係を

，

荷重パラメ

ー

タA の係数として式（13）のように示す

．

Px

＝

πZL

（x

＝

a，

b

，

c）

・

t−・

・

…

一・

・

…

_（_{13 ）} 　任意の変位モ

ー

ドを仮定し

，

つりあい式（9）に代入し_，それを満足する最低の荷重パラメ

ー

タA を求める。　5

．

2 座屈モ

ー

ドの_表_現　円環であるから

，

任意の変位は θ について2πの周期性があり

，

式（14 ）で_表せる

。

　　　 v　　　　　VnCOS 　nθ十 v_鳧sin 冗θ

qp 　　　　　　　　　　　　　　　　 w

＝

Σユ　Wnsin 　nθ十WnCOS

’

　　　（　nθ

……・

…・

14

）　　　 n

＝

o 　　　 φ　　　　　晦COS 　nθ十_φ鳧sin 　nθ ここで簡潔化のために

_，

以下の記号を導入する

。

　　　 v　　　 Vn　　　 vA　　 O

　　　W ＝　

zo _，Wn

＝　

Wn

_，W

乳

；　

w乳

_{，0 ＝}

0　・

・

…

（

15

）　　　　　 φ　　　 φπ　　　 φら　　 0

一

₁₀₅

一

(3)

Sn−

［

cosn θ　　0　　　

0

0

　　sin 　nθ　　0 　　0　　　 0　　cOS 　_{n θ}

］

・・

一

［

sin　n θ　　0　　　 0 　　

0

　　cOS 　_{n θ}　　0 　　0　　　 0　　sin 　_nθ

］

・

……・

_（_{16 ）} したがって

，

変位式（ユ

4

＞は式（17_）となる

。

　　　　　の

▼「＝ _Σ］（

Sn

▼Wn十

S

_．V「

A

_〕

…

77…

−7r・

・

…

_P・

・

_（_ユ

7

_＞　　　 n

≡

0 　

5．3

　座屈方程式

［

Bu

］の

D2

を

一

n2 に

_，

B12，

　Bs2の D をn に

，

B ，

，

_，

B2，の D を

一

n に置換した行列をBn_，［Bw ］の

D2

を

一

n2 に

，

　Bl2_，　

B32

の

D

を

一

n に

，

　Bll

，

　Brsの

D

を n に置換した行列を」隣

，

［

C

“］の D ： _を

一

n2 に_，　

CI、

_，

C3

_，の D を

一

n に置換した行列を Cn

，

［Cw ］の

D2

を

一

がに

，

C13，　

C31

の

D

を n に置換した行列を

Cfn

とする。

式（91 に式（11 ）

，

式（17＞を代入すると式（18）となる

。

Σ （［

B

、」］＋［

C

σ］）（

S

π鵬、＋

S

．WA ）； 0

・

……・

…

（18）　　　 n

＝

o 式（18）で微分演算を行うと

，

この節で定義したスカラ行列Bパ

・

crn

を用いて

，

式（ユ9 ＞となる

。

m

Σ

1

（

8

。（

8

。監＋

C

臼

W

つ＋

Sn

（

Cn

Wn

＋」

1

。　

WA

｝｝＝ 0 　　　 π

己

o 　　　

鹽

’

