円周方向に弾性支持され外圧を受ける円環と水圧を受ける直交異方性円筒シェルの弾性座屈荷重算定式の比較

(1)

【論　文

1

UDC ：624

．

074

．

4 日本建築学会構造系論文報告集第403 _号

・

1989 _年 9 月

円周

方

向

に

_弾性

支持

され

外圧

を

受

ける

円環

と

水圧

を

受

ける

直交異方性

円

筒

シ

ェ

ル

の

弾性

座

屈荷重算

定式

の

比

較

正会員正会員日

奥

置

田

興

一

郎

＊

和　　弘

＊＊　

1．

序　外圧を受ける円筒シェルの弾性座屈荷重式には種々のものがある

．

文献1）では

，

水圧が側面のみに作用する場合と端部隔壁にも作用して軸力を併せ受ける場合とに分けて線形分岐式および非線形理論式を整理し，その有用性を実験から述べ _て_い _る

。

_{文献}2＞_{では}

，

_{側面}のみに水圧を受ける等方性円筒シェルの線形分岐式を

，

変形後の微小有限変位を考慮したつり_合い方程式から誘導している

。

1

司様に

，

文献3）では

，

_直交異方性円筒シェルの線形微分座屈方程式を整理している

。

しかしながら_，変形後の方向不変外圧や常に中心方向に向く外圧を含めた簡潔な結果は見当たらなかった

。

　日置は

，

両端を壁面で単純に支持された直交異方性円筒シェルの外圧による弾性座屈を念頭に

，

簡単なモデルの_{弾性安定解析}を行っている。具体的には

，

円周方向に弾性支持された弾性円環の

，

座屈後の荷重の_{作用方向}が不変

，

法線方向（水圧）

，

中心方向の 3種の

一

様外圧による線形分岐座屈を論じ，座屈荷重に与える軸剛性の影響は小さく，軸剛性を無限大と置くと結果が簡潔に表せることを示し

，

その_弾性座屈荷重を円環の剛性項と支持ばね定数の _項の _和として簡単な式の_形で_表現している4〕。　本論では

，

文献4）で誘導され

1

た弾性円環の _{結果}と

，

ある特殊な直交異方性円筒シェルの弾性座屈性状を比較し

，

前者をもって後者の近似として使えるか否かを検討する目的で

，

シェルの剛性と等価な働きをする円環の支持ばねの_，具体的な評価方法について論じる

。

そのために

_，

取り扱いの簡単さと

，

円環での座屈性状を考慮し

，

円周方向の伸び剛性を無限大にし

，

伸びと曲げの相関剛性とねじり剛性を零とした特殊な直交異方性シェルの弾性座屈固有値方程式を

_，

変形後の微小有限変位を考慮した

Fltigge

のっ _{り合}い式z｝_{から誘}_導_し

_，

_{文献}_{4 ）}_で_提_示された方程式との比較を行い

，

円環式の支持ばね定数の項に対応する項を検討する

。

さらに

，

円筒シェルの座屈荷重を円環の式で近似する場合の精度を

，

等方性円筒シェルを対象として検討する

。

2．

記号 Agg

’

_，　

Bqq’

，　

C

婀

’

：任意定数　　

Dl

」ht_：シェルの面内剛性　

K

“kt ：シェルの曲げ剛性　　　

k

：無次元化弾性定数比（式（43 ）参照）　　

NW

：Xs

＝

0での単位長さ当たりのシェルの増分面　　　　　内力　　 MiJ ：Xs

＝

0での_{単位}長さ当たりのシェルの増分曲　　　　　げ

，

ねじりモ

ー

メント　　　

Q

‘

：X

、

・・＝O_での _{単位}長さ当たりのシェルの増分法　　　　線方向せん断力　　　

L

：円筒シェルの長手方向の長さ　　　m ；半円周と長手方向半波長の比（式（27 ）参照）　　 Pb ：単位長さ当たりの外圧（水圧）　　 p言

＝

Pb／L ：単位面積当たりの外圧（水圧）

q ：リング方向の_{座屈}モ

ー

ドの _{波数（}

q ＝

0 ， 1，　　　　

2

，

…

）

q

’

