【論 文】
UDC ：624
．
074．
2：624．
074．
4日本 建 築学 会 構造系論 文 報 告 集 第 4ユ工号
・
1990 年5月 Journa］ of Struct．
Constr．
Engng，
AIJ，
No．
411．
May，
1990両 端
に
回 転
ば
ね
の
あ
る
部材
で
構
成
さ
れ
る
単
層
ラ チ
ス
ド
ー ム
の
線 形
お よ
び
弾性
座 屈
荷
重
矩 形 平面 形状 を
し た裁 断球殻状
ドー
ム につ いてLINEAR
AND
ELASTIC
BUCKLING
LOADS
OF
LATTICED
SHELLS
wlTH
ELASTIC
SPRINGS
AT
BOTH
ENDS
OF
MEMBERS
Case
study with sphericallatticed
shells on rectangularplan
植 木
隆 司
＊，
向 山 洋
一
＊ ＊，
加
藤
史
郎
＊ ＊ ＊
Tahashi
UEKI
，
Y
碗 乃ゴMUKAIYAMA
andShiro
KA
TO
The present study
discusses
the elasticbuckling
load
of sphericallatticed
domes
on rectangularplan
．
The
buckling
loads
are non−dimensionalized
by using both the bucklingloads
as pin−
connected
dome
with nobending
rigidity at the end きof members alld thebuckling
load
as an equivalent．
shell．
The
dividlng
parameterby
which the dome can’
be classifiedlike
a pin−
connected
dome
orlike
a continuous shellis
defined
quantitatively andis
proved todepend
onthe
boundary
conditions of shells．
A
且sg the elasticbuckling
loads are shown tofall
on nearlyhalf
Qf their
linear
buckling
loads
obtainedby
neglecting the prebucklingdeformations
．
Kegwortls
：5 初gあ幼野 の加 θ，
8然 齔 加‘kiing
IOad，
connectionrigiciily
1．
序 論 単 層ラ チス ドー
ム の座屈解 析は，解 析 上の容 易さか ら， 接 合 部で曲 げモー
メ ン トを 完 全に伝える剛 接 合 ラチス ドー
ム と， 曲げモー
メ ン トを全く伝え な い ピン接 合ラ チ ス ドー
ム のどち らか に仮 定して行わ れる事が多い。 しか し な が ら，
単 層ラ チス ドー
ム の接 合 部に，
ボー
ル ジョ イ「
ン ト等を用いた場 合を 想定す喬
と，
明らかに接 合 部は，
ピン接 合と剛 接 合の 中 間 的な半 剛 接 合と なる。 こ の半 剛 接 合 的な特性に注目 し た研究と し て，
線形固有値解析に よ る 座屈荷重を，
等価連続体シェ ル理論に よ る古 典 座屈 荷重と比較し，
接合部回転 剛性と座屈荷 重の関係を分析し た
Forman
andHutchinson
’）の研究，
ボー
ル ジョ イン トを用いた 立体 トラ ス の模型実 験を行い
，
さ らに，
接 合 部に剛 域と回 転ば ね を考 慮して弾 性座屈 解 析を進め た 坂，
日置2） の研 究，
円形平 面の単層ラ チス ドー
ム を対 象 に， 部 材 軸 力の正 負 等に応 じて接 合 部の回 転ば ね定 数 を 換え座屈性 状 を検 討した山田， 山 本， 王 S，の 研 究， ボー
ル ジョ イン ト接 合 部 を剛な節 点 と 円形 中 実な接 合 部 材に モ デル化 し，
六角 形 平 面の単 層ラチス ドー
ム を対 象に，
弾 性座屈 荷重，
弾塑性座屈 荷重 お よ び 座屈 性 状を分 析し た高 島，
柴 田，
原，
加et4
）の 研 究が挙 げら れ る。 こ れ ら の研 究に より，
有 益な結 果が得られつ つ あ る が，
半 剛 接 合の接 合部の特性を考慮し た研究は少な く，
さ らに，
ピ ン接 合と剛 接 合の関 連を調べ る必要がある と考え ら れ る 6・
そこ で本 研 究では
，．
ピン接 合と剛 接 合の関 連 を調べ る た め，
矩形 平 面の球 殻 状 単 層ラチス ドー
ム に限定 し， 両 端に回 転ば ね のあ る部 材で構成さ れ る ドー
ム を，
（1） 回転ばね剛性の他に，
（2
）1
平 面 形状，
（3
）部 材 半 開 角，
（4 ）部 材 細長 比，
（5 ）境 界 条 件，
（6）荷 重 分 布 を考 慮して，
線形 固有値解析お よ び幾 何 学 的 非 線 形 解 析 を進 め，
座 屈荷重と 座屈モー
ドを求め る。 そ して，
座 屈 荷 重 を回 転ば ね剛 性を考 慮し て無 次 元 化 表 示し， 連 続体 置換 法によ る古 典 座 屈 荷 重お よ び個 材の座 屈 を無 視し た ピン 接合線形座 屈荷重と比較す る事に よ り，
座屈 荷 重および 座 屈 性 状に対 す る 回 転ば ね剛 性 等の影 響 を分析し，
線 形 お よ び弾 性 座屈荷 重の推 定 方 法を考察す る。2
．
解 析 方 法 ま ず，