”・

・

…

　（

19

）式（19）が任意の θ に対して常に成立する条件は Fourier級数の_{直交性}から式（20 ）であり

，

各n ごとの座屈方程式となる。

［

謹

撒

一

_窪

_｝

一・

…・

………・

・

_（_…

固有値方程式は式（

21

）で

，

座屈荷重パラメ

ー

タは

_，

各 n についての解の _中の _{最小}_値として定まり，それに対応して座屈モ

ー

ドが定まる。　　　 B

．crn

−

＿

；

0

・

……・

・

……・

・

………

（21）　　　 Cn　

9 ．

　Ct

」項のすべてが零ではない場合

，

すなわち

RqN，

RQ

．のいずれかが存在する場合には

，

監と罵が相関し_， v_， ω ， φはいずれも円関数ではあるが，それらの位相差が π／2の倍数とは限らなくなる。　

6．

剛性が特殊な場合　6

．

1　各剛性の_効_果の_{検討法}

すべ _ての剛性を含めて

，

式の形で解き下すことは煩雑に過ぎるので

，

剛性の

一

つを_{無限大}にした場合を解いて

，

各剛性が座屈性状に及ぼす効果を検討する

。

　6

．

2 軸力と曲げのせん断との相関剛性が無い場合　せん断剛性が軸力にも曲げにも相関しない場合

，

式（22）が成立する。　　　RQ揮＝ O

，

RQH＝

0

…………・

……・

………

（

22

_）

一 106− ．

これは

_，C

〃

＝o，

したがって

，

Cn

＝

（

Cln

　＝　

O

で

，

座屈方程式は式（23 ）のように分離される

。

　　　 Bn

＝

Wn

＝

O，　BnWZ

＝

0

………・

・

…・

・

一 …・

…

（

23

）固有値方程式は_，両行列の行列式が常に等しいことから

，

式（24＞となる

。

lBnl

≡

IBnl

＝

0

・

…

_tt・

・

…

（

24

）

このとき，監型と

W

夐型の固有値は重根で同じ座屈荷重を持ち

，

座屈モ

ー

ドは耽型で θ の_原_点が任意となる

。

　 6

．

3　せん断剛性が無限大の場合　せん断剛性が無限大，したがってせん断ひずみ零の弾性則は式（

25

）である。　　　 γ

＝

0

謡

一

隰

E

綜

………tt・

……一

_・_…

したがって

，

変形

一

変位関係式は

，

式（

5

）に _γ

＝0

を代入し式（26）となる

。

1 −

_÷

_に

9 _二

_議

一

…・

……・

・

…

_・_… つりあい式で

Q

を消去すると

，

式（

27

）（28 ｝を得る

。

　　　rQ

＝

DM

・

…………・

…・

………・

（27）

［

一

TD 　

D

−

_r

−

_D2

］

1 　

・

「

2

∵

諦

潔

温

、

］

81 −

1 _：

・

…

t−tt…

　（28 ）式（28 ）に_{式（}25 ）（26_）を代人して

，

式（29 ）を得る

。

［

F

”　

Fn

］

v °

……・

・

…

_…₂₉_・ここに

_，

瓦、

一一

ギ

）

・・＋

等ダ

・・一

｛

ギ

ー

1

」

醗

）「3

｝

・

F

，，

一

（

A

， 21

−

J

）

・

・，、

一

ギ

ー

1＋（・・_＋₁ ）i 　　　（ρa十Pb十 ρc）r3

＋

　 Er 　

（

D

’ ＋1｝

………

_（₃₀_）式（29 ）に式（

31

）に代入すると_，式（32 ）となる。　　　V＝ V πCOS 　ne 　　　　　　　　　　　

・

…・

………・

・

……・

…・

（31 ）　　　W

＝

Wnsin 　nθ

臣

：

募

：

］

舗

・

…・

………

（32 ・ここに

_，

瓦一

・

げ

一

・

）

＋ c7 ’

言

鯉

(4)

瓦

、

一

・

（

Ar2 　　　

−

1 　∬

）

一

・（

等

写

∂γ 3

瓦一

・

（

A

ヂ

2

−

₁

）

−

_A

_〆　　　　　

F22

＝

−

− 1

十_（ガ

ー1

）2 　　　

1 −

_（_n2

−

_1）（P・＋

寄

2z

・

…

_（

₃₃

_）固有値方程式は_，式（32）の行列の行列式を零と置いた式（34 ）である

。

Fll

Fl2

−

一

＝

0

…

　　　 F2，　 F，，すなわち

，

Ar

：

（

一1

）

［

・・（・・

− 1

＞・＋

・

…

一・

一

・

…

一

_（_{34 ）} 　　　C〆

l

EJ

　（n2

−

1）2p α十 nZ（n2

−

1）

Pb

十nZ（nt

−

2）

pc

・（n・

−

₁ ）

（

n・

一

・

一

EIPa 十

Pb

十

Pc

ー

　 7

EI

・・

）

（・・

一

・∂ 　　　　 r3

’