：長手方向の座屈モ

ー

ドの半波数（q

’

＝

1

，3，

　　　　 5

，…

）　　　r ：半径　　　φ：リング方向角座標　　　Xl ：回転軸方向座標　　　X！：リング方向座標で x2

＝

　rφ 　　　Xs ：曲板中央面から外向法線方向座標 u，v，　w ：それぞれ Xl

，

　x2

，

　Xs 方向増分変位　　 ekt ：

N

κ↓に_対応する増分面内ひずみテンソル x1 辱大阪市立大学　教授

・

工博牌 _大_{阪市}_{立大学}_{大学}_{院生}_（_現 _{｛株〉大林組}_）　（1999年3月 10日原稿受理

，

1989 年 6 月 19口採用決定〕　　　　　ユ　 ♂ ’

遭

算

噛

因

　　 W 図

一

1 記　号

瑤

ノ）ノ

一

₁₁₉

一

(2)

　　 Xht ：

M

κ‘に対応する増分曲げひずみテンソル　　　∂1＝ r ∂／∂Xl

，

∂、

＝

∂／∂φ：微分演算記号　　　 y ：ボアソン比　　　

A

；無次元化荷重（式（43）参照）　

Max

（α

，

b

｝：α

，

b

のうち大きい方を選択する関数　　口

¶

］：座標変換行列なお

，

変位

，

応力

，

ひずみの記号において，下添字に零のあるものは座屈直前の量を

，

また

，

上にバ

ー

のあるものは座屈直後の_{量を}

，

それぞれ示す。　

3．

水圧を受ける直交異方性円筒シェルの弾性座屈固　　有値方程式　3

．

1

．

仮　定　本章では

，

以下の仮定を用いる

。

　の面外せん_断ひずみを無視する _（法線保持）。　

ii

）厚さ方向ひずみを無視する

。

iii

）円筒シェルは完全な円筒形で

，

シェル要素の弾性　　性質を式（1）で与える。ロ

ヱ

ヱ剛剛褓岬置躍 D1且1

匸

0

0

i

O

　　。・　　　

o

iO

…

9 ＿＿…．

9 ．

、

D1

・1・

i

iKn ］

］

／ア2　　 0　　 0

0i

　　O　　 KI！！！〆r2 　0

i

O

O

O

rεurE222r ε127ZXit72

’

x222r ： x12

……一 ………・・

…

_（_{1 ）} 　

iv

）荷重は完全に

一

様な内向きで側面のみに作用し

，

　　変形後の荷重の _{作用}方向は

，

変形後の法線方向とす　　る

。

　3

．

2　基礎方程式　変形後の微小有限変位を考慮した x、方向のつり合い方程式は式（2）となる1）

_。

謠

曲＋・1剛

d

・，・

9 ｝

1N

・

（

1

＋E・・闘

d

φ ＋

激

_脚＋En ）・

d

φ（

a

・U／r）

ld

・，

場

脚＋e・）

dxi

（

02u

／r）

ldip

＋P ま（1＋εlt）dx，（1＋ε22）rd φ（∂

、

w／γ）＝

0

・

………・

・

一 …・

・

………

（

2

）式中

，

上にバ

ー

のつ _いた量は座屈後の応力を表し

，

座屈直前の応力と構造物が座屈したために生じた_{微小増分}量の和として，式（

3

）で表される。　　 NU

＝

鵡 1十

Nn ，1V22＝

_{N ま}2十Nn

igt・・

−

_N ム

W2

，

N

”

−

N

_：

・

_＋

N

・・

’

『

’

…

_（

₃

_）

一

₁₂₀

一

形状と荷重形態から明らかなように

，

_{座屈}直前の各応力は式（4 ）となる

。

　　　醐2

＝一

ρ

9r

，　

Nai＝

鵡 2

＝N5i＝

₀

・

…・

・

…・

…

（4）したがって

，

式（5 ）が成立する

。

1V22

＝

一

_ρまr_＋

1V22

，

N

’_」

N

” 　　　

