NII-Electronic Library Service
1
論 文】 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第448号・
1993年6月Journal of Struct
．
Cons亡r．
Engng，
AIJ，
No．
448，
June、
1993両 端
に
回転
ば
ね
の
あ
る
部 材
で
構
成
さ れ る
単
層
ラ
チ
ス
ド
ー
ム の
弾
塑
性
座 屈
荷
重
矩 形平 面 形
状
を
し た裁 断球殻 状
の ドー
ム につ い てELASTO
−
PLASTIC
BUCKLJNG
LOADS
OF
LATTICED
SHELLS
WITH
ELASTIC
SPRINGS
AT
BOTH
ENDS
OF
MEMBERS
Case
studyfor
．
sphericallatticed
shells on rectangularplan
』
．
植 木
隆 司
＊，加 藤
史 郎
＊向 山 洋
一
＊＊ ＊ ，．
松 栄 泰 男
＊繰 ＊Takashi
UEKI
，Shiro
KA
TO
，
Y
・ichi
MUKAIYAMA
an4Yasuo
，
MA
TSUE
The
present paper investigates the elastotplasticbuckling
Ioads of sjnglelayer
旦atticeddo
皿es Qn a rectangular plan．
The
domes
are composed ofbeam
elements of which ends are connectedby
elastic springs
．
The domes are analyzed in three ways ：1inear
をigenvalue
，．
geometricaLly
non−
linear
，
and geometrically and materially．
non・
linear
analysis，
considering severalgircumst
弓nces as subtendedhalf
angle of members，
s［enderness of members ，boundary
conditions，
geometric im−
perfections
，
member crookedness andloadings
．
Based
on the results，
d
童scussions were madehow
the pin
・
collnected dome buckling， shell・
likebuckling
or 皿e血ber
buckling
occurs，．
while present−
ing
the methodfor
non・
dimensionalizing
thebuckling
loads．
Keyweitls ：single 勿σ
dOme
， elast｝ρlastic
analysiS ，bending
厂げ4
吻 of cennection、
boundary con−
．
dition，
initinl nodai impmfection，
non・
untform leading単 層 ド
ー
み， 弾 塑 性 解 析， 接 合 部 曲 げ 剛 性，
境 界 条 件，
形 状 初 期 不 整，
偏 載荷 重 d1．
序 論 単 層ラ チス ドL．
・
ムの 座屈 耐 力は，
接合 部の曲げ 剛性に 大き く影 響さ れ る。
接 合 部にね じ込 み式の ボー
ル ジョイ ン ト等を 用い る と，
接 合 部は ピン接 合と剛 接 合の 中 間 的 な接 合， いわ ゆ る半 剛 接 合に琴
る場 合があ
る。 こ の半 剛 接 合の重 要 性に焦 点 を あて た，
単 層ラチス、
ドー
ムあるい は立 体 骨 組の接 合 部の曲 げ剛 性と耐 力の関 連に注 目し た 研究が， 解析 ］）”
13J および 実va2
｝・
14）一
］T ｝ を通 して実 施 され ている。
筆 者も，
両 端に回転ばね のある 部 材で構 成され る裁 断 球 殻 状の単 層ラ チス ドー
ムに関し て は，
す でに線 形 固 有 値 解 析，
幾 何 学 的 非 線 形 を考 慮した解 析 を 通して弾 性 座 屈性 状に対する接 合 部の曲げ剛性の影 響を分析 し，
そ の 座 屈 荷 重の推 定 方 法 を示し て い る7 ）。 い っ ぽ う，
実 大の部 材を用いた単 層ラ チス ドー
ムの載 荷試 験結果14L16）： ］S） か ら示さ れ る よ うに，
単層ラチス ドー
ム で は，
接 合 部の曲げ剛 性の大 小だ けでな く， 部 材の降 伏，
材 料 非 線 形 性が ドー
ム の耐 力に大きく影 響す ること が報 告さ れて い る。 しか し，
弾 性 座 屈 耐 力につ い て の研 究は あ る程度分 析が進んで いるもめの，
部 材の降 伏 と接 合 部の曲 げ剛性の両方を考慮して，
・
ドー
ム の耐 力を論 じ た 研 究4 ）・
9 ）・
】3 ）は，
比 較 的 少ない。、
そこ で，
本 研 究で は，
主に部材の降伏と接合部の曲げ 剛 性が単 層ラチス ドー
ム の耐力にどの よ う・
に影響す る か を解 析 的に調べ る。 た だ し，
解 析 的 研 究に あ た り，
文 献 7） で弾 性 座 屈 を分 析した裁 断 球 殻 状の単 層ラ チス ドー
ムに 対 象を 限定する、
最 初に，
対象とし た解析モ デル の線形 固有 値 解 析，