EI ＝

0

・

…

−t・

・

…

−t…

t−・

・

…

　（

35

）　解である荷重パ _ラメ

ー

タノ1の漸化式は

，

式（36 ）となる

。

・圃

一

素

［

・… ’・・’

−

1

厚

｛

・〕

］

・

一 …

（・6）ここに

，

　　　P

＝

（n2

−

1）湎十nt（n2

−

1）瓦十n2（n2

−

1）瓦　　　　

・

一・

・

…

　（37）

Xl

・・

一

｛・’

− 1

）

（

が＋耐

嗇

＋

医

・

_… 一

互

。

1

イ（・r

−

PttA

・m

−

t｝

）

一

_（_{38 ）} 　第

一

近似は_， 4〆》 ∬ の精度で

，

式（36）で X剛

＝

₀ と置いた式になる。　6

．

4 軸剛性無限大の場合　弾性条件は_，式（6）で

EA

→ ・・ _{より} ，式（39）となる

。

　　　ε＝ 0

　訓

奚

藷］

：

…・

・

…・

・

………

・39 ・ひず

み一

変位関係式は

，

式（

5

）で式（

39

＞を考え式（40_）となる。　　　w

＝Dv

H

ぴ

♂

16

］

；

……一・

一 …・

……

・… つりあい_条件式は_，式（4 ｝で N を消去し_，式（41 ）となる

。

　　　1V

＝−

DQ 十 r （Pa十 ρb十p

．

XD2

十1）Dv

　［

D2

十

1

0

　r 　

− D

］

諺

・

［

「c

’

_”

_ID2

_＋_11t

−

_P

鰭

＋’）

D ！

−

Pc（

Dt

＋2）

D

：

］

．

v

_{＝ o ＿＿，}

_{＿＿＿＿．}

_．

_＿＿．

_．

_＿．

_＿

（41 ）　　　 φ　 0 式（41）に式（39）（40）に代人して

，

式（42）を得る。

　［

G ，

，

G 】

2Gtt 　

Gn

］

翻

………・

・

………・

・

_・_… ここに

_，

G

，［；

GA

’

（

Di

十1）2十〆c 　　　　　

−

rlPa（

D

！十1）2十_p，

D

！（

D

！十1｝　　　　　十 ρcDt （

D

：十

2

｝

1

…・

（

43

）　　　

G12；

（rGA

’

十

R

酬

D

）（

D2

十

1

）　　　

G21＝

（rGA

’

− RQ

川

D

）（

D2

十〇　　　G22

＝

rZG4

’

−

EID2 変位を式（44）の形に置く。

謡；

：

1 ：

徽

翻

…………

・・4 ・　

G

‘丿で

RQ

” を零と置き

DZ

を

一

ntに置換した値を

Gw ，

Gn

で rGA ’ を零と置き

D2

を

一

n2 に_，　

D

を

一

n に置換した値を

Gl

，とする

。

式（

44

＞を式（42）に代入して

，

微分を行い

，

_{式（}

45

_）を得る

。

Gu

GI20

　α2

G2

匚

G22

α20 0　α2G1 躙Gn Gl2　0　G21　

C22

η 　

π

！

π

’

陀 ” φ り φ

0000

・

…

_（_{45 ）} 　固有値方程式は_，式（45）の係数行列式を零と置いた式（46）となる

。

　　　［

GllGt

！

一

（

G12

） 2

−

（

G12

＞2］2

＝

0

・

…

−t…

t−・

・

…

　（46 ）

．

式（46 ）から式（

47

）となる

。

　　　［（GA

’