こ の種の構 造 物の基 本 的特 性で ある線 形 座屈荷 重 お よ び 座屈モー
ドを，
線 形 固 有 値 解 析か ら求める。
線 ＊ 株 式 会 社 巴 組 鐵 工 所・
工 修 ＃ 株式会 社巴組鐵工所・
工修 宰 韓 豊 橋 技 術 科 学 大 学 教 授・
工博Tomoegumi Iron Works TQmoegumi Iron WQrks
Professor
，
ToyohaSihi University of TechnolQgy，
Dr．
Eng．
形固有 値 解 析は
，
座屈 前変形 を 無 視 し た もの であ る が，
部材数の 多い 立体ト ラス構造物の， 座 屈 荷 重，
座 屈モー
ド， 座 屈 長さ等の線 形 座 屈 性 状 をパ ラメ トリック に検討 する の に，
極めて簡 便な方 法である。
座 屈 前 変 形が ある程 度 以上に な ると， 座 屈 荷 重の低下 が予 想 される の で，
線 形 固 有 値 解 析に続い て， その弾性 座 屈荷 重お よび 変形性 状を， 幾 何 学 的 非 線 形 解 析か ら求 め るt「1｝ 。 な お，
本研究で用い た線形 固 有 値解析 と 幾 何 学 的非線形解析は，
既に一
般的に なっ ているので，
詳 細 な説 明は省略し，
以 下に基本事項のみ記 述す る。
ラ チス ドー
ム を構成す る部 材は， 図一
1に示す よ うに 剛域・
回転ばね・
棒 材か ら構 成さ れ2LS） ， 部 材のね じ り 剛性は 無視 し得る もの と す る。
た だ し，
本 研 究の解 析で は， 部 材長1
に対する剛 域の長さ 1、の影 響は回転ばね の評 価に含 まれ る もの と考えti＝
0とし，
接 合 部の特 性 を回転ばね の曲 げ剛 性だ けで評 価する。
また，
部材両端 の回 転ば ね は，
Y軸，
Z
軸そ れ ぞ れ 独 立で あ り，
かつ，
同一
の定 数と仮 定す る。 棒 材の剛性マ ト リッ クス は，
線 形 固 有 値 解 析の場 合，
実 用 解 析 法と考え ら れ る幾 何剛性マ ト リッ クス5）を用い る。 た だ し，
幾 何 学的非線形 解析の場合に は， よ り精度 が良い と考え ら れる座 屈撓角法6〕 を用いるta2）・
3）。
な お，
幾 何 学 的 非 線 形 解 析におい て，
基 本 式の解法 は，
Newton−Raphson
法に基づ き，
荷重増 分 法お よび変位 増 分 法を併 用 する。 図一
12に示す よ うに，
鉛直変形一
荷 重曲 線の最 初に現れ る極値 （極 限 点）の荷重を， 幾 何 学 的非線形 解析に よ る最 大 荷 重， 以下弾性 座屈荷 重と す る酬。
3．
線形固 有 値 解 析によ る座 屈 荷 重お よび 座 屈 性 状 3−
1 解 析モデル 解 析モ デル は，
図一
2に示 す偏 平な裁 断 球 殻状の単 層 ラチス ドー
ム で あ る。 平 面 形状の影 響を検討す る た め，
縦 横の ス パ ン比 α （＝・Le／Lx
＞は，
》僅 ／2
と1／ts
の2
種とする。 ま た，
ドー
ム中 央 部の部材半開角砧は，2
° 注1） 図一
12に示す よ うに，
鉛 直 変 形一
荷 重 曲 線の最 初に現 れる極 値 （極限点）の荷重 を， 幾 何学的非 線形解析に よ る最 大荷重，
以 下弾性座 屈荷重と し，
線形 固 有 値 解 析か ら求め た線 形 座 屈 荷 重 と 区 別 する。
注2）本 研 究の事 前 解 析に おい て，
境 界 条 件が悪く部 材 応 力 が均一
で な いよ うな ドー
ム の時，
座屈前 変 形 を無 視し て 座 屈 撓 角 法に よ り求め た 剛性マ ドリックスを 用い る 場合 に比べ，
幾 何 剛 性マ ト リッ クス を用い る場 合に は，
約 1．
2〜
1．
4倍 程度の大 き な線 形 座 屈 衛重 を与え る結 果が得 られ て いる。
注3） 軸 力N は，
棒 材 両 端 （1，
2端 ）の X，
Y，
Z方 向の変 位 （u、，
Vl，
ω］），
（Ut，
Vt，
ω 2）を用いて次 式で評 価 する。撫
副
等
u結 （
等
”1）
2咾僕
ヲ
ω1）
2］
注4）本 研 究で行っ たすべ て の幾 何 学 的 非 線 形 解析の鉛 直変 形一
荷 重 曲 線は，
上に凸の滑ら か な極限点 を示して お り，
分 岐 型の座 屈 性 状 を示さ な かっ た。
し た がっ て，
本 研 究 で行っ た解 析の範囲 では，
幾 何 学 的 非 線 形 解析だ け で適 切 な弾性 座 屈 荷 重 （最 大 荷重）が 求 まっ ている。
一
118
一
と3
°
の 2種と す る。
し たが っ て，
形 状につ い て は，
α，
儒に基づき図一
2の 4種の形 状モ デル Model 1−−
4が検 討 対 象で ある。 網 目の割り付け方 法を，Model
1を例に して図一2
中 に示して いる。
各 部 材の長 さ が ほ ぼ 等 し く な る よ うに 三 角 形の網 目を割り付けてはいる が， ドー
ム中央部の部材 長さ あと，
4隅へ 斜めに接続さ れ る一
番 長い部 材 長さZ
の比lmax
／あは，
Model1，2，3、4
でそ れ ぞ れ 1．
02．
1．
06，
1．
03，
1、
08に な る。 ま た，
部 材 半 開 角 θ も ドー
ム 中 央 部と隅 部で は，
部材長さ と同程度の割 合で異な る が，
ソ急
ε，
A鱒
1，
十一
一
一一
一
一 ・
Ksy，Knz A 十一
X巳
L
＿
、＿
出
E ：ヤング係数 （ε；
2100．
しf！cm2） Ae：断 面積 （A。
＝】5．
cm？），