＿

一

・

…

　（5 ）　　　

N

］2

＝N

］1

_，N

： ’

＝Nm

増分面内ひずみ εll

，

ε，，を増分変位で表すと式（

6

）となる

。

　　　ε T；

＝

∂1u ／γ

，

　ε22

＝

（∂2zノ

ー

←ω｝／7

・

…

髄

77・

・

7r・

・

…

　（6 ＞　式〔5）

，

（6）の関係を式〔2 ）を代入し

，

座屈後の増分変位と増分応力の 2_乗以上の_{高次微小項}を無視すると式（7）を得る。　　　∂1N ”十 ∂2ハ厂 tl

−

pま（∂2eu

−

∂1w ）

；

O

・

…

　（7 ）　同様にして_，式（6｝，（8）を考慮すれば， X2 方向のっり合い式は式（9）

，

x3方向のつり合い式は式（

10

）となる

。

QI

＝

Qi

，

Qi

＝

Q

：

，

Mll＝Mll

−

一

一

…一

（

8

）　　〃22

＝M22，

M

且2

・

M12，

M21＝Me

’ 　　　∂2N2t 十 ∂，NL2

−

QZ

− P

ぽ（∂22v

−

← ∂tW ｝

＝

0

・

…

　（9 ）　　　∂、

Qa

＋∂、

Q

’ ＋1V22＋_Pま（∂lu

−

∂，v＋∂22ω）

＝0

…・

………・

・

一 ……一

（10）　変形後の Xl

，

　x2

，

　x3 軸回りのモ

ー

メントのっり_合いは，微小変形理論での円筒の基礎式 5L6｝と同様で

，

それぞれ式｛11 ）

，

（12 ）

，

（

13

）である

。

　　　∂、M22＋∂1ル

fI2−

7

・

Q2

＝ 0

……・

…・

…………

（ll ）　　　∂IMII 十∂，

M

”Lr

・

Q

_」 ₀

・

…・

一 …・

………

（12）　　　r

・

N12

−

r

・

Nel十M ！1

＝

_O

・

……・

・

一一一 …

（13 ）　式（9 ），（10）から式（11｝，（12）を用いて

Qi

，

Q

：を消去すると，式（14）

，

（15＞を得る

。

　　　r∂2N2z 十r∂IN12

−

∂2M22

−

∂IM12 　　　

一

ρまr（∂！ 22 丿十∂：w）

＝0 ・

・

…

一一…

一・

7

（14）　　　∂22M22 ＋ ∂1∂，M ’2 ＋ ∂1∂2M2 ’ ＋ ∂、 eM 匸1 　　　十 rN22 十

p

吉r（∂1u

−

∂2v 十 ∂22w ）

＝

Or

・

…

　（15 ）　仮定iii）より式（16）が

，

式（13）

，

（16）より式（17 ）が成立する

。

　　 M 』〃 2」 0

・

……一・

・

………・

・

………・

……

_（16 ）　　ハll2

＝NM ・

・

…

77−・

・

r・

・

…

　（

17

）　式（7）

，

（14 ）

，

（15）を，式（16｝

，

（

17

）を考慮してマ _{トリク}ス_表示すると，以下の形に整理できる。 ∂ 00

ー

　21 0 ∂

一

i

：

_懲

_］

ー

az2

∂ ∂ ・甜つ ∂ 0 ∂

ー

　 r 　零 b 　 ρ 　十 w rNllrN22rN 　12MnMl200 　

…

（18） 0 増分ひずみと増分変位の関係式は

_，

_{増分零}での位置に

(3)

おいて

，

“

つり合い _方_{程式}の_行列が_{定数係数}の_微_分_表_示の場合

，

応力と外力に対応する

，

微小変形と微小変位の関係式の行列は

，

つり合い式の行列の奇数回微分項の符号を変えての転置行列である。

”