）げ

一

1）1 ＋〆C

−

r_瑚ρ。（π

一

ザ＋瓦 η2（n！

−

1）

＋_πη2（冗L2 ）｝］

　　　　 X（冗2EI ＋〆

G

、

4’

）

一

〔π2

− 1

）21（rGA りt＋n2RU ＝

0

・

…

一・

・

…

　（47 ）これを解き，荷重パラメ

ー

_タ_は_{式（}₄₈_）_{とな}_る。

。

．

L

r，＋ nZ・n2

−

llz

（

1

一

雖

・

）

_．

_{＿．．}

（48 ）

P

　　畚

・

器

　曲げとせん断の_相関項

RQH

の存在により，座屈荷重のリング作用項は_，比率で（瑞鯉／

GA

’

_EI ）だけ低下する

。

　せん断変形の効

・

果は_，リング作用項において現れ

，

曲げ変形のみを考える式に換算するには_，低減された曲げ剛性として式（49）の（

EI

）

。

ft を使えばよい

。

EI

・

…

t・

・

…

tS・

・

（49）　　　（

EI

）erf ＝　　　　n2EI 　　　 l十　　　　r℃！1

’

一

107 −．一

(5)

　座屈モ

ー

ドについては

，

ω

＝

Dv で_， ω_n

＝

nVn となり_，位相差が π／η ある cos 型であり

，

　 Vn／Wn の振幅比は n に逆比例して_小さくなる

。

φは

，

RQM の存在によって v に対して位相差を生じる。　せん断剛性が

，

無限大の場合（曲げ変形のみ考慮の場合）

A −

t

_［

rc ＋nZ・治 1

欄

・

…・

・

…・

一

（・・）式（50）は

，

式（36）で X圃

＝

_O_と置いた式に

一

致する

。

これは_，せん断剛性無限大の_場_合に_軸_歪の _{影響}は

X

｛m）にのみ含まれ

，EA

〆》

EI

の精度で無視できることを示す

。

　曲げ剛性が無限大の_{場合（}せん断変形のみ考慮の_{場合）}

・一

÷

レ

c＋（

蝉

Gガ

］

一・

（・・）　6

．

5 曲げ変形のみを考慮した場合の荷重型の効果の　　　比較　伸び剛性とせん_断剛性を各無限大とした_結_果の_{式（}50 ）において，荷重の型による座屈荷重の相違を比較検討する