幾 何 学 的 非 線 形 解 析，
幾 何 学 的お よび材 料 学 的 非 線 形 解 析か ら，
そ れ ぞ れの座屈 荷 重を求め る．
。 次 に，
そ の 3種 類の解析か ら得ら れ る座屈荷 重 を接 合部の 曲 げ剛 性を考 慮して無次元化 表 示し，
部 材の材料非線形 性と接 合部の曲げ 剛性が座 屈 荷 重に与える定 性 的あ るい は定量的 影 響 を分 析する。
な お，
座 屈 荷 重の分 析で は，
部 材半開 角， 境 界条 件；
部材の細 長比，
形 状 初 期 不 整，
＊ 巴コー
ポレー
ショ ン技 術 開 発 部・
工 修 騨 豊 橋 技 術 科 学 大 学建設工学 教授・
工博 1＃ 巴コー
ポ レー
ショ ン技 術 開 発 部・
工 修 ＊ ＊ ＊ ＊ 巴コー
ポ レー
ショ ン技 術 開 発 部・
工 修Technical Deve且opement Dept
，
TOMOE CORPQRATION，
M，
Eng，
Prof
．
，
Regional Planning Dept，
Toyohashi Univ．
of Technology，
Dr
．
Eng．
’
，
Technical Deveiopement Dept
．
TOMOE CORpORATION，
M．
Eng．
Technical DevelopementDept
．
TOMOE CORPORATION，
M．
Eng．
一 、
47
一
部材の元撓み， 荷重 分 布の影 響 も合わせ て検 討す る
。
2．
解析 方 法 単層ラチス ドー
ムを 構 成 する部 材の モ デル は，
図一
1 に示 す よ うに，
剛 域・
接 合部のばね・3
個の弾塑性 域を 含む梁 要素か ら成る ものと し，
部 材と しての ね じ り剛 性 は無 視 し得るもの とする7），
14） 。 梁 要素の剛性マ ト リック ス は，
個 材の弾 性座屈を ドー
ムの座 屈性状に含め る た め，
座屈撓角法を用い て定式化する。
ただし， 解 析を簡 易 化 す る た め，
ま た，
実験での曲 げばね の実 用 的 扱い14｝との 関連 か ら，
剛 域の長 さ1、
＝ Oとする。
解析は，
（1）線形固有 値 解 析，
（2） 幾 何 学 的 非 線 形と 材 料 学 的 線 形 を仮 定 した解 析 （以 下，
弾 性 解 析とい う〉， （3） 幾 何学的お よび材 料 学 的 非 線 形を考慮 し た解 析 （以 下， 弾 塑 性 解析とい う）の 3種 類を行う。
この弾 性 解析 および弾 塑 性 解 析で は，
有限変形理論に基づ き， Total Lagrangian approach に よ り， 幾 何 学 的 非 線 形 性を考 慮 す る。
ま た，
弾塑性解 析で は， 部 材モ デル に前 述 し たよ うに，
そ れ ぞ れ の梁要 素の部 材 端 と部 材 中央 部に弾 塑 性 域を設 定 し，
材 料の非線形性を近 似 的に解 析に含め る。ただ し，
弾 塑 性域を除い た梁要素は弾 性 として扱 う。
弾 塑 性 域は，
降伏前は弾性で，
降 伏 後は式 （1）の降 伏 条 件 を満た し な が ら 塑性流 動 す る と仮 定する。
f
；
（NIN
シ） e＋MIM
一 1＝
o− …・
…………
〔1） こ こ で，N
：軸 力M
：曲 げモー
メ ン ト〔＝嗣
）Mr ，
Mz ：Y
軸，
Z
軸 回り曲げモー
メン トNy
：降 伏 軸 力 My ：降伏 曲 げモー
メン ト な お，
接合部のばね の耐力は梁 要 素と して用いる 鋼 管 の耐 力よ り も大きい と仮 定 し，
接 合 部の ば ね は降伏し な い ものと す る。
し た がっ て，
弾 塑性域の降 伏 応 力は，
鋼 管の降伏 応力 度ay （＝
2．
4 tf／cmZ ）を用い て，
次式か ら 計算す る。N
，＝ σ，’
A ・
………・
………・
…一 ………
（2
）My
＝ σy・
Z
，・
・
一
・
・
…・
…・
…・
……・
………・
…・
・
…
（3
） Z↑
ノ
ー謄
十 十一
一一一
〉 E，
A，
ip 邑1 ‘1 〜 E：
ヤン グ係 数 （＝
2100tf／cm2） A ：断 面 積，
［Pl 断 面 2 次モー
メ ン ト Key，
Kez：Y 軸，
Z軸 回り回 転 ばね定数 〜：部 材 長さ，
tb；剛域 長さ 図一
1 部 材モ デル一一
48
一
こ こで，A
：梁 要 素の断 面 積 ZB ：梁 要 素の塑 性 断 面 係 数 線 形 固有 値 解 析で は，
最 小 固 有 値に対応する荷重を線 形 座 屈 荷 重とする。 弾 性 解 析お よ び弾 塑 性 解 析で は，
基 本式をNewton・
Raphson
法に基づ き， 荷重 増分法お よ び 変 位 増分法 を併 用して解き，
荷 重一
変 位 曲 線の最 初の 明瞭な折 曲り点ま たは極限点を耐 力とみ な し， それ ぞれ 弾性 座屈荷 重，
弾塑性座 屈荷重と す る。3．
解 析モ デル 解析モ デル は，
図一2
に示す よ う に， 平面形状が矩形 の裁 断球殻状の 単層ラ チス ドー
ムであ るe 線形 固有 値 解 析で は， 全 ドー
ムを解析モ デル と して用い た。
弾性 座屈 解析お よび 弾 塑 性 座 屈 解 析で は， 対 称 性 を考 慮し て，
破 線で示 した 1／4 ドー
ム あるい は一
点 鎖線で示し た半 ドー
ム を解 析モデル とし て用い た。 1） モ デル形 状 （部 材 半 開 角 ） ライズの低い偏平な単層ラ チス ドー