という定理｝_{から} ，式（18）より，式（19）となる

。

有限変形下では

，

この関係式は_増分項を伴うはずであるが_，有限変位が微小であるとして，その二次以

．

ヒを省略するので，式（

19

）を使用する。 rεll アEn2r ε11r2XU 『2× 2！

一

_∂ L　 OO 　　

−

∂2

−

_∂ 2　

−

∂1 0　　 0o 　　 ∂！

0 −

_lQ

−

∂12

−

_∂ ： 2 り ω

・

一

・

一

・

…

一・

・

_（₁₉_）式（

19

）は

，

先に提示した増分面内ひずみと増分変位の関係式（

6

）と矛盾がない

。

また

，

増分面内ひずみと増分変位の関係および長手方向の_増分曲げひずみと増分変位の関係は文献 5 ＞のものと

，

リング方向の増分曲げひずみと増分変位の関係は文献 4）のものと

一

致する

。

　式（19）より，リング方向の伸び剛性無限大の仮定を考慮すると，幾何学的条件式

．

（20＞

，

（21）を得る

。

7εH2rEl2rtXll72kn

…

1

：

∂ 　 2 　

0

∂ 0 γε22＝

一

∂ ！v

−

w ＝ 0

……・

・

…・

・

：

1

_：

：

1w

…… ………・

・

…・

一一 …・

・

_（₂₀_）　　　　

……・

…

（21）式（1）より

，

増分断面力と増分ひずみの_関_係は

，

式（22）となる。し　　し　

エ

ユ剛所

MM

一

1 写

7En2r εnr2XurZXn 　 201 　

D00

00KITII ／r2 　 0

∴

・

…

9P鹽

・

…

pr・

・

…

一・

・

_（₂₂_＞　以上の 3 式（18 ）

，

_（

20

_）

、

_（22 ）から

，

ひずみと断面力を消去すると

，

変位に_関する座屈方程式（23 ）を得る_。

縢

i

雛

ll

−

i

−

一

〈23）ここで

，

行列の各要素は式（24＞で表される

。

h、、

＝−

P 】 ’H ∂12

−

1冫【212∂， 2 ＋_ρ計∂ノ

htS；− Dltl2

∂1∂2 hl3

＝一

ρ奮r ∂I

k

，，

＝−

1） ’212 ∂， 2

−

（K222t〃 2）∂、 2 ＋_P書r∂， z 　　　 hu

＝

（Kt222／r2）∂tS＋ρ言r∂2

煽；（

Kllll

／r2_）∂_L°_＋_（

K

’：2t_／_r2_）_∂_ノ_十_P_ま_{r ∂}₂₂ 　　　　　　　　　　　

・

………・

…・

………

（24 ）式（

23

）中の

’

は

，

奇数回微分の符号を変えた式を示す。　

3．

3

座屈モ

ー

ドおよび座屈荷重　本節では_，両端において x2 方向および Xa方向のみ変位が拘束され， x、軸回りの回転とXl 方向には変位が自由な単純支持の境界条件を満たす変位モ

ー

ド式（25 ＞を仮定する

。

　　　　u　　　　　　

Aea・

　　　　1丿　＝ ΣΣ［

T

］　

Bqg’

・

一・

・

…

一・

・

…

　（25 ）　　　　w Cqq

’

ここで Σ の領域はそれぞれ q

＝

O

，

1

，

2

，…

， q

’

＝ 1

，

3

，

5

，…

であり

，

行列［

T

］は式（26 ）で

，

m は式（27 ）で表され

，Aqe’

，

BQq’

，

Cae’

_は任意定数_{である}

。

・ル

r

静

）・

驫

鵬

讎

、

］

・

…

一・

tt・

・

…

　（26 ）　　　m

＝

g

’

7

’

π／五

…

一一・

・

…

噛

・

一

・

一

・

…

7777r

・

…

r・

…

一

（

27

）これは_，両端をヒンジによって薄い円形補剛板で支持された円筒シェルが_，リング方向には _q_波で波うち

，

長手方向には sin 波でなだらかに変形する場合を想定したものである

。

　式（23）において

，

行列匚T］を座標変換行列として用いて

，

増分変位ベクトル

lu

，

　_v

，

ωドを任意定数ベ _{クト} ル

iAqQ

’

，

　B

。

・

，

　Cq

。

’

1

’に座標変換すると，　

Fourier

級数の直交性より方程式はモ

ー

ドq

，

q

’

ごとに完全に分離され

，

任意定

tw

Aqg・

，

Bgg’

，

C4q’

に関する代数方程式（28）を得る

。

「

艫

li

；

］

轟

一

i

−

・

_・₂₈_）ここで

，

式（28）の行列の各要素は式（29 ）で表される

。

14u

＝

7π2Pm1 十 σ2PL212

一

α2P 言γ

A1

，

一一

mqD 且2’2

An

　＝

−

mp 嵳r

A

、，＝ m2D ’n2 ＋

q2K

’2！2 〆r2

− q

’

P

書r

A

、，

・

＝

q3K22 ！1fr2

−

qp 吉r ム3

＝

祝 ’κ1皀n ／〆＋ゲκ222ヲ〆

−

q：P奮r

…

一・

・

…

rr・

・

・

…

一・

（29 ）式（25）を幾何学的条件式（21＞に代人すると

，

式（30｝の関係を得る。　　　Cqq

’

＝−

Bgq

・

q

…

r…

一・

・

…

曜

r…

『

・

…

7…

『

・

…

　（30）式（30）を用いて

，

式（28 ）を

IAaq

・

，

　BqQV についての固有値問題に_変換すると

，

式（

31

）を得る

。

一 121− ．

(4)

［

il

∴

］

［

lii

lii

lii

］

［

i

∴

］

ISi

：

_｝

一

L

！

；

馳。

譲

薦

：

翫

］

慶

1 −

｛

1 ｝

…・

一 ………・

………

_（₃₁_・弾性座屈固有値方程式は

DIII1

，　

D

’z’z 》

K

’” ソ〆，　

K

”ZZI 〆

，

p 翫の_精度で式（

32

）となる

。

　　　 CID

’

2n ＋c

，

K ”

11 ／r

’

＋ c

、

K22！

2 ／r

’

−

c

、

_P書r・・o 　　　　　　　　　　

……・

…・

……

（

32

＞

．

式（32 ）において

，

c1

，

　Ct

，

　c3

，

　c4 はそれぞれ式（33 ）で表される

。

　　　 4 　　　 CL

；

M 　　　 2　　り　　　 C！

＝qmC5

　　　c，

＝

（q2

−

D

’ q2c，　　　

・

…

（33）　　　（

2q −

1）q’ meD ’212 　　　c、・＝（q ’

−

_1） q！_c ，

−

Diin

式（33）において c5 は式（34）で表される

。

　　　c5； M2 十qt（

1

）12n ／

l

）111

】

）

・

…

9・

・

…

　（34）式（

32

）を露について解くと，式（

35

）となる

。

　　　 C，D ’21！＋C、K ”iifr ！＋C，K2 ！za ／〆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

・

…

　（

35

）　　　ρま

＝

　　　　C4r さらに近似として露は式（

36

）の精度で式（

37

）で表される

。

座屈荷重 p 歪

，

cr は

，

これらの式において q

，

　q

’

に_関する甥の _{最低値}で定まり

，

それらの_値に対応した座屈固有値方程式で座屈モ

ー

ドが決まる。

三

｝

農

3 ；

i

；

2 ≒ ・ m ’ ／qS《・

・

一

・

…

（…

・卜

譜

ぞ

纛

・。・

錯

・。… ・＋

3ils

；

iK

．

llll

｝

　　　　　十（q2

−

1＞〔Kt2n／r3）

・

…

　（37｝　4

．

検討　4

．

1　円環と円筒シェルの弾性座屈固有値方程式の比較　円周方向に弾性支持された円環が

，

水圧を受ける場合の弾性座屈固有値方程式4）と

，

3章で対象とした

，

側

．

面のみに水圧を受ける場合の円筒シェルの弾性座屈固有値方程式の比較を行う

。

　円周方向に弾

、

性支持された EA

≡

。。

，

　 GA　

＝

・

　oo の場合の_{弾性}円環が

，・

．

一

様水圧を受けるときの座屈荷重は

，

支持ばね定数をcr とすると式（38）で表されるq〕

。

・・／・

一

，，，

窪

三

、、、・（q2

尹

呈

E

’