。

式（

50

）において

，

p。

，

ρb

，

　p，が各々単独に作用する場合の_結_果は

_，

それぞれ式（52 ）（

53

）（

54

）となる。 Pa

「

。

砦

1ア・

曝

（n ≠ ・）

・

…・

・

………・

（・2）

・・

一

詳

1）・（n2

−

1）

？

／

（・≠・

・

1）

一

（53 ）

・・一

扁

≒

）・（n2

−

1）2El 　　　　　　　　　（n≠0

，

1）

・

…

　（54 （n2

−

2）rS ）　剛性の全領域での値を図

一3

に示す。横軸に 0

．

01 rc／（

o．

01

　rc ＋

E

_〃r3_＞

_，

縦軸に ρ／（o

．

Ol　rc ＋EI／r3）を採る。横軸の領域は［O

，

1］で

，

0は支持剛性零の単純な円環

，

1は曲げ剛性が支持剛性に比べ _{無視}_{され}

_，

_支持剛性だけで形状が保たれている場合である

。

係数 O

．

　Ol_は

，

_{図を見やすくす}_{るため}の定数に過ぎない

。

　n

＝

1のモ

ー

ドは剛体並進変位で

，

_弾性不安定はないe n

＝

0のモ

ー

ドは剛体回転で

，

_Pa に対しては支持ばねのみの変形による_，弾性不安定が存在するが

，

Pb

，

ρ。に 99

卜

り

嚇

5 寸　 n 　 d 　 H

　 4

_、

冨＋。当

。

_．

o 　　 0 　　　0　　0

．

1　　0

．

2　　0

．

3　　0

．

4　0

．

5　　　　　　　　　　　　　　1 　　　 0

．

Olrc 　　　 O

．

OltC

＋

Eltr3 図

一

3曲げ変形のみを考慮した場合の

，

各荷重型に対する座屈　　　荷重とモ

ー

ド

一

₁₀₈

一

対しては生じない。単純円環の弾性座屈は，よく知られているように

，

n

＝

2で生じ

，

式（55）の形とされている

。

P・・

−

4

罪

一

_畢

_・

_{暢甼}

_｛

………

_（_・・_〉しかし，

p。

．

については，支持弾性 c が存在しないと

，

n

＝O

モ

ー

ドで p

。

＝0

の不安定が存在して

，

現実には式（55）の ρ

α

。

＝

4EIIr ’ は生じない

。

_ρ_b_。

，

　_p_。_r は

，

　c

；

0 で生じる

。

　荷重型により

，

生じるモ

ー

ド（n _{値｝}の剛性比の領域が多少異なる

。

荷重値は液圧に当たる法線方向作用の Pbが低く

，

　_Pa とp、は cr の比較的低い領域では差があるが

，

支持剛性が強く効く領域では差が少ない

。

p

。：

Pb

：

Pc

の比をリング効果あるいは支持弾性効果のみで見ると

，

式（56）のようになり， p

。

＞Pa＞ρbであるが

，

n の増大と共に 1に近づく

。

Pa ・_P・…

＝

・

：1・

1一

素

・

1

・。

呈

，。

・

一

_（・6）　座屈荷重とモ

ー

ドの具体的算出法　座屈値を求めるには，すべての n に対する固有値の中から最低値を捜せばよい

。

具体的には

，

n を連続量と見て

，

_p を n で微分して _p の極値に対応する n の _実数値を求め，その近辺の n の整数値に対して p を算出し

，

離散座標 n に関するp の極小値があれば

，

それが座屈荷重であり

，

対応する n で座屈モ

ー

ドが定まる

。

　ρa について示すと，以下のようになる。

參

一 _・一 _・

［

tv｛

一

，

黯

司

一

・

…・

…一 …

・57）したがって_，　　　 s2r4C 　　　　　　　　　　　　　　　　→

−

1　

・

…

（58 ）　　　n

＝

O

あるいは

，

n＝　　　　EI n ≠0に対する座屈p

且

。

値は式（59 ）となる

。

… n ・n−

［

（

va

・

古

）

Vff

・・

］

9 ｛

．・

一・

…

・・9・ n を連続量とした式（59 ）は整数での式（

52

）の_{下限}である

。

　Pb

，

ρc に対しても同様に行えるが

，

式が煩雑になる

。

そこで_，座屈モ

ー

ドを表す n の近似値を式（60 ）で求め，その近辺の整数値について調べればよい

。

．

62 〆c 　　　

−・

・

…

9・

・

▼

・

…

　（60）　　　n＝i 　　　

EI

座屈値の近似としては

，

crIEI が特に小さくない場合には

，p

_。，　

Pb

， ρc共通で， 2

−

3 割の誤差はありうる雑な近似ではあるが

，

式（61）を提出しておく

。

ρ

。

一

，

9・

E2

譬

c

……・

・

………

（・・_〉式（61）を図

一

3に鎖線で示してある

。

　6

．

6　せん断変形のみを考慮した場合　式（48 ）で

E

∬→ 。。と_し

，

_{各型}_の_{荷重}_{のみ}が_{作用}_す_る

(6)

場合を検討する

。

Pa

のみの場合　　　　　 rc　（n

−

0 ）

拓＝

尚

・

禦

・n

・

1

・

・_，・・

’

一

’

”