ム を対称と す る た め，
ドー
ム 中央のX
軸 方 向の部 材半開 角 洗 を 1°
，
2°
，
3
°
と し， そ れ ぞ れModel
1
，Model
2，Model
3とす る。ド
ー
ム の ライズH
， 曲 率 半 径R
， ドー
ム中 央の X 軸 方 向の部 材 長さ あ， ドー
ム の 4隅へ 斜め に接 続さ れ る一
番 長い部 材 長 さlmax
等の モ デル形 状 諸 元 を表一
1に示す。
表一
1 モデル形状 諸元 モ デル H ω R （m） θ。（degl ‘oω ‘跏 ω Mode111，
4886．
551．
03．
0213．
038 Model23
、
0043．
702．
03、
0503．
129 Mode134，
5529，
623．
03．
1003．
289 A Y 非 線 形解折モ デル噛
匠一
一
蜀
1
5「 1罠
1 露一
E q 窒 口 → DLx324 09m↑
zユ
言
イ ズ始
lc．
：部 材 長さ （中央部X方向 ） θe ：部 材 半 開 角 （中 央部X方 同 ） θロ 網 目の割 り付け方 法 1）繭 を 角 度でt6等 分 し，
各 節 点 X 座 標 を 決 める。
セ）痂 を 角 度で8等 分 し，
各 節 点Y座 標 を 決 める。
3）各 節 点が球面上と な る よ う に，
Z座標を決め る。
図一
2 解 析モデルNII-Electronic Library Service 2 ） 部 材サ イ
．
ズ 部 材は，
各 解 析モ デル におい てすべ て伺 じ鋼 管 部 材と す る。 解 析に用いる2
種の鋼 管，
φ一
139．
8×4．
0 （以 下，
φ139と略す）と φ一
60．
5× 2，
3 （・
以 下，
φ60と略す〉 の断 面St
A ，
断 面2
次モー
メ ン トtb，
Model 2の ドー
ム 中 央のx
軸 方 向の 部 材長 さ ‘。に対す る部 材 細 長 比 λ。−
M。！ （両 端 ピン支 持とし て の個 材の細 長 比 ）および降 伏 軸 ガ 篤， 降 伏曲げモー
メ ン トMy
を 表 ∠ 2に示す 。 な，
お， φ139
のh
＝64
は部材の降伏，
材料非線形性が影 響 する場 合 を，
φ60
の λ。＝148
は個材の弾性 的な座 屈が影 響する場合を想 定し た 部 材 細 長 比で あ る♂3
｝・
接 合 部 ばね の回転 剛 性 図一1
に示す部 材モ デル の接 合 部 ばね は，
式・
（4 ）・
で 示す 無次元 回転ばね定数 κ を 用い て，Modeh
では x＝
’
O．
Ol
，0．
05
，0．1
，0．
3
，0．
7
，1．
O
，3．
O，7．
0，1000
の g種，Model
2で は x；
O．
05，
0．
1，
0．
3，
0．
7，
1．
0，
3：0，
7．
O，
・
1000 の 8種，
Model
3では N＝0．
1，
’
0，
5，
1．
0，
3．
O，
10， 1000 の 6種 と する。
各 形 状モ デル で κ・
＝O．1
’
以下 は部
材 端の接合が ピン接合的な 小 さ な曲げ 剛性し か期待 で き ない場 合 を想 定し， z ； 1 oeo は ほぼ完全 剛接合 を 想 定し ている。
κ÷KBV’
lo
／Elp＝KEZ・
do
／Elp・
・
・
・
・
…1P
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4） また，
式 （4）1
で示し た よ うに，
ト
Kbr＝
KfiZと仮 定する。
4） 境 界 条 件 座屈耐 力に大 き’
く影 響 する境 界 条 件は，
図一
3に示 す よ うに，
実 際 的で かつ 代 表 的な境 界 条 件と考え られ る全 周 ピン支 持のBl
境 界 と， 4隅 がピン支 持で外 周の他 点 が外 周 方 向に一
方 向ロー
ラー
支 持の B2 境 界の 2種とす る。
口 がピン支 持，
匚＝ コ が 長手方向にロー
ラー
支 持を 示し ている。
表一
2 部 材 諸 元 部 材 A（cm筍 Ip（cm4） あ一
防 2Hy くしf） Hy（tfc田｝ φ一
139、
8k4、
o17，
07314・
6440．
9？ 1η．
09 φ一
50、
5K2、
34．
20517．
8 上48io．
0918．
71 Bl 境 界 B2 境 界 全周 ビン支持 4 隅ピン支 持 他 点一
方 向ロー
ラー
支 持 □ ：ピン支 持 点□
：一
方向ロー
ラー
支 持 点 図一
3 境 界条件 g ：形 状 初 期不整 （e・
9／（t。・
・ine，’
）．
e巳・
P．
1，
e・
2・
o．
2）』
図一
4 形 状 初 期 不 整 十一一一一一一一・
一一一一
t／2・
t／2 ＋二
｝
1 c ：部 材 元 撓 み （ei＝
t／tOOO，
e2・
1／500） 図一
5 部 材元撓み 等 分 布 荷 重 片 偏 載 荷 重 ● ；1、
00xP ◎ ；0．
6TIP O：
0．
33xP 図一
6 荷 重分布 中 央 偏 載 荷 重 5） 形状 初 期不整 形 状 初 期 不 整g
は，
そ の影 響が最大になる一
節点に，
図一
4に示す よ うに ドー
ム の曲 率 中心方 向に与え る。 そ の大き さは，
ドー
ム中 央で の x 軸 方 向の 部 材 半開角・
θ。・
と部 材 長さ 1。で定 義す る単 位 ドー
ム の高さ 1。・
sin 佻に 対 する比 E＝g
／（’。・
sin 畠） を用い て εi；
o．
1と ε，＝0．2