Ip：断 面2次モー
メント KBy：Y軸 回り回 転ば ね定数，
1 ：部材 長 KBZ ：Z軸 回 り回 転 ば ね 定 数，
t1：剛 域 長 さ 図一
1 部材モデルπ
・
鵠．
88当
」
il；
3，
00enユ
L
＿＿
し、。36．
14m4
1
匸 旨．
O 国 曳 」」
11＝
5，
20nコ
曲率半径 R＝43唖
70mNode l 1 （a
＝
V−
Sf2，
θo＝
2°
） MQde1 3 （a＝
1！跨，
θo＝
2°
）L
L ，．
24．
。9凵
可
・
。 ・．．
。星
」
IIニ
4．
65助］
一
L，，．35．
14mコ
・ 旨．
8当
」
」
既＝
8．
｝6門ミ
ユ
鬥odel 2 （a＝R
！2，
θo＝
3◎
） 鬥Qdel q （a三
1／丶厂5，
θ口＝
3°
） 卜一
！ロ＿
一 ＝ ＝ti5
）Pt
−−
1
：
：
鵬輜 嚮藁
部 ） θδ 網 目 の割り付け方 法 1）AOBを角 度で16等分し、
各 節点X座標を決め る。
2）こ面 を角 度で 8等分し、
各 節 点Y座 標 を決め る。
3） 各節 点が球 面上 となる よう、
Z座 標 を決め る。
図一
2 解 析 モ デ ル表
一
1 部 材 細 長 比λ。と断 面2次モー
メン トIp〔cm9 入o＝50 60 70 80 100 卜10del 1 正o＝
305，
cm Ip；558．
2 387，
6
284．
8 218．
0 139．
5 鬥odel 2 io＝310．
1，
＝57S．
6 400．
4 29q．
2 225凸
2 旦44．
2 鬥odel 3 ’o；
310，
c団 lp；
576．
6400．
4294．
2225．
2144．
2 鬥orlel 4 tロ＝322．
c而 1ワ
＝622．
1 432．
0 317．
q 243．
O l55．
5 B1 境 界： B2 境 界 ： 全周 ビン支 持 4隅ビ ン支持 他点一
方 向ロー
ラー
支 持 o ：ビン支 持点ロ
：一
方 向ロー
ラー
支 持 点 図一
3 境 界 条 件 等分布荷 重；● ◎ O印節点で 全て LOxP 偏 載荷 重 ：●印節点で 1．
OxP ＠印 節 点 で O．
TsxP o 印節点で O。
5xP 図一
4 荷重分布 ほ ぼ均一
の網目 と して考え て い る。 ヤン グ率E
および断 面 積 Aeは，
全モ デルの全棒 材に お い て原 則 的に 同 じと し，
E．
＝
2100 tf／cmz，
Ae
＝ 15 cmZ と寸
る。 ドー
ム 中 央 部の部 材 細 長比 λ。は， 現実に 使 用 される範 囲を考 慮 して，50，60，70，80
，100
とし，1
。，Ae
お よ び λ。か ら，
表一
1に示す断面2
次モー
メ ン ト ち を用いる。
回転 ばね定 数 K， は，Y
軸 回りKBy
とZ
軸回 りKBZ
を 同 じ と し， 式 （1）で示す無 次 元 化 回転ばね定 数 z を用い て， 畠＝
2eでは x＝
O．
e5，0．
1・
，0．
3，0．
7，1．
0，
3．
0，
7．
D，1000
の8
種，
砺三
3°
で は z！
O．
1，
0．
5，
1．
0，
3．
0，
10，．
1000 の 6種とする。
x
・
＝
Ksv・
意
一
衡・
孟
・
………・
…・
…………
（・） 単 層ラチス ドT ム で は，
境 界 条 件に より応 力 分 布はか な り異な り，こ れ は座 屈 耐 力に大き く影 響する。し たがっ て，
境 界 条 件は，
図一
3に示 す ように，
実 際 的で，
かつ，
代 表 的な境 界 条 件と考え ら れ る2
種を 選 び，
全 周 ピン支 持の B1 境 界と，
4隅が ピン支 持で外周の他点 が外 周 方 向に一
方 向ロー
ラー
支 持の B2 境 界と．
する。 囗が ピン支 持， ロ が 長 手 方 向にロー
ラー
支 持 を示して いる。
ま た，荷重お よ び形 状の不 整 も座 屈 耐 力に影 響 するが， 本研究での荷 重 分 布は， 図一
4 に示すよ うに，
等 分 布 状 の節 点 荷 重と偏 載 状の節 点 荷 重の2
種と し，
形 状 初 期 不 η ＝P。
．
tSn！EA。
θ03 8．
0 6．
0 4．
o 2．
0 o．
0 0，
0 2，
0 4．
012za6．
0 ξ 冒 λ。θ。冊 図一
5 ξ，
η に よ る無 次 元 化表示 8．
o 整の影 響の検 討は別 稿で予 定して いる。 3−
2 無 次 元 化 表 示Model
1と 2 （図一
2）に おい て，
h ＝
60，
B 1境 界，
等 分 布 荷 重 時の，
線 形 座 屈 荷重P
謙 と回 転ば ね定 数の 関 係 を図一
5に示す。 た だ し， 結 果は， 式 （2
）の ξ，
η を用い て無 次元化 表 示さ れてい る。
・一 橘 1
篇
，
・一轟
、……・
7……
（・・ 図中P
温 ω は，
部 材 両 端の回 転ば ね を考 慮し た場 合 の，
連続
体置換法による シェ ル とし てめ 節 点 当たり の古 典座屈荷 重η で， 式 （3）で仮 定 され る s） 。 た だ し，
部 材のね じ り お よび弱 軸の曲 げ剛 性を無 視す る齣 。… ω一 、
嵜
≒
、 ・（
餐
ゲ
・篦
昭一
橘 1撫
・
脚 ・・
………・
・
…・
…EAe
ここ で，Ee
＝・
31
。γ』 ’ te＝
2》t
百・
7e，
Ve＝1
／3
E
。 ：等価ヤング係 数，
te：等価板厚，
Vel ボアソ ン比 re−〜
屠
Ie＝
1−
←2〃 γe ：等 価 断 面 2次 半 径Ie
：等 価 断 面 2次モー
メ ン ト な お，
式 （2 ）の ξ，