_（_{62 ）} 座屈荷重が最小になるのは第二式で， n→ Q。であるから　　　Pa

＝Min

（rc ，　

GA

’

／r）

…・

一一・

…・

……

（

63

）その座屈モ

ー

ドは

，

Pa

＝

rc の_{場合}は

，

　n

−

0の回転

，

それ以外は

_，

n→ 。。 _である

。

　 Pbのみの場合

・・一

誰

1

、・

（

₋

11

　　　nt

）

G

ヂ

〔・≠1 ）

・

…

_（64 ）せん断変形項は n が小さいほど小さく， n

＝

2で係数は最小の 3／4

，

n→ 。。で最大の 1となる

。一

方，　rc 項は n が大きいほど小さく

，

n→ 。。で零となる

。

したがって， Pbは

，

不等式（65 ）の範囲にある

。

響

・・、≦

早

…………・

一・

…・

・

…・

・

一・

（・・）　 Pcのみの場合

Pe

−

。，

葦

≒

、・（

鍵舞

（・≠・）

・

一・

（66 ）座屈荷重が最小になるのは

，

n→ 。。 _であり

，

_{支持弾性}は効かず式（67 ）となる

。

Pc

一

σ

5 ……一一・

一 ………・

……

（

67

）　

7．

結　び　円周方向の_分_布ばねで支持された円環の

一

様外圧による構面内弾性座屈を理論的に検討し

，

得られた主な結果は次のとおりである。　1｝座屈モ

ー

ドは ω が cos 　nθ型のとき V は sin　_n_θ 型であり

，

鰛はせん断が他の変形と相関しない場合やはりsin　n θ型となる

。

　 2＞伸び剛性の_{座屈値}への_{影響}は

EI

《

E4

〆の精度で無視されるほど小さい

。

　 3｝伸びひずみを無視した場合について

，

座屈荷重値を式の形で示した

．

そこで，曲げとせん断の相関剛性による座屈荷重の_{低下}と

，

せん断変形の効果が長柱におけると同様の形で

，EI

の見かけ上の低下

，

あるいは細長比の増大の形で表せることを定量的に示した。　

4

）支持弾性のない円環の場合

，

荷重の方向が変わる PbとPc については

，

よく知られている値となったが_，荷重の方向が変わらない場合には

，

全体回転が生じ不安定であり

，

p。＝

4EI

／〆と言われて来た式は

，

回転を止め n

＝

2のモ

ー

ドには自由な不連続な支持を行わない限り

，

成立しないことが分かった

。

　5）せん断変形のみを考えた場合

_，Pa；

Min （rc _，

GA ’