・

……・

……

（… 　式（

38

）と

．

式（37 ）の_係数比較を行うと_，曲げ剛性項については

，

梁と板の_相違であるボアソン比の影響が見られるが

，

これは補正できる

。

しかし

，

それ以外のシェルの多くの弾性常数の効果を

，

円環モデルにおける単

一

122 一

の支持ばね定数 cr で厳密に対応させることはできず

，

cr は近似的に式（39 ）の精度で式（40）に相当していることが分かる

。

q2

κ’H

暢瑞

志

9 塑

_《₁

…・

………・

・

…

_（_・

₉

_）　　　　π？η3D 川 lD12 ‘2

舮況

・

D 一

可

が

百

77’

’

”… ’

… … ”

_（₄_°_）式（40 ）において m は

，

4

．

2節で論ずるように

_，

シェルのアスペクト比 L／r が特に大きくない限り， m ＝ π7／

L

と考えてよい

。

　式（39）は

，

シェルのアスペクト比が小さくなり

，

リング方向の座屈モ

ー

ドの波数 qが大きくなると

，

成立しなくなる

。

これは_， _{座屈}_荷重に_及ぼす長手方向の曲げ剛性の影響が無視できなくなることを示している

。

　以上より

，

文献4）の_{結果}を

，

3章で対象とした円筒シェルの_{弾性}座屈に_{応用}するには

，

支持ばね定数 cr を式（40）で置換すればよい

。

この場合の円環式での単位長さ当たりの荷重は_，シェルの単位面積当たりの荷重に

，

シュルの長手方向長さ

L

を乗じた量である_。式（40）は

，

円環の支持ばね定数 cr が

，

構造物の _形_状と弾性のみでは定まらず，円周方向の座屈モ

ー

ド波数

q

にも依存していることを示している

。

　特に

，

シェルが等方性の場合には

，

式（41）の関係を式（40）に代入するこ _とにより得られる式（

42

）の関係を用いればよい。ここで D は等方性シェルの伸び剛性であり

，

cr を式（40）で置換した円環式（

38

）は

，

等方性シェルにおいて_，リング方向の伸び剛性を無限大にし

，

長手方向の曲げ剛性とねじり剛性を無視した場合の_，弾性座屈固有値方程式に_相_当している

．

　　　DIHI

．

．D ，

D12

］2

；D

（1

一

レ〉／2

…………『

…

_：

・

（41 ）

…

2 糾

臨

・

………・

………一・

…・

・

（

42

・　4

，

2FIUgge の公式との比較　均質な厚さ tの_{等方性}_{円筒}シェルを対象とした文献 2）の FIUgge の_{弾性}座屈固有値方程式は_，無次元化弾性定数比

k

および無次元化荷重 A を式（43 ）で定義すると式（44）となる

。

座屈荷重 Acr は式（44 ）の q

，

　q

’

に関しての最低値であり，そのときの方程式で座屈モ

ー

ドが定まる

。

・

− 2

ち

T

・

一

ぷ

_广、

轟

、

…・

一・

・

…

_（_{43 ＞}

A

＝

［（1

一

り2）ml 十｝（M2

−

十

一

q2）4

−

2（_vmG _十3M4q2 　　　　　

−

十

一

〔

4　

v）m2q4 十qS）十

2

（

2一

ン｝m ：qt→

−

q41h］／　　　　　

．

1

（12（mZ 十qi）2

−

qt〈3　M2 十q2）｝

・

…

　〔44）　レ

＝

0

．

3の場合について_，無次元化弾性剛性比

h

が

一

定のときの円筒シェルのアスペクト比

L

／r と無次元化座屈荷重A

，

r の関係を

，

式（38）の攴持ばね定数 cr に式（42）の右辺を代入して算定した数値結果を点線で

，

(5)