の 2種とする。 6）．
部 材の元 撓み．
部 材の 元 撓み e は
，
その影 響が最 大に な る一
部材
を 図一
5に示 すように部 材 中 央で 2分 割し，
ドー
ム の 曲率 中 心 方 向へ 与え る。
そ の大き さは，
部 材 長さt
を 用 いて，
el＝
l
／ユ、
000 と e！＝1
／500の 2種 とす る。
7） 荷 重 分 布 荷重 分布は，
図一
6に示す よ うに，
鉛 直 下向き の等分 布 状の節点荷 重に加えて，
片 偏 載 状 （3：1）と中央 偏 載 状 （1；3：1＞の 2種の偏 載分布 状の節点 荷 重を考 慮す る。
一
49
一
N工 工一
Eleotronio Library4．
解析結 果 4．
1 座 屈モー
ド，
変形 性 状 等 1） 軸力N一
曲げモー
メ ン トM 曲 線Model
3
， φ一
139．
8
×4．
0の ドー
ム （以 下，
M
3一
φ 139 と略 す ）でB1
境 界，
等 分 布 荷重時の弾 性 解析お よ び弾 塑 性 解 析に よ る軸 力N と曲げモー
メ ン トM
の関 係 を，
図一
7に示 す。 な お，
図中の部材番 号 （アル フ ァ ベ ッ ト）お よ び以 下の説 明で用い る節点 番号 （数字 ）の位 置 を図一
9（a＞の 中に示す。
弾塑性解 析のN − M
曲 線は，
部 材 端の弾 塑 性 域が降 伏 〔以 下。 部材降伏とい う）す る 前は弾性 解 析と同様に ほ ぼ線形的で，
部材降 伏 後は降 伏 条 件 を 満た し ながら，
ピン接 合を 想定し た x＝O．
1
の場 2．
0閣
1．
5 1．
o O．
5 0，
0 D．
o o．
5 1．
o 1．
5 2．
0臑
図一
7 軸 力N と曲 げモー
メ ン トM の関 係 （Model 3 （島＝
3°
），
il
139，
B l境 界， 等 分 布 荷 重 〉 20．
DPf15．
0 10．
0 5、
0 0、
0 0，
0 合はN が小 さく な りM
が大き く なる方向に， 剛接 合を 想 定し た x＝1000
の場合はN
が大き く な りM
が小さ く な る 方 向に塑 性 流 動 す る。
2 ） 荷重P 一
鉛直変位δz曲線M3 一
φ139で等 分 布 荷 重 時の，
弾 性 解 析お よ び弾 塑 性 解 析に よる荷 重 P と鉛直変位 δz の関係を，
図一
8に 示す。
（a）のBl
境 界 時は，
接 合 部の曲げ 剛性に相関し て， 弾 性 座 屈荷 重P
詳，
弾塑性座 屈荷重P
群共に大き く変 化 す る。 ピン接 合を 想定 し た x＝0，
1
の場合，
部 材 降 伏の 前に幾 何 学的非線形に よ る極限点で耐力が決ま りP
離 と P器は一
致す る。 そ れに対して剛接合を想 定し たx；
1000 の場 合， 極 限 点座屈の 前に，
図一9
に 示 し た 部材b
と部 材 c が部 材 降 伏す る のでP
ぎ｝はP
罍よ り小さ く なる。
い っ ぽ う，
（b
｝のB2
境 界 時は， ドー
ム隅部の部 材 が他の部 材に比べ て著 し く大き な軸 力 を受けて （以 下，
隅 部 材の応 力 集 中 とい う ），
弾 性 解 析の場 合，
部材a が （a ＞ 15，
0P （tf ） 10．
0 5．
O rc＝
o．
1 rc＝
1000 κ＝
1000 B工境 界 （bl B2 境 界 図一
9 弾 塑 性 解 析による変形性状 （Medel 3，
φ139，
等 分 布 荷 重 ） o．
0 5，
0 10．
0 15．
O O．
0 δz （cm》 （の Bl 境界 図一
8 荷重P と鉛直変位δzの関 係 〔Model 3（仇＝
3°
） 5．
o （b｝ B2 境 界 ip 139，
等分 布 荷 重 ） δz （cロ｝ 10，
0一 50 一
NII-Electronic Library Service 最 初に個 材の弾 性的な座屈を生 じ るのに対し て
，
弾塑性 解析の場 合， 部 材a が部 材 降 伏 し て荷 重P 一
鉛 直 変 位 あ 曲線に明 瞭な折 曲り点が生 じて耐力が 決まる。
し た がっ て，
弾 性 座 屈 荷 重P
齢は接合部の曲げ剛性に相関 し大き く変 化する の に対 し て，
弾 塑 性座屈 荷 重P
番は ほ ぼ一
定の値 と なる。1
・
3＞ 変 形 性 状 M3一
φ139で等 分 布 荷 重の場 合の弾塑性 解 析による 座 屈 荷 重 時の変 形 性 状 を，
図一
9に示 す。 （a）のBl
境 界 時は，
ピン接 合を 想定 し たFO．
1
の 場 合，
ピン接 合 ドー
ム的な節点 座屈の性 状を 示 し，
剛 接 合を 想定 し た x＝
1OOO
の 場合，
全体的な変形性 状を示 す。 い っ ぽ う，
（b
）のB2
境 界 時は，
ロー
ラー
支 持に よ る水平方 向の変形に伴い ， 鉛直方 向の変形が全 体 的に生 じる。
ま た，
π＝O．1，
x＝1000
の 場 合 共に，
隅 部 材の 応 力 集 中に より部 材降伏が生 じて座屈荷 重が決ま るの で， z＝
O．
1とx＝
1000 は同様の変形性状を示す。 4．
2，
η，
ξによる無 次元化表示 両 端に回 転ば ねの あ る 部材で構成さ れ た単層 ラ チス ドー
ムの線 形座屈荷 重P
幽。（x）は， 連続 体置 換法による シェ ル と して の節点 当た りの古 典 座屈荷 重で， 式 （5） で仮 定さ れ る7 ）。
聯 ・一 。 、， ’
撫
・
E
・ ・・……・