／r）

，

p

_，

＝GA7

　r で長柱と同じく軸力がせん断剛性に

一

_致すると座屈する

。

しかし液圧に当たる_Pbの場合には（3／4

−

1）×（GA7r ）の範囲にあることを示した

。

　6）実用計算としては

，

（2cr ’ ／

El

）1 ／6 の近辺の n の整数値に対して _p を式で算出し， n≠2以外では

，

離散座標n に_関する _p の_{極小値}が_{座屈}_荷重であり，対応する n で座屈モ

ー

ドが求められる

．

荷重型に共通な，座屈荷重の雑な近似として

，

cr ／

EI

が特に小さくない場合に_対して， ρ。r≒ 1

．

9

（

E21

’ c_／r5_）1／3 を提供した。　謝　辞　この _{研究}の

一

_部は

，

文部省科学研究費補助金

一

般

C

62550417 により

，

作図は大阪市立大学大学院生奥田和弘君の_協力を得たことを感謝する。文献 1）大森博司；静水圧外荷重を受ける円弧ア

ー

チの安定問題

，

　　日本建築学会論文報告集

，

第360 号

，

pp

．

94

−

109

，

　　1986

，

2 2）長柱安定要覧改訂第 5版

，

コロ _{ナ社}

，

1969

，

_p

．

158

，

　　ND

．

30

3｝ F且ligge

，

　 W

、

：Stresses　in　Shells

，

　 Springer

，

1962

，

　　p

．

434

−

435

4｝角野晃二

，

三井和男：

一

様静水圧を受けるCircular　Arch 　　及び Ring の弾性安定解析

1 ，

日本建築学会論文報告集

，

　　第328 号

，

pp

．

44

−

52

，

1983

．

6

5）三井和男

，

曽我部博之

，

高野　裕

，

角野晃二：

一

様静水

　圧を受けるCircular　Arch 及びRingの弾性安定解析皿

，

　　日本建築学会論文報告集

，

第359号

，

pp

．

60

−

65

，

1986

．

1

6＞粉川　牧：_任意母線縁境界をもつ _円_筒_{網目}シェル屋根の

　　全体座屈解析，その 1

，

2

，

3

，

日本建築学会論文報告集

，

　　第28e号

，

　_pp

．

53

−

65

，

1979

．

6

，

第283号

，

　_pp

．

76

−

86

，

1979

．

9

，

　　第 295号

，

PP

，

51

−

61

，

］980

．

9

7）　Huseyin

，

　K

．

：Nonlinear　Theory　of　Eiastic　Stability

，

　 Part　

l

　One

・

_parameter　System

，

　Noordhoff　International 　 Publishing

，

　Leyden

，

1975

8）　日置興

一

郎：差分表示でのつりあい式と幾何学的条件式　　の関係について

，

日本建築学会大会学術梗概集（北海道）

，

　 pp

．

1067

−

1068

_，

1978

，

9

(7)

SYNOPSIS

UDC:624.074:624.075.2

ON

THE

IN-PLANE

ELASTIC

BUCKLING

OF

CIRCULAR

RINGS

SVPPORTED

BY

UNIFORMLY

DISTRIBUTED

SPRINGS

IN

TANGENTIAL

DIRECTIONS

SUBJECTED

TO

EXTERNAL

PRESSURE

byDi. KOICHIRO HEKI, PTofessor of Osaka City University,

Mernberof A,I.

J. This

paper

is

dealt

with the

in-plane

elastic

buckling

of the circular ring which issupported

by

uniformly

dis-tributed springs intangential

directions

and subjected tothreetypesof external _pressure.The acting directions of three types of

loads

afteT

buckling

are constant, norrnal tothesurface and centripetal, respectively.

The main conclusions are as

follows,

1)

The

buckling

mode

is

of a cos ne type forthenormal

displacement.

sinne fortangential displacement, and also sinne

foT

the rotation of section unless coupling terms

between

shear and others exist. 2) The effectof stretching strain on the

buckling

load

is

negLigible small on theorder of

El<EAr!.

3)

The

values of

buckling

load

are expressed

in

simple

formula

ignoring

the stretching strain, and

theeffect of shear deformation and coupling rigidity between shear and

bending

ismade clear. 4)

A

_pracical

pro-cedure to obtain the

buck}ing

Ioad

is

_presented,5)For

free

rings without tangential support, the

buckling

load

subjected to the _pressureof constant

direction

is

not thewell

known

result, _p.=4EIIr3,

but

zero accompanying

themode of rigid

body

rotation.

円周方向の分布ばねで支持された円環の一様外圧による構面内弾性座屈について

1

．

．

．

・

円周 方 向

の

分 布

ば

ね

で

支持

さ

れ た

円環

の

一

様 外 圧

に

よ

る

構

面

内

弾性

座 屈

に

い

て

置

興 一

郎

1．

式

。

，

，

−

，

，

H

，

。

ー

，

。

，

ー

，

，

，一

，

，

，

，

，

，

，

ー

，

ー

。

一

，

，

。

ー

，

。

2．

GA ’

R

一

・

藩

，

際

ζ

ゲ

円周方向

_{分布}

_ば

_支持

れた

_{様外圧}

_面

_弾性

座屈

興一

_式

_，

_，

　　　　 RQ

_。