式（44 ）で算定した数値結果を実線で図

一

2に_示す。　円筒シェルのリング方向伸び剛性を無限大とし

，

軸方向曲げ剛性とねじり剛性を零とした本解析モデルは_，上下界のどちらとも言えないが等方性円筒シェルの線形分岐座屈荷重のほぼ下界に近い値を与えている

。

シェルのアスペクト比が 1≦L／r ≦100の範囲において_，式（44）で算定した

Ac．

に対する式（

38

）で算定した

Acr

の割合は

，

κ＝ 2×

10 −

5の場合

81．3

％

−

104

．

3

％

，h

＝ 1×10

−

6 の _{場合}

92．

3

％

〜

ユ

05．

7％であったe したがって弾性円環の座屈固有値方程式は

，

等方性円筒シェルの座屈荷重を上記の精度で近似できる

。

　図

一

2での座屈荷重曲線は_，中央部から左側に単調増加となっている

。

これは

，

シェルのアスペクト比

L

／r が特に大きくない領域での長手方向の座屈モ

ー

ドの半波数は

，

q

ノ

＝1

であることを意味する

。

座屈モ

ー

ドの_例と 10

−

3x3 　　 2Acr 　　

₋

110 4x8 　　 64 10

−

5x8 　　 6 10

−

6x8 12 　34 　6810 　 20304060100 　　　　L！r 　　図

一

2L ／r

−

Ac

，

関係 k

＝

2×10

−

5　　　　　　　k

＝

1×10

−

6 　図

一

3　座屈モ

ー

ド算定例（L／r

＝

1）して

L

／r

；1

の場合を図

一3

に示す

。

　 4

．

3　外圧を受ける等方性円筒シェルの座屈荷重算定　　　式　以上の結果より

，

シェルのアスペクト比が特に大きくないときの水圧を受ける等方性円筒シェルの座屈固有値方程式は

，

式（38）の支持ばね定数 cr を式｛42）で置換した式（45）で

，

さらに

，

_q2》1の精度で式（46）で近似できる

。

　　　　　　　　 ml （

1一

レ｝　　　　　　　　　　　　　　　　十（q：

−

₁ ）

h −・

・

（45）　　　

A

＝　　　　　q2（q2

−

1）

12

　m ’ ＋（1

一

のq2｝　　　　≒ m ‘ ／q6十q2k

・

…

　（

46

）座屈荷重 Acrは_，　

q

に関する 4 の最低値で定まる。　式（46 ）において， q を連続量とみなし，　 A を q で微分して

，A

の極値に対応する実数値 q を算定すると

，

式（

47

）となる。　　　 q2

＝

（

3m

・／

h

）i〆，

・

tt…

t−・

・

…

　（47 ）式（47）を式（46）に代入すると

，

シェルのアスペクト比が極端に大きくはない_{場合}の_{近似座屈荷重算}_定_式_（48 ）を得る

。

　　　 A§学

゜

「t ≒5

．

512（r／L）ic3fl

・

…

　（48）式（

48

）は，ゲ》

1

の精度で，変形後の方向不変外圧

，

および

，

変形後の中心方向外圧が作用する場合も

，

同様に近似できる％　

一

方

，

シェルのアスペ _{クト比が}_{無限大}_の_{場合}_の_座_屈_荷重算定式は

，

式（49 ）となる2）

・

4 ）

。

　　　ノ1さ

geg

＝

α

h ・

・

一・

・

…

一卩

・

一・

・

…

　（49｝ここで α は_，外圧の変形後の方向性により決定する定数で_，水圧の場合 α

＝

3

，

変形後の中心方向外圧の場合 a

＝

4

．

5 となる

。

ただし，変形後の方向不変外圧が作用する場合には

，

シェルの中央部で円周方向の剛体回転が生じて不安定となり

，

α＝

O

_である

。

　式（48）

，

（49）より

，一

様外圧を受ける等方性シェルの弾性座屈荷重AcT は

，

式（50 ＞で近似できる

。

　　　 Acr

＝

Max （A：？° ’t ，　Azgeg）

・

……・

…・

・

一一

_（₅₀_）式（50 ＞を

一

点鎖線で図

一

2に示してある。　

5．

結　語　円周方向に_{弾性支持}された円環の_弾性座屈固有値方程式4）と

，

円周方向の_伸び剛性を無限大にし，伸びと曲げの_相_関剛性とねじり剛性を零とした特殊な直交異方性シェルの弾性座屈固有値方程式を比較した

。

その結果，文献4）の結果を上述の円筒シェルの弾性座屈に拡張するには

，

式（39 ）の精度で円環モデルにおける支持ばね定数を式（40 ）で評価すればよいことを示した。この場合の円環式での単位長さ当たりの荷重は，シェルの単位面積当たりの_{荷重}に

，

シェルの長手方向長さを乗じた量である。そして