ηを 用い て表す場 合， 式 （3 ）のP
躑 のは，
原 点を 通 る こう配 LO の直 線η＝
ξに な る。
ま た， 図中P
盟 m は ， 部 材 座 屈 を無 視し た ピン接 合の 場 合の線形座 屈荷重 値で あ る。P
憐n｝ ／E
漣eθ1
は，
Model
注5） 連 続 体 置 換 法による古 典 座 屈 荷 重P跳 ω は，
線’
形座 屈荷 重 P潔と 同様に， 座 屈 前の変 位および回 転は考 慮 さ れて いない。
一
119
一
η ； P6r聖in／eneθ03 10
．
0 8．
0 6．
0 4．
0 2，
0 0，
0 0．
02．
0 4．
D 6．
0 12fi ξ＝ 8，
0 λ。e。v
“
F
：17E
’
且0．
0 η ＝Pじ
「
1幽n／aneθeS 且0．
0 8．
0 η IP。
，
］bn！肱eθ03 10．
0 8．
O 6．
0 6．
0・
4．
o 2．
o 4．
0 zo 0．
O O．
0 0．
O O．
02．
04，
0 6．
012n 8．
O 10．
0 2．
0 ξ＝ λ。θeifT ；：ilE’
囲 4．
6，
0 12fi ξ＝ 8．
0 λ。θ。価 to，
0 η＝
Pct■in！EA．
θ03 10．
0 ＆0 6．
o 4．
0 2．
0 0，
0 0．
O2．
D4．
0 ξ＝ 入oθ。蹶 6’
．
OI2f128．
0 ／ 10．
0 線 形 座 屈 荷 重 P即 （等分布 荷 重，
B1境 界 時 ） 1 （洗＝
2e）とMQdel
2 （砺＝
3°
）で そ れ ぞ れ2．
03
と 2．
07であり，
e，によらずほ ぼ等し く η・
・
2、
O
と な る。
図一
5で は，
2つ の異な る形 状 をし た ドー
ム の線形座 屈 荷重 P潔が，
同一
の 曲 線とし て表さ れ る こ と が分か る。 す な わ ち，
線 形 座 屈 荷 重 P浄 伍轟 θ1
は，
ξがほぼ 2．
0以上の範 囲で は回 転ば ね剛 性の効 果が現れ， 等 価な シェ ル と して の古 典座屈 荷 重P脇 （π｝／EAeθまつ まりη＝
＝
：
ξに漸 近し，
ξがほぼ 2．
0以卞
の範 囲で は回 転ばね剛 性 は座屈 荷重に影 響せ ず，
ピン接 合 単 層ラ チ ス ドー
ム の座 屈 荷 重 P腓nl／E11。θ3
つ まり η＝
2，
0に漸 近する。
言い か える と， ξがほ ぼ2．
0以 上の範 囲は シェ ル的であり， ξ が ほぼ2．
0以 下の範 囲 は ピン接 合 的であ る。
以 上の結 果か ら逆に， 部 材 両 端の回 転ばね を考 慮し た 場 合の シェ ルとして の節 点 当た りの古 典 座 屈 荷 重 を式 （3）で推 定す る有 効 性と， 接 合部が ピン接 合か ら剛 接 合まで異なる回 転ば ね剛 性 をし た ドー
ム の座屈荷 重 を ξ と ηを用い て分 析する有 効 性が認め られ た とい え る。
し た がっ て，
以 下の パ ラ メ トリックな 解 析で は， 解 析 結 果を ξと ηを用い て図 示する。3−3
解 析 結 果の分 析 1） 等分布荷重，B1
境界 時Model
1〜4
の ドー
ム が等分布荷 重を受け，
かつ，
B 1 境界の 場 合の 解 析 結 果を 図一
6に示す。 線 形 座 屈 荷 重P
潔 ／EA ．θ1
は，
モ デル および部 材 細 長 比 λ。によらず，
図一5
と同様に，
ξが ほぼ2．
0以 上の範 囲で Pli島（x｝／EA 。θi
つ ま りη一
・
ξに漸近し， ま た，
ξが ほぼ2．
0以 下の範 囲でP
轡m／EA 。
θ1
っ まりη＝
2．
0
に漸 近 す る曲 線と な る。
た だ し，
砧＝
3°
（Model
2，
4）の λ。一
120
一
η＝ PCr曠ID／eAv θ03 10
．
0 8．
o 6．
0 4．
0 2．
0・
0．
0 0．
Dxo 4．
0 6．
O s2vf’
7
ξ＝
8．
0 λ。θ。価 10．
0 η＝
Pcrlsn！aneθe3 10．
O 8．
o 6．
0 4，
0 η＝
PCrlln！aAeθ03 10．
O 8，
0 6．
0 4．
0 2．
0 0，
00．
02．
04．
0 6．
O lzn ξ＝
B．
O λ。θ。厥 10．
0 2．
O O．
0 0。
02．
0 4．
0 6．
0 12n ξ ＝ 8．
0 λ。
θ。
厰 10．
0 η＝
Pcr匹【n！猷oθ03 且0．
0 8．
0 6，
0 4．
0 2．
0 0．
00，
0 2．
04．
0 6．
0 12v’
2
一
ξ望
8．
0 入。θ。豚 10．
0 図一
7 線 形 座 屈 荷 重P津 （等 分 布荷重，
B2 境 界 時 ｝＝
100 で は，
ξが大き く な り完 全 剛 接 合に 近 く な る と， 線 形 座 屈 荷 重 P津 ノEA 。θ3
はPVA （x＞／EA
。θ言に比べて小 さ く なっ て い る。これ は，
部 材 細 長 比h
が大き く な る と，
部 材 座 屈が発 生す る た めであ る。 部材座 屈 を考慮し た座 屈 荷 重P
。。E は，
単材の 弾性座屈荷St
NcrE
を用い て，
式 （4 ＞』
によ り推 定できる。
π 2EAe・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4）PcrE＝6eo・
NcrE
＝6
θ ，°
馮 部 材を 1要 素で モデル化し た 場 合， 幾 何 剛性マ トリッ ク ス を用い た本 解 析の部材座屈に よる座 屈 荷 重は，
P。。E の約1．
2
倍と な る5〕 の で，P
，。
E ×1．