・…・
・
…
（・・式 （5）の EA θ
1
は， ピン接 合 ドー
ムゐ
座 屈荷 重に関 連す。聾 なパ ラ、一
ター
である，・・，
・ ，！
，£ （，）よ り，
座 屈 荷 重 P，
．
を，
式 （・
6）で示す ηで無 次元 化 す る。
P。
rη
＝
EA
θ1
’
『
’
’
”tt’
’
’
’
”tt… … ”’
… 『
… ’
tt…
（6
＞ η＝
Pcr／E《θ3
20、
o 15．
o 12、
0 8．
0 4、
0 0．
O O、
0 4，
0 こ の 0 と，
式 （7）で示す シェ ル と して の 曲 げ 剛 性 を 無次元化し た ξ を 用い て表 示する場 合，
式 （5）の 接 合部の曲 げ剛性 を考 慮 し た連 続 体 置 換 法に よ る古 典 座 屈荷重P
協（x）は，
原 点 を通るこ う 配．
1．
0の 直 線 η＝
ξ と な る。ξ一 協 ’
磊
・
………・
・……・
・
…・
……
（・） 以下，
得られ た結 果を η，
ξに より無 次 元 化 表 示する。
4．
3 完 全 形 状， 等 分 布 荷重時の性 状 完 全 形 状，
等 分 布 荷 重 時の，
Model l，・2，
3そ れ ぞ れ の線 形 座 屈荷重 P 鰹，
弾性座屈荷重P
欝お よび弾塑性 座 屈 荷 重 P欝の無次 元 座 屈 荷重 ηと 無 次 元曲げ 剛性 ξ の閧 係を，
図一10
，ll
，12
に示す。
1） Bl 境界 時 線形 座 屈荷 重P
鰹Ml ，
M2 ，
M3 一
φ13gお よ びM1 ，
M2 一
φ60
の場合に は，線
形摩
屈 荷重P
津は， ξ が 2より大きい範囲で連続体置 換 法に よ る古 典 座 屈荷重P
脇 （x）に ほ ぼ一
致 し， ξが 2 よ り小さい範囲で 直線 η＝2
に漸 近す る。 す な わ ち， これ ら の モ デルの 場合に は，
ξが 2よ り大きい範 囲で連緯
体シェ ル 的な座屈が 発 生 し，
ξが2より小さい範囲で個材の弾 性 的な 座屈が 生 じ ること な くピン接合 ドー
ム に類 似した節 点 座 屈が発 生す る。
し たがっ て，
尸鰹 は，
ηt ξと，
η＝
2の 2直線
で推 定され るT ）・
19 ）。
いっ ぽ う，
M3一
φ60の場 合に は，
接 合 部の曲 げ 剛 性 によら ず，
個 材の弾 性 的な 座屈が発 生して お り，
η＝
ξ と η；
2の 2直 線より低い座 屈荷重と な る。 ピン接 合 ドー
ム内の部 材の 応 力 集 中 度 合い を考 慮し た個 材の弾 性 座 屈に よ る 座屈 荷 重 γ・
P
多は，
式 （8
）に示す応 力 集 η＝
Pc，
／EAθ3
20．
o ユ6，
0 12．
D 8．
0 4．
0 o．
0 8．
0 12、
O l6、
D 20．
0 0．
0 4．
0 8．
D 12．
0 12ft一
ξ・
ξ・
λ。θ，，
v−
TT171’
（a ）Bl
境 界 （b） B2 境 界 図一
10 無 次 元 座 屈 荷重 ワと無 次 元 曲 げ剛 性 ξの関 係 （Model 1（俛＝
1°
），
等 分 布 荷 重 ） 15．
0 20，
0 1zft一
λ。
θ。
Wt一
51
一
N工 工一
Eleotronio Library中に よ る 低 減 係 数 γと
，
式 （9
）に示 す単材の弾 性座 屈軸 力Nk
を用いて，
式 （1 によ り推定さ れ る” 。 図 中に γ・
P
苳ノEA
θまを破線で 示 す が，
ξが小さい範 囲で P潔 は γ・
Pk
と ほ ぼ一
致 す る。
7
＝
1覧／N・
…………・
…一 …一 ……・
………
（8） こ こ で，N
。：十 分に一
様と考え ら れ る時の軸力 （No＝
P／6・
の1V
：考 慮の 対 象と なっ て いる部 材の線形 弾 性 解析に よ る軸 力 πZEAN
ぎr＝
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（9
） 滝 η＝
Pcr〆E直θ3
10．
0 B、
o 6，
0 4，
0 2．
O o．
0 0．
O γ・
P苳r＝
γ・
6eo。
N 苳r・
……・
・
…・
……・
……・
…・
（10＞ 弾 性 座 屈 荷 重P
詳Ml ，M2 ，M3 一
φ139およびM
1，
M2一
φ60の 場 合に は，
弾 性 座 屈 荷 重P
澣は，
線 形 座 屈 荷 重P 浄に比べ て小さ く な る。
線 形 座 屈 解 析か ら 示さ れたよ うに こ の 5ケー
ス で は個 材の弾 性 的な座 屈は 発 生しておらず，
ξの値に応じて シェ ル的 あるいはピン 接 合 ドー
ム的な座 屈が支 配 的に現れて い る。 す なわ ち， 幾 何 学 的 非 線 形 性，
座 屈 前 変 形の 影 響で，P
段がP
評 よ り低 下して いる。
そ の座 屈荷重の低 下の割合は，
ξが 大 きい範囲で はP
齢はP
浄の ほ ぼ半分 で，
η＝O．
5× ξ η三
PGド／EAθ3
10．
O 8．
0 6，
0 4，
0 2．
o O、
0 2，
0 4，
0 6，
0 B鹽
0 10＿
0 0，
0 2．
0 4＿
0 5＿
D 8＿
0 10．
0・
・
。、i
磊
藩
・
・
。、響 融
（a） Bl 境界 （b ） B2 境 界 図一
11 無 次元座 屈荷重 ηと無 次 元 曲 げ 剛性 ξの関係 （Mode且2（e。＝
2°
），
等 分 布 荷重 ） η＝
Pcr／奮八爾 6．
0 4，
0 2、
0 o．
o o．
o 2、
0 4．
D 12ff ξ昌
λく．
o匸1
厭 6．
0 ワ＝
PCr／EA碑 5．
0 d．
0 2，
0 〔a ） 図一
12B1 境界 0、
O o．
o 2．
0 4．
0 6．
0 〔b） B2 境 界 12 π ξ昌
λ‘
、
OI，
厮 無 次 元 座屈 荷 重 ηと無 次元 曲 げ 剛性 ξの関 係 （Model3ce，
＝
・
3°
｝，
等 分 布 荷重〉一
52
一
NII-Electronic Library Service で近似で きる
。
また， ξが小さい範囲で はやは り P 彩はP
穿の ほ ぼ半 分と
な り，
η＝
1で近 似で きる7 ）。
これに対し て，−M
3
「 φ60
の 場合には，
前 述し た よ う に個材の弾 性的な座 屈が支配的で座 屈前変形の影 響が小 さい の で，P9
｝はP
鯉と ほ ぼ一
致す る。
弾塑 性 座 屈荷 重P
番Ml − ・
φ139 お よび M1，
M2一
φ60の場 合に は， 接 合 部の曲 げ剛 性によ らず， 幾 何 学 的 非 線 形 性が支 配 的で あり，
部 材 降 伏が生 じ る以 前に極 限 点に達す る。 したがっ て．
，
弾 塑 性 座 屈 荷 重 P欝は弾 性 座屈 荷重P
審と一
致す る。1
い っ ぽう，
MZ，
M3一
φ139の場 合に は，
接 合 部の曲 げ剛 性が大き くな ると，
荷重の上昇につ れてまず部材降 伏が発生 し，
その 後にP
番に至 る。
す な わ ち，
ξが 大 き い範 囲で は・
P
群はP
誹よ り小 さ く，
ま た，
ξが小さい 範囲で は部材降 伏が生じ る ことな く，
ピン接合 ドー
ム的 な節 点 座 屈が支 配 的であ るの で，P欝はP
多と一
致す る。 特に， M3一
φ139で ξが大きい範 囲で は，
．
部 材 降伏が 大き く影 響し て お り，
P器を，
η＝
0．
5X ξで推定す る と 過 大 評 価 となる b ξが 3以上程 度では シェ ル的な挙動，
つ ま り膜 作 用が支配 的であ る と して曲げ モー
メ ン トの影 響 を 近似 的に無 視 し，
ま た，
座屈前変形 を無 視す る と，
部 材の応 力集中 度 合いを考 慮し た部 材降伏に．
よる座屈荷 重 γ・
P 益
は，．
式 （】0
）の単 材の 弾 性 座 屈 軸 力N
ぎ。の代 わ りに部 材の 降 伏 軸 力Ny を用い て，
式 （11）により推 定さ れ る。
図 中に γ・
Pさ。／EA θ3
を破 線で示す が，
ξ が 大 きい範 囲で P欝は γ・
Pざ。に漸 近 するgγ
・
Plr＝
γ・
6．
命・
N
シ：・
…・
鹽
・
………・
…・
・
…
（11
）また
，
M3一
φ60の場 合に は，
個材の弾性的な座 屈が 生 じて，
P審は Pぎ｝およびP津と ほ ぼ一
致す る。 2）B2
境界時．
線形 座屈荷 重P
謬Ml ，M2 一
φ139お よ びMl 一
φ 60の場 合に は，
ξ が小さ い範 囲で は B1 境界 時の結 果 と ほ ぼ一
致し， ξが大き い範 囲で は B1 境 界 時の結 果よ りξの値で約2小さ く な る。 ξが小さ
い範 囲で は ピン接 合 ドー
ム的な挙 動を，
また，
ξ が大き い範 囲で はシェ ル 的な挙 動を示す と理 解で き る。いっ ぽ う
，M3 一
φ139 お よ びM2 ，3一
φ60の場 合に は，
ξのすべ て の範 囲でBl
境界時の結果よ り小さ く な る。 これ は，
4．
12 ）で述べ た よ うにB2
境 界 時に は，
隅 部の応力 集中に よ り， 個材の弾性 的な座 屈が支配的に な る か らである。
B1
境界時と同 様に，
図中に個材の弾．
性座 屈に よ る座屈荷 重 γ・
Pぎ。
／EA
81
を破 線で 示 す・
が，
ξ が小さ く，
ほ ぼ ピン接 合の場 合 にはP
埠は γ・
P
苳．
と一
致す る。 ま た，
ξが 大き く な るに したがっ て，
個材の弾 性 的な有効座屈 長 さ が 短 く な．
るこ、
と，
ま た，
シェ’
ル 的．
な 座 屈 挙 動が生 じる こ とに よりP
鰹 は大き く な り，
．
x＝ 10DO に お い て P鯉 は 2X γ・
P ぎ；程度と な る。
弾 性座屈荷 重
P
詳Ml ，
M2一
φ139お よ びM1 一
φ60
の場合に は， ξが小さ．
い範 囲では ピン接 合 ドー
ム的
な節 点 座 屈が支 配 的で； 弾 性 座 屈 荷 重 P器は線 形 座 屈．
荷 重P
諦 に比べ小さ く な り，
また，
Bl 境 界 時の 結果 とほ ぼr 致 する。そ れに対して，
ξが大きい範 囲で はシ土 ル的な座 屈 挙 動が現れて，P
欝はP
雑 に比べ．
小さ く な り，
また，
Bl 境界時の結果 より小さ く な る。
B2 境 界 時のP
欝は，
．
ξが大きい範 囲で多少過大評 価に な る が，
Bl
境 界 時と同 様に， η＝Ol5
×ξと η；1
の2
直線で近 似される。
、
い っ ぽ う，
．
M3 一
φ139 お よ びM2 ，3
「一
．
φ60
の場 合に η＝
Pcr／E八θ8
20．
o 1．
5，
0 12，
0 9．
o’
4．
o olO 0、
0 η＝
Pcr／EAθ3
20．
D 15．
0 12，
0 B、
o 4．
0 0．
0 4，
0 B，
0 1’
Z．
0 16．
0 20，
0．
O，
0 4，
0 8＿
01
12．
0 16．
0．
20，
0 12V−
2−
12R一
ξ・
ξ＝
λ。
θ。
厭．
あθ。
皿 〔a ） B1 境 界 （b＞ B2 境 界 図一 13 形状 初期 不 整 εが ある場 合の ηと ξの関 係 （Model 1（島＝
1°
），
幽
φ工39，
等分布 荷 重 ｝一
53
一
N工 工一
Eleotronio Libraryは
，
線 形 固有 値 解 析か ら主に個 材の弾 性的な座 屈が支 配 的である と分 析で き た が，
これ らの場合には弾 性 座 屈 荷 重 P舒は線形 座屈 荷重 P鰹と ほ ぼ一
致 す る。
また，
M 3一
φ139で ξが小さい範囲を除き，Bl
境界時の結 果 より か なり小さ く な る。
弾塑 性 座 屈 荷重P
欝 比較 的 ドー
ム の ラ イ ズ が 低 く，
部材の細長比 λoが小さいMl ，2一
φ139
の 場合に は，
ξ が小さい範 囲で は ピン接 合 ドー
ム的な節 点 座 屈 が 支 配 的 で あ るの で，
弾 塑 性 座屈荷 重 P審は弾 性 座屈荷 重P
欝 と ほ ぼ一
致する。
ξが大 きくな るとシェ ル的な座 屈 挙 動 と と もに部 材 降 伏が生 じてP
群はP
欝 より小 さ くな る。
そ れ に対 し て，
ライ ズが高く，
λ。が小さい M3一
φ139 の場 合に は， 隅 部の応 力 集 中に より部 材 降 伏が生 じ，
ξ の すべ て の 範 囲で，P
酷は ほ ぼ一
定の値，
η で 0．
54〜
0．
60と な り，
Pぎ｝は ρ誹より か な り小さ く な る。
図 中 に部 材 降 伏に よる座 屈 荷 重 γ・
以。／EA
θ1
を破 線で示す が，
ξが大きい 範 囲で P欝は γ・
PI。 に漸 近す る。
い っ ぽ う
，
ライ ズが低く，
λ。が大きい Ml一
φ60の 場 合に は，
ξが 小 さい範 囲では ピン接 合 ドー
ム的な節 点 座 屈が支 配 的と な り，
ξの すべ て の範 囲で，
部 材 降 伏が 生 じ る 以 前に 弾性 的に極 限 点に至る の でP
欝は P欝と一
致す る。
し か し ，M2
，3一
φ60
の 場 合に は， 隅 部の 応 力 集 中に より個 材の弾 性 的 な 座 屈が生 じ，P
咎，
P
齢 およ び P鰹の値が等し く な る。
以 上 1＞， 2）よ り， 部 材 半 開 角 洗が 大き く， 接 合部 の 曲 げ 剛 性 x が大 き く， 部 材 細 長 比 λ。 が小さ く， 境 界 の拘 束 度 合いが低い ほ ど，
部 材 降 伏によ り耐 力が支配 さ れ る。 すなわ ち， 部 材の材料非 線 形 性 を考 慮す る必要が ある。
また， 個 材の弾 性 的な座 屈に よ り座 屈 荷 重 が 決ま るB2
境 界 時でM2 ，
3一
φ60の場 合 を 除いて，
部 材半 開 角 島 が小さ く．
，
境 界の拘 束 度 合いが高い ほ ど，
境界 の拘 束 度 合いが高い Bl 境界 時は部材細長 比 λ。が小さ い ほ ど，
弾 塑 性 座 屈 荷 重P
欝に対す る接 合 部の曲 げ 剛 性 κの影 響が大きい。
4，
4 形 状 初 期 不 整の影 響 形 状 初 期 不 整が あ る場 合の，Model
1，
2， 3それぞれ の弾 性座 屈荷重 P欝お よび弾 塑 性 座 屈 荷 重 P欝の無 次 元 座屈 荷重 ηと無 次元曲げ剛 性 ξの 関係を，
図一
13，ユ4，15
に示す。 部材サ イ ズは φ139のみ と し，
比 較の た め に完 全 形 状の 場 合も共に示す。
ま た，
形状 初期不 整の影 響で， 荷 重P 一
鉛 直 変 位 δg 曲線よ り 極 限点が 定 ま らず 座 屈荷重 を明瞭に定義で き ない場合は， 未 記入 に し て あ る。
な お，
前 述し た よ うに，
形状初 期不整は，
図一
9に 示 し た節 点1，
2，
3，
4の う ち，
その影 響が最 大になる一
節点に与え た副 。1
）Bl
境界時 弾性 座 屈 荷 重P
：； 形 状 初 期 不 整 εe＝ O．
2が あ る時，
完 全 形 状 時に対す る弾性 座 屈荷重P
誹の割合は，
接 合 部の曲 げ 剛 性 x が 本 研 究で最 小の場 合 （以下，
π min の 場 合と い う），
Model l，
2で 49 ％，
Model
3で 48 ％ で あ る19） 。 4．
3で完 全 形 状 時の φ139を 用いた解 析でも 示さ れ た よ うに，
ξが小さい範 囲ではピン接 合 ドー
ム的 な節 点 座屈挙動が卓越 しており，
初 期 不 整の影 響につ い て も， ピン接 合ドー
ム 的な性 格が強く現れて い る et） 。 注1） 実 際の構造物では，
多節点の 形状初期不 整を考え る必 要 が あるが， 初 期 不 整 が 不 規 則 現 象であ ること を考慮す れ ば， 多 数の繰 返し解 析に基づ く統 計 的 処 理が必 要であろ う。
そ れ らに つ い ては今 後の研 究 課 題と す る。
η±
Pcr／E直θ3 10．
o 8．
O 6，
0 4．
o 2，
0 o．
o O．
0 ワ＝
Pcr／EAθ3 10．
0 8．
G 6．
0 4．
0 2．
o 0．
0 2．
0 4．
0 6、
O S，
O IO．
O O．
0 2，
0 4．
0 6．
0 8．
0 10．
0 12v−
E−
Izrr ξ・
E一
λ。eorrPi7i’
λoθ。風 （a ） B1 境 界 （b＞ B2 境 界 図一
14 形 状 初 期 不 整 e がある場 合の ηと ξの関 係 （Model 2 （砺蕭
2°
｝，
φ139，
等 分 布 荷 重 ）一
54
一
NII-Electronic Library Service 同 様に x
＝
1OOO
の場 合，
Model
1
で99
％，
MQde12
でg5％
，
Model 3で 89％ で あ る。 す な わ ち，
接 合 部の曲 げ 剛 性が小さい場 合ば，
ピン接 合 ドー
ム的な節点 座 屈挙 動が支 配 的と な り，
部材半開角e
，に よ らず εが同じ で あ れ ば P欝に対す る形 状 初 期 不整の影 響 は ほ ぼ一
定で あ る。 い っ ぽう，
接 合 部の 曲げ 剛性が大きい場合に は， シェ ル的な挙 動が卓越す るの で，em
＝ 1°
に比べ て g／te
の値 が 大 き く な る θ。
＝2
°
，3
°
は，P
群に対す る形状初 期 不 整の影 響は大きくな る醐 。 ま た， 接 合部の 曲 げ 剛性 が小さい ほ どP
器に対す る形状初 期 不 整の影 響は大き い。 弾 塑 性 座 屈 荷重P
欝 ドー
ム の ライズ が低 く偏 平なModel
1
は， 部 材降伏が生じ る以前に幾何学的 非 線 形 性．
t
が卓越 して耐力に至 るの で，
完 全 形 状 時 と 同 様に，
形状 初 期 不 整が あ る時の 弾塑性座 屈荷重P
盤は， 弾性 座屈 荷 重P
併に一
致す る。Model
2，3
も ξが小さい範 囲で は，
ピン接 合 ドー
ム的な節 点 座屈挙 動が支配的と なっ て い るの で，P
群は P 欝と一
致する が ， ξが大き い範 囲で は、
部材 降 伏によ り P盤は P器 より小さ く な る。 注2） ピン接合の場 合の形 状 初 期 不 整によ る弾 性座属 荷重 P欝 の低 下の割 合， 〔1一
げ にほ ぼ 比例す る 20 ）。
形状 初 期不整 ε，
＝ 0．
2の場 合，
〔1−
0．
2P≒O．
5と な り，
本 解 析 結 果と一
致す る。
注3） 形 状 初 期 不 整 ε は，
図一
4に示し た よ うに，
単 位 ドー
ム の高さ 1。・
sin 眺に対す る比 を一
定 と して仮 定 して いる の で，
部材半開 角島が 大 きい ほ ど，
連 続 体シェ ルと し て の等 価 板 厚 恥藍2v雪・
顳・
λ。・
る 7｝に対す る形 状 初 期．
不 整g の割 合g／teは大き く な る。
し たが っ て，
連 続シェ ル的な座屈挙 動が想 定さ れ る ドー
ム の場合には，
島が大きい ほ ど
，
形 状刧期 不整によ る座屈荷 重の低 下が大き い2D。 ワニ
PCr 〆EAθ爭 5．
0 4，
0 2．
o oD O．
O 形 状 初 期 不 整 ε2＝0．2
がある時，
完 全 形 状 時に対 する 弾 塑 性 座 屈 荷 重 P群の割 合は，
rm］n の場 合，
P欝と同 じ で あり， z＝
1000 の場合，
M ・del 1で gg ％，
MGdel 2 で90％，Model
3で 79 ％で ある。 すな わち，
接 合 部 の 曲 げ 剛 性が小さい場 合は，
P欝と同 様に部 材 半 開 角 傷 に よ らず P濫に対す る 形状初 期不整の影 響 はほ ぼ一
定 で，
接 合 部の 曲げ剛 性が大きい場 合は，
仇が大きい ほ ど P欝よりも顕著に P 咎に対す る形 状初 期不整の 影 響 は大きい。 ま た，P
欝と同 様に，
接 合 部の曲 げ剛性が小 さい ほ どP審に対 する形 状 初 期 不 整の影 響は大きい。 2） B2 境 界 時 弾 性座屈荷重P
齢 形状初 期不 整 ε！＝
0．
2が ある時， 完全 形 状 時に対す る弾 性座屈荷 重P
多の割 合は，
κmln の場 合，Model
1，
2で 50％，Model
3で 49 ％であり，
κ＝
1000
の場合，Model
1で 100 ％， Model 2で 92 ％，
Model
3
で88
％ である。
形 状 初 期 不 整の影 響は，
B
ユ 境 界 時と同 様である。
弾 塑 性座屈 荷 重P欝 形状 初期不整 が あ る 時の弾 塑 性 座 屈 荷 重P
欝は，
完 全 形 状 時と同様に，
ξが小さい範 囲．
で は部材 降伏が生じ る以 前に ピン接合 ドー
ム的な節 点 座 屈 挙 勤が支配的で，
弾 性 座屈荷 重 P欝と一
致する が，
ξ が大きい範囲 で は シェ ル的な座 屈 挙 動 と と もに， 部 材 降 伏によ りP
齢はP．
e．
；よ り小さ く な る。
形 状初期不整 ε、＝O．
2が あ る時，
完 全 形 状 時に対す る 弾 塑 性 座 屈荷 重P
群の割 合は，．
ZmLn の 場合，Model
1
， 2で 50％，MQdel
3で87
％ で あ る。
い っ ぽ う，
x＝
1000の 場 合， Model
1で 99％，
Model
2で 100 ％，
Model
3
で97
％ で あ る。
す な わ ち ， 部 材 降 伏でP
群が 決ま るModel
1，
2で接 合 部の 曲 げ 剛 性が大きい範 囲， η百
Pcr ／EAθ爭 5．
0 4．
0 2．
o o，
D 2．
0 4．
D 6齟
0 0』
0 2．
0 4・
0 5・
O・
・
i
：、1
器
、
i
霈
π （a ）B1 境 界 （b
｝B2
境 界．
’
図一
15 形状初期不整εが あ る 場合の ηと ξの関係 〔Model 3（仇＝
3°
），
il
コ39，
等分布 荷重）一
55
一
N工 工一
Eleotronio Libraryη