，

弾性円環の弾性座屈荷重算定式（50 ）は

，一

様外圧を受ける等方性円筒シェルの線形分岐座屈荷重を工学的に使える精度で近似できることをPt した

。

一

₁₂₃

一

(6)

　謝　辞

本研究の

一

部は昭和63年度文部省科学研究費

一一

般

C −

62550417 によった

。

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1068

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　1978

．

9

SYNOPSIS

VDC ：624

．

074

．

4

　　　　COMPARISON

OF

BOTH

THE

FORMULAE

OF

ELASTIC

BUCKLING

LOADS

OF

　　　　 CIRCULAR

RINGS

SUPPORTED

BY

UMFORMLY

DISTRIBUTED

SPRINGS

IN

　　　　　TANGENTIAL

DIRECTIONS

AND

ORTHOTROPIC

SHELLS

SUBJECTED

TO

FOLLOWER

EXTERNAL

PRESSURE

by　Dr

．

　KOJCHIRO HEK _且

，

Professor_ofOsakaCiLyUnlver

．

　 slty

_，

　and　KAZUH 田【00KUDA

，

　Graduate　Student　_of　Osa

．

ka

City

University

（Ohbayashi　Corp

．

at　publication）

，

　 Members　of 　A

．

1

．

J．

This

　paper　

deals

　with 止e　approximate 　analysis 　of　

buckhng

　load　of　some 　types　o丘orthotropic 　cylindr 重cal　shells subjected to_exしernal 　pressure，　

proposing

　a 　simplified 　mode1

，

　which 　is　a　ring 　supported 　in　tangential　

directi

n 　

by

uniformiy

distributed

_springs

_．

Comparing

both

the　analytical 　results 　

for

　the　Qriginal 　and 　model 　structures

_，

　 main conclusiQns 　obtained 　are　as　

follows

．

1）

Transforming　shell stiffness iIltothesupporting spring 　constant 　in　the　

formuLa

　of　the　circular 　rings

_，

　the

　　buckling

behavior

　of 　the　above 　orthotropic 　shells 　can 　

be

　simply 　estimated

．

2）

_The

formula

　of 　the　elastic 　buckling　loads　of 　the　circular 　r 重ngs 　_gives　the　linear　

bifurcation

loads

_of_the　

isot．

ropic _{shells 　subjected} totheuniformly

distributed

_external _pressure

in

_good_accuracy

by

_changing

its

dimen．

　　sions

．

And

　the　

buckl

血_g　mode 　of　the　axial 　

dilection

is

　a　

half

　sine 　wave

．

円周方向に弾性支持され外圧を受ける円環と水圧を受ける直交異方性円筒シェルの弾性座屈荷重算定式の比較

1

．

．

・

円周

方

向

に

弾性

支持

さ れ

外 圧

を

受

け る

円環

と

水 圧

を

受

け る

直交異方性

円

筒

シ

ル

の

弾性

座

屈荷重算

定 式

の

比

較

奥

置

田

興

一

郎

和 弘

1．

．

，

。

，

，

。

1

，

，

。

。

，

，

，

，

，

，

一

，

，

1

，

，

，

。

，

，

，

，

，

Fltigge

，

，

。

，

，

。

_弾性

され

外圧

ける

水圧

ける

定式

和　　弘

_，

_，

_，

₁₁₉