2の値 を 図 中に示 す。 等 分 布 荷重，B1
境 界 時のModel
lに対し て，
λ。＝
50 の x＝
O．
05と1000
の座 屈モー
ドを 図一
10（a）と （b） に示す。
な お，
x ；O．
05
と1000
は，
ξで そ れぞれ L52 と9．
71
に な る。
応 力 集 中が小さい （ほ ぼ均一
な軸 力が 発 生す る）B1
境 界 時は，
ドー
ム全 域で繰 返し座屈変位 が発 生 してい る。
座 屈モー
ドより得られ る 座屈 長さ （座 屈 時の変 形の半 波 長 ） 岬 を 部 材 長 ‘。で表す と，
x が小 さ い x＝
0．
05の場 合は2・
あ以 下で節 点 座屈の性 状を示 し，
x が大きい x＝ 1000 の場 合 は3・
あ程度で全体 座屈 の 性 状を示す。 座 屈モー
ドか ら も， x＝
O．
05の場 合は ピ ン接 合 的であ り，
x＝
1000 の 場 合は シェ ル的で あ る事 が 確 認 され る。
式 （5）で定 義す る運 続 体シェ ル理論に よる座屈長さ ‘翫 （x）η は，
x＝
O．
05の場 合は 1．
1・
h
，
x＝ ＝ 1000 の場 合は 2．
8・
為とな り，
‘津 と ほ ぼ等 しい。 酬一
・・
諸
≒
・・
te・
・
……・
…一
（・・ こ こで，
a ：矩 形の座 屈 領域を円形で置換し た場合の一
121
一
修正係数 〔a＝
4
／π）庄61 本研 究の解析モデル の よ う な2
重 曲率の単層ラ チス ドー
ム で は，
完全 剛 接の場 合でも弾 性 座 屈 長さは，
高々部材 長の 2〜
3倍 程 度である。
節 点 座 屈になる傾 向は，式 （5
） より，
部 材 半 開 角 眺が 大 き くな る ほど 曲 率半径R
が小 さく な り， ま た， 部 材 細 長 比 λ。が 大き く な る ほど等価 板 厚 teが小さ く な り， 顕著になる。
結 論 として， 応 力 集 中 が 小さい等分布 荷重，B1
境 界 時の線 形 座 屈 荷 重P
津 ／E4 。
θ註は，
ξが ほ ぼ 2．
o以 上の 範 囲で は η＝
ξで， ξがほぼ2．
0 以下の範囲で はη‘2．
0 で推 定 可 能で ある。 ただし， 部 材 細 長 比h
が大き く部 材 座 屈が発 生 する場 合は，線
形 座 屈 荷 重P
津 ／E4
。θ1
は．
η＝
Pc，S／EAe θまで推 定で きる。
また， ξが 2．
0以 下の範 囲つ ま り x が小さ くて ビン接 合に近い場 合は， 節点の 鉛直変位が交互 に 正負に変化す る座 屈モー
ドと な り， 部 材細 長 比 λ。が 十 分 に大き く，
かつ，
ξが大きい範 囲っ ま りx が 大き くて完全 剛接 合に近い場 合は，
節 点の鉛 直変位が な く節点の回転が交互 に 正負に変化 する座 屈 モー
ドと な り，
その 中 間の領域では，
節 点の鉛 直変 位と 回転が共に生 じ る シェ ル的な座 屈モー
ドと な る。
2
） 等分布荷重，B2
境界時Model
1〜
4の ドー
ムが等 分 布 荷 重を受け ， かつ ，B2
境 界の 場 合の解 析 結 果を図一
7に示 す。 ξが大きい場 合，Model
1，2
の線形座屈 荷 重 P課 ／EA 。
θ1
は， ロー
ラー
支 持の影 響で，
B
1
境 界 時に比べ て，
η で 1．
5程 度 小さ く な っ て い る。
す な わ ち，
直 線 η≡
ξ一
L5 で近 似で き る 。 ま た，
ξが小さい場 合，
Model
l
で は，
λ。＝
50，
60，
70の 線 形 座屈荷 重 P｝WE
ムeθ1
は，
P
騨nソE
、4
。θ1
つ ま り η＝
2，
0 に漸 近する ほ ぼ同一
の曲線 と な る が，
部材細 長比h
が大きい λ。＝
80，
100の線 形 座 屈荷重 P 穿／EAe θ1
は，
P 轡nソEA。
θ1
よ り小さくなっ て い る。
これ は，B2
境界では隅 点だ け が ピン支 持の た め 隅 部で応 力 集 中が起こ り，
特に隅 点に接 続 する斜 材に大 き な軸 力が発 生し，
部 材 座 屈が 発 生 し た た め で あ る。
Mode12 におて も，
Model 1と同様の傾 向が見ら れ る が，
λ。＝
50以 外はすべ てP
騨 n ソE
！1。
θ1
よ り小 さ く なっ て お り，
部 材 半 開 角尻 が大きい ほど部 材 座屈 が 発 生 し や す い傾 向を 示 し て い る。
応力集 中を表す指標と して式 （6）に示 す 応 力集 中に よ る低 減 係 数 7；9｝・
s） を 用い る と，
部 材座屈を考 慮し た座 屈荷 重は ）’
・
PerEで推 定され る。
γ＝
No／1V・
・
・
・
・
・
・
…阜
・
・
・
…
t・
・
・
・
・
・
…
t
t・
・
・
・
・
・
…
t・
・
…
（6） こ こ で ∫N
。 ：十 分に一
様 と考え ら れ る時の軸 力 注6） 文 献 7）では，
座屈長さ 1。
，
n は，
矩形の座 屈領 域で与 え ら れて い る が，
本 研 究では，
これ と同一
の座 屈 面 積 を 持つ 円形の座 屈 領 域に置換 して，IXA
（x｝を推 定して い る。
’砦尹一 122一
（No＝
P／6・
眺）N
：考 慮の対 象と なっ て い る部 材の軸 力 ξが小さい 場 合， γ の 値は部 材 細 長 比 λ。に よ らずほ ぼ一
定で ，Model
1で は γ＝ O．
21，Model
2で は γ＝0．
22 である。
図 中に は γ・
P 。
．
E×1．
2
／EA
。θ1
の値を示す が，
ξ が小 さ くな ると，
線 形 座 屈 荷 重P
津／E
ん θ1
はこ の値に 漸 近する。 逆に こ の よ う な時は，
単 材の弾 性 座 屈 発 生の 条 件N
＞NcrE
を満足 し ている。 設 計 的に はN および γ は，
線 形 解 析よ り容 易に求め ら れる の で．
式 〔4）の単 材の弾性座 屈荷重Nc
，E の 代り に部 材の耐 力Nc
． を用い る と， 部 材 耐 力で決る単層 ラ チス ドー
ム の座 屈 荷 重 P。
。
。
は式 （7）で推 定 可 能と な る。
Pcre
＝ ＝γ・
6e ，・
Ncr’
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
J…
（7
） η＝
Por圏i随
！EAeθ03 10．
O ／糧
織
5，
0 4．
O 2．
o o．
o0，
02，
0 噌，
0 6ロ
0 π 12＝
凧 舳 ξ 8．
o η ＝ PcrIIn！鴎 曹θ03 10，
0 ｝」．
。6
．
o 10．
O 4．
o 2．
0 O．
0O．
O2．
0 4．
0 6．
0 12fi ξ ＝ λ。θ。irFIE71i8．
o 旦0．
O 図一
8 周 辺部を補強 し た 場合の線 形座屈 荷 重 P潔 （等 分 布 荷 重 時1
η
＝
Pcr11n！鴎9θ03 10，
0 8．
0 6．
0
4．
O 2，
0 O．
0 0．
02．
0 4．
0 ξ＝ 6．
012za 8．
0 λ。e。Ai
i7Ji
’
10，
0 η＝
P。
．
］Sn！eA．
eos IO．
0 η器
Pcrl暄n／en．θ03 10：0 8，
0 6．
o 4．
0 2：0 0。
0 0．
0 8．
0 6．
0 4．
o 2．
0 0．
0 0．
0 2．
0 4．
e 6，
0 12fi ξ．
＝ 2．
0 4．
0 6．
0．
t2fi
ξ＝
8．
0 λ。θ。Aili7iE
’
10．
0 η1
；
P。
．
lln！EA。
θ 。3 亘0．
0 8．
0 6．
0 4．
o 2．
0 O．
0 8．
O lO．
0 0・
0 2．
0 4，
0 6．
0 8，
0
12ゾ7 ξλo θoAi ：
E7E
一
等 分 布 荷重 時 と 偏載 荷 重 時の線形座屈荷 重P諍 10．
D λ，θ，Ai
：ITil
図一
9 等 分 布 荷 重，
B2 境 界 時の Model 1に対して，
λ。＝50
の x＝
0．
05 と1000 の座屈』
モー
ドを 図一IO
（c）と （d
） に示す。 応 力 集 中が大きいB2
境界 時は，
ピン接 合に近 い x＝O．
05
の場 合，
応 力 集中に よ り隅部支持 点 近 傍が 局 部 的に節 点座 屈 し てい る。
剛 接 合に近い x＝
1 OOO の 場合，
応力集 中は あ る もの の，
、
回転ば ね剛 性の効 果によ り，B1
境界時と同様に，
ほぼ ドー
ム の全 域で座 屈 変 位 が発 生 し，
座屈長 さ ε評は3・t
。程 度で全 体 座 屈の性 状 を示す。 ModeL 3，
4で は，
Model l，2
と は異な り，
ξが 大き い場 合は，
線 形 座 屈荷重P
浄ノE
夷θ1
は ワ＝・
ξ一1．5
の 直 線より下回っ てい る。
言いかえる と， ξがほ ぼ 5．
0以 上 の範 囲で は，
線 形座屈荷重Pl
‘PIEA
．θi
の こう配は，
1．
0
よ り小さ な値と な り， 形 状およ び境 界 条 件に よる影 響が， Model 1，
2よ りも強く現れ る。 ξがほ ぼ 5．
O以 下の範 囲で は，Model
1，
2と同 じ傾 向を示し，
ξが小 さ い 場 合は，
ピン接 合 単 層ラチ ス ドー
ム の座 屈荷重P
騨nソEA
。θ言と，
部 材の 弾 性 座 屈 荷重 γ・
P
。，E×1．
2／EA
．θ言の小さい ほ う の荷重に漸近 す る。
な お，
応 力集 中によ る低減係 数γは，Model
3では γ＝0．
21，
Model
4では γ≡O．23
であ り，Model
1，2
を併せ て考え る と，
形 状によ る ば らつ き は小さい。 等分布荷重，
B2 境界時のModel
3に対して，
h
＝ 50 の x＝
O．
05 と1000 の座 屈モー
ドを図一10
（e）と （f
＞ に示 す。 MQdel lと同 様に，
κ＝O．
05
の場合，
隅部 支持 点近傍が局部 的に節 点 座屈 して い る。
しがし，
x＝ 1000 の場 合， ドー
ム の 中央部で局 部的な座屈モー
ドを示して お り， 座屈長さ ‘諍は長 手 方 向で2・
1
。程 度，
短 手 方 向一
123
一
で 3妬 以上で あ る
。
結 論と し て，
応 力集中が大き く な るよ うなB2
境 界で の線形 座 屈荷 重P
穿／EA ε
θ1
は，Model
1，
2で，
η罵
ξ一
1．
5とη＝P
孵n ソEんθ1
若し く は η・
γ・
PcrE／Eん θ1
の3
直 線で推 定 可 能で ある。Model
3，
4では，
ξが ほ ぼ 5．
0以下の範囲に限 り，Model
1，
2と同 様に線 形座屈荷 重 理即Eん θ3
は， 推 定 可 能であ る。
P
騨nソEA
。θまの値 は，Model
l，
2，
3，
4で そ れ ぞ れ1．
85，1．
95，1．79
， 1．
80であり，
η；
2．
0で近似す れば，
上 記の推 定 方 法は さ らに簡 単と な る。 図一8
に，Model
1，2
に おいて ， 内部 （図 で破 線で囲 ま れ た領 域の内 側 ）の部 材 細 長 比為 を 80と し，
周 辺 部 （図で破 線で 囲まれ ま領 域の外側）を補強し た場合の解 析例を示す。
これは， 周 辺 部の部 材の剛 性 を 増 す 事によ り，
どのよ うに座 屈 荷 重が変 化 する かを調べ たもの で あ る。
周 辺 部の部 材 細 長 比 を小さ くする事に よ り，
ある い は，
周 辺部の断 面 積A ．
を 大き く す る事に よ り，B2
境 界時の座 屈 荷 重は，Bl
境 界 時の座 屈 荷 重に近づ く。 し た がっ て，
周 囲が完 全に拘束さ れて いない B2 境界時の よ うに，
応 力 集 中に よ り局 部的に節 点 座 屈あ るい は 全体 座 屈が発生して，
ドー
ム全体の耐力 が小さ く な る場 合に は，
応力集中部あ るい は境 界 部の部 材 サ イズを上 げて補 強す るの は， すべ て の部 材サイズを上 げる の に比べ て， ドー
ム の耐 力 を 向 上さ せ るの に効 率 的である。
3
） 偏載荷 重 時 Model l〜
4の ドー
ム に お い て， ドー
ム中 央 部の部 材 細 長比h
が50
と100
で， 偏 載 荷 重 〔図一
4） を受ける 場 合の解析 結果を図一9
に示す。
図 中に，
等 分 布 荷 重 時 の解 析 結 果 を一
緒に示す が， 白抜き が等分布 荷重， 塗り 潰し が偏 載 荷 重を示して い る。 偏載時の座 屈荷重は， 荷 重の 大 き い所 に 対す る荷 重 とす る。
また， 図 中の P粋nソE
んθ1
は等分布荷 重 時の値 を示すが， 偏 載 荷 重 時 の値は等分布荷重 時の値に対 して 1〜
8 ％の 範 囲ですべ て大き く なっ てい る．
線 形 座 屈 荷 重P
潔 ／E
んθ3
に お け る等分布 荷 重 時と偏 載 荷 重 時の主な 違い は，
以 下の 2点 である。
第
1
の点は，Model
2，
4の Bl 境 界，
h
＝100
の 場合，
偏載荷重 時の線形 座 屈 荷 重P騨 ／EAe
θ3
が，
等分 布荷 重 時に対し て11〜
15％ 小さ く なっ て いる。 これ は，
偏載 荷重に よ り荷 重の変 化 する中 央 支持 点附近の部材で，
応 力 集中が発生し たためである。 こ の場 合，
中 央 支 持点 附 近の 応 力集中に よ る低 減 係 数 γ は，
Model 2，
4共に約 0．
65であ る。
図中に γ・
P。
rEXI．
2／EA。
θ1
を示し た が，
ξが小さ く な る と，
線形座 屈 荷 重 P ぎ〃Eんθ呂は こ の 直 線に漸近し てい る。
こ の事は，
他の 荷 重 条 件で応 力 集 中 が大きい場 合も 通常の線形解 析に よ りγを求め れば，
式 （7）によ り部材 座屈 発生の有 無が線 形 解 析よ り推 定 で き る事を示唆する。
一
124
一
も う 1点は，Model
3，
4の B2 境界，
λ 。＝
50の場合，
ξが ほ ぼ5．0
以 上の範 囲で偏 載 荷 重 時の線 形 座 屈 荷 重 P潔 ／EA
，θ3
が等 分 布 荷 重 時の 座屈荷重よ り も大き く な っ て い る。 等分布荷重 時ではこう配 がLO よ り小さい が，
偏 載 荷重時で は ほ ぼ 1．
O
と な り，Model
1，
2の 等 分 布荷重 時と ほ ぼ一
致す る。
す な わ ち， η＝
ξ一
1，
5で座 屈 荷 重が推 定 可 能 となる。
偏 載 荷重，B2
境 界時のModel
3
に対して，
h
＝50，
：＝1000
の座 屈モー
ドを 図一10
（g ）に示す。
偏載 時に は， 荷重が不 連 続に変化す る ドー
ム中 央 部 を含む荷 重の大き な片 側で座 屈変位が生じてい る。
結 論と して，
偏 載 荷 重 時の線 形 座 屈荷重P
は，
Model
2，
4の B1 境界，
λ。＝
100の場合に応 力 集 中に よ （a）Mvdel 1（a＝
僻 2，
θロ＝
2e＞ 等分布 荷 重，
B1 境 界 時 入o＝50，
κ＝
0．
05 （c ） 卜10lleI 1 （a＝
》厂
3
ン2，
θo＝
2°
） 等 分 布荷重，B2 境界時 λo＝
50，
κ＝
O．
05 （b）面de1童（a畧
凋 2，
θo＝
2°
） 等 分 布 荷 重， B1 境 界時 Xo＝
50．
κ＝
IOOO．
藝
（d） 卜10del 且 （a＝
ira ／／2，
θロ；2°
） 等 分布荷 重， B2 境 界時 λo＝
50，
κ；
1000・
（e）Mude13（a
＝
ifff／2，
θo＝
2P） （f）Model 3（a＝
rSf2
，θ o＝
2 ’ ） 等分布 荷重，
B2 境 界時 等 分 布 荷 重，
B 2境 界 時 入o書50，
κ＝0．
05 λu＝
50 ， κ＝
1000．
（9＞ 鬥odel 3 （a＝僻 2，
θo；2°
） 偏載荷 重，
B2 境界 時 λ口＝50，
tC＝1000．
図一
10 線 形固有値 解析 座屈モー
ド Ψ ＾・
1 点 番号 Y 伍 1 ヒ｛ 妃
tlodel 1
，
2 （a＝
凋 2） トlodeI 3，
4 （a＝1ノ，1’
i） 図
一
11 非 線 形 解 析モ デ ル （1／4対 称モデル）X
15
．
〉 「 P 十9 （ 10．
5．
0，
0．
5．
10．
亘5．
δ。
（cm＞ 図一
12 幾何学的非線形解 析 15．
） fPt （ 且0．
5，
0．
0．
5．
鉛直 変形 δゴ荷 重 P 曲線 表一
2 線 形 座 屈 荷 重P陛 と弾 性 座 屈 荷 重Per．
。
i （tf） （等分布 荷 重 時，
λ。≡ 60＞ ｝o．
δ。
（c旧） 1・
5．
κ 0．
D5o．
10．
30。
71．
03．
07．
01000．
κ 0．
10．
5Lo3．
0 置0．
0h …．
ξ L311．
82．
94．
14．
7637．
18，
1 ξ L22．
43．
1・
4．
24．
95．
哩 Pc．
1忌
均
3，
03．
13，
85．
15，
98．
79．
810，
7 P。
．
夐偏 n10．
012．
014．
1 正9．
822．
623．
6IB1
B1 境 界 P。 ，．
。1L31．
4L82．
52．
95．
06．
06．
7 境界 Pcr．
。
14．
75．
97．
1lD．
4 旦4．
116．
3 （．
43）（．
45） （．
47）（．
49）（．
49）（．
57） （．
61＞（．
63） （，
47） （．
49）（．
50） （．
52）（．
62）（，
69＞ 鬥odel 1 匸．
7的【．
60］ 匚．
46」［，
44］［。
46］［．
59］ ［，
62］［．
62］卜1°潟
、ll
［．
88］ ［，
54］［．
50］ ［．
55］ ［．
63］匚．
67］鰺
P。
，
1iη
2．
72．
83．
34．
24．
76．
67．
78．
8蓄
副 P。
．
lin6．
67．
58．
5U．
315．
117．
8 B2 B2 墳 界 P。
，
．
1L2L31
．
72．
53．
03，
94．
65．
3 墳界 P。
r．
el4．
35．
56．
8B．
5 ｝0．
412．
1 （，
44） （．
弓6） （．
52） （．
60） （．
64） （．
59） （．
60） （，
60） （．
65） （．
73） （．
80） （．
75） （．
69） （．
68） し71ユ［．
56］ ［．
44］［．
46］［．
4了］［．
46］ ［，
48］［．
49］ ［．
8D］ ［．
50］匸．
48］ ［，
45］［．
47］［．
49］ Pじ．
1Ln3．
03，
正 3．
85．
15．
98．
59，
510、
4 P。
r 監in9．
711．
713．
812．
32L923．
0 B1 B1 境 界 P。
，
．
副 L4L51．
92．
53．
05．
26．
27．
0 境界 Pr．
．
？ ［ 5．
26．
57．
9 生L715．
818．
3 （．
46）（．
47） （．
49）（．
50）（．
51）（，
62） （．
65）（．
67）・
（．
54） （．
55）（．
57） （．
60）（．
72）（．
79） 鬥odel 3 ［．
81］［．
62］ 〔．
47］［．
463［．
48］ ［．
62］〔．
65］［．
64】卜lodel 4 1 ［．
97］ ［．
59］［．
56］ ［．
62］［．
7星］［．
75］ ＝1／v ．
θ。・〜°
iPcrli町
2，
62，
73，
24，
0 塁．
55．
96，
67．
2蓄
1／ 3 D；3°
1Pprlin6．
87．
78，
811．
815 ゆ、
15，
7 B2 境 界 PF，
．
r1L2．
L3L82．
613．
O4．
0q．
75，
41B2
境 界 P∈
，
．
し
14．
55．
87．
19，
010．
9i12・
4 （．
47） （．
50） （．
56）（，
65）1
（．
66）（，
67） （．
71） （．
75） （・
66）1（・
76）i
（・
Bl）（．
76）（，
73）K
．
79）1
仁・
73］1
匸・
56］ 匚．
45］［，
1
47コ1
［．
4幻［．
47］匸．
剃 ［．
50］’
［．
84］ ［．
53］［，
50コ［1．
48丕［．
qgコi1匸．
51］ り11− 15
％低 下す るの を除け ば，
・
その他は同じ か む し ろ大き く なっ て お り，
本研究の解析モ デル お よび荷 重分 布で は偏 載 荷 重の線形座屈荷重 P即 に及ぼす影 響は小 さ い。
し たがっ て，
偏 載 荷 重 時の線 形 座 屈 荷 重 P諍 は，
等 分 布 荷 重 時に準 じて推 定 可 能で ある。 4．
幾 何 学 的 非線形 解 析による最 大 荷 重（弾 性座屈 荷 重） お よ び変 形 性 状．
4−1
解析モ デル 解 析モ デル の形状は，
図一2
に示す線形 固有値 解 析を 行 っ た 解 析モ デルModel
1〜
4と 同 じ形 状で あ る が，
計 算 時間の短縮の た め，
図一11
に 示 す よ う に ドー
ム中 央 でX
お よ びy
方 向に 2個の対称軸を仮定す る。 断面積，
断 面2
次モー
メ ン ト等の部材 諸元，
無次元 化 0 内 は P。
，
，
。
ノP。
，
bi”
ig、
［］ 内は P。
，
，
e1／P。
，
t’”
（ κ）を示す。
ばね定数， 境界 条 件 （Bl
境 界およびB2
境 界 ） も，
線 形 固 有 値 解 析の場合と 同 じであ る。 た だ し，
部 材 細 長 比 は，
．
h ＝
60の み と するe ま，
tt， 荷重分 布は，
等分 布 状 の節 点 荷 重の みと する。
線 形 固 有 値 解析で等分布 荷 重と 偏 載 荷 重に大き な違いが な かっ た が，．一
般 的な非 線 形 解 析で は，
大 きな違いが 生 じ る可 能 性が あ る。
こ の検 討に つ い ては，
別 稿で論 じ る予 定で ある。4−2
解析結果の分析 幾 何 学 的 非線形解析の 例と して，Model
1の x＝
0．05，1000
と，Model
2の x＝ ・O；1，
ユ000 におけ る鉛 直 変 形 δ。一
荷重P
曲線を図一
12に示す。 本 研 究の解 析モ デル の よ うに部 材 半 開 角 傷 が小さい偏 平な ドー
ムで，
かつ，
部 材 細 長比 λ。が比 較 的 小さ い場 合，、
δz−
P 曲線は，一
ユ25
一
